北师大版初中数学九年级下册《二次函数》教案
二次函数【知识点一：二次函数的定义】1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零． 2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【典型例题】1、下列函数中是二次函数的有（ ）①y = x ＋x 1；②y =3（x －1）2＋2；③ y =（x ＋3）2－2x 2；④ y =21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2、当m 时，函数2235y m x x（m 为常数）是关于x 的二次函数．3、 当____m时，函数2564mm ymx +3x 是关于x 的二次函数．4．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式.【变式练习】1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．y =2x +1B ．y =－2x +1C ．y =x 2+2D ．y =12x －2 2、下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x；④ 21y x x ；⑤ 1yx x ，其中是二次函数的是 ，其中a，b ，c ．3、如果函数 y =（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m = ．图6（1） 图6（2）4、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，S 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 5、图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时， 拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2） 建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x =C ．212y x =-D ．212y x=【提高练习】1、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．2、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.【知识点二：抛物线】1、二次函数y =x 2 与y =－x 2的图象都是____________，都是______对称图形．性质如下：2、函数y =x 2与y =－x 2的图象关于 对称，也可以认为y =－x 2是函数y =x 2的图象绕 旋转得到．3、函数y =－x 2的图像是一条_________线，开口向______，对称轴是_________， 顶点是________，顶点是图像最_____点，表示函数在这点取得最_____值，它与函数y =x 2的图像的开口方向________，（填“相同”或“相反”）对称轴________，顶点_______（填“相同”或“相反”）【典型例题】1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是（或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 ．2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称. 其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点【变式练习】1、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D2、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知函数24mm y mx 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.4、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.s t OstO stO stO5、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.【提高练习】1、已知函数()422-++=m m xm y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点? 求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值? 最大值是多少? 当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?2、如果抛物线2y ax 与直线1yx 交于点,2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.【知识点三：二次函数y ax bx c =++2的图象与性质】1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．2. 2y ax c =+的性质：上加下减．【典型例题】1、抛物线y =－3x 2+5的开口向_____，对称轴是_________，顶点坐标是________，顶点是最_____点，所以函数有最_____值，这个值是_______．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下 ()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下 ()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．2、抛物线 y = 4x 2－1与 y 轴的交点坐标是___________，与 x 轴的交点坐标是___________．【变式练习】1、抛物线322--=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时， y 随x 的增大而增大， 当x 时， y 随x 的增大而减小.2、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 . 3、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________．4、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 . 3. ()2y a x h =-的性质：左加右减．4. ()2y a x h k =-+的性质： a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， x =hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a <向下()0h ，x =hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， x =hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下()h k ，x =hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．【知识点四：二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较】从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 【知识点五：二次函数2y ax bx c =++图象的画法】五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【知识点六：二次函数2y ax bx c =++的性质】1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．● 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； ● 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．● 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小； ● 当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．【典型例题】A ．B ．C ．D ．1、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－3 D ．233、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________． 4、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、33 5、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y6、函数x x y +-=22有最______值，最值为_________． 7、抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x =B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-8、二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ）A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-， 9、函数y = ax ＋1与y = ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）1图11O xy310、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图10所示，给出以下结论： ① a > 0；② 该函数的图象关于直线1x =对称； ③ 当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图11所示， 有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<， 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式练习】1、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式是（ ）A .()22412+--=x yB . ()42412+-=x yC .()42412++-=x yD . 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y2、二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是（ ）A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1，2)D ．(1，2)3、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（ ）A 、（－2，7）B 、（－2，－25）C 、（2，7）D 、（2，－9） 4、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .5、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .6、抛物线的图象如右图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y = x 2－x －2 B 、y =121212++-x C 、y = 121212+--x x D 、y =22++-x x图10O111-O xy7、如下图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，8、2(0)y ax bx c a =++≠的图象如右图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+> 9、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =10、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）【提高练习】1、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，2、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴( )x … －1 012… y… －147- －247- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点xyO1 11 1- Oxy3、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的? ( ) (A ) 第8秒 (B ) 第10秒 (C ) 第12秒 (D ) 第15秒4、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤6、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如右图所示，下列判断错误的是（ ）A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b7、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a < 0 B ．c > 0 C ．ac b 42-> 0D ．c b a ++> 08、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6. （1）求出此函数关系式. （2）说明函数值y 随x 值的变化情况.yxO1 －1【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位9、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.【知识点七：二次函数图象的平移】1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律概括成八个字：“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】1、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y2、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-3、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6，4 B 、－8，14 C 、－6，6 D 、－8，－144、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.【变式练习】1、将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝2x 2＋3B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2（x ＋3）2D ．y ＝2（x －3）22、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.【提高练习】1、将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 3、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.。
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教案
北师大版九年级数学下册：2.3《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第2章《二次函数》的第3节内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过实例了解如何确定二次函数的表达式，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和图象有一定的了解。
但在实际应用中，他们可能对如何根据实际问题确定二次函数的表达式感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体实例引导学生理解并掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 教学目标1.理解二次函数的表达式，并能根据实际问题确定二次函数的表达式。
2.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：确定二次函数的表达式。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的表达式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习二次函数的表达式。
2.使用多媒体教学，展示二次函数的图象，帮助学生更好地理解二次函数。
3.小组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关实例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：一个物体从地面上升，上升速度逐渐减慢，最终停止在一定高度。
引导学生思考如何用数学模型来描述这个问题。
2.呈现（10分钟）教师展示二次函数的一般形式，解释二次函数的表达式。
通过多媒体展示二次函数的图象，让学生直观地感受二次函数的特点。
3.操练（10分钟）教师给出一个具体的实例，指导学生如何根据实际问题确定二次函数的表达式。
学生分组讨论，每组尝试解决一个实例。
4.巩固（5分钟）教师选取几个典型的实例，让学生独立完成确定二次函数表达式的任务。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（5分钟）教师引导学生思考：在实际生活中，还有哪些问题可以用二次函数来解决？让学生举例说明，并尝试确定这些问题的二次函数表达式。
北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教学设计
北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》是学生在学习了一次函数和正比例函数的基础上，进一步研究函数的性质。
本节内容主要包括二次函数的定义、一般式、图像和性质。
通过学习，使学生掌握二次函数的基本概念，了解二次函数的图像特征，能运用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究、发现并掌握二次函数的知识。
二. 学情分析学生在学习了一次函数和正比例函数后，已经具备了一定的函数概念和图象观察能力。
但九年级学生的抽象思维能力仍在发展阶段，对于较为复杂的二次函数解析式和图像的理解仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻、直观的图象展示，帮助学生理解二次函数的性质。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般式；2.掌握二次函数的图像特征，能识别二次函数的图像；3.能运用二次函数解决实际问题；4.培养学生的观察能力、分析能力和动手能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般式；2.二次函数的图像特征；3.二次函数的实际应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.直观演示法：利用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解；3.自主探究法：引导学生主动探究二次函数的性质，培养学生的动手能力；4.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件；2.准备一些实际的例子，用于引入和巩固二次函数的知识；3.准备二次函数的一般式和图像，用于讲解和展示；4.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：“抛物线的形状是什么？它与什么因素有关？”让学生思考并回答，引出二次函数的定义。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示二次函数的一般式和图像，让学生观察并总结二次函数的图像特征，如：开口方向、对称轴、顶点等。
北师大版九年级下册1二次函数课程设计
北师大版九年级下册1二次函数课程设计一、教学目标1.理解二次函数的定义和基本性质；2.掌握二次函数的图像变换及其规律；3.能够分析和解决二次函数实际问题。
二、教学内容1. 二次函数的定义和基本性质•二次函数的定义；•二次函数的基本性质：对称轴、顶点、单调性、零点、极值、最值等。
2. 二次函数的图像变换•图像平移；•图像翻转；•图像伸缩。
3. 二次函数的应用•最大值最小值问题；•半径、面积等计算问题。
三、教学方法教师讲解、实例演示、学生自主学习和合作学习。
四、教学过程1. 二次函数的定义和基本性质教学过程1.讲解二次函数的概念和定义；2.介绍二次函数的图像和基本性质；3.通过例题，学习二次函数的对称轴、顶点、单调性、零点、极值、最值等概念。
教学重点1.二次函数的定义；2.二次函数的基本性质。
教学难点1.对称轴、顶点等概念的理解；2.单调性、零点、极值、最值等概念的应用。
2. 二次函数的图像变换教学过程1.讲解二次函数的图像变换；2.通过演示、练习，掌握图像平移、图像翻转、图像伸缩的方法和规律。
教学重点1.图像平移、翻转、伸缩的方法；2.图像变换的规律。
教学难点1.图像平移、翻转、伸缩的实现方法；2.图像变换的规律的理解。
3. 二次函数的应用教学过程1.介绍二次函数在最大值最小值问题中的应用；2.通过实际问题，学习二次函数在半径、面积等计算中的应用。
教学重点1.二次函数在最大值最小值问题中的应用；2.二次函数在半径、面积等计算中的应用。
教学难点1.实际问题的分析和解决；2.把实际问题转化为二次函数的模型。
五、教学评价教学评价主要通过学生日常作业、小测验和期末测试进行。
六、教学反思通过本次课程设计，我发现学生比较薄弱的地方在于实际问题的分析和解决，需要针对这一问题加强训练。
在教学方法上，可以增加学生自主学习和合作学习的时间，以提高学生的学习效率和兴趣。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过引入二次函数的图像，让学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
教材从实际问题出发，引导学生用数学的眼光去发现问题、解决问题，培养学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困难进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学素养，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识去解决问题。
同时，运用小组合作学习的方式，让学生在讨论中理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识。
2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商品打8折后仍然比原价高200元，求商品的原价。
引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的性质。
同时，引导学生思考一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识去解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中遇到的问题。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章第三节《确定二次函数的表达式》的内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的。
本节课的主要目的是让学生学会如何根据二次函数的图象或者给定的条件来确定二次函数的表达式。
内容主要包括：待定系数法求二次函数的表达式，根据图象确定二次函数的顶点式，利用配方法将一般式化为顶点式。
这些内容对于学生来说，既有挑战性，又有实用性，对于提高学生的数学素养和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的一般形式和图象，对于如何从图象或给定条件中获取函数信息有一定的了解。
但是，对于如何运用待定系数法求解二次函数的表达式，如何根据图象确定二次函数的顶点式，以及如何利用配方法将一般式化为顶点式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步掌握这些方法。
三. 教学目标1.让学生掌握待定系数法求解二次函数的表达式。
2.让学生学会如何根据二次函数的图象确定其顶点式。
3.让学生掌握利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式。
4.培养学生的观察能力、思考能力、操作能力和交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：待定系数法求解二次函数的表达式，根据图象确定二次函数的顶点式，利用配方法将一般式化为顶点式。
2.教学难点：待定系数法求解二次函数的表达式，利用配方法将一般式化为顶点式。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握本节课的内容。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图象。
2.准备教学PPT。
3.准备练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些二次函数的图象，让学生观察并思考：这些图象有什么特点？你能从中获取哪些信息？从而引出本节课的主题——如何确定二次函数的表达式。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。
然后，进行小组间的分享和交流。
4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。
北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：抛物线形状的物体运动轨迹问题，通过建立二次函数模型，利用顶点式确定物体的最高点或最低点。
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程根的对应关系：对于初学者来说，图像与方程之间的抽象关系较难理解。
-突破方法：通过图形演示和实际操作，如绘制函数图像，让学生观察和总结图像与方程根的关系。
-二次函数顶点式的推导和运用：顶点式的推导涉及代数变换，学生可能会在此过程中感到困惑。
5.激发数学探究精神：引导学生主动探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生勇于探索、积极创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数与一元二次方程之间的关系：重点讲解二次函数图像上点的坐标特征与一元二次方程根之间的联系，强调图像的几何意义。
-举例：通过具体函数y = ax^2 + bx + c的图像，说明当y = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0的解即为图像与x轴交点的横坐标。
-掌握二次函数顶点式的形式及其推导过程：让学生掌握二次函数y = a(x - h)^2 + k的顶点坐标(h, k)和开口方向与系数a的关系。
-举例：通过变换一般式y = ax^2 + bx + c到顶点式，展示顶点的求解方法，并解释顶点在图像上的位置和意义。
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
-解决最值问题：在实际问题中，如何找到二次函数的最值；
-难点举例：如何求解二次函数在给定区间内的最大值或最小值，以及如何确定这个区间的限制条件。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
一、教学内容
北师大版九年级数学下册教案：2.1二次函数
1.二次函数的定义与一般形式；
2.二次函数的图像与性质；
- a>0与a<0时图像的特点；
-对称轴、顶点坐标；
-最值问题；
3.二次函数的顶点式与解析式的转换；
4.实际问题中的应用：最大（小）值的求解；
5.二次函数与一元二次方程的关系。
2.增加课堂互动，鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，确保教学效果。
3.课后加强个别辅导，关注学困生，帮助他们克服困难，提高自信心。
4.结合生活实际，引入更多有趣的案例，激发学生学习兴趣，提高数学素养。
-举例：给定一个抛物线的实际问题，如最大高度的求解，引导学生建立二次函数模型。
2.教学难点
-理解a、b、c对二次函数图像的综合影响：a决定开口方向，b影响对称轴位置，c决定图像与y轴的交点；
-难点举例：分析y=ax^2+bx+c中，当a、b、c的值变化时，图像如何相应变化；
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。
这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。
如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。
请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。
例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。
3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。
例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。
2.1 二次函数(教案)-北师大版数九年级下册
第1节二次函数1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.【重点】1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【难点】列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.导入一:课件出示:观察下面的函数关系式:(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.这两个函数关系式有什么相同点和不同点?【师生活动】复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.【学生活动】学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.[设计意图]通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.导入二:课件出示:赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?[设计意图]通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.课件出示:【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.【学生活动】独立思考,代表回答:(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【师生活动】观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.[设计意图]利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式.【师生活动】师生共同回忆与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金×利率×期数(时间).3.本息和=本金+利息.【学生活动】根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.解:y =100(x +1)2=100x 2+200x +100.观察y =100x 2+200x +100与y =-5x 2+100x +60000的相同点.【学生活动】通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.【教师点评】自变量的最高次数都是2.[设计意图]通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函问题1已知矩形的周长为40cm ,它的面积可能是100cm 2吗?可能是75cm 2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【师生活动】师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.解:(1)设其中一边长为x cm ,则x =-x 2+20x =100,解得x 1=x 2=10.x =-x 2+20x =75,解得x 1=5,x 2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S =x =-x 2+20x.【教师点评】只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….问题2两数的和是20,设其中一个数是x ,你能写出这两数之积y 的表达式吗?【学生活动】学生独立解答,同伴交流.解:y =x (20-x )=-x 2+20x.[设计意图]在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.二、二次函数的定义【对比观察】让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.【学生活动】观察思考后,小组交流想法,组长发言:共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.【教师引导】类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.【师生总结】二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.【师生活动】探讨a≠0的原因.[设计意图]让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.[知识拓展]理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.【思考】二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0,系数b,c可以等于0吗?【学生活动】学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.【教师点评】1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围【议一议】本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?学生讨论各题的取值范围.【教师点评】自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.[设计意图]通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y=.解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.1二次函数二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的形式,则称y是x的二次函数.一、教材作业【必做题】1.教材第30页随堂练习第1,2题.2.教材第30页习题2.1第1,2题.【选做题】教材第31页习题2.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为()A.1B.2C.3D.42.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是()A.3B.5C.-3或5D.3或-53.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是.4.一个边长为2cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式:.5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.【能力提升】6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y 与x的函数关系是()A.y=20(1-x)2B.y=20+2xC.y=20(1+x)2D.y=20+20x2+20x7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是.8.已知函数y =(m 2-m )x 2+(m -1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数,求m 的值;(2)若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样?【拓展探究】9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y 元,镜子的宽度是x m .(边框厚度忽略不计)(1)求y 与x 之间的关系式;(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.【答案与解析】1.B (解析:①y =3x -1为一次函数;②y =3x 2-1为二次函数;③y =3x 3+2x 2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y =2x 2-2x +1为二次函数.故是二次函数的有2个.)2.D (解析:根据题意,得x 2+2x -7=8,即x 2+2x -15=0,解得x =3或x =-5.)3.a ≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a +1≠0,即a ≠-1.)4.y =x 2+4x (解析:原边长为2cm 的正方形面积为2×2=4(cm 2),边长增加x cm 后边长变为(x +2)cm ,则面积变为(x +2)2cm 2,故y =(x +2)2-4=x 2+4x.)5.解:降价x 元后的销量为(20+2x )件,单件的利润为(40-x )元,故可得利润y =(40-x )(20+2x )=2(40-x )(10+x )=-2x 2+60x +800(0<x <40).6.C (解析:∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产品增加x 倍,∴一年后产品的年产量是20(1+x ),∴两年后产品的年产量y 与x 的函数关系是y =20(1+x )2.)7.-3(解析:∵y =(m -1)是关于x 的二次函数,∴m 2+2m -1=2,解得m =1或m =-3.∵m -1≠0,∴m ≠1,∴m =-3.故填-3.)8.解:(1)根据一次函数的定义,得m 2-m =0,解得m =0或m =1.又∵m -1≠0,即m ≠1,∴当m =0时,这个函数是一次函数.(2)根据二次函数的定义,得m 2-m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m ≠0且m ≠1时,这个函数是二次函数.9.解:(1)y =(2x +2x +x +x )×30+45+2x 2×120=240x 2+180x +45,所以y 与x 之间的关系式为y =240x 2+180x +45.(2)由题意可列方程为240x 2+180x +45=195,整理得8x 2+6x -5=0,即(2x -1)(4x +5)=0,解得x 1=0.5,x 2=-1.25(舍去).∴x =0.5,2x =1.答:镜子的长和宽分别是1m 和0.5m .本节课是二次函数概念的基本认识,知识比较简单,所以学生接受起来比较容易,学生通过自主探究基本上可以掌握本节课的重点知识.本节课的难点是通过实际应用问题认识二次函数的概念,所以在教学时,始终坚持以应用意识为主线,强调观察与思考,分析与归纳.在课堂上,从实际出发提出问题,引导学生从不同的角度分析问题,提出解决方案,并且互相交流,在学习数学的同时培养合作交流的意识.对于少部分基础不太好的学生,进行分层教学,多多引导他们运用类比的思想方法探究二次函数的概念,收到了非常好的效果.对于少部分基础不太好的学生估计不足,对他们的学习状况过于乐观,他们对于函数概念的理解比原来想象的要差,所以在复习回顾这个环节上还应加大力度.要在课前布置复习作业,要求学生复习函数的概念以及正比例函数、一次函数和反比例函数的相关内容,为新课学习做好知识储备.随堂练习(教材第30页)1.解:y=-+3x2与s=1+t+5t2是二次函数.2.解:(1)y=π(1+x)2-π·12=πx2+2πx.(2)当x=1时,y=π·12+2π·1=3π(cm2).当x=时,y=π·()2+2π·=2π(1+)(cm2).当x=2时,y=π·22+2π·2=8π(cm2).习题2.1(教材第30页)1.从左到右依次填:4.9,19.6,44.1,78.4,122.5.2.答案不唯一,如:篮球运动员投篮时,篮球出手后的高度与运行的时间之间是二次函数关系.3.解:(1)根据题意列式为S=2x2+4x(x+0.5)=6x2+2x.(2)y=5(6x2+2x)=30x2+10x.4.解:y=(x-20)t=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400.1.对于本节课知识的学习,学生可以采用自主探究加合作交流的方法,利用“由一般到特殊”的方法去探究新知.2.利用类比一次函数、反比例函数概念的方法得出二次函数的概念及关系式,要重点把握二次函数概念的几个注意事项.在运用二次函数关系式表示数量关系时,要找出题目中的等量关系,这是解决问题的关键.已知函数y=(m2+m).(1)当函数是二次函数时,求m的值;(2)当函数是一次函数时,求m的值.〔解析〕(1)这个函数是二次函数的条件是m2-2m+2=2并且m2+m≠0.(2)这个函数是一次函数的条件是m2-2m+2=1并且m2+m≠0.解:(1)依题意,得m2-2m+2=2,解得m=2或m=0.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1,因此m=2.(2)依题意,得m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.又m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.因此m=1.[解题策略]本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式.。