对布尔代数中卡诺图的研究
离散数学中的布尔函数与卡诺图
离散数学是数学的一个分支，研究的是离散结构和离散型对象的性质。
其中，布尔函数是离散数学中的重要概念之一，而卡诺图则是布尔函数的一种可视化工具和简化方法。
布尔函数是指由布尔代数中的逻辑运算（如与、或、非）构成的函数。
它将一组布尔变量映射到布尔值的集合上。
布尔函数的输入和输出都只能是0（假）和1（真）。
布尔函数在电子电路设计、计算机科学、密码学等领域有着广泛的应用。
在离散数学中，我们通常用真值表来表示布尔函数，并通过逻辑运算的组合来描述其性质。
然而，随着布尔函数的规模增大，真值表的表示变得复杂而不直观。
卡诺图（Karnaugh Map）成为一种常用的工具，用于优化和简化布尔函数的表示。
卡诺图是由一张由2的幂次方的格子组成的表格构成，表格的每个格子表示布尔函数的一个可能输入组合。
通过将真值表中的不同输入组合映射到卡诺图的格子上，并将对应的输出值填入格子中，我们可以更加直观地观察和分析布尔函数的模式。
利用卡诺图，我们可以进行布尔函数的最小化和化简操作。
最小化操作是指通过合并相邻格子中具有相同输出值的格子，从而得到一个更简洁的布尔函数表示。
而化简操作是指通过合并相邻格子中具有相同输入变量的格子，从而得到一个更简洁的真值表表示。
卡诺图的使用规则是相邻格子之间仅有一个变量取值不同。
通过观察这种变化的模式，可以找到多个相邻格子可以合并的可能。
通过将相邻格子合并，我们可以得到一个更简化的布尔函数或真值表表示，从而减少计算复杂度。
卡诺图的优点是直观且易于理解。
通过观察格子的组合模式，我们可以更容易地理解和分析布尔函数的性质。
此外，卡诺图还可以用于表示多个布尔函数之间的关系，进一步帮助我们进行逻辑分析和优化。
总结来说，离散数学中的布尔函数与卡诺图是相辅相成的概念。
布尔函数作为离散数学中的重要概念，用于描述逻辑运算和电子电路的行为。
而卡诺图作为布尔函数的可视化工具和简化方法，帮助我们更直观地观察和分析布尔函数的模式，进而进行最小化和化简操作。
卡诺图 集成电路 外特性
= ∑m(0,1,3,5,6,9,11,13)
(2)填：把1填入到卡诺图中与这些最小项对应的方格内
F CD 00 AB 00 1 0
01
11 10 01 11 10 2
1 1
15 1 13 19
13
7
15
4
12 8
16
14 10
卡诺图表示的逻辑函数
111
1.4.3 卡诺图化简逻辑函数
★提示： ①逻辑函数为最小项表达式，则省变直接填；
C AB 00 01 11 0 0 2 1 1 3 7 5
1、定义：卡诺图是最小项按一定规律排列而成的方格图。
C
AB 00
0 ABC m0 ABC m2 ABC m6
ABC m4
1
ABC m1 ABC m3
ABC m7 ABC m5
6
4
三变量 (a)
01 11 10
三变量 (b)
10
2、结构与特点 (1)二进制数据标注：
回顾
利用布尔代数化简逻辑函数 基本公理 基本规则 化简方法
并项法 吸收法 消去法 配项法
最简形式
第一章 开关理论基础
数制与编码 逻辑函数 布尔代数 卡诺图 集成门电路的外特性
1.4.1 最小项的基本概念
一、定义及其性质
1、定义：n变量逻辑函数中，m为包含n个因子的乘积 项，且n个变量均以原变量或反变量的形式在m中仅出 现一次，则m为该组变量的最小项。最小项的个数为2n。 最小项可以编号，记作mi。
2、化简步骤
变
填
圈
简
表示逻辑函数
化简逻辑函数
多变量卡诺图化简的算法实现
多变量卡诺图化简的算法实现汪靖;林植【摘要】提出了一种对包含任意多个变量的卡诺图进行化简的算法,给出了算法整体设计流程图以及关键函教伪代码.借助计算机实现多变量卡诺图的化简,为后续工程系统的设计分析提供了可靠依据.【期刊名称】《智能计算机与应用》【年(卷),期】2010(000)002【总页数】3页(P75-77)【关键词】布尔代数式;多变量;卡诺图;算法【作者】汪靖;林植【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】TP3021 算法介绍布尔代数式化简的原则是逻辑电路所用的门电路最少，各个门电路的输入端最少，表现在布尔代数式化简中就是使用尽可能少的布尔变量表示布尔代数式。
使用卡诺图化简得到的最简布尔代数式可以用与或式、或与式和无反变量形式表示[1]。
仅以与或式为例进行算法描述，其他两种形式可以在此基础上稍加修改。
1.1 化简原理假设需化简的逻辑表达式A中含有m个逻辑项ai（i为整数，0≤i≤m），其中ai 由若干个布尔变量组成，记为x0x1…xn。
例如：逻辑表达式图1 逻辑表达式A的卡诺图卡诺图化简的基本原理是合并A中所有相邻项，使得布尔变量数最少。
所谓相邻项是指在两个逻辑项中，除某个对应位布尔量相反外，其余对应位都相同的项[2,3]。
例如，逻辑项a0＝0000和a1＝0001相邻，可以合并为000*，合并时相异位用“*”作标记，从组成形式上可以看出000*消去了一个逻辑变量。
1.2 算法分析根据卡诺图的标注方式和化简表达式的基本原理，算法分四个步骤实现。
（1）求出各项的相邻项。
从a0开始，依次求出ai在A中出现的各相邻项。
（2）合并相邻项。
首先将ai依次与其各相邻项aj合并新的逻辑项bt，此处相异位可以是0与1相异、0或1与*相异。
其次，将ai和aj作为bt的源项。
如果ai或aj本身已由其他逻辑项合并而来，则将ai或aj的源项替代ai或aj。
最后，为了与未合并项区别，将已参与合并的逻辑项ai、aj及各自源项的合并次数分别增加1。
卡诺图应用研究
卡诺图应用研究摘要在对卡诺图的应用上，由于很多课本都很零散地作了分析，而且是本着用到提到，不用不提的思想。
为此，本文针对卡诺图应用研究作出了较为系统的总结。
采取由易到难，由一方面到多方面的应用分析。
通过系统总结，可以让读者更为直观，全面的认识卡诺图，了解卡诺图，应用卡诺图。
关键词卡诺图；逻辑函数；最小项Abstract: this paper summarized the applied research of the Karnaugh map more systematically. This paper analyzed the application from easy to difficult, on the one hand to a wide range. Systematic summary to give readers a more intuitive and comprehensive understanding of the Karnaugh map for the Karnaugh map, the application Karnaugh map.Key words: Karnaugh map; logic function; minterm 中图分类号：TP33文献标识码：A文章编号：2095-2104（2012）02-随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。
目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。
因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。
在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图的应用作出进一步的分析与讨论。
1 逻辑函数卡诺图运用代数法化简逻辑函数时，必须熟练掌握逻辑代数的基本公式并具备一定的技巧。
对布尔代数中卡诺图的研究
第25卷第3期合肥工业大学学报(自然科学版)Vol.25No.3 2002年6月JOURN AL OF HEFEI U NIVERSITY OF T ECH NOLOGY Jun.2002对布尔代数中卡诺图的研究方志鸣(黄山学院物理系,安徽黄山 245021)摘 要:由于卡诺图具有几何相邻与逻辑相邻之间的良好对应关系,故在布尔代数中得到广泛应用,文章分析了传统卡诺图在简化多变量(n>5)函数时,其对应关系所面临的困难,提出三维卡诺图及卡诺图阵列的概念。
采用适当的排列方式可将图中几何相邻与逻辑相邻的对应项增加到6个以上,为了使其具有实用性,又引入一定的画图规则,对三维卡诺图加以改进,并举例说明它们的使用方法。
结果表明,采用该方法对六变量至八变量的逻辑函数进行综合化简时,仍具有简便直观、可靠性高及易操作等优点,且有较好的实用价值。
关键词:几何相邻;逻辑相邻;三维卡诺图;卡诺图阵列中图分类号:O153.2 文献标识码:A 文章编号:1003-5060(2002)03-0455-04Research on Karnaugh map in Boolean algebraFANG Zhi-ming(Dept.of Physics,Huan gshan College,Huangsh an245021,China)Abstract:Karnaug h map can be used larg ely in Boo lean alg ebra because it has fine correspondence be-tw een adjacency on g eo metr y and adjacency on log ic.In this paper,the difficulty of co rrespondence in sim plifying the m ultiple-variable(n>5)function w ith the traditional Kar naugh map is analyzed,and the concepts o f three-dimensional Karnaug h map and Karnaugh map array are proposed.By using pr oper range,the correspondence term s betw een adjacency on geom etry and adjacency on logic can in-crease to six or more in the map.Some pictorial rules are adopted,and the three-dim ensional Kar-naugh map is improved for practicality o f the map,and the usag e o f the im pro ved map is illustrated w ith examples in the paper.T he lo gic functions of six to eight variables ar e simplified and sy nthesized by using the improved m ap.The r esult show s that the presented m ethod has the advantages of sim-plicity,intuition,g ood reliability and easy operation,so it is valuable in practical use.Key words:adjacency on geometry;adjacency on logic;three-dimensional Kar naugh map;Karnaugh map array在有关文献[1～4]中,使用卡诺图时只讨论到四变量为止,因为通常画出的五变量及五变量以上的卡诺图用来化简逻辑函数时,已逐渐失去了简便直观的优点,故应用较少。
数电逻辑代数化简技巧
数电逻辑代数化简技巧
数电逻辑代数化简是在数字电路设计中常用的一种技巧，通
过化简布尔代数表达式，可以简化电路的结构，减少器件的数量，提高电路的性能。
以下是数电逻辑代数化简的一些常见技巧：
1.逻辑运算律：逻辑运算律是化简布尔代数表达式的基础，
包括交换律、结合律、分配律、德摩根定律等。
熟练掌握这些
运算律可以帮助我们快速进行化简。
2.卡诺图法：卡诺图是一种图形化的工具，用于帮助我们分
析和化简布尔代数表达式。
通过将变量的状态进行排列组合，
并将对应结果写入卡诺图中，可以找出表达式中的最小项或最
小项组合，从而进行化简。
3.最小项和最大项：在代数化简中，我们常常使用最小项和
最大项来表示布尔代数表达式。
最小项是指在布尔代数表达式
中只有一个变量为真，其他变量为假的项。
最大项则是在布尔
代数表达式中只有一个变量为假，其他变量为真的项。
4.公式规则：我们可以根据特定的公式规则进行化简。
例如，若两个最小项仅相差一个变量的状态，则可以使用合并法则将
它们化简为一个更简单的布尔表达式。
5.真值表法：对于复杂的布尔表达式，我们可以先构造出真值表，然后根据真值表的规律进行化简。
这种方法适用于表达式较为复杂的情况，但相对于其他方法来说，计算量较大。
总而言之，数电逻辑代数化简是一种对布尔代数表达式进行简化的方法，在数字电路设计中有着重要的作用。
准确应用这些化简技巧，可以帮助我们简化电路结构，提高电路性能，以及减少成本和故障率。
第七讲 卡诺图
000 010 110 011 111
m0 m2 m6 m3 m7
卡诺图
卡诺图是真值表的另一种形式，可以帮助是图形 化相邻
– 有利于使用结合定理
A 0 1
0 1
A 0 1 0
2 3
B 0 1 0 1
F 1 0 1 0
B
1 1 0
0 0 1 1
12
2和3个变量的卡诺图
A A B ABC ABC ABC ABC
价廉物美的计算设备人的计算方法计算方法描述输入输出行为数据编码真值表优化的组合电路和之积pos积之和sop布尔函数开关电路逻辑门电路逻辑门的实现逻辑映射综合分析应用问题文字规范说明开关电路andornandorandnor其它andorinv功能描述开关函数真值表时序图其它soppos最小项范式最大项范式开关函数化简
23
例3的卡诺图
f(A,B,C,D) = m(1,2,4,6,9)
Step 2 AB CD
0
A 01 11
12 8
00
4
10 Step 1
00
1 5
1
13 9
01
3
1
7 15 11
1 D
11 C 10
2 6 14 10
1
1 B
Step 3
24
卡诺图化简指导原则
n变量卡诺图中的每个单元都有n个逻辑相邻的单 元。 单元可以被合并为大小为 2,4,8,…,2k 的组。 每个被合并组中包含的所有单元都对一些变量有 相同的值。 合并尽可能多的单元，这将导致组所对应的项内 字母的个数最少（扇入）。 尽可能用最少的组覆盖所有的最小项，这将导致 结果中包含最少的积项（门数和最后一级或门的 扇入）。 应该从最“孤立”单元开始。
离散数学中的布尔函数与卡诺图简化
在离散数学中，布尔函数与卡诺图简化是一种重要的方法，用于简化复杂的布尔函数表达式。
布尔函数是由逻辑运算符组成的函数，其值只能为0或1。
而卡诺图是一种图形化的工具，用于展示布尔函数的真值表和简化布尔函数的过程。
通过利用布尔函数和卡诺图简化方法，我们可以将复杂的逻辑问题转化为简单的布尔运算，提高了逻辑电路设计的效率。
首先，我们需要了解布尔函数的基本概念和运算规则。
布尔函数由不同的逻辑运算符组成，如与（AND）、或（OR）、非（NOT）等，通过这些运算符可以将多个输入变量映射到一个输出变量。
布尔函数的真值表展示了各种输入组合对应的输出结果。
但是，当布尔函数的输入变量较多时，真值表会变得非常庞大，难以进行分析和简化。
这时，卡诺图的方法就派上了用场。
卡诺图是由一些方格组成的二维矩阵，在每个方格中填写布尔函数的真值。
卡诺图通过将相邻的1组合成最大的尽量少的项来简化布尔函数。
相邻的1指的是在卡诺图中相邻的方格上的1。
我们可以通过观察并合并相邻的1来减少布尔函数的项数，从而简化布尔函数。
这种简化过程是基于布尔函数的特性和运算规则进行的。
卡诺图简化方法的核心思想是找到最小项或最大项的组合，使得布尔函数的项数减少到最低。
布尔函数的项数越少，逻辑电路设计的复杂度就越低，设计效率就越高。
通过合并相邻的1，我们可以将多个项合并成一个更简单的项，从而减少布尔函数的项数。
卡诺图的布局方式影响了项的合并方式，实际中有两种典型的布局方式：标准布局和格雷布局。
标准布局是将卡诺图每行或每列的邻接位的不同变量值用灰码表示，而格雷布局是将卡诺图每行或每列的相邻位的不同变量值用灰码表示。
使用不同的布局方式会对卡诺图的合并结果产生一定的影响，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的布局方式。
布尔函数的简化不仅可以提高逻辑电路设计的效率，还可以减少电路的面积和功耗。
随着电子技术的不断发展，电路的面积和功耗成为了设计者需要考虑的重要因素。
通过使用布尔函数和卡诺图简化方法，可以将复杂的逻辑电路简化为更小、更节能的电路，从而提高整体系统的性能和可靠性。
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第25卷第3期合肥工业大学学报(自然科学版)Vol.25No.3 2002年6月JOURN AL OF HEFEI U NIVERSITY OF T ECH NOLOGY Jun.2002对布尔代数中卡诺图的研究方志鸣(黄山学院物理系,安徽黄山 245021)摘 要:由于卡诺图具有几何相邻与逻辑相邻之间的良好对应关系,故在布尔代数中得到广泛应用,文章分析了传统卡诺图在简化多变量(n>5)函数时,其对应关系所面临的困难,提出三维卡诺图及卡诺图阵列的概念。
采用适当的排列方式可将图中几何相邻与逻辑相邻的对应项增加到6个以上,为了使其具有实用性,又引入一定的画图规则,对三维卡诺图加以改进,并举例说明它们的使用方法。
结果表明,采用该方法对六变量至八变量的逻辑函数进行综合化简时,仍具有简便直观、可靠性高及易操作等优点,且有较好的实用价值。
关键词:几何相邻;逻辑相邻;三维卡诺图;卡诺图阵列中图分类号:O153.2 文献标识码:A 文章编号:1003-5060(2002)03-0455-04Research on Karnaugh map in Boolean algebraFANG Zhi-ming(Dept.of Physics,Huan gshan College,Huangsh an245021,China)Abstract:Karnaug h map can be used larg ely in Boo lean alg ebra because it has fine correspondence be-tw een adjacency on g eo metr y and adjacency on log ic.In this paper,the difficulty of co rrespondence in sim plifying the m ultiple-variable(n>5)function w ith the traditional Kar naugh map is analyzed,and the concepts o f three-dimensional Karnaug h map and Karnaugh map array are proposed.By using pr oper range,the correspondence term s betw een adjacency on geom etry and adjacency on logic can in-crease to six or more in the map.Some pictorial rules are adopted,and the three-dim ensional Kar-naugh map is improved for practicality o f the map,and the usag e o f the im pro ved map is illustrated w ith examples in the paper.T he lo gic functions of six to eight variables ar e simplified and sy nthesized by using the improved m ap.The r esult show s that the presented m ethod has the advantages of sim-plicity,intuition,g ood reliability and easy operation,so it is valuable in practical use.Key words:adjacency on geometry;adjacency on logic;three-dimensional Kar naugh map;Karnaugh map array在有关文献[1～4]中,使用卡诺图时只讨论到四变量为止,因为通常画出的五变量及五变量以上的卡诺图用来化简逻辑函数时,已逐渐失去了简便直观的优点,故应用较少。
本文将卡诺图加以改进,可应用于五变量以上的逻辑函数的化简,而且不失其直观和简便的优点。
收稿日期:2001-08-14;修改日期:2001-11-04作者简介:方志鸣(1947-),男,安徽歙县人,黄山学院讲师.1 将卡诺图扩展成空间图形同一逻辑函数的2个最小项中,若仅有1个变量不同而其余变量相同时,则称它们是逻辑相邻的。
即1个n 变量的逻辑函数,对于它的任何一个最小项,当且仅当其中某一变量求反后,就可得到这个最小项的一个逻辑相邻项。
由于每个最小项都包含有n 个变量因子,所以每个最小项都可以有n 个逻辑相邻项,卡诺图在排列变量各种取值组合时,是按循环码规律进行,即相邻两组取值组合之间只有1个变量的值不同,故在卡诺图中任何几何位置相邻的最小项在逻辑上也相邻,从而可以合并化简,这种对应关系一目了然,非常直观。
但是,这种直观只能对四变量以下的卡诺图而言,因为目前给出的都是二维平面卡诺图,这种图中的某一小方格(对应于1个最小项)最多只有上、下、左、右4个几何相邻的小方格,正好等于1个四变量最小项的4个逻辑相邻项,而五变量以上的卡诺图,有些逻辑相邻的小方格并不相邻接,使其几何相邻与逻辑相邻之间失去了良好的对应关系[2,5],这是利用卡诺图化简时所面临的困难。
为了解决这个问题,须对传统的卡诺图作技术处理[6],经过折叠翻转等处理后,将六变量平面卡诺图[2]变成1个有4层方格图重叠在一起的空间图形,称之为三维卡诺图,因体现三维方向上的互换性,三维卡诺图可用1个4×4×4的正方体表示,如图1所示。
应注意与最小项对应的是每个小方块而不是小方格,显然,每个小方块(最小项)就多出前后2个相邻块,共有6个几何相邻块,经处理得到的三维卡诺图,在相互垂直的A B ,CD ,EF 三维方向上最小项均按循环码规律排列,确保了几何相邻与逻辑相邻的对应关系。
然而,图1的画法在使用中还有问题,即在A B 方向上,处于A B =01,11,10那几层图形上的大多数小方块被A B =00的这一层图形所遮盖,无法填写和观察合并。
为了便于操作,将卡诺图仍画成4×4的平面形式,但是规定每个小方格包含有逻辑函数在A B 方向的4个最小项,所以它仍旧是三维的,为了防止在观察和画圈合并时产生混淆,可将这4个最小项沿对角线方向填写。
按照这种约定,图1变成了图2所示的形式,为简便起见,图2某方格子中斜向填写的10、26、58和42实际上代表的是图1中的m 10,m 26,m 58和m 42这4个最小项。
图1 三维形式的卡诺图 图2 改进后的三维卡诺图2 用三维卡诺图化简多变量的逻辑函数利用三维卡诺图化简逻辑函数时,可以采用卡诺图画圈合并最小项的方法,只是应注意每个最小项除了有上、下、左、右4个几何相邻项以外,还多出了对角线方向(即前后)的2个几何相邻项,所以,合并时必须在A B ,CD ,EF 三个方向上同时观察和画圈,举例说明其用法。
456 合肥工业大学学报(自然科学版) 第25卷例1 f 1(A ,B ,C ,D ,E )=∑m (4,5,6,7,13,15,20,21,22,23,25,27,29,31)解 这是五变量的逻辑函数,所以三维卡诺图在垂直于纸面的方向上只有A =0和A =1两层图形,如图3所示。
对于序号在16以上的最小项,可以填在小方格的右上方,如果1个小方格中,只有一部分最小项取值是1,为了便于观察和画圈,对于那些取值为0的最小项最好也填入0,如卡诺图最下面一行中的2个小方格一样。
容易看出,第二行的4个小方格中有8个最小项相邻且可合并,用1个类似于平行四边形的圈画出,表示是在与纸面垂直的平面内进行操作,合并得B -C 。
还有,在中央的4个方格内有8个最小项也可以合并,这种合并是在与纸面平行和垂直的几个平面上同时进行,可以用1个类似于立方体六角形的圈画出,合并得CE 。
另外,在卡诺图的中下部,A =1这一层图形上有4个最小项可合并,因为是在与纸面平行的平面上进行,所以用1个四方形的圈画出,合并得A BE 。
最后结果为f 1=B -C +CE +A BE 例2 f 2(A ,B ,C ,D ,E ,F )=∑m (0,1,3,7,16,17,23,24,33,35,39,55)+∑d(10,18,19,26,51,56) 解 同理,用卡诺图可化简六变量函数,本函数中的约束项用“X ”标示,参照前面的约定在三维卡诺图中填写和画圈合并,如图4所示。
这里要注意的是位于A B =01这一层图形中的四角上有4个最小项可以合并,化简结果得f 2=C -EF +A -C -D -E -+A -B D -F -+B -C -D -F 图3 三维卡诺图化简五变量函数 图4 三维卡诺图化简六变量函数3 用卡诺图阵列实施化简由Shannon ′s theor em [7]推导,对n 变量二值逻辑函数中的某一变量x i 进行展开,可将该函数分解为2个(n -1)变量的子函数,即f (x 0,x 1,…,x n -1)=x i f (x 0,x 1,…,x i -1,1,x i +1,…,x n -1)+x -i f (x 0,x 1,…,x i -1,0,x i +1,…,x n -1) 如果n >6,经逐步递推,可以将其分解为2n -6个六变量的子函数,因此n 变量(n >6)函数的图形可以用2n -6个六变量的子卡诺图表示,形成一个卡诺图阵列。
一般情况下,七、八变量函数的卡诺图阵列分别有2个和4个六变量的子图。
以七变量函数为例,其展开式为f (A ,B ,C ,D ,E ,F ,G )=A -f (0,B ,C ,D ,E ,F ,G )+A f (1,B ,C ,D ,E ,F ,G )=A -f 0(B ,C ,D ,E ,F ,G )+A f 1(B ,C ,D ,E ,F ,G ) 易知,每个最小项除了在自己所在的子卡诺图中有6个逻辑相邻项之外,还在另一个子卡诺图的对应位置上有1个逻辑相邻项,它们也可以合并。
对这样的卡诺图阵列简化时,除了按三维卡诺图的规则进行操作外,还应在2个子卡诺图上找出相应位置的乘积项进行合并,才能得到最简结果[2,6]。
457第3期 方志鸣:对布尔代数中卡诺图的研究例3 f =A -B -C -D -F -+A B -D -E -G +A B -F G +A -B -C D -E -G +A -B -C -FG -+B -C -D -F G 解 画出七变量函数的2个子卡诺图f 0(A =0)和f 1(A =1),将有关变量值分别填入,如图5所示。