逻辑函数卡诺图化简
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理
1.“相邻”的判断
⑴相邻最小项：任意两个最小项中只有一个变量不同(同一变量名但一个为原变量，另一个为反变量)，其余变量完全相同，在图上反映的是两个相邻的小方格。
⑵卡诺图相邻小方格：是指只隔一条边界的两个小方格。
在n变量的卡诺图上，每个小方格具有n个相邻的小方格，它们是：•具有共同边界的小方格(几何相邻)
•同一幅卡诺图中分别处于行(或列)两端的小方格
(相对相邻)
•在相邻两幅卡诺图中，处于相同位置的两个小方格
(相重相邻)
2画卡诺圈的原则
寻找相邻块的目的是为了在图上进行函数化简。
•任何2i个（i≤n）标1的相邻小方格均可画在一个卡诺圈内；
•任何2i个标1的非相邻的小方格不能画入一个卡诺圈内，它们至少画在两个圈内。
下面看几种情况的例子：。
第四讲 逻辑函数的卡诺图化简法
=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）
（三）卡诺图的结构 （1）二变量卡诺图 ）
（2）三变量卡诺图 ）
B m0 ABC A m4 ABC m1 ABC m5 ABC C (a) m3 ABC m7 ABC m2 ABC m6 ABC A 0 1 0 4 1 5 3 7 2 6 BC 00 01 11 10
总之， 个相邻的最小项结合， 个取值不同的变量而合并为l 总之，2n个相邻的最小项结合，可以消去n个取值不同的变量而合并为l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。 =0,1,2,3…… 个相邻项。 ……） 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2 要特别注意对边相邻性 四角相邻性。 对边相邻性和 要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 （2）圈的个数尽量少。 圈的个数尽量少。 （3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1 小项。 小项。 （4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格， 是多余的。 是多余的。
知识点导入
通过第三讲的学习，我们已经学会了如 何使用代数法来化简逻辑函数，从而使逻 辑电路达到最简洁合理。 这一讲我们将学习逻辑函数的另一种化 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 简方法——卡诺图化简法，同样可以得到 最简逻辑函数，并设计出最简逻辑电路图。
数字逻辑基础卡诺图化简
101
0
110
0
1 2020/8/14 1 1
1
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练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填
入1，其余的小方块中填入0。
例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
① 无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可 以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的 取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这 些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项， 在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用 ∑d（ ）表示。
例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～ 1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
复习：
真值表--逻辑表达式（化简）--逻辑电路图
例：三变量表决逻辑 Y=？ 逻辑图？
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逻辑函数的卡诺图化简法2
逻辑函数的卡诺图化简法211.6 逻辑函数的卡诺图化简法2【预习】第三册课本第26⾄28页内容.【预习⽬标】了解逻辑函数的卡诺图的概念，了解卡诺图作图的作图⽅法及注意点. 【导引】1．卡诺图：卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则（⼏何位置上相邻的⼩⽅格只有⼀个因⼦互为反变量，⽽且⽔平、垂直⽅向的两端也如此）排列⽽成的⽅格图，即每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项．对于含有两个逻辑变量（记为A,B ）的逻辑函数,⽤00表⽰B A ?，01表⽰B A ?，10表⽰B A ?，11表⽰B A ?，其卡诺图的形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有三个逻辑变量（记为A,B,C ）的逻辑函数，可以仿照两个变量的符号表⽰⽅法，得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有四个逻辑变量（记为A,B,C,D ）的逻辑函数，仿照上⾯的⽅法可以得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.【试试看】1.卡诺图的每⼀个⼩⽅格对应着函数的（） A ．最⼤项B ．最⼩项C ．最简函数项D ．输⼊项2.变量为A 、B 、C 的逻辑函数其最⼩项有个，对应的卡诺图⼩⽅格有个.【本课⽬标】了解卡诺图的概念，能根据给定的逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【重点】卡诺图的概念，给定逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【难点】由逻辑函数画卡诺图. 【导学】任务1：学会画出逻辑函数对应的卡诺图.【例1】例1 画出逻辑函数()C B A C B A BC A C AB ABC C B A f ++++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C AB C B A BC A ABC C B A f +++=,,对应的卡诺图．【例2】画出逻辑函数()C A C B ABC C B A f ++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C B A C B A A C B A f ++=,,对应的卡诺图．【检测】画出逻辑函数(),,f A B C AB BC AB =++对应的卡诺图．【导练】⼀、选择题1.关于作卡诺图说法错误的是（）A.卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则排列⽽成的⽅格图B.根据变量数的不同，卡诺图可画成2⾏2列、2⾏4列、4⾏4列的形式C.三个变量的卡诺图第⼀⾏的4个取值依次为 00、01、10、11D.卡诺图中每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项2. 逻辑函数C B A C B A C AB Y ++=的卡诺图为（）A. B.C. D.3.最⼩项D C AB 的逻辑相邻项为（）A. D C B AB. ABCDC. D ABCD. D C B A ⼆、填空题4.将逻辑函数C B A B A Y +=展开为最⼩项表达式为．5.将逻辑函数()C B A Y +=展开为最⼩项表达式为．三、解答题6. 画出逻辑函数()CD B A D C B A CD B A D C AB D C B A f +++=,,,对应的卡诺图．7. 画出逻辑函数()C B C B C A C A C B A f +++=,,对应的卡诺图．。
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
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(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
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② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
6逻辑函数的卡诺图化简方法
逻辑函数的卡诺图表示法
• 实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方 式表示出来
• 以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项， 并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的 两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变 量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡 诺图。
1.表示最小项的卡诺图
– 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子 – 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消
去两对因子 – 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子
两个相邻最小项可合并为一项， 消去一对因子
用卡诺图化简函数
• 化简步骤： ------用卡诺图表示逻辑函数 ------找出可合并的最小项 ------化简后的乘积项相加 （项数最少，每项因子最少）
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
A D
练习
2.7具有无关项的逻辑函数及其化简 2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
• 约束项 • 任意项
在逻辑函数中，对输入变量取值的 限制，在这些取值下为1的最小项称 为约束项
• 卡诺图化简的原则:
– 化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即 覆盖图中所有的1。
– 乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。 – 每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。
例：
Y ( A, B,C) AC AC BC BC
BC A
00
0
1
01 1 1 1 0
例：
Y ( A, B,C) AC AC BC BC
AB AC BC
AC AB BC
用卡诺图化简或——与表达式
用卡诺图化简或——与表达式引言：随着电子技术的飞快发展，卡诺图已经变成了逻辑设计中十分重要的数学工具。
卡诺图因为它能用图形将复杂的逻辑函数形象直观的表示出来。
所以，卡诺图在数字电子技术当中应用十分的广泛。
数字电子技术当中的逻辑函数是“或”、“与”、“非”复合而成，所以使用卡诺图分析逻辑函数是具有现实意义的。
1.使用卡诺图的优点化简或——与函数可以使用卡诺图化简法和公式分析法来进行化简。
但是在现实当中的逻辑函数化简当中，逻辑函数可能十分复杂，化简需要熟记大量的基本公式。
不仅如此还需要能够灵活巧妙的使用基本公式、方法，所以使公式化简法显得十分繁琐，所需的技巧性十分强。
但是使用卡诺图时不仅可以用于多输入变量的逻辑函数化简，还可以用图像来直观、快速表示出最简表达式，所以卡诺图是一种十分实用的化简方法。
2. 卡诺图2.1卡诺图概述一个逻辑函数的卡诺图就是讲此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，从此方格图称为卡诺图。
卡诺图的实质就是真值表的图形化，使得最小项排列得更紧凑，更便于化简。
卡诺图中最小项的排列方案不是惟一的；变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量；各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
对于n个变量的逻辑函数有2^n个最小项。
如果把每个最小项用一个小方格表示，再讲这些小方格按格雷码顺序排列，就可以构成n个变量的卡诺图。
以4变量为例的卡诺图表一2.2卡诺图特点卡诺图的特点是：几何位置相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。
即相邻的两个最小项只有一个变量不同，这是用卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
正如表一中m4与m5两个相邻相中只有D与非D两的差别。
2.3卡诺图化简逻辑函数依据卡诺图具有相邻性，若两个相邻的方格均为1，则这两个最小项之和有一个变量可以被消去。
以此为依据通过把卡诺图上相邻最小项的相邻小方格圈起来进行合并，达到用“与”项来代替。