逻辑函数的卡诺图化简
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
7.4.5 逻辑函数的卡诺图化简_电子技术_[共3页]
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数字电路基础 120 第7章 A ACD CE DE =+++（吸收律） A CD CE DE =+++（吸收律） A CD (C =+++A CD CDE =++（摩根定律） A CD E =++（吸收律） 例7.12 化简逻辑式 Y B(ABC AB ABC)=++ 解： Y B(ABC AB ABC)=++B[AB(C C)AB]++B(AB AB)+（吸收律） AB =（吸收律） 配项法与合项法相反，就是给某个与项乘上A A +，以寻找新的组合关系，使化简继续进行。
例7.13 化简逻辑式Y AB BC BC AB =+++ 解： Y AB BC BC AB =+++ AB(C C)BC(A A)BC AB =+++++（配项法） ABC ABC ABC ABC BC AB =+++++(ABC BC)AC(B B)ABC AB =+++++ （合并）BC AC AB =++（吸收律） 7.4.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的代数法化简法由于没有统一的规范，通常需要个人的经验和技巧。
因此，对于较复杂的逻辑函数用代数法化简往往很麻烦，而且化简的逻辑函数是否为最简式有时也不容易判断。
下面介绍的逻辑函数化简方法是由美国工程师卡诺（Karnaugh ）在1953年首先提出的，故称为卡诺图法。
利用卡诺图化简逻辑函数比较直观方便，容易化为最简形式。
因此，在逻辑电路设计中被广泛应用。
1．最小项和最小项表达式（1）最小项的概念。
最小项：n 个变量X 1，X 2，…X n 的最小项，是n 个变量的逻辑乘，每一个变量既可以是原变量X i ，也可以是反变量X i 。
每一个变量均不可缺少。
如有A ，B 两个变量时，最小项为：AB ，AB ，AB ，AB ，共有22 =4个最小项。
以此类推，3个变量就有8个最小项；4个变量有16个最小项。
最小项用小写字母m 表示，它们的下标的数字为二进制数相对应的十进制数的数值。
逻辑函数的卡诺图法化简
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26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
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1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
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AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
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BC
A
00 01 11 10
0
11 1
逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑根底补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比拟明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比拟容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项〔1〕定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F 〔A ，B 〕 〔2个变量共有4个最小项B A B A B A AB 〕Y=F 〔A ，B ，C 〕 〔3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC 〕结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表〔2〕最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。
〔3〕最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出以下函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++=3567m m m m +++例2.写出以下函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
4．卡诺图〔1〕．卡诺图及其画法：把最小项按照一定规则排列而构成的方格图。
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第5讲 逻辑函数 例1. 作出逻辑函数F（A,B,C,D）=∑m（1,3,6,7）对的应卡的诺卡诺图图化。简
解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为1、3、6、7的小方格中 填 写 1 ， 其 余 小 方 格 中 填 写 0 ， 得 到 逻 辑 函 数 F（A,B,C,D）=∑m （1,3,6,7）的卡诺图如下。
4. 卡诺图化简逻辑函数
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
一般规则：2n个相邻最小项构成的一个矩形框可合并为一项，该项仅含有这 些最小项中的公共因子，其余n对以原变量和反变量形式出现的因子均可消去。
卡诺圈包含值为1的最小项的数目必须是2n（n=1，2，3…）。
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内容：逻辑函数的卡诺图化简法
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
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目的与要求： 掌握卡诺图的填写方法； 掌握最小项的卡诺图表示； 熟练运用卡诺图化简逻辑函数。
重点与难点： 重点：用卡诺图表示逻辑函数； 用卡诺图化简逻辑函数； 具有无关项的逻辑函数的化简。 难点：卡诺图填写； 具有无关项的逻辑函数的化简。
在画卡诺图时，通常将原变量用“1”表示，反变量用“0”表示， 将变量组合标注在大方格的左上角，在大方格的左边和上边标注变量 组合的取值，小方格中只需标出对应最小项的编号就行了。
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第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
1~5变量逻辑函数的卡诺图 n变量的函数有2n个最小项，卡诺图上有2n个小方格，每个最小项有 n个最小项与之相邻。由于两个相邻最小项只有一个变量不同且互为反 变量，因而两个相邻最小项合并后可以消去一个变量。也就是说卡诺图 上两个相邻的小方格合并可以消去一个变量；四个相邻的小方格合并可 以消去二个变量；八个相邻的小方格合并可以消去三个变量；十六个相 邻的小方格合并可以消去四个变量；……。这就是用卡诺图化简逻辑函 数的原理。
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
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卡诺图化简逻辑函数的步骤
用卡诺图化简逻辑函数可按下列步骤进行：
①将逻辑函数用卡诺图表示出来。
②首先圈出没有相邻最小项的孤立的值为1的最小项方格，这是一 个主要项。
③找出只有一种合并可能的值为1的最小项方格，从它出发将所有 为1的相邻最小项按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，所有圈中必须至 少有一个为1的最小项方格没有被圈过，并使所有的圈尽可能大。
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2. 函数为最大项表达式
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
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因为相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，所以使函数值 为0的那些最小项的编号与构成函数的最大项表达式中的那些最大项编号 相同，按这些最大项的编号向卡诺图的相应小方格中填上0，其余方格上 填上1即可。
0
0
0
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１则几目①
的它个必圈
方就圈须越
格是内为大
。多 ， 2i 越
余但个好
的每。，
2
。个②但 ③圈同每
不都一个
能要个圈
漏有方中
掉新格标
任的可１
何方同的
一格时方
例2.作出函数F（A,B,C,D）=∏M（3,4,8,9,11,15）对应的卡诺图。
解：先作一个4变量的卡诺图，在编号为3、4、8、9、11、15的小方 格中填写0，其余小方格中填写1，得到逻辑函数F（A,B,C,D）=∏M （3,4,8,9,11,15）的卡诺图如下。
3. 函数为任意与或表达式
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
2. 卡诺图上最小项的相邻性
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
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1）几何相邻 2）相对相邻 3）重叠相邻
演示
3. 卡诺图的填写方法
1. 函数为最小项表达式
因为构成函数的每一个最小项，其逻辑取值都是使函数值为1的 最小项，所以填写卡诺图时，在构成函数的每个最小项相应的小方 格中填上1，而其它方格填上0即可。也就是说，任何一个逻辑函数 都等于它的卡诺图中填1的那些最小项之和。
复习（提问）： 逻辑函数的几种表示方法的相互转换。
逻辑函数卡诺图化简
卡诺图适合于化简变量数小于5的逻辑函数。 1 卡诺图的结构
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
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2变量逻辑函数的方格表示
卡诺图：每个小方格表示了函数的一个最小项，每相邻小方格的变量 组合之间只有一个变量不同。 演示
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首先分别将每个与项的原变量用1表示，反变量用0表示，在卡诺 图上找出交叉小方格并填写1，没有交叉点的小方格填写0即可。
例3. 作出函数F(A,B,C,D)=AB+BC+CD对应的卡诺图。
4.函数为任意或与表达式
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
Digital L与表达式，只要当任意一项的或项为0时，函数 的取值就为0。要使或项为0，只须将组成该或项的原变量用0、反 变量用1代入即可。故填写方法是：首先将每个或项的原变量用0、 反变量用1代入，在卡诺图上找出交叉小方格并填写0；然后在其余 小方格上填写1即可。
例4. 作出函数 F ( A, B,C, D) ( A C)(B D)(C D) 对应的卡诺图。
主要项：把2n个为1的相邻最小项进行合并，若卡诺圈不能再扩大，则圈得的合 并与项称为主要项。
必要项：若主要项圈中至少有一个为1的“特定”最小项没有被其它主要项所覆 盖，则称此主要项为必要项或实质主要项。最简逻辑函数中的与项都是必要项。
冗余项：若主要项圈中不包含有为1的“特定”最小项，或者说它所包含为1的最 小项均已被其它的主要项圈所覆盖，则称其为冗余项或多余项。
④写出最简的函数表达式。
演示1
演示2
基本步骤图示
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
逻辑表达式 Y(A,B,C,D)=m(3,5,7,8,11,12,13,15) 或真值表
Digital Logic Circuit
1
卡诺图
1
AB
CD
00 01 11
10
00 0
0
1
1
01 0
1
1
0
10 1
1
1
1
11 0