逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项)
第六讲 具有无关项和多输出逻辑函数卡诺图化简法
L = A D + AD
L = L = A D + AD
L = A D + AD
CD 00 AB 00 0 01 0 11 10
01 11 10
1
= A D • AD = ( A + D) • ( A + D ) = ( A + D) • ( A + D ) = A+ D+ A + D
1 1
× 0 1 × 0 0 × × 0 0 ×
L2 = AB C + BC
将两个输出函数视为一个整体， 将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如下
BC A 00 0 0 1
01
11
1 1
1 1
BC 10 A 00 0 0 0
01
11
10
0 0
1 1
0 0
1
0
1
1
L1 = AB C + C
L2 = AB C + BC
逻辑图如 ２８图 逻辑图如Ｐ２８图１．２０，图１．２１ ２０，
•
•
逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺 图和时序图
求其最简与或式
F = D + BC
某逻辑函数输入是8421 8421BCD码，其逻辑表达式为： 例８. 某逻辑函数输入是8421 码 其逻辑表达式为： L（A,B,C,D）=∑ （1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） , ）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15） （ 用卡诺图法化简该逻辑函数。 用卡诺图法化简该逻辑函数。 解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 画出4变量卡诺图。 号小方格填入1 10、11、12、13、14、15号小方格填入 号小方格填入× 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项，如图（ ） 所示。注意， 方格不能漏。 （ 2 ） 合并最小项 ， 如图 （ a）所示 。 注意 ， 1 方格不能漏 。 × 方 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 格根据需要，可以圈入，也可以放弃。 写出逻辑函数的最简与—或表达式 或表达式: （3）写出逻辑函数的最简与 或表达式: 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为： 如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：
卡诺图及其应用
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题4.4.2（必做题） 习题集4.4.2（选做题） 学习与训练4.4（选做题） 2、实践作业： 实践指导4.4
探究
在三变量的卡诺图中BC为何取00，01， 11，10，而不是从小到大．
因为卡诺图中任意两相邻方格中的项，
只有一项因子不同，即逻辑相邻．
实训
请画出四个逻辑变量的卡诺图。
练习与评价
画出下列各逻辑函数的卡诺图： （1） f ( A，B，C) ABC （2） f ( A，B，C) AC
导学
下面是两个逻辑变量的卡诺图（如图）：
为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系，我 们将卡诺图画成下面的形式
B
A
A
B 0 1
0
m0 m2
B 1
m1
A
m3
导学
三个逻辑变量的卡诺图为
BC
A
A
BC
01
m1
m5
BC
BC
BC 0 1
00
m0 m4
11
m3
m7
10
m2 m6
A
k个逻辑变量的卡诺图，要画出 2k 个方格．每个方格 与一个最小项相对应，方格的编号与最小项的编号相同．
4.4 卡诺图及其应用
4.4.2 卡诺图
导入
利用运算律来化简逻辑函数表达式，需 要一系列的推导，一般是比较复杂的．实际 中，这种化简过程可以利用“卡诺图”来完 成．
预读
1、什么是卡诺图？ 2、了解两个逻辑变量的卡诺图和三个逻辑 变量的卡诺图？
思议
四个逻辑变量的卡诺图应该如何画？
导学
卡诺图是一张表，除了直接相邻的两个格称为相邻外， 表中最左边一行的小方格与最右边一行的对应方格也称为
第二章_逻辑代数卡诺图
2.12.1 逻辑代数•逻辑代数——布尔代数–分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。
–提供一种方法：使用二值函数进行逻辑运算。
–逻辑代数有一系列的定律和规则，用它们对数学表达式进行处理，可以完成对电路的化简、变换、分析和设计。
2.1.1逻辑代数的定律和运算规则一、逻辑代数的基本公式在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明。
（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。
2.1.3逻辑函数的代数化简法一、逻辑函数式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。
例如：其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
二、逻辑函数的最简“与—或表达式”的标准（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。
（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
（3）消去法。
2.2逻辑函数的卡诺图化简法一、最小项的定义与性质）2 .卡诺图最小项的定义：n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。
n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。
用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。
即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
3．卡诺图的结构（1）二变量卡诺图仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。
（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。
2.2.3用卡诺图表示逻辑函数1．从真值表到卡诺图2．从逻辑表达式到卡诺图（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。
（2）如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入。
2.2.4逻辑函数的卡诺图化简法1．卡诺图化简逻辑函数的原理 :（1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个取值不同的变量而合并为l项。
约束项、任意项和无关项的辨析
约束项、任意项和⽆关项的辨析约束项、任意项和⽆关项等⼀、逻辑代数的基本定理带⼊定理，⽤⼀个逻辑式代替等式中所有同⼀个变量，等式仍然成⽴。
反演定理，与或互换，原反互换，结果为原来结果的取反。
--注：1.仍要注意先括号再乘，最后加的优先次次序。
2.不属于单个变量上的反号要保留不变。
对偶定理，所谓对偶，就是把逻辑式中与、或互换，0、1互换（注意，不是逻辑式取反。
），如果两逻辑式相等，那么他们的对偶式也相等。
⼆、从真值表写出逻辑函数式的⼀般⽅法找出真值表中Y=1的输⼊变量的组合；取值为1的取原变量，为0的取反变量，然后与起来；这些乘积项相加即得Y的逻辑函数式。
三、逻辑函数的标准形式，最⼩项之和、最⼤项之积。
最⼩项，所有变量（或其反变量）都在⼀个乘积项中出现⼀次。
最⼤项，所有变量（或其反变量）都在和式中出现⼀次。
四、逻辑函数的化简⽅法最简形式，在逻辑式中，乘积项最少，乘积项中的因⼦也最少。
五、卡诺图，将n变量的全部最⼩项⽤⼀个⼩⽅块表⽰，并使具有逻辑相邻性(6) 若两个最⼩项只有⼀个因⼦不同，则称他们有逻辑相邻性）的最⼩项在⼏何位置上也相邻的排列起来的图形。
⽤卡诺图化简的步骤：将逻辑函数化为最⼩项之和的形式；画出卡诺图（1表⽰原变量，0表⽰取反的；有相应最⼩项的地⽅添1，没有则添0）；找出可以合并的最⼩项；--允许重复使⽤最⼩项；选取化简后的乘积项。
选取化简后的乘积项。
注：也可以合并0求出Y反再把Y反求反得到Y，因为所有的最⼩项之和为1，Y与Y反之和也为⼀，Y为添1那部分最⼩项的和，所以Y反⼀定就是添0那部分最⼩项的和了。
六、具有⽆关项的逻辑函数以及其化简1、与函数⽆关的最⼩项称为⽆关项，⽆关项是约束项和任意项的总称，⽤d 表⽰。
2、约束项⑴⼀个n变量的函数并不⼀定与2n个最⼩项都有关，有时，它仅与其中⼀部分有关，⽽与另⼀部分⽆关。
例如BCD 码，只⽤了4位⼆进制数组成的16个最⼩项中的10个编码，其中必有6个最⼩项是不会出现的，我们称这些最⼩项为约束项。
卡诺图化简
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
第2章 逻辑代数基础2.6具有无关项的逻辑函数及其化简(6)
2 –5 –3
三、用卡诺图化简逻辑函数
①卡诺图的性质
a. 卡诺图上任何2（21)个标“1”的相邻最小项，可 以合并成一项，并消去1个取值不同的变量。 消去变 量D 表 2.6.10 Y 的卡诺图 例1：图中有 CD
m2 m 3 ABCD ABCD ABC ( D D) ABC
1 1 1
1
1 1
Y AB AC BC
2 –5 –10
或者圈法如图所示，则
表2.6.14 Y BC A 00 01 0 1 1 1
的卡诺图 11 1 10 1 1
的卡诺图 11 10
Y BC AB AC
与第一种圈法相比
1
Y AB AC BC
AB 00 01 11 10
2 –5 –4
00 1
01
11 1
10 1
1 1 1 1 1
b. 卡诺图上任何4（22)个标“1”的相邻最小项， 可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量。 例2：图有
m5 m7 m13 m15
CD A' BC ' D A' BCD ABC ' D ABCD AB 00 BD( A' C ' A' C AC ' AC ) BD 00 1 01 11 10
故卡诺图简化不是唯一的
表2.6.13 Y BC A 00 01 0 1
1 1 1
1
1 1
2 –5 –11
例 2： 化简 简 函 Y A' BC ABC ' ABC 为最简与或式。 第二步，填卡诺图 BC 第四步，各乘积项 第一步，将函数化 第三步，合并最 11 10 00 01 相加 A 成最小项和的形式。 小项 0 1 0 0 0 BC
第2章逻辑代数基础
1、卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且 使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序 排列，这样构成的图形就是卡诺图。
项小 每 与项 个 它有 2 相两 变 邻个 量
最的 小最
A
AB
B
0 1C
0 m0 m2
Y(A, B,C, D) m(1,3,4,6,7,11,14,15)
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
m4
m1
01 1
0
0
0
m3
11 1
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
m11
10 0
1
1
0
m6 m7
m14
m15
（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不 必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那 些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余 的方格内填入0。
ABC
DE
000 001 011 010
110 111 101 100
变量数 n = 5 在卡诺图
m m m m m m m m 00
0
4 12 8
24 28 20 16
上有 25 = 32 个小方格，对 应32个最小项。每个小方格 有5个相邻格。
m m m m m m m m 01
1
5 13 9
25 29 21 17
0
1 m1 m3
1
2 变量卡诺图
00 01 11 10 m0 m2 m6 m4 m1 m3 m7 m5
逻辑代数基础
2、不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y A( B C ) CD
Y ( A BC)(C D) Y (( AB C ) D) C
Y (((A B)C)D) C
三、 对偶定理
对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可得Y的 对偶式YD, YD称为Y的对偶式。 对偶变换： “﹒”→“﹢” 对偶定理：如果两个逻辑式相等， 则它们的对偶式也相等。
1 1
C
0
1
1 0
1 0
1 1 t 1 0 1 1
0
1 0 1
Y
1
0
1
三、逻辑函数的两种标准形式 最小项: 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该 组变量的最小项。 3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：
“﹢”→“﹒”
“0” → “1”
“1” →“0”
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公 式数目减少一半。
Y A( B C )
Y A B C
D
Y ( AB CD)
Y (( A B) (C D))
D
（2）式 （12）式
1 A A
0 A A
A( B C ) AB AC
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
一、与逻辑（与运算） 与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，
B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达
式为： Ｙ＝ＡＢＣ…
例：开关A，B串联控制灯泡Y
A A A A E E E E
电路图
BB B B YY Y Y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 例如
YA B A C BC
GA B A C
它们的卡诺图如表 2.7.1所示，则Y＝G
表2.7.1 Y和G的卡诺图 BC
A 00 01 11 10
0
11
1
11
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
再例如 YABC
G A C B C
它们的卡诺图如表2.7.2和 2.7.3所示
1. 与或式转换成或与式
已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡 诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与式。
2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换
例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式
Y A B B C A C
解：其卡诺图如表2.7.8 所示
则
BC 表2.7.8 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
解：Y的卡诺图如表2.6.1所示 则最简与或式为
YD A B 00 01 11 10
00 1 1
×
01 ×
×1
11 × × 1 1 × 1××
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
还有另一种圈法，如图2.6.2所示
此种圈法圈数少，变量少， 比上一种简单
YABCDACDABCD 约束条件 C、 ： D不可能相同
*2.7 卡诺图的其它应用
卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
1 判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若
两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。 即若函数Y和G的卡诺图相同，则Y＝G。若两个函 数的卡诺图中“0”和“1”对调，则这两个函数为互 补。
0
1
11
1
1 11 1 1
=
BC 表2.7.8 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0 1 11
YY1⊙Y2 ACBCAC
11
1
2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换
逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、 或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可 由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式 （乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡 诺图可以很方便的实现转换。
解：约束条件为
A B A B 0
（即AB取值不能相同） 则Y的卡诺图如表2.6.4所示
CD 表2.6.4 Y的卡诺图 AB 00 01 11 10
00 × × × ×
01 1 1
1
最简与或式为
11 × × × ×
Y A A C C C D 10
11
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
11
1
1 11 1 1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的与为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
11
1
.
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
圈“0”
则最简或与式为
表2.6.4 Y的卡诺图 CD
AB 00 01 11 10
Y (A C )A ( C D ) 00 × × × ×
01 1 1 0 1
11 × × × × 10 0 0 1 1
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式
Y ( A , B , C , D ) m ( 0 , 1 , 5 , 7 , 8 , 1 , 1 ) 0 4 d ( 3 , 9 , 1 , 1 )1 5 Y ( A , B , C , D ) m ( 0 , 2 , 7 , 1 , 1 ) 3 5 d ( 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 1 ) 0
0
1
1 11 1 1
BC 表2.7.7 Y的卡诺图
A 00 01 11 10
=0
11
1 1 11 1
YY 1Y2AB
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的同或为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
⊙
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
1 11 1 1
=
BC 表2.7.6 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1
11
1
Y Y1 Y2 AC ABC
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算 则两个函数的或为
表2.7.4 Y1的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0
11
11
1
＋
BC 表2.7.5 Y2的卡诺图 A 00 01 11 10
YABBCAC
00 1 1 1
(ABC)(ABC) 1 1 1 0 1
简化后的逻辑函数为
YBCBC
表2.6.2 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 0 ×
01 × 0 × 1
11 × × 1 1
10 × 1 × ×
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 写成或与式为
Y(B C )B (C )
表2.6.3 Y的卡诺图 CD AB 00 01 11 10
BC 表2.7.2 Y的卡诺图 A 00 01 11 10
0
1 11
1
11
则 YG
表2.7.3 G的卡诺图 BC A 00 01 11 10
01
11
1
2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算
2.函数运算
若已知函数Y1和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。 例2.7.1若Y1＝AB＋AC ，Y2＝A＋BC 试利用卡诺 图求Y1＋Y2 、Y1＋Y2及Y1⊙Y2 解： Y1和Y2的卡诺图如表2.7.4及2.7.5所示
00 1 1 0 ×
01 × 0 × 1
11 × × 10 × 1
11 0×
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或
与式
Y (A ,B ,C ,D )A B C A BD C A B C D A B CD 约束 A ⊙ 条 B ＝ 0件：
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式 和或与式
Y ( A , B , C , D ) ( 0 , 1 , 6 , 9 , 1 , 1 ) 4 d 5 ( 2 , 4 , 7 , 8 , 1 , 1 , 1 , 1 0 ) 1 2