卡诺图化简逻辑函数
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的卡诺图表示和卡诺图化简法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
11 0 0 1 1 10 0 1 1 1
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC
化为最简与非—与非式。 CD
解：
ACD
AB
00 01 11 10
00 01
1 1
1 0
0 m104,m15 1 两1次填1
AB
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1
B CD AC
ABC
1．卡诺图化简逻辑函数旳原理 : 具有相邻性旳最小项能够合并，并消去不同旳因子，
合并旳成果为这些项旳公因子．
（1）2个相邻旳最小项结合，２项能够而合并为１项， 并消去1个不同旳变量。
（2）4个相邻旳最小项结合， ４项能够而合并为１项， 并消去2个不同旳变量。
（3）8个相邻旳最小项结合， ８项能够而合并为１项， 并消去3个不同旳变量。
解： 写成简化形式： F m0 m3 m6 m7 然后填入卡诺图：
例3 画出 Y ABC D ACD AC 旳卡诺图
解:直接填入
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1
10 0 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
总之， 2n 个相邻旳最小项结合，2n 项能够而合并为１
项，能够消去n个不同旳变量。
化简根据
2n项相邻，并构成一种矩形组， 2n项能够而合并为 １项，消去n个因子，合并旳成果为这些项旳公因子。
利用卡诺图化简旳规则
相邻单元格旳个数必须是2n个，并构成矩 形组时才能够合并。
CD 00 01 11 10
诺图
逻辑函数的卡诺图法化简
精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
逻辑函数的卡诺图化简法
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
2021/8/13
11
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
2021/8/13
4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
2021/8/13
5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
2021/8/13
6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
2021/8/13
17
BC
A
00 01 11 10
0
11 1
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
(完整版)逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．１最小项的定义
设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或者反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。对于ｎ个变量来说，可有2n个最小项。
任何一个逻辑函数均可表示成惟一的一组最小项之和，称它为标准的与或表达式,也称为最小项表达式。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量的其他取值都使该最小项为0。事实上,真值表的每一行对应着一个最小项。表(1）中列出了最小项取值为1时,各输入变量的取值。我们约定:将最小项为l时各输入变量的取值视为二进制,其对应的十进制i作为最小项的编号,并把该最小项记作mi。如A、B、Ｃ三个变量有2n＝８个最小项,如表（1)所示。
（２）卡诺图上任何22标l的相邻最小项，可以合并为一个“与”项,并消去二个变量。
（３）卡诺图上任何２３标１的相邻最小项,可以合并为一个“与”项，并消去三个变量。
可见,相邻最小项的数目必须为2ｉ个才能合并成一个“与”项，并消去i／ｂ变量。
2.5逻辑函数是否达到最简表达式的判断方法
与-或式最简的标准是:首先表达式中的与项最少,其次是与项中的变量最少,在卡诺图上体现为：甩最少量的且尽可能大的圈覆盖函数的全部最小项。函数化简过程就是按最简的标准将相邻最小项在卡诺图上合并的过程。因此根据卡诺图化简法的基本原理，我们可以得到化简是否达到最简形式的判定标准：是否选择了尽可能少的方格群,且每个方格群是否尽可能的大。
2.3卡诺图化简的基本原理
用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把“相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去因子”的逻辑依据和卡诺图的图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。
2.4卡诺图化简的性质
(１）卡诺图上任何21标１的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去一个变量。
（2）具有循环相邻的特性,即卡诺图中同一行里最左和最右端的小方格是相邻的，同一列里最上和最下端的小方格也是相邻的。
（3)逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻,这个特性是由于我们对变量的排布采用的是格雷码。
①每个2输入变量的最小项有两个最小项与它相邻；
②每个3输入变量的最小项有三个最小项与它相邻;
③每个4输入变量的最小项有四个最小项与它相邻。
2卡诺图
2.1卡诺图
把真值表中的最小项重新排列，把它们排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的布尔变量按格雷码的顺序排列,这样构成的图形就是卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。将一个逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内,此方格图即为卡诺图。卡诺图是一种平面方格图,每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
＝ＡBCD+AＢCD＋AＢＣD+ABＣD＋AＢCD+ＡBCD+ABＣD
+AＢCD＋ABCD＋AＢCD
=Σm（６,9,12，13，１4,15）
３．2由最小项表达式画出卡诺图
例如上面给出的Ｆ(Ａ,Ｂ，C,D）＝Σm（6，9,1２，１3,14,15)。根据此最小项表达式画出对应的卡诺图:
关键词：卡诺图;最小项；逻辑函数化简;多变量
0引言
在逻辑电路的分析和设计中,经常会遇到逻辑函数的化简问题。如果利用常规的公式法化简，除需要掌握大量的基本公式外，还需要能够灵活、交替地运用各种方法,方可求得最简结果,而且有时不易判断是否已简化到最简形式,技巧性较强，对使用者的要求较高。
当所需化简的逻辑函数输入变量较少时(一般不大于4个)，利用科诺图化简法可以更简单、直接的得到逻辑函数的最简表达式。因此逻辑函数的卡诺图化简法在实际分析、设计电路时有很广泛的应用。
卡诺图化简逻辑函数
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
卡诺图化简逻辑函数的
方法和理论依据
摘要:从最小项的定义和性质入手，简述卡诺图化简逻辑函数的理论依据以及化简是否达到最简形式的判定标准。通过举例来解释利用卡诺图化简少变量逻辑函数的一般方法，以及卡诺图在数字电子技术中其他应用。另外介绍一种多变量逻辑函数的卡诺图解法。
３卡诺图法化简逻辑函数的一般步骤
3.１将逻辑函数化为最小项表达式
当逻辑函数不是最小项表达式时,可以用配项法将逻辑函数化为最小项表达式。这样才可以填入卡诺图并用卡诺图法化简。
例如：F（Ａ，B,C,D)= AB+BCD＋ＡCD+ABD＝AB(C+C）（Ｄ+D)+BＣＤ(Ａ＋Ａ)＋ACD（B＋Ｂ)+ＡBＤ（Ｃ+Ｃ)
图(1)
最小项
最小项为1时变量的值
i的值
mi
A
B
C
ABＣ
0
0
0
0
m0
AＢC
0
0
1
1
m１
ABC
0
1
0
2
ｍ2
ABC
0
1
1
３
m3
ABＣ
1
0
０
4
m4
ABＣ
1
0
１
5
m5
ABC
1
１
７
m7
1.2最小项的性质
最小项具有以下三个性质：
(1)全体最小项之和为1;
(２)任意两个最小项之积为0;
(3)若两个最小项之间只有一个变量不同,即在一个最小项中是原变量,在另一个最小项中是反变量,其余各变量均相同，则称这两个最小项是相邻项。两个相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去一个因子。这一性质很重要，这正是用卡诺图化简逻辑函数的逻辑依据。如：ＡBＣ＋ＡBC=（A+Ａ)BC＝ＢC。
下面两图展示了3输入变量和４输入变量的卡诺图表示:
图(2）
ＣD
００
01
11
10
0
0
2
６
4
1
１
3
７
5
图(3)
CD
00
01
１1
10
00
０
４
12
8
０１
1
5
13
９
1１
3
７
15
11
10
２
6
14
10
２.2卡诺图的特点
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示,卡诺图的图形特征表现出了它的特点。卡诺图的特点主要有以下三点：
（1）卡诺图中的每个小方格对应一个最小项。
卡诺图的实质就是真值表的图形化，使得最小项排列得更紧凑，更便于化简。卡诺图中最小项的排列方案不是惟一的；变量的坐标值０表示相应变量的反变量,1表示相应变量的原变量;各小方格依变量顺序取坐标值,所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
对应于一组ｎ个逻辑变量，则函数共有2n个最小项。如果把每个最小项用一个小方格表示，再将这些小方格以格雷码顺序排列,就可以构成n个变量的卡诺图。