2020高考数学(理)二轮专题复习《四 第2讲 概率与统计(大题)》
高考理科数学二轮考前复习：专题四 高考解答题的审题与答题示范(四) 概率与统计类解答题
高考解答题的审题与答题示范(四)
概率与统计类解答题
［解题助思·快速切入］
[思维流程]——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
[审题方法]——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在
审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．［满分示例·规范答题］
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根
据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低
于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果
最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六
月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40) 天数21636257 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进
货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
审题
路线
确定X的取值→计算与X值对应的概率→列出X的分布列→求出数学期望
标准答案阅卷现场
(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，
500.①
由表格数据知辨表
第(1)问第(2)问
得①②③④⑤⑥⑦⑧。
热点攻关 “概率与统计”大题的常考题型探究(课件)2023年高考数学二轮复习(全国通用)
例5 (2022年北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： ）： 甲： ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 乙： ， ， ， ， ， . 丙： ， ， ， ． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区的年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 ）
[解析] （1）平均年龄 （岁）.（2）设 ，则 .（3）设 ，则由条件概率公式，得 .
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
[解析] （1） 由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.（2）设“甲获得优秀奖”为事件 ,“乙获得优秀奖”为事件 ，“丙获得优秀奖”为事件 ，由题意知 ,又 ,则 ， ，
树苗高度（单位： ）
树苗售价（单位：元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选3株，求售价之和高于20元的概率；
（2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过 的株数为 ，求随机变量 的分布列和期望.
[解析] （1）由题意得， ，令 ，设 关于 的线性回归方程为 ，则有 ，则 ，所以 ，又 ，所以 关于 的回归方程为 .
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率与统计课件文
又∵ (5 时)产业差值外的 9 年的产业差值的方差为： 19×[211.6－(10.8－10.8)2]≈23.5.
(2018·高考全国卷Ⅲ)(12 分)某工厂为提高生产效率， 开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产 方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们 随机分成两组，每组 20 人．第一组工人用第一种生产方式， 第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作 时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
ti－ t yi－ y
i＝1
^b＝
，^a＝ y －^b t .
n
ti－ t 2
i＝1
样本方差公式：s2＝n1i＝n1 (yi－ y )2.
参考数据： y ＝110i1＝01yi＝10.8，i＝ 101 (ti－ t )(yi－ y )＝132，
残留百分比的直方图 性质
据需准确
信息❷求 a、b
利用直方图性质 2.注意利用
可列方程
中点值求
信息❸求平均值
利用中点值，求平 平均值的
均值
方法
[ 规 范 解 答 ] (1) 由 已 知 得 0.70 ＝ a ＋ 0.20 ＋ 0.15 ， 故 a ＝ 0.35.………………2 分 b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. ………………4 分 (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15 ＋ 3×0.20 ＋ 4×0.30 ＋ 5×0.20 ＋ 6×0.10 ＋ 7×0.05 ＝ 4.05，………………8 分 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05 ＋ 4×0.10 ＋ 5×0.15 ＋ 6×0.35 ＋ 7×0.20 ＋ 8×0.15 ＝ 6.00. ………………12 分
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
「精品」高考数学二轮复习概率2统计和概率课件理-精品资料
5．理解古典概型及其概率计算公式，了解随机数的意义，能运用模 拟方法估计概率。
二、高考真题再现
甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先从甲罐中随
机取出一球放入乙罐，分别以 A1, A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙
高考数学第二轮专题复习 概率
【复习目标】
1． 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系 统抽样方法。
2．om 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标 准差；能 从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的 解释。
3． 会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量 间的相关关系。
课堂小结
1.我们学习的目标和主要内容 2.本节课优秀小组及个人 3.本节课后的建议
快乐多一点，合作多一点，自信多一点，我们就 进步大一点！
例 3、随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，
42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，
36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数 频率
[25，30]
罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出
所有正确结论的编号）。
① PB 2 ；
5
②
P
B
|
A1
5 11
高考数学二轮复习 第一部分 保分专题四 概率与统计 第2讲 概率及应用课件 文
8分
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，
B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
12 分
[规范解释] 列举事件空间． 找出所研究的事件，求概率． 列举总的事件． 找出所研究事件，求概率．
求古典概型概率的方法 正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数． (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求出所求事件的对立事件的概 率．
其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： (10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)共 6 组． ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为164＝37.
考点考查题型 已知两个变量的某些数据，求频率、求概率
考点应用方法 利用频率求概率，利用古典概型求概率
个适花合坛题中意，的则只红有色2和种紫，色其的概花率不P在＝同23. 一花坛的概率是( C )
A.13
B.12
2
5
C.3
D.6
技法：无限元素用几何．一个变量为长度．二个变量是平 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待 面．变量之比为概率． 15 秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯 和率绿P灯＝交2450替＝出58. 现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
解析：(1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵 数分别是 8,8,9,10，故 x ＝8＋8＋49＋10＝345，s2＝14× 8－3452×2＋9－3452＋10－3452＝1116.
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(拔高)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P BA P B （），即()=()()P A B PAPB ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++，反映随机变量ξ取值的波动性。
【人教A版】2020年高考数学(理科)二轮复习《概率与统计》讲义及拔高题型精讲卷
【人教A 版】2020年高考数学（理科）二轮 《概率与统计》讲义及拔高题型精讲卷一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A 在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n kk kn n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）. 表13-1ξ1ξ 2ξ 3ξ … nξ P1p2p3pnp①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n np p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE bηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n nE p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。
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解 由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25. 所以随机抽取三人，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，且 X～B3，25， 所以 P(X＝0)＝353＝12275， P(X＝1)＝C13·25·352＝15245， P(X＝2)＝C23·252·35＝13265， P(X＝3)＝253＝1825.
s2＝112×(212＋132＋72＋42＋22＋12＋22＋42＋52＋62＋132＋162)＝1 11286≈98.83.
(2)若把成绩不低于85分(含85分)的作品认为是优秀作品，现在从这12件作品中任意 抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
解 设抽到优秀作品的个数为X，则X的可能值为0,1,2,3，
所以X的分布列为
X0
1
2
3
P
27 54 36 125 125 125
8 125
所以期望 E(X)＝3×25＝65.
热点二 以超几何分布为背景的期望与方差
求超几何分布的分布列的一般步骤： (1)确定参数N，M，n的值. (2)明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. (3)列出分布列.
P(X＝0)＝CC31382＝25260＝1545， P(X＝1)＝CC28C31214＝2282×04＝2585， P(X＝2)＝CC18C31224＝82×206＝1525， P(X＝3)＝CC31342＝2420＝515，
例1 (2019·怀化模拟)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫， 携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部 60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分 层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将 走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率 分布直方图. (1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基 层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数 据用该组区间的中点值作代表)；
板块二 专题四 概率与统计
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 以二项分布为背景的期望与方差 热点二 以超几何分布为背景的期望与方差 热点三 统计与统计案例的交汇问题
热点一 以二项分布为背景的期望与方差
利用二项分布解题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量. (2)分析随机变量服从二项分布. (3)找到参数n，p. (4)写出二项分布的概率表达式. (5)求解相关概率.
例2 (2019·茂名质检)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某 赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进 行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. (1)求该样本的中位数和方差；
解 样本数据按从小到大的顺序排列为59,67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为81＋2 82＝81.5， 平均数为 x ＝59＋67＋73＋76＋78＋81＋ 1282＋84＋85＋86＋93＋96＝80， 方差为
(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的 所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及 期望.
解 由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人， 其工作出色的概率为35， 显然 X 可取 0,1,2,3，且 X～B3，35，则 P(X＝0)＝253＝1825， P(X＝1)＝C13351252＝13265，
(1)求物理原始成绩在区间(47,86]的人数；
解 因为物理原始成绩ξ～N(60,132)， 所以P(47<ξ≤86) ＝P(47<ξ≤60)＋P(60<ξ≤86) ＝12P(60－13<ξ≤60＋13)＋12P(60－2×13<ξ≤60＋2×13) ≈0.6822 7＋0.9524 5 ≈0.818 6. 所以物理原始成绩在(47,86]的人数为2 000×0.818 6≈1 637.
P(X＝2)＝C23352251＝15245， P(X＝3)＝353＝12275.
所以X的分布列为
X0 1 2 3
P
8 36 125 125
54 27 125 125
所以期望 E(X)＝0×1285＋1×13265＋2×15245＋3×12275＝95.
跟踪演练1 (2019·河北省五个一名校联盟联考)《山东省高考改革试点方案》规定： 从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语 数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始 成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级.参照正态分布 原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科 目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则， 分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30] 八个分数区间，得到考生的等级成绩. 某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行 测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在 区间[61,80]的人数，求X的分布列和期望. (附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋ 2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解 因为A，B，C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人， 则 C 镇应选取 80×24000＝16(人)， 所以这40人中有16人来自C镇，
因为 x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋ 50×0.1＝28.5，
所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.