中考数学考点专题训练相似

热点16 相似

【命题趋势】

相似是初中数学中比较难的一块内容，是中考必考内容，也是压轴题常考内容，所以每年中考，不论是哪个城市的中考试卷，相似都是一个重头戏。相似在中考数学试卷中所占比例较大，一般难度都是比较大的，综合性较强，对学生的综合运用知识的能力要求也更高，所以要熟练掌握这部分知识及其常见题型对在中考中取得优异的成绩至关重要。它往往与图形的三种运动变换或者与二次函数，反比例函数相结合而形成压轴题。

【满分技巧】

一、整体把握有关相似的知识结构

1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2.相似三角形的判定方法:

○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

○

○

4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

3.直角三角形相似判定定理:

○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

4.相似三角形的性质:

○1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

○2.相似三角形周长的比等于相似比。

○3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

二．把握中考常考相似模型

【限时检测】（建议用时：30分钟）

一、选择题

1. (2019 贵州省黔南州)如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）

A ．200cm 2

B ．170cm 2

C ．150cm 2

D ．100cm

2

【答案】D

【解析】设AF ＝x ，则AC ＝3x ， ∵四边形CDEF 为正方形， ∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ， ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴

＝

＝，

∴BC ＝6x ， 在Rt△ABC 中，AB ＝

＝3

x ，

∴3x ＝30，解得x ＝2

，

∴AC ＝6

，BC ＝12

，

∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm 2

）．

故选：D ．

2. (2019 四川省乐山市)把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ()

A 6

1

()

B 3

1

()

C 5

1

()D 41

【答案】A 【解析】如图，

∵AD//CG

故选A

3. (2019 四川省凉山州市)如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ：DC ＝1：2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝（ ）

A ．1：2

B ．1：3

C ．1：4

D ．2：3

2

A

B

C

E F

1

2

【答案】B

【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，

∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．

又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，

∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2，

设S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，

∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，

∵AD：DC＝1：2，

∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四边形CDOE＝7S，

∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，

∴

故选：B．

4. (2019 浙江省杭州市)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）

A．＝B．＝C．＝D．＝

【答案】C

【解析】∵DN∥BM，

∴△ADN∽△ABM，

∴＝，

∵NE∥MC，

∴△ANE∽△AMC，

∴＝，

∴＝．

故选：C．

5. (2019 浙江省绍兴市)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）

A．先变大后变小B．先变小后变大

C．一直变大D．保持不变

【答案】D

【解析】∵正方形ABCD和矩形ECFG中，

∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，

∴∠DCF＝∠ECB，

∴△BCE∽△FCD，

∴，

∴CF•CE＝CB•CD，

∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．

故选：D．

6. (2019 浙江省绍兴市)如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】过点C作CF⊥BG于F，如图所示：

设DE＝x，则AD＝8﹣x，

根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，

解得：x＝4，