高中数学二项式定理高考复习

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课题：二项式定理

一、知识要点

1.二项式定理

一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.

【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;

⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.

⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.

⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .

⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.

令x b a ==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n n

n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(； 若令1,1==b a

,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项

二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.

【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;

⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;

⑶a 与b 的次数之和为n ;

⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;

⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;

⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;

⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着

广泛的应用. 3.二项式系数的性质

一般地, n b a )(+展开式的二项式系数n

n n n n C C C C 210,,有以下性质

⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+;

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⑶当21-

1->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21

-n n C 和21

+n n C （两者相等）最大.

⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；

⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,

二、金典题型

题型一:通项公式的应用

求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.

【☞例1】已知在n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-3321的展开式中,第6项为常数项. ⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.

点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.

【☞例2】若n

x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120

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题型二:系数最大值问题

在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用⎩⎨⎧≥≥+++2

11r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【☞例3】已知()n

x x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.

点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.

【变式训练】

1. ()n

x 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

题型三:赋值法的应用

对形如()n b ax +、()m c bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n

by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可. 【☞例4】已知()7722107

21x a x a x a a x ++++=- .

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⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .

【变式训练】

2.对于12

212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和. 三、基础落实

1.二项式5

21⎪⎭⎫ ⎝

⎛+x x 展开式中,x 的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.40 2.如果n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.10 3.已知n

x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-20 4.若n x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 7. 61⎪⎭⎫ ⎝

⎛-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 . 8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;6

3)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 .