2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学(文)试题
2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．sin(225)-的值是（ ）
122．在ABC ∆中，()2,4AB =，()1,3AC =，则CB =（ ）
A. ()3,7
B. ()3,5
C. ()1,1
D. ()1,1-
3．为了得到函数sin()3y x π=-的图像，只需把函数sin()6y x π=+的图像（ ） A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4
π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位 4．已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值为( ) A. 35 B. 45 C. 45- D. 35
- 5．如图，在ABC ∆中，1,32
BD DC AE ED ==，若=AB a ，AC b =，则BE 等于( )
A. 11+33a b B ．11+24a b - C. 11+24a b D ．11+33
a b - 6．若()()2c o s f x x k ωϕ=++的图像关于直线3x π=
对称，且13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则实数k 的值等于（ ） A. -3或1 B. 1 C. -1或3 D. -3
7．已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin 2θ等于（ ） A. 13- B. 13 C. 23 D. 23
- 8．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A. 若向量(,)a x y =，向量(,)(0)b y x xy =-≠，则a b ⊥.
B. 若四边形ABCD 为菱形，则AB DC =且AB AD =.
C. 点G 是ABC ∆的重心，则0GA GB GC ++=
D. ABC ∆中，AB 和CA 的夹角等于A
9．如图，函数3cos tan (0,)22
y x x x x ππ=≤<≠的图像是（ ） A . B. C . D.
10．已知在矩形ABCD 中,AB = 3BC =，点E 满足13
BE BC =，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE BF ⋅=（ ）
D. 3
11．已知函数()()2cos 1(0,0,0)2f x A wx A w π
ϕϕ=++>><<的最大值为()3,f x 的图象
与轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
()()()()1232016f f f f ++++的值为（ ）
A. 2458
B. 3501
C. 4032
D. 5739
12．如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O 且三组对边分别平行.点A , B 是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点P 在“六芒星”上（内部以及边界）,若OP xOA yOB =+, 则x y +的取值范围是
A. []4,4-
B. ⎡⎣
C. []5,5-
D. []6,6-
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数sin()4y x π
=-的单调递增区间是_____________________.
14．已知向量(3,2)a =， (,4)b x =，且a ∥b ，则x 的值是 _______________.
15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos a B b A =，c o s B C
-的最大值是__________．
16．在下列结论中：
①函数sin()()y k x k Z π=-∈为奇函数； ②函数tan(2)6y x π=+的图像关于点(,0)12π
对称； ③函数cos(2)3y x π=+的图像的一条对称轴为23x π
=-；
④若tan()2x π-=,则21
cos 5x =.
其中正确结论的序号为_________（把所有正确结论的序号都．填上）.
三．解答题（共6小题）
17．(本小题10分) 已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1αα
ααα-+的值.
18．(本小题12分) 若平面向量,a b 满足()2,2,a b a b a ==-⊥
（1）求a 与b 的夹角；
（2）求2a b +．
19．(本小题12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c, 22sin 3cos C C =，c ＝7，又ABC ∆的面积为
332
，求： (1)角C 的大小；
(2)a b +的值．
20．(本小题12分) 已知函数2()cos cos 1f x x x x =++.
（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()2f C =，4a b +=，且ABC ∆的
面积为3，求ABC ∆外接圆的半径. 21．(本小题12分) 如图，在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，DA DC =，已知4B π
=，1BC =．
（1）若ABC ∆是锐角三角形，3DC =
，求角A 的大小； （2）若BCD ∆的面积为
16，求边AB 的长． 22. 已知向量()()23sin ,cos ,cos ,1,(0)m tx tx n tx t =-=> ，把函数()12f x m n =⋅+化简为()()sin f x A x B ωφ=++的形式后，利用“五点法”画()y f x =在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：
（1）请直接写出
处应填的值，并求的值及函数()y f x =在区间ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的单增区间、单减区间；
(2)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知π1,2,26A f c a ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭
求BA BC ⋅
2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末考试数学（文）试题
一．选择题（共12小题）
1-5 ACDBB 6-10 ADDCB 11-12 CC
二．填空题（共4小题）
13． 3(2,2)44k k π
πππ-+ 14. 6 15. 1 1
6. ①③④ 三．解答题（共6小题）
17 解：47
18解：（1）,4a b π=
（2）19．解（1）2π3
（2）6 20．（1） ，
;(2)2. 21．（1） ；（2）
． 22．（1）①处应填入
5π6． 1t =，单减区间,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单增区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）1。
2019-2020学年内蒙古赤峰市高一(下)期末数学试卷(文科)(b卷)及答案
2019-2020学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（B卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）不等式≤2的解集是（）A．[，+∞）∪（﹣∞，0）B．（0，2]C．[，+∞）D．（0，]∪（﹣∞，0）3．（5分）下列函数中，定义域为R，且单调递增的是（）A．y＝2x B．y＝x2C．y＝D．y＝log2x4．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2＝3，a5+a6＝7，则a9+a10＝（）A．8B．9C．10D．115．（5分）函数y＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，＝，＝，＝，则＝（）A．+B．+C．+D．+7．（5分）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．28．（5分）设α，β∈（0，π），若cosα＝，cosβ＝，则α+β＝（）A．B．C．和D．﹣和﹣9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与DD1所成角的正切值为（）A．B．2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）在[0，π]上有2个零点D．f（x）在[﹣，0]上的最大值为112．（5分）设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 13．（5分）lg﹣lg25+8＝．14．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为．15．（5分）设向量＝（3，4），＝（2，﹣1），若向量+λ与垂直，则实数λ＝．16．（5分）点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，E，F分别为DC，A1B1的中点，给出下列命题：①三棱锥A﹣D1PE的体积不变②EP∥平面AFD1③D1P⊥B1C④平面PDB1⊥平面ACD1其中正确命题的序号是．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（10分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）的最小正周期为π，且在x＝﹣取得最小值﹣2．（1）求φ；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣π，π]上的值域．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若sin A+sin C＝2sin（A+C），证明：a，b，c成等差数列；（2）若b2＝ac，求cos B的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，{b n}为等比数列，且a1＝b1，b2（a2﹣a1）＝b1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n+2n﹣1}的前n项和T n．20．（12分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？21．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面AEB⊥平面ABCD，AE＝EB＝，F为CE上的点，BF⊥CE．（1）求证：BF⊥平面ACE；（2）求点D到平面ACE的距离．22．（12分）已知函数f（x）＝lg．（1）判定并证明f（x）的奇偶性和单调性；（2）求不等式f（f（x））+f（lg2）＞0的解集；（3）函数g（x）＝2﹣a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{x|x﹣1≤0}∩{0，1，2}＝{0，1}故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）不等式≤2的解集是（）A．[，+∞）∪（﹣∞，0）B．（0，2]C．[，+∞）D．（0，]∪（﹣∞，0）【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，从而求出它的解集．【解答】解：不等式≤2，即≥0，即x•（2x﹣1）≥0，且x≠0，求得x＜0 或x≥，故选：A．【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．3．（5分）下列函数中，定义域为R，且单调递增的是（）A．y＝2x B．y＝x2C．y＝D．y＝log2x【分析】根据题意，依次分析选项选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x，是指数函数，其定义域为R，在定义域上为增函数，符合题意；对于B，y＝x2，是对称轴为y轴的二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意；对于C，y＝，是反比例函数，其定义域不是R，不符合题意；对于D，y＝log2x，其定义域为（0，+∞），不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2＝3，a5+a6＝7，则a9+a10＝（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据等差数列的性质可得：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），即可求出．【解答】解：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），则a9+a10＝2×7﹣3＝11，故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，以及整体代换求值，属于基础题．5．（5分）函数y＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的定义域和奇偶性，利用排除法进行判断即可．【解答】解：由1﹣cos x≠0得cos x≠1，即x≠2kπ，k∈Z，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除A，f（π）＝0，排除D，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应法，结合排除法是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）在△ABC中，＝，＝，＝，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】根据条件可得出，从而得出，然后进行向量的数乘运算即可．【解答】解：∵，∴，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos C的值，进而根据余弦定理代入计算即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，所以cos C＝2cos2﹣1＝，则AB2＝BC2+AC2﹣2AC•BC cos C＝1+25﹣2×1×5×＝20．∴AB＝2．故选：D．【点评】本题考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）设α，β∈（0，π），若cosα＝，cosβ＝，则α+β＝（）A．B．C．和D．﹣和﹣【分析】由已知可求范围α，β∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求tanα＝2，tanβ＝3，利用两角和的正切函数公式可求tan（α+β）＝﹣1，结合范围α+β∈（0，π），即可求解α+β的值为．【解答】解：∵α，β∈（0，π），cosα＝，cosβ＝，∴α，β∈（0，），∴sinα＝＝，sinβ＝，tanα＝2，tanβ＝3，∴tan（α+β）＝＝＝﹣1，∵α+β∈（0，π），∴α+β＝．故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β＝m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β＝m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选：B．【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒b∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与DD1所成角的正切值为（）A．B．2C．D．【分析】连结AC，AE，由DD1∥CC1，得到∠AEC是异面直线AE与DD1所成角（或所成角的补角），再求出异面直线AE与DD1所成角的正切值．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E为棱CC1的中点，连结AC，AE，∵DD1∥CC1，∴∠AEC是异面直线AE与DD1所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则AC＝＝2，CE＝1，∴tan∠AEC＝＝2．则异面直线AE与DD1所成角的正切值为2．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝﹣对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）在[0，π]上有2个零点D．f（x）在[﹣，0]上的最大值为1【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x+），当x＝﹣时，f（x）＝，不是最值，故f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，故A 不正确；x∈（，），则2x+∈（π，2π），函数f（x）＝sin（2x+）没有单调性，故排除B；x∈[0，π]，2x+∈[，]，f（x）在[0，π]上有2个零点，，故C正确；x∈[﹣，0]，2x+∈[﹣，]，f（x）的最大值为sin＝，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．12．（5分）设f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣2，1]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【分析】根据二次函数和对勾函数的性质进行分析、求解．【解答】解：由f（0）是f（x）的最小值，可知二次函数y＝（x﹣a）2，x≤0的对称轴为x＝a，对勾函数的最小值为2﹣a，根据题意可知，解之得0≤a≤1．故选：B．【点评】本题考查分段函数的最值问题，属于中档题目．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 13．（5分）lg﹣lg25+8＝2．【分析】利用对数及指数的运算性质即可求解．【解答】解：lg﹣lg25+8＝﹣2lg2﹣2lg5+4＝4﹣2（lg2+lg5）＝4﹣2＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了对数及指数的运算，属于基础题．14．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为．【分析】设第n个单音的频率为a n，根据题意知数列{a n}是等比数列，求出通项，进而求出a8即可得到答案．【解答】解：设第n个单音的频率为a n，因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又a1＝f，故数列{a n}是首项为f，公比为的等比数列，则．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的应用，把文字语言转化为数学模型是解题的关键，属于基础题．15．（5分）设向量＝（3，4），＝（2，﹣1），若向量+λ与垂直，则实数λ＝﹣．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求出λ的值．【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（2，﹣1），若向量+λ与垂直，则（+λ）•＝+λ＝25+λ（6﹣4）＝0，则实数λ＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．16．（5分）点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，E，F分别为DC，A1B1的中点，给出下列命题：①三棱锥A﹣D1PE的体积不变②EP∥平面AFD1③D1P⊥B1C④平面PDB1⊥平面ACD1其中正确命题的序号是①②③④．【分析】证明BC1∥平面AD1E，可得P到平面AD1E的距离相等，则三棱锥A﹣D1PE 的体积等于P﹣AD1E的体积为定值，判断①正确；证明平面BEC1∥平面AD1F，从而得到EP∥平面AFD1，判断②正确；证明B1C⊥平面BD1C1，可得D1P⊥B1C，判断③正确；由直线与平面垂直的判定证明DB1⊥平面AD1C，从而得到平面PDB1⊥平面ACD1，判断④正确．【解答】解：如图（1），∵AB∥C1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，可得BC1∥AD1，∵AD1⊂平面AD1E，BC1⊄平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E，可得P到平面AD1E的距离相等，则三棱锥A﹣D1PE的体积等于P﹣AD1E的体积为定值，故①正确；由①知，BC1∥平面AD1，可得BC1∥平面AD1F，连接C1E，可知C1E∥AF，得到C1E ∥平面AD1F，结合BC1∩C1E＝C1，得平面BEC1∥平面AD1F，从而得到EP∥平面AFD1，故②正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有D1C1⊥B1C，BC1⊥B1C，又D1C1∩BC1＝C1，∴B1C⊥平面BD1C1，可得D1P⊥B1C，故③正确；如图（2），∵B1B⊥底面ABCD，∴B1B⊥AC，又AC⊥BD，B1B∩BD＝B，∴AC⊥平面B1BD，则AC⊥DB1，同理可得DB1⊥AD1，而AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面AD1C，而DB1⊂平面DB1P，∴平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（10分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）的最小正周期为π，且在x＝﹣取得最小值﹣2．（1）求φ；（2）将函数y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣π，π]上的值域．【分析】（1）由已知可得A，利用周期公式可求ω，由于f（﹣）＝﹣2，结合范围0＜|φ|＜π，即可求解φ的值；（2）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）＝2sin（x﹣），由已知可求范围x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解其在[﹣π，π]上的值域．【解答】解：（1）由已知可得A＝2，ω＝＝2，因为f（﹣）＝﹣2，所以f（﹣）＝2sin[2×（﹣）+φ]＝﹣2，因为0＜|φ|＜π所以φ＝﹣，（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x﹣），可得g（x）＝2sin（x﹣），因为x∈[﹣π，π]，所以x﹣∈[﹣，]，所以sin（x﹣）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣2，2]，所以函数y＝g（x）在[﹣π，π]上的值域为[﹣2，2]．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若sin A+sin C＝2sin（A+C），证明：a，b，c成等差数列；（2）若b2＝ac，求cos B的最小值．【分析】（1）根据诱导公式和正弦定理，结合等差数列的定义即可证明；（2）根据余弦定理和结合基本不等式即可求出．【解答】证明：（1）sin A+sin C＝2sin（A+C）可得sin A+sin C＝2sin（π﹣B）＝2sin B，由正弦定理可得a+c＝2b，∴a，b，c成等差数列；解：（2）由已知b2＝ac以及余弦定理可得cos B＝﹣≥﹣＝1﹣＝，当且仅当a＝c时，取等号，故cos B的最小值为．【点评】本题考查了正余弦定理和等差数列，基本不等式，属于基础题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，{b n}为等比数列，且a1＝b1，b2（a2﹣a1）＝b1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n+2n﹣1}的前n项和T n．【分析】（1）由数列的递推式可知，当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算出a n，再由等比数列的通项公式，可得b n；（2）求得c n+2n﹣1＝（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1＝n•2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得T n．【解答】解：（1）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，则a n＝2n﹣1；因为a1＝b1＝1，b2（a2﹣a1）＝b1，则b2＝，因为{b n}为等比数列，所以＝，所以b n＝（）n﹣1；（2）c n＝＝（2n﹣1）•2n﹣1，由c n+2n﹣1＝（2n﹣1）•2n﹣1+2n﹣1＝n•2n，所以T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①2T n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，所以T n＝2+（n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查数列的通项公式的求法以及数列的错位相减法求和，注意等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？【分析】（1）设每间客房日租金提高4x元（x∈N+，x＜20），记该中心客房的日租金总收入为y，根据条件即可求出y的表达式；（2）利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y＝（40+4x）（200﹣10x）＝40（10+x）（20﹣x），（这里x∈N•且x＜20）．（2）∵y＝40（10+x）（20﹣x）≤40（＝40×225＝9000，当且仅当10+x＝20﹣x，即x＝5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5＝60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决．21．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面AEB⊥平面ABCD，AE＝EB＝，F为CE上的点，BF⊥CE．（1）求证：BF⊥平面ACE；（2）求点D到平面ACE的距离．【分析】（1）由已知可得CB⊥AB，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得CB⊥平面ABE，得到CB⊥AE．求解三角形证明AE⊥BE，再由直线与平面垂直的判定可得AE⊥平面BCE，得到AE⊥BF．结合已知BF⊥CE，得到BF⊥平面ACE；（2）过点E作EH⊥AB交AB于H，由已知可得EH⊥平面ABCD，设D到平面ACE的距离为h，再由V D﹣ACE＝V E﹣ACD即可求得点D到平面ACE的距离．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，有CB⊥AB，∵平面AEB⊥平面ABCD，且平面AEB∩平面ABCD＝AB，∴CB⊥平面ABE，则CB⊥AE．∵AB＝2，AE＝BE＝，∴AE2+BE2＝AB2，即AE⊥BE，又EB∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE，则AE⊥BF．又BF⊥CE，CE∩AE＝E，∴BF⊥平面ACE；（2）解：过点E作EH⊥AB交AB于H，∵平面AEB⊥平面ABCD，平面AEB∩平面ABCD＝AB，∴EH⊥平面ABCD，设D到平面ACE的距离为h，由V D﹣ACE＝V E﹣ACD，得．∴h＝．即点D到平面ACE的距离为．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝lg．（1）判定并证明f（x）的奇偶性和单调性；（2）求不等式f（f（x））+f（lg2）＞0的解集；（3）函数g（x）＝2﹣a x（a＞0，a≠1），若存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合奇偶性及单调性的定义进行检验即可；（2）结合（1）中奇函数先进行转化，然后利用单调性即可求解；（3）由存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，则当x1∈[0，1），可得g（x）与f（x）的值域一定存在交集，结合单调性及指数函数的性质可求．【解答】解：（1）函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减的奇函数，由可得，﹣1＜x＜1，f（﹣x）＝lg＝﹣lg＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝lg﹣﹣lg＝lg，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴0＜1﹣x2＜1﹣x1＜2，1+x2＞1+x1＞0，∴＞1，lg＞0，∴f（x1）＞f（x2）即f（x）在（﹣1，1）上单调递减，（2）由f（f（x））+f（lg2）＞0可得f（f（x））＞﹣f（lg2）＝f（﹣lg2），∴，∴，∴，解可得，故不等式的解集为（，）；（3）由存在x1，x2∈[0，1），使得f（x1）＝g（x2）成立，则当x1∈[0，1），f（x）的值域（﹣∞，0]，∴g（x）与f（x）的值域一定存在交集，当0＜a＜1时，g（x）＝2﹣a x在[0，1）上单调递增，值域[1，2﹣a），此时g（x）与f （x）的值域不存在交集，当a＞1时，g（x）＝2﹣a x在[0，1）上单调递减，值域（2﹣a，1]，∴2﹣a＜0即a＞2，综上，a的范围（2，+∞）．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性的判断及利用奇偶性、单调性求解不等式，函数存在性问题的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．。
内蒙古赤峰市2018_2019学年高二数学下学期期末联考试题文(含解析)
内蒙古赤峰市2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题 文（含解析）本试卷共22题，共150分，共8页，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试范围：必修3，选修1-1，1-2，选修4-4，4-5. 注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z 满足(1)1i z i -=+，则z =（ ） A. i - B. i C. 2i + D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出z,再求z .【详解】由题得21(1)2122i i iz i i ++====-， 所以z i =-. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.对于函数()y f x =，下列说法错误的是（ ） A. 函数的极值不能在区间端点处取得B. 若()f x '为()f x 的导函数，则()0f x '=是()y =f x 在某一区间存在极值的充分条件C. 极小值不一定小于极大值D. 设函数()y =f x 在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在区间(,)a b 内不单调. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的； B. 若()f x '为()f x 的导函数，则()0f x '=是()y =f x 在某一区间存在极值的非充分条件，如函数32()=,()3,(0)0f x x f x x f ''∴=∴=，但是函数3()=f x x 是R 上的增函数，所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的； C. 极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；D. 设函数()y =f x 在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在区间(,)a b 内不单调.故该选项是正确的. 故选：B【点睛】本题主要考查极值的概念和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[]1,820的人做问卷A ，编号落入区间[]821,?1500的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26【答案】C 【解析】 【分析】先求出做A,B 卷的人数总和，再求做C 卷的人数. 【详解】由题得每一个小组的人数为2000=20100， 由于1500=7520，所以做A,B 卷调查的总人数为75， 所以做C 卷调查的人数为100-75=25. 故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知双曲线2221(0)3x y b b-=>的离心率为2，则b =（ ）A. 3 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】2=，即可得解.2=，解之得3,0,3b b b =±>∴=. 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（ ）A. 1B. 34D. 14【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到正三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案． 【详解】满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积31643S =⨯=三角形，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部 分所示，则2S π=阴影，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都不小于2的概率是：31143P π=-=-，故选：A ．【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.6【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式求解.【详解】由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.故选：B【点睛】本题主要考查对立事件的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：，所以应是充分必要条件.故选C.考点：充分条件、必要条件.【此处有视频，请去附件查看】8.某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班乙说：我在8日和9日都有值班丙说：我们三人各自值班日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A. 10日和12日 B. 2日和7日 C. 4日和5日 D. 6日和11日 【答案】D 【解析】 【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，由题可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，确定丙必定值班的日期． 【详解】由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C ．【点睛】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A. (2)()(3)f f e f >> B. (3)()(2)f f e f >> C. ()(2)(3)f e f f >>D. ()(3)(2)f e f f >>【答案】D 【解析】21ln (),x f x x-'=当()0,x e ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，当(,)x e ∈+∞时， '()0,()f x f x <单调递减，max ln 2ln 3ln8ln 9()(),(2)(3)0,236f x f e f f -=-=-=<所以(2)(3),f f <故有()()()32.f e f f >>选D.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A. 2 B. 2-C. 12-D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22cc a a b a a b a=∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF的斜率为||PF =（ ）A. B. 43D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先求出焦点坐标和准线方程，得到AF 方程，与准线方程联立，解出A 点坐标，因为PA 垂直准线l ，所以P 点与A 点纵坐标相同，再求P 点横坐标，利用抛物线定义求出||PF 长． 【详解】抛物线方程为24y x =，∴焦点(1,0)F ，准线l 方程为1x =-，直线AF的斜率为3-，直线AF的方程为1)y x =-，由11)x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩可得A 点坐标为(1-PA l ⊥，A 为垂足，P ∴，代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3，14||||(1)33PF PA ∴==--=.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，点M在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A. 32B.12C. 2D.12【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为1,F 运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F 由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒， 即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠222214424()122c c c c =+--=，即有1||MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c，可得cea=．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程为ˆˆˆy bx a=+必过点__________．【答案】(5,4)；【解析】【分析】求出样本中心点即得解.【详解】由题得246813575,444x y++++++====.所以样本中心点为(5,4).所以线性回归方程ˆˆˆy bx a=+必过点（5,4）.故答案为：(5,4)【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查回归直线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动，则选中的2人都是女同学的概率__________． 【答案】310； 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】由古典概型的概率公式得2325310C P C ==.故答案为：310【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论22222a b h a b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c 且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论__________．【答案】2222222222a b c h a b b c c a =++；【解析】 【分析】由平面上的直角三角形Rt ABC ∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设PA 、PB 、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC -的高为PD h =， 连接AD 交BC 于E ，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA ∴⊥平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，PA PE ∴⊥，PA BC ⊥，AE BC ∴⊥，PE BC ⊥22222b c PE bc ∴=+，∴222222PA PE h PD PA PE ==+2222222222b c a b c b c a b c+=++222222222a b c a b b c c a =++．故答案为：2222222222a b c h a b b c c a =++．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．16.若函数219()53ln(1)22f x x x x =-+---在[,1]t t +上不是单调函数，则实数t 的取值范围是__________．【答案】(1,2)(3,4)⋃； 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的单调性，再由函数的单调性得到12241214t t t t <<<<⎧⎧⎨⎨+>+>⎩⎩或，解不等式组即得解. 【详解】由题得3(2)(4)()51)11x x f x x x x x ---'=-+-=>--（， 令(2)(4)01x x x --->-，所以2＜x ＜4，令(2)(4)01x x x ---<-，所以1＜x ＜2或x ＞4. 所以函数的增区间为2,4（），减区间为（1,2），（4，+∞）.因为函数219()53ln(1)22f x x x x =-+---在[,1]t t +上不是单调函数，所以12241214t t t t <<<<⎧⎧⎨⎨+>+>⎩⎩或， 解之得t∈(1,2)(3,4)⋃所以实数t 的取值范围为(1,2)(3,4)⋃. 故答案为：(1,2)(3,4)⋃【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.已知0a >且1a ≠，命题P ：函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞上为增函数；命题Q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴无交点，若“P Q ∨”为真，“P Q ∧” 为假，求实数a 的取值范围. 【答案】112a <≤或52a ≥ 【解析】 【分析】先化简两个命题，再根据“P Q ∨”为真，“P Q ∧” 为假得到,P Q 一真一假，再得到关于a 的不等式组，解不等式组即得解. 【详解】解：由已知得， 对于:1P a >，2:(23)40Q a ∆=--<，即1522a <<. 若“P Q ∨”为真，“P Q ∧”为假，所以,P Q 一真一假若P 为真命题，Q 为假命题，则11522a a a >⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或，所以52a ≥ 若P 为假命题，Q 为真命题，则11522a a ≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，所以112a <≤综上，112a <≤或52a ≥ 【点睛】本题主要考查复合命题的真假，考查对数函数的单调性和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.①.22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+- ②.22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒+-③.()()22sin 25cos 55sin 25cos55︒︒︒︒-+--（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明. 【答案】（1）34（2）()()223sin cos 30sin cos 304αααα︒︒+---=，证明见解析 【解析】 【分析】（1）选择①化简得这个常数为34；（2）找到一般规律：()()223sin cos 30sin cos 304αααα︒︒+---=，再化简证明. 【详解】解：（1）22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+-()()22sin 13cos 3013sin13cos 3013︒︒︒︒︒︒=+--- ()()22sin 13cos30cos13sin 30sin13sin13cos30cos13sin 30sin13︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=++-+2222311sin 13cos 13sin 13cos13cos13sin 13442︒︒︒︒︒︒︒︒=++-22333sin 13cos 13444︒︒=+= （2）一般规律：()()223sin cos 30sin cos 304αααα︒︒+---=证明：()()22sin cos 30sin cos 30αααα︒︒+---()()22sin cos30cos sin30sin sin cos30cos sin30sin αααααα︒︒︒︒=++-+222231331sin cos sin sin cos sin cos sin 442αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+= 【点睛】本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.某媒体为调查喜爱娱乐节目A 是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（1）根据该等高条形图，完成下列22⨯列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关？（2）从性观众中按喜欢节目A 与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关；（2）25．【解析】试题分析：（1）根据等高条形图算出所需数据可得完成22⨯列联表，由22⨯列联表，利用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++可得2K 的观测值，与邻界值比较从而可得结果；（2）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的概率.试题解析：（1）由题意得22⨯列联表如表：假设0H ：喜欢娱乐节目A 与观众性别无关， 则2K 的观测值()26024151565405.934 3.8413921303091k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关．（2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A 的人数为524430⨯=，不喜欢节目A 的人数为56130⨯=． 被抽取的喜欢娱乐节目A 的4名分别记为a ，b ，c ，d ；不喜欢节目A 的1名记为B ．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a B ，{},b c ，{},b d ，{},b B ，{},c d ，{},b c ，{},d B 共有10种，其中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的有{},a B ，{},b B ，{},b c ，{},d B 共4种，所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的观众的概率是42105=．20.已知椭圆方程为2214y x +=，射线2(0)y x x =≥与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于,A B 两点（异于M ）.（1）求证直线AB 的斜率为定值； （2）求AMB ∆面积最大值. 【答案】（1）见解析（2）1 【解析】【分析】（1）先求出M ⎝，设直线:MA y k x ⎛=- ⎝⎭，联立直线MA 的方程与椭圆的方程，借助韦达定理证明直线AB 的斜率为定值；（2）设直线:2l y x m =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，求出12AMB S ∆=再利用基本不等式求面积的最大值.【详解】解：（1）由22142(0)y x y x x ⎧+=⎪⎨⎪=≥⎩，得2M ⎛ ⎝不妨设直线:2MA y k x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:2MB y k x ⎛=-- ⎝⎭.由22214y k x y x ⎧⎛=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩， 得()()2222142202k x x k k +-+--=，设()()1122,,,,2A x y B x y M ⎛ ⎝1x ∴=，)()2124424k k x k--∴=+同理得)()2224424k k x k +-∴=+(2212121212442ABk x x k k y y k x x x x +--+-∴====-- ∴直线AB 的斜率为定值2（2）设直线:2l y x m =+，设()()1122,,,P x y Q x y由22214y x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得228440x mx m -+-=，2122834k x x k ∴+=+，()121226234k y y k x x k -+=+-=+， 由>0∆得m -<<0m ≠，点M 到AB的距离d =AB ==2211118122442AMBm m S AB d m ∆+-=⋅==≤⋅= 当且仅当228m m =-，即24m =， 当2m =±时，取等号， 所以AMB ∆面积的最大值为1.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题和最值问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21.已知函数31()443f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间及极值；（2）求证：对于区间[2,2]-上的任意12,x x ，都有()()12323f x f x -≤； （3）若过点2124,381A m m ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可作曲线()y =f x 的三条切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）当(,2)x ∈-∞-和(2,)x ∈+∞时， ()f x 为增函数；当(2,2)x ∈-时，()f x 为减函数，()f x 的极小值为43-，极大值为283（2）见解析（3）4116381m <<【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值；（2）等价于max min 32()()3f x f x -≤，利用第一问结论分析即得解；（3）设切点为30001,443x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2124,381A m m ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3002001443423x x mx x -+--=-，即方程32002240333x x m --+=有三个实根，利用导数分析得解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()4f x x '=-， 当(,2)x ∈-∞-和(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当(2,2)x ∈-时，()0,()f x f x '<为减函数，()f x ∴的极小值为4(2)3f =-，极大值为28(2)3f -=（2）当[2,2]x ∈-时，()f x 为减函数，对于区间[2,2]-上的任取12,x x ， 都有()()1228432(2)(2)333f x f x f f ⎛⎫-≤--=--= ⎪⎝⎭，即得证 （3）设切点为30001,443x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2124,381A m m ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则3002001443423x x mx x -+--=-， 32002240333x x m ∴--+=， 设32224()0333g x x x m =--+=，则24()23g x x x '=-， 令24203x x -=，解得20,3x x ==，要使过点2124,381A m m ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可作曲线()y =f x 三条切线，必须满足(0)0203g g >⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，即403282440327393m m ⎧-+>⎪⎪⎨⎪⋅-⋅-+<⎪⎩，解得4116381m << ∴实数m 的取值范围为4116381m <<. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :{sin x t C y t αα==（t 为参数，0t ≠），其中0a π≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4sin C ρθ=，曲线3C ρθ==.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标系；（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.【答案】（1）交点坐标为(00)，，3)．（2）最大值为8．【解析】试题分析：（1）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 将曲线2C 与3C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组求解交点的直角坐标，（2）曲线1C 为直线，倾斜角为a ，极坐标方程为θα=，代入2C 与3C 的极坐标方程可得A B ，的极坐标，则AB 为对应极径之差的绝对值，即π4sin 8cos 6AB ααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，最后根据三角函数关系有界性求最值.试题解析：解：（Ⅰ）2C ：2240x y y +-=，3C ：220x y +-=，联立得交点坐标为()00，，)3． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为()0R θαρρ=∈≠，，其中0πα≤<． 因此得到A 的极坐标为()4sin ，αα，B 的极坐标为()αα，．所以π4sin 8cos 6AB ααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为8． 23.已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。
2018-2019内蒙古赤峰市高一下学期期中考试数学试题
2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期中考试数学试题一、单选题 1．在数列{}中，若，，则= A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】根据递推关系依次求对应项. 【详解】 因为，，所以，所以.选B.【点睛】本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题. 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A=3π，a=3，b=2，则sinB= A ．3 B ．13C ．12D ．3 【答案】A【解析】直接根据正弦定理即可求出． 【详解】 A 3π=，a ＝3，b ＝2，由正弦定理可得a b sinA sinB=，则sin B 32323bsinA a ⨯===， 故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题． 3．不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解一元二次不等式即得结果. 【详解】因为，所以，解得.选D.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题. 4．若，，则与的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作差后因式分解，即可判断大小. 【详解】 因为，，所以，即,选A.【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.5．记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若325a =，4129a a +=，则10S = A ．34 B ．35C ．68D ．70【答案】B【解析】由题意可得4129a a +=进而可得829a =，而10S ()38102a a +=，代入即可得答案． 【详解】352a =，又4129a a +=故829a =，得892a =， 则10S =()3810352a a +=故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题． 6．ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b=acosC ，则△ABC 是 A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理结合两角和的正弦公式求解即可 【详解】由正弦定理得 sin sin cos sin()B A C A C ，得cos sin 0A C = ，sin 0C故cos 0,2A A则△ABC 是直角三角形故选：C 【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦，三角形内角和定理，熟记公式是关键，是基础题7．设满足约束条件，则的最小值为（ ）A ．-5B ．-1C ．5D ．11【答案】A【解析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果. 【详解】作出可行域，当直线经过点时，.选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．若对任意的正数a ，b 满足310a b +-=，则31a b+的最小值为 A ．6 B ．8C ．12D ．24【答案】C【解析】利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 【详解】∵两个正数a ，b 满足310a b +-=即a +3b=1则31a b+=()3193662912b aa ba b a b⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭当且仅当11,26a b==时取等号．故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题．9．在正项等比数列{}中，，则=A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解.【详解】因为，所以.选D.【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是A．a=2，b=3，A=30°B．b=6，c=4，A=120°C．a=43，b=6，A=60°D．a=3，b=6，A=30°【答案】A【解析】由正弦定理和三角形的内角和定理，以及三角函数的图象与性质，即可判断三角形解的个数．【详解】对于A，a=2，b=3，A=30°，∴由正弦定理2330sin sinB=︒得：sin B＝3142>，∴此三角形有2解；对于B，b=6，c=4，A=120°，由余弦定理得19,此三角形有1解；对于C，a=43，b=6，A=60°，由正弦定理43660sin sinB =︒得334sinB =<，该三角形只有1解； 对于D ，a=3，b=6，A=30°， 由正弦定理3630sin sinB=︒得sin B ＝1，∴B ＝90°，此三角形只有1解故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理的应用问题，是中档题．11．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用 12．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据正弦定理用角A,C 表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果. 【详解】因为，为的角平分线，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，所以，则,因为，所以,所以，则，即的取值范围为.选A.【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．在等差数列，，，则公差______．【答案】3【解析】根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.14．若，则的最小值为______．【答案】8【解析】根据基本不等式求最值.【详解】因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15．若数列{n a }的前n 项和为223nn S n =-+，则34+a a =___________。
内蒙古赤峰市2019版高一下学期期末数学试卷 B卷
内蒙古赤峰市2019版高一下学期期末数学试卷 B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·福建期末) 已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·朝阳期中) 已知α，β都是锐角，cosα= ，cos（α+β）=﹣，则oosβ值为（）A . -B . -C .D .3. （2分）已知A（x，2），B（5，y﹣2），若 =（4，6），则x、y值分别为（）A . x=﹣1，y=0B . x=1，y=10C . x=1，y=﹣10D . x=﹣1，y=﹣104. （2分）已知点P（）在第三象限, 则角的终边在（）.A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5. （2分） (2019高一下·大庆期中) 已知平面上三点 , , 满足 , , ,则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·潮州期末) 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为（）A . ①随机抽样法，②系统抽样法B . ①分层抽样法，②随机抽样法C . ①系统抽样法，②分层抽样法D . ①②都用分层抽样法7. （2分） (2019高二下·南昌期末) 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一下·济南期末) 阅读如图程序框图，若输出结果为0，则①处的执行框内应填的是（）A . x=﹣1B . b=0C . x=1D . a=9. （2分）下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（）A . 7元B . 37元C . 27元D . 2337元10. （2分）已知锐角的终边上一点，则锐角 =（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·威远期中) 下面说法中，正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1 ， e2 ，使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的.A . ②④B . ①③④C . ①③D . ②③④12. （2分）将函数y=cosx的图象经过怎样的平移，可以得到函数 y=sin(x+)的图象（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 设，且，则 ________14. （1分） (2016高三上·崇明期中) 已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2 ，则扇形的周长为________．15. （1分）已知是平面上三个不同的点，且满足关系，则实数λ的取值范围是________．16. （1分） (2020高一下·吉林期中) 若，则 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·邵东期中) 解答（1）已知函数，求函数在区间[﹣2π，2π]上的单调增区间；（2）计算：．18. （5分） (2017高一下·邯郸期末) 已知，为两个非零向量，且| |=2，| |=1，（ + ）．（Ⅰ）求与的夹角（Ⅱ）求|3 |．19. （10分）(2017·湖南模拟) 如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．20. （10分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形且∥，侧面为等边三角形，且平面平面 .（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（2）若，且直线与平面所成角为，求的值.21. （10分）在锐角△ABC中，已知 .（1）求的值；（2）若，，求b的值.22. （10分） (2020高一下·双流月考) 已知点，是函数（，）图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
内蒙古赤峰市2019-2020学年高一下学期期末考试联考(A卷)数学(文科)试题 Word版含解析
2019-2020学年内蒙古赤峰市高一第二学期期末数学试卷（文科）（A 卷）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合{}|2A x x =≤，{}|03B x x =<<，则集合A B =（ ）A. {}2|x x ≤B. {}|3x x <C. {}|23x x <<D.{}2|0x x <≤【答案】D 【解析】 【分析】本题可通过交集的定义直接求解.【详解】因为集合{}|2A x x =≤，{}|03B x x =<<， 所以集合{}|02A B x x =<≤.故选：D .【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题. 2. 不等式211x >+的解集是（ ） A. ()1,+∞ B. ()1,1- C. (),1-∞- D. ()(),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】不等式211x >+，即101x x -<+，即()()110x x -+<， 求得11x -<<， 故选：B .【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.3. 下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A. 2xy = B. 2yxC 1y x=D. ()log 0,1a y x a a =>≠【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数，对数函数，二次函数及反比例函数的性质即可求解. 【详解】结合指数函数的性质可知，2xy =的值域()0,∞+，结合二次函数的性质可知，2yx 的值域[)0,+∞.结合反比例函数的性质可知，1y x=的值域{}|0y y ≠， 结合对数函数的值域可知，log a y x =的值域R .故选：A .【点睛】本题考查基本初等函数值域的求解，属于基础题.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且896S =，770S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，能求出{}n a 的公差. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且896S =，770S =，∴8171878962767702S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得12a =-，4d =. ∴{}n a 的公差为4.故选：C .【点睛】本题考查等差数列公差的计算，属于基础题.5. 在下面四个[],x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得函数()f x 在[],ππ-上为偶函数，排除AC ，再由函数值的符号，排除D ，即可得答案.【详解】根据题意，函数sin 2y x x =，[],x ππ∈-， 有()()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=--==， 即函数()f x 在[],ππ-上为偶函数，排除AC ， 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，sin 20x >，()0f x >，函数图象在x 轴上方， 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，sin 20x <，()0f x <，函数图象在x 轴下方， x 轴上方和下方的部分各占区间()0,π的一半，排除D ；故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选择图象，会判断函数的性质是解决的关键，属于基础题. 6. 在ABC 中，AB a =，AC b =，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB （ ） A.1344a b + B.1344a b - C.3144a b + D.3144a b - 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量. 【详解】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，EB AB AE =-12AB AD =-()1122AB AB AC =-⨯+3144AB AC =- 3144a b =- 故选：D .【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理，属于基础题. 7. 在ABC 中，3cos 5A =且5cos 13B =，则cos C 等于（ ）A. 3365-B. 3365C. 6365-D.6365【答案】B 【解析】 【分析】在ABC 中， ()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.【详解】解：∵在ABC 中，A B C π++=， ∴()C A B π=-+，又3cos 5A =，5cos 13B =，∴4sin 5A =，12sin 13B =， ∴()()cos cos cosC A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+354123351351365⎛⎫=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 若1tan 3θ=-，则()cos2θ=A. 45-B. 15-C.15D.45【答案】D 【解析】 【分析】由2222221tan cos 21tan cos sin cos sin θθθθθθθ--==++直接代入计算即可. 【详解】因为13tan θ=-， 所以222222111tan 49cos 211tan 519cos sin cos sin θθθθθθθ---====+++． 故选D ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．9. 已知设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，m n ⊥则αβ⊥ B. 若//αβ，m α⊥，βn//，则m n ⊥ C. 若αβ⊥，m α⊥，βn//则m n ⊥D. 若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n β⊥【答案】B 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，推导出m β⊥，所以m n ⊥；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，n 与β相交、平行或n β⊂．【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若//αβ，m α⊥，//n β，则m β⊥，所以m n ⊥，故B 正确； 在C 中，若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n 与β相交、平行或n β⊂，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10. 在三棱锥P ABC -中，M ，N ，R ，Q 分别是PA ，AB ，BC ，PC的中点，若PB AC m ==，且PB 与AC 所成的角为60︒，则四边形MNRQ 的面积为（ ）A.23m 8B.23m 4C.23m 2D. 23m【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，可得四边形MNRQ 为菱形，再由已知异面直线所成角求得MNR ∠，代入三角形面积公式计算. 【详解】解：如图，∵M ，N ，R ，Q 分别是PA ，AB ，BC ，PC 的中点， ∴////MN QR PB ，////MQ NR AC ， ∴四边形MNRQ 为平行四边形，又PB 与AC 所成的角为60︒，∴60MNR ∠=︒（或120︒）.∵PB AC m ==，∴2mMN NR ==，则四边形MNRQ 为菱形.∴212222MNRQ m m S =⨯⨯⨯=四边形. 故选：A.【点睛】此题考查异面直线所成的角的有关计算，考查计算能力，属于基础题 11. 若函数()()cos 2f x x φ=+在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其中有(),2ϕππ∈，则ϕ的取值范围为（ ） A. 11,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,6ππ⎛⎤⎥⎝⎦C. 4,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦D.4,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】直接利用整体思想的应用求出函数的单调区间，进一步利用子集间的关系求出结果. 【详解】解：函数()()cos 2f x x φ=+在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()222k x k k Z ππϕπ-≤+≤∈， 整理得()22k x k k Z ϕπϕππ+-≤≤-∈，故：2432k x k ϕπππϕππ+-≤<<≤-，所以3224k k πϕπϕπππ⎧≤-⎪⎪⎨+⎪-≤⎪⎩，解得()232232k k k Z πππϕπ-≥≥-∈， 当1k =时，432ππϕ≥≥， 由于44,,323ππππ⎛⎤⎡⎤⊂ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦， 故选：C .【点睛】本题考查余弦型函数单调性、初相的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12. 若函数()()123,121,1xa x a x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合分段函数性质及指数函数与一次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，()123y a x a =-+单调递增且1231a a -+≥，故1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解可得，102a ≤<.故选：A .【点睛】本题考查分段函数的值域，数形结合更直观.二、填空题（共4小题）.13. 设函数()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3f f =⎡⎤⎣⎦_____. 【答案】1e【解析】 【分析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵()()225,3log 4,3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩， 所以()53log 51f ==， 则()()1131f f f e e-===⎡⎤⎣⎦. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【解析】分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，∴S 7=71(12)12a --=381，解得a 1=3．故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.15. 已知点()1,1A ，()4,2B 和向量()2,a λ=，若a AB ⊥，则实数λ=_____. 【答案】6- 【解析】 【分析】可以求出()3,1AB =，然后根据a AB ⊥即可得0a AB ⋅=，进行向量坐标的数量积运算即可求出λ的值.【详解】()3,1AB =，()2,a λ=，且a AB ⊥， ∴60a AB λ⋅=+=，解得6λ=-. 故答案为：6-.【点睛】本题考查向量垂直求参数，属于基础题.16. 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的序号是_____．①AC ⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF 的面积与△BEF 的面积相等．④三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判断①正确，利用线面平行的判定定理判断②正确，利用同底不同高判断③错误，利用等底等高证明④正确.【详解】由于1,AC BD AC DD ⊥⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，所以①正确.由于//EF BD ，所以//EF 平面ABCD ，故②正确.由于三角形AEF 和三角形BEF 的底边都是EF ，而高前者是A 到EF 的距离，后者是B 到EF 的距离，这两个距离不相等，故③错误.由于三棱锥A BEF -的底面三角形BEF ∆的面积为定值112EF BB ⋅⋅.高是A 点到平面BEF 也即A 点到平面11BDD B 的距离也是定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值.故④正确.综上所述，正确的时①②④.【点睛】本小题主要考查空间两条直线垂直关系的判断，考查空间线面平行的判断，考查平面图形的面积和空间立体图形的体积的判断，属于基础题.三、解答题（共6小题）.17. 已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像过点5,012P π⎛⎫-⎪⎝⎭，且图像上与P 点最近的一个最低点坐标为,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求函数的解析式； （2）若将此函数的图像向左平移6π个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到()g x 的图像，求()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）[]1,4. 【解析】 【分析】（1）本题首先可根据最低点的坐标为,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得出2A =，然后根据511264T ππ-+=得出2ω=，最后将点,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭带入()2sin 2y x ϕ=+中，即可求出ϕ的值，得出结果；（2）本题首先可根据图像变换得出()2sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得出52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数性质即可求出函数()g x 的值域. 【详解】（1）因为一个最低点的坐标为,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2A =，()2sin y x ωϕ=+， 因为511264T ππ-+=，所以最小正周期T π=，22Tπω==，()2sin 2y x ϕ=+， 将点,26π⎛⎫-- ⎪⎝⎭带入()2sin 2y x ϕ=+中， 可得22sin 26πϕ⎡⎤⎛⎫-=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）向左平移6π个单位长度后得到函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再向上平移2个单位长度得到()2sin 226g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,4g x ∈， 故函数()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,4 【点睛】本题考查三角函数解析式的求法、三角函数图像变换以及三角函数的值域，可根据最值、周期、三角函数上的点坐标来求出三角函数解析式，考查正弦函数性质，考查推理能力与计算能力，是中档题.18. 已知ABC 中，34B π=，AC =，cos 5C =. （1）求边BC 的长；（2）若边AB 的中点为D ，求中线CD 的长.【答案】（1；（2【解析】 【分析】（1）由已知求得sin C ，再求出sin A ，然后利用正弦定理求出BC ； （2）由已知结合正弦定理求AB ，然后得到BD ，再由余弦定理求出CD .【详解】（1）∵cos 0C =>，()0,C π∈，∴sin 5C ==. ∴()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==. 由正弦定理，可得sin sin BC ACA B=，即sin sin ACBC A B=⋅= （2）由已知及正弦定理，得sin 2sin ACAB C B=⋅=，∴1BD =.由余弦定理，可得2122152CD =++⨯=，则CD =【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na a n +=+，*n N ∈. （1）设nn a b n=，证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21n n S n =-⋅+. 【解析】 【分析】（1）直接利用构造关系求出数列为等比数列. （2）直接利用乘公比错位相减法求出数列的和.【详解】（1）数列{}n a 满足11a =，()121n n na a n +=+，整理得121n n a a n n+=⋅+，由于n n ab n =，所以12n n b b +=，所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得12n n a n -=⋅， 所以01112222n n S n -=⨯+⨯++⋅①，12212222n n S n =⨯+⨯++⋅②，①﹣②得()121221n n nS n ⨯--=-⋅-，(1)21n n S n =-⋅+.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查错位相减法求和，属于基础题.20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】（1）11()(0),()82f x x xg x x =≥=（2）投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元；最大年收益为3万元. 【解析】 【分析】（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k x =≥=12,k k 即得解； （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20)x -万元，年收益为y 万元,得到120(020)82x y x x =-≤≤，再换元求出函数的最值即可. 【详解】解：（1）依题意可设1()(0),()f x k x x g x k x =≥=121111(1),(1)()(0),()8282f kg k f x x x g x x ====∴=≥=（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20)x -万元，年收益为y 万元 依题意得()(20)y f x g x =+- 即120(020)82x y x x =+-≤≤ 令20t x =-则220,[0,25]x t t =-∈则220,[0,25]82t t y t -=+∈即21(2)3,[0,25]8y t t =--+∈当2t = 即16x =时，收益最大，最大值为3万元,所以投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大，最大值为3万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数最值的求法，考查二次函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.21. 如图，ABC 中，22AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点.（1）求证：//GF 底面ADC ； （2）求证：GF ⊥平面EBC ； （3）求三棱锥F EBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）124. 【解析】 【分析】（1）连接AE ，由ADEB 为正方形，可得F 是AE 的中点，再由G 是EC 的中点，得到//GF AC ，由直线与平面平行的判定可得//GF 平面ADC ；（2）由ADEB 为正方形，可得EB AB ⊥，由平面ABED ⊥平面ABC ，结合平面与平面垂直的性质可得BE ⊥平面ABC ，得到EB AC ⊥，求解三角形证明AC BC ⊥，再由直线与平面垂直的判定可得AC ⊥平面EBC ，进一步得到GF ⊥平面EBC ； （3）由已知可得三角形EBC 的面积，再由棱锥体积公式求解. 【详解】（1）证明：连接AE ，∵ADEB 为正方形，∴AE BD F ⋂=，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴//GF AC . 又AC ⊂平面ADC ，GF ⊄平面ADC ， ∴//GF 平面ADC ；（2）证明：∵ADEB 为正方形，∴EB AB ⊥，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，EB ⊂平面ABED ，BE AB ⊥，∴BE ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴EB AC ⊥. ∵2AC BC AB ==，∴222CA CB AB +=，得AC BC ⊥. 又∵BCBE B =，∴AC ⊥平面EBC .∵//GF AC ，∴GF ⊥平面EBC ； （3）∵1AB =，∴22BC AC ==，24GF =. ∴111221133224F EBC EBC V S FG -=⋅⋅=⋅=△. 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，属于中档题. 22. 已知函数()()1log 0,11a mxf x a a x +=>≠-是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）是否存在实数p ，a ，当(),2x p a ∈-时，函数()f x 的值域是()1,+∞.若存在，求出实数p ，a ；若不存在，说明理由； （3）令函数()()()2615f x g x ax x a=-+--，当[]2,3x ∈时，求函数()g x 的最大值.【答案】（1）1；（2）存在实数2a =+1p =；（3）()max919,01931,123413,2a a g x a aa a ⎧⎪-+<≤⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得有()()0f x f x -+=，即11log log 011aa mx mxx x +-+=---，解可得：1m =±，结合对数的定义验证即可得答案； （2）分类讨论，利用当(),2x p a ∈-时，函数()f x 的值域是()1,+∞，可得结论； （3）化简得()261g x ax x =-++，[]2,3x ∈且0a >，1a ≠，分类讨论，求出函数()g x 的最大值.【详解】（1）根据题意，函数()()1log 0,11a mxf x a a x +=>≠-是奇函数， 则有()()0f x f x -+=恒成立，即11log log 011aa mx mxx x +-+=---恒成立，即11111mx mxx x +-⨯=---恒成立，即2211m x x -=-恒成立，所以21m =， 解可得：1m =±， 当1m =-时，111xx -=--，不合题意，舍去； ∴1m =.（2）由（1）的结论，()12log log 111a a x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，由101x x +>-，解可得1x <-或1x >，即函数的定义域为()(),11,-∞-+∞；分2种情况讨论：①，当21p a <-≤-时，得01a <<.此时()f x 为(,2)p a -上的增函数，此时有1log 1121a p p a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩，即111p a p a +⎧=⎪-⎨⎪=⎩，不合题意，舍去； ②，当12p a ≤≤-时，得3a >.此时()f x 为(,2)p a -上的减函数，此时有121log 121a p a a =⎧⎪-+⎨=⎪--⎩，解得2a =+2a =-，1p =，故存在实数2a =+1p =满足题意. （3）∵()()()2615f x g x ax x a=-+--，()1log 1ax f x x +=-， ∴()261g x ax x =-++，[]2,3x ∈且0a >，1a ≠，①当32a ≤，即32a ≥时，函数()g x 在[]2,3上单调递减， 所以()()max 2413g x g a ==-+， ②当33a≥，即01a <≤时，函数()g x 在[]2,3上单调递增， 所以()()max 3919g x g a ==-+， 当312a <<时，函数()g x 在32,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()max391g x g a a⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 综上所述，()max919,01931,123413,2a a g x a a a a ⎧⎪-+<≤⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数的取值范围，考查了由对数型函数的值域求参数，考查了分类讨论法求二次函数的最值，考查了分类讨论思想，属于难题.。
内蒙古赤峰市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018～2019学年高一下学期期中考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修5.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A. 16 B. 17C. 18D. 19【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系依次求对应项.【详解】因为11a =，132n n a a +=+，所以21325a a =+=，所以323217a a =+=.选B. 【点睛】本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A=3π，a=3，b=2，则sinB= A.33B.13C.12D.32【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正弦定理即可求出． 【详解】A 3π=，a ＝3，b ＝2，由正弦定理可得a b sinA sinB=，则sin B 323233bsinA a ⨯===，【点睛】本题考查了正弦定理，考查了运算能力，属于基础题．3.不等式223140x x -++≥的解集为 A. (]7,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B. [)7,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C. 7,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 72,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式即得结果.【详解】因为223140x x -++≥，所以()()2720x x --+≥，解得722x -≤≤.选D. 【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.4.若2235M a a =-+，24N a a =-+，则M 与N 的大小关系为（ ） A. N M ≥ B. x x x >>22C. M N <D. N M ≤【答案】A 【解析】 【分析】作差后因式分解，即可判断大小.【详解】因为2235M a a =-+，24N a a =-+，所以()()222223542110M N a a a a a a a -=-+--+=-+=-≥，即M N ≥,选A.【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.5.记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若325a =，4129a a +=，则10S = A. 34 B. 35 C. 68 D. 70【答案】B 【解析】由题意可得4129a a +=进而可得829a =，而10S ()38102a a +=，代入即可得答案．【详解】352a =，又4129a a +=故829a =，得892a =， 则10S =()3810352a a +=故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题．6.ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b=acosC ，则△ABC 是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式求解即可 【详解】由正弦定理得sin sin cos sin()B A C A C ==+ ，得c o s s i n 0A C =，sin 0C ¹Q 故cos 0,2A A p=\=则△ABC 是直角三角形 故选：C【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦，三角形内角和定理，熟记公式是关键，是基础题7.设,x y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z 2x 3y =-的最小值为（ ）A. -5B. -1C. 5D. 11【答案】A 【解析】 【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.【详解】作出可行域，当直线23z x y =-经过点()A 2,3时，min 22335z =⨯-⨯=-.选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.8.若对任意的正数a ，b 满足310a b +-=，则31a b+的最小值为 A. 6 B. 8C. 12D. 24【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可【详解】∵两个正数a ，b 满足310a b +-=即a +3b=1 则31a b +=()3193662912b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当11,26a b == 时取等号．故选：C点睛】本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题．9.在正项等比数列{n a }中，274a a =，则212228log log log a a a +++…= A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解. 【详解】因为4a a =，所以()()4421222821282272log log ...log log ...log log 48a a a a a a a a +++====. 选D.【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10.ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A. a=2，b=3，A=30° B. b=6，c=4，A=120° C. a=43，b=6，A=60° D. a=3，b=6，A=30°【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形的内角和定理，以及三角函数的图象与性质，即可判断三角形解的个数． 【详解】对于A ，a=2，b=3，A=30°， ∴由正弦定理2330sin sinB =︒得：sin B ＝3142>，∴此三角形有2解；对于B ，b=6，c=4，A=120°， 由余弦定理得a=219,此三角形有1解；对于C ，a=43，b=6，A=60°， 由正弦定理43660sin sinB =︒得3342sinB =<，该三角形只有1解； 对于D ，a=3，b=6，A=30°， 由正弦定理3630sin sinB=︒得sin B ＝1，∴B ＝90°，此三角形只有1解故选：A ． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理的应用问题，是中档题．11.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S =A. 10B. 20C. 20或-10D. -20或10【答案】B 【解析】 【分析】【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q ∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=-解20S =20或-10（舍去） 故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用12.在ABC ∆中，3B π=，M 为AC 边上的一点，且2BM =，若BM 为ABC ∠的角平分线，则21AM CM- 的取值范围为（ ）A. 3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-3,23C. 1,32⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 1,32⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理用角A,C 表示21AM CM，，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.【详解】因为3B π=，BM 为ABC ∠的角平分线，所以6ABM CBM π∠=∠=，在ABM ∆中，sin sin BM AM A ABM=∠，因为2BM =，所以2sin 2sin sin 6AAAM π==，在CBM ∆中，sin sin BM CM C CBM =∠，因为2BM =，所以2sin 2sin sin 6CCCM π==，所以1sin C CM=， 则2122sin sin 2sin sin 3A C A A AM CM π⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭33sin cos 3sin 226A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 因为20A π<<，所以A πππ-<-<,所以1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，则33sin 326A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ ， 即21AM CM -的取值范围为3,32⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.选A. 【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上。
内蒙古自治区赤峰市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
保密★启用前2024年赤峰市高一年级学年联考试卷数学（答案在最后）2024.7考试范围：必修第一册，必修第二册第六章第七章第八章本试卷共22题，共150分，共8页，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}21log 1,,12xA xy x B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==+==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则A B ⋂=（）A.112y y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.∅2.冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木木镟之，大小不一，一般径寸余，下端为圆柱形，上端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知B ，C 分别是上､下底面圆的圆心，8,3AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）A.24πB.32πC.56π3D.9π3.已知,αβ是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()()11lg ,,,354f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.c b a<<5.数学家泰勒给出如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ ，其中()()!1221n n n n =⋅-⋅-⋅ .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.若根据以上公式估算5πsin 0.12⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，则以下数值中最精确的是（）A.0.952B.0.994C.0.995D.0.9966.若平面向量,,a b c两两的夹角相等，且2,2,3a b c === ，则a b c ++= （）A.1C.1或7D.1或7.设M 是ABC 内一点，且30AB AC BAC ∠⋅==，定义()(),,f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB 的面积，若()1,,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14x y +的最小值是（）A.)91B.9C.16D.188.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()12,12f x f y f x y f x y f =++-=.有下列四个结论：①()02f =②()f x 为偶函数③()()6f x f x =+④()f x 在区间[]0,4上单调递减其中所有正确结论的序号为（）A.①③B.②③C.②④D.①④二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象，则（）A.5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴B.()f x 的最小正周期为πC.若π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()3,2f x ⎤∈⎦D.将函数()y f x =的图象向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数10.下列说法正确的是（）A.已知方程e 82xx=-的解在()(),1k k k +∈Z 内，则1k =B.函数()26f x x x =--的零点是()()3,0,2,0-C.函数22x y x =-有两个不同的零点D.用二分法求函数()338xf x x =+-在区间()1,2内零点近似值的过程中得到()()()10, 1.50, 1.250f f f <><，则零点近似值在区间()1.25,1.5上11.已知O 是ABC 所在平面内一点，2π3,5,3AB AC A ===，则下列命题是真命题的是（）A.ABC 外接圆的半径为733B.ABC 3C.BC 边上中线长为192D.若O 为ABC 的外心，则BO 在BC 上的投影向量为12BC12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,,,,AB AA E F G H ==分别为111111,,,BB CC A B AC 的中点则下列说法正确的是（）A.,,,E F G H 四点共面B.FH 与BC 所成角的余弦值为4C.正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为16π3D.点N 在四边形11ABB A 内及其边界上运动，若CN ∥平面1AGC ，则动点N 的轨迹长度为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写到答题卡对应的位置上.13.若复数z 满足()1i 23i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =__________.14.设平面向量()(sin ,1,cos ,a b θθ== ，若,a b不能组成平面上的一个基底，则=__________.15.已知函数()()2ln e1xf x kx =+-为偶函数，则实数k =__________.16.在边长为3的正方形ABCD 中，E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC λμ==+ ，则λμ+=__________；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）证明：1CD ∥平面1A BD ；（2）证明：BD ⊥平面1A AC ：（3）求直线1A B 与面1A AC 所成角的余弦值.18.已知()()2228(0xf x a a a b a =--⋅+->且1)a ≠是指数函数.（1）求,a b ；（2）求关于x 的不等式()()0.5log 23f x a b a -+->的解集；（3）求函数()()()242F x f x f x =--在区间[)0,3上的值域.19.已知)()()13sin ,cos ,cos ,cos ,2m x x n x x f x m n ==-=⋅-.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()7,0,2sin 3sin b f B A C ===，求,a c 的值及ABC 的面积.20.如图所示，在半径为2的球O 的内接八面体PABCDQ 中，顶点,P Q 分別在平面ABCD 两侧，四棱锥P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，且P 到平面ABCD 的距离为1.设二面角P AB Q --的平面角的大小为θ.（1）求该内接八面体PABCDQ 的体积；（2）求tan θ的值.21.如图，已知OPQ 是半径为2，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记POC ∠α=.（1）用α分別表示,OB AB 的长度：（2）当α为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,i n n =⋯∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）试判断()()2211g x xx =--≤≤是否为()()cos 1f x x x =-∈R 的“2重覆盖函数”？请说明理由；（2）若2(2)1,12()2,2ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩()0a ≥为()22(0)1xf x x x =>+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围：（3）函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如][][1.21,22, 1.22⎡⎤==-=-⎣⎦.若()[][),0,1h x ax ax x =-∈为()10,4f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.赤峰市高一年级学年联考数学试题数学答案2024.07一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BABDCCDB二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCADACDABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.214.215.116.43，52-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）（1）在正方体111111,ABCD A B C D A D -∥BC 且11A D BC=11A BCD ∴为平行四边形，1A B ∴∥1CD ，1CD ⊄ 平面11,A BD A B ⊂平面1A BD ，1CD ∴∥平面1A BD ；（2）1111ABCD A B C D - 是正方体，1AA ∴⊥底面ABCD又BD ⊂ 底面ABCD ，1A BD ∴⊥，ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，又1AA ⊂ 平面1,A AC AC ⊂平面11,A AC AA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面1A AC ；（3）设AC 与BD 交于点O ，连接1A O ，由（2）知BD ⊥平面1A AC ，所以1BAO ∠是直线1A B 与面1A AC 所成的角不妨令12AA =，在直角1AOB 中，11A O BA ==所以13cos 2BAO ∠==所以直线1A B 与面1A AC 所成角的余弦值为218.（12分）解：（1）由指数函数定义，得222180a a b ⎧--=⎨-=⎩，而且0a >且1a ≠，解得3,8a b ==，则()3xf x =；（2）不等式()()0.5log 23f x a b a -+->，即()()()0.5log 321f x f -+>，而函数()3xf x =在R 上递增，因此()0.5log 321x -+>，即()0.5log 31x ->-，则032x <-<，解得35x <<，所以原不等式的解集为()3,5.（3）()()()()2224234323432x x xx F x f x f x =--=-⋅-=-⋅-，当[)0,3x ∈，令()3,xt y F x ==，则[)1,27t ∈，所以[)242,1,27y t t t =--∈，由二次函数的性质可知， ()F t 在[)1,2上单调递减，在()2,27上单调递增，()()()min 26,276191y y y y ==-=>，函数()F x 在区间[)0,3上的值域为[)6,619-.19.（12分）解：（1）因为)(),cos ,cos ,cos m x x n x x ==-，所以()12f x m n =⋅-21cos cos 2x x x =--1cos21sin2222x x +=--1sin2cos2122x x =--πsin 216x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由()0f B =，得()ππsin 210,sin 2166f B B B ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为0πB <<，所以ππ11π2666B -<-<，所以ππ262B -=，得π3B =，因为2sin 3sin AC =，所以由正弦定理得23a c =，所以由余弦定理得2222229714cos 232c c a c b B ac c +-+-===，解得2c =，所以3a =.所以11sin 322222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=.20.（12分）解：（1）设PQ 与面ABCD 交于E 因为P 到平面ABCD 的距离为1所以BE ==.BD AB ==.则1146833PABCDQ ABCD V PQ S =⋅⋅=⋅⋅=.（2）设二面角P AB C --的大小为α，二面角Q AB C --的大小为β，则二面角P AB Q --的平面角θαβ=+.设PQ 与平面ABCD 的交点为E ，取AB 中点为M ，连接,,PM QM EM ，如图所示.则,,PM AB QM AB ME AB ⊥⊥⊥，所以,PME QME ∠α∠β==.6tan 32PE ME α===，tan QE MEβ===，()6tan tan 3tan tan 1tan tan 3αβθαβαβ++=+==--.21.（12分）解析：（1）在直角三角形OBC 中，2sin BC α=，2cos OB α=在直角三角形OAD 中2sin AD BC α==，所以sin 3OA α=，2cos sin 3AB OB OA αα=-=-（2）设矩形ABCD 的面积为S 所以()232cos sin 2sin 3S AB BC ααα⎛⎫=⨯=- ⎪⎪⎝⎭2434sin cos 3S ααα=-()12sin21cos232S αα=--2sin233S αα=+-1sin2cos23223S αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭πsin 2363S α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为π03α<<所以ππ5π2666α<+<所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 3S =22.（12分）解析：（1）由1cos 1x -≤≤，可知()20f x -≤≤.当0x =时，()0cos010f =-=，当()0g x =时，解得0x =，此时在[]1,1-中只存在一个10x =，使()()100g x f ==，所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”；（2）由题意可得()221x f x x =+的定义域为()0,∞+，即对任意0x ∈R ，存在2个不同的实数[12,1,x x ∞∈-+），使得()()0i g x f x =（其中1,2i =），当0x >时，()0f x >且()222111x f x x x x ==≤=++，当且仅当1x =时取等号，所以()01f x <≤.即对任意()01,k g x k <≤=有2个不同实根，当2x >时，()2g x x k =-=已有一个根，故只需12x -≤≤时，()g x k =仅有1个根.当0a =时，()21g x x =-+，符合题意；当0a >时，发现()()01,131g g =-=>，则只需满足()()242210g a a =+-⨯+≤，解得102a <≤，综上得a 的取值范围为：10,2⎡⎤⎢⎣⎦.（3）因为()10,4f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则对于任意()[)10,,,0,12m h x m x ⎡⎤∈=∈⎢⎥⎣⎦要有2024个根，()[]1,0,121,,,232,,ax x a ax x h x ax ax a a ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢=-=⎣⎭⎨⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⋯⎩作出函数的图象（部分），如图：要使()[),0,1h x m x =∈有2024个根，则4047202412a a <≤，又0a >，则404720242a <≤，故正实数a 的取值范围4047,20242⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
内蒙古赤峰市2018-2019学年高一上学期期末学业水平检测数学(文)试题答案
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所以 f x 在 0, 上单调递减． 函数 f x 在区间 t , t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
1 1 f t f t 1 log 2 a log 2 a 1 t t 1
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x1 是原方程的解当且仅当
x2 是原方程的解当且仅当
于是满足题意的 a 1, 2 ． 综上， a 的取值范围为 1, 2 3, 4 ．----7 分 （ Ⅲ ） 当 0 x1 x2 时，
1 1 1 1 a a ， log 2 a log 2 a ， x1 x2 x1 x2
25 3
-------------------------------------------------------------6 分
（ Ⅱ ） 若 c 5 ， 则 AB = （－3 ，－4 ） ， AC = （ 2 ，－4 ）
5π )的 值 ． 3
解： （ Ⅰ ） 由 题 意 有 ： A =2 ; 且ω
π π 11π +φ= ； ω +φ=2π 6 2 12 π 6
解得： ω =2 ； φ =
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∴
π f ( x ) 2sin(2 x ) . --------------------------------5 分 6 5π ) 3
5π π )+ ] 3 6
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 得 ： f (—
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内蒙古赤峰2018-2019学度高一上年末数学试卷含解析解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕A、、第一象限角必是锐角B、、小于90°的角是锐角C、、假设cosα＜0，那么α是第二或第三象限角D、、锐角必是第一象限角2、集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|0＜x＜1}，那么有〔〕A、A⊆BB、A⊊BC、B⊊AD、A=B3、函数f〔x〕=+的定义域为〔〕A、〔﹣3，0]B、〔﹣3，1]C、〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，0]D、〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，1]4、将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为〔〕A、2πB、3πC、4πD、6π5、假设偶函数f〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，那么以下关系式中成立的是〔〕A、f〔﹣〕＜f〔﹣1〕＜f〔2〕B、f〔﹣1〕＜f〔﹣〕＜f〔2〕C、f〔2〕＜f〔﹣1〕＜f〔﹣〕D、f〔2〕＜f〔﹣〕＜f〔﹣1〕6、m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，那么以下说法正确的选项是〔〕A、α∥γ，β∥γ，那么α∥βB、α⊥γ，β⊥γ，那么α⊥βC、m∥α，n∥α，那么m∥nD、m⊥l，n⊥l，那么m∥n7、假设lgx=m，lgy=n，那么lg﹣lg〔〕2的值为〔〕A、m﹣2n﹣2B、m﹣2n﹣1C、m﹣2n+1D、m﹣2n+28、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如下图，该四棱锥侧面积等于〔〕A、20B、5C、4〔+1〕D、4①假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；②假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④假设α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，那么n∥α且n∥β、A、①②B、②③C、③④D、①④10、函数f〔x〕=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是〔〕A、〔﹣2，﹣1〕B、〔﹣1，0〕C、〔0，1〕D、〔1，2〕11、假设函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2在〔﹣∞，4]上是递减的，那么a的取值范围是〔〕A、a≥﹣3B、a≤﹣3C、a≤5D、a≥312、函数是R上的减函数那么a的取值范围是〔〕A、〔0，3〕B、〔0，3]C、〔0，2〕D、〔0，2]【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13、幂函数y=f〔x〕的图象过点〔2，〕，那么f〔9〕= 、14、三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，那么此球的体积等于、15、设函数f〔x〕=〔x+1〕〔x+a〕为偶函数，那么a= 、16、函数 f〔x〕的定义域为 A，假设当f〔x1〕=f〔x2〕〔x1，x2∈A〕时，总有x1=x2，那么①函数f〔x〕=x2〔x∈R〕是单值函数；②函数f〔x〕=2x〔x∈R〕是单值函数；③假设f〔x〕为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，那么f〔x1〕≠f〔x2〕；④函数f〔x〕=是单值函数、【三】解答题、本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、f〔x〕=2x，g〔x〕是一次函数，并且点〔2，2〕在函数f[g〔x〕]的图象上，点〔2，5〕在函数g[f〔x〕]的图象上，求g〔x〕的解析式、18、〔1〕计算：〔2〕+〔lg5〕0+〔〕；〔2〕解方程：log3〔6x﹣9〕=3、19、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O是BD1的中点、〔Ⅰ〕求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；〔Ⅱ〕求证：EO∥平面ABCD、20、函数f〔x〕=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]、〔Ⅰ〕当a=﹣1时，求函数f〔x〕的最大值和最小值；〔Ⅱ〕求实数a的取值范围，使y=f〔x〕在区间[﹣5，5]上是单调函数、21、如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点、〔Ⅰ〕求证：DE∥面PBC；〔Ⅱ〕求证：AB⊥PE；〔Ⅲ〕求三棱锥B﹣PEC的体积、22、定义域为R的函数是奇函数、〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕假设对任意的t∈R，不等式f〔t2﹣2t〕+f〔2t2﹣k〕＜0恒成立，求k的取值范围、2018-2016学年内蒙古赤峰市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕A、、第一象限角必是锐角B、、小于90°的角是锐角C、、假设cosα＜0，那么α是第二或第三象限角D、、锐角必是第一象限角【考点】象限角、轴线角、【专题】综合题、根据选项的表达，利用象限角、终边相同的角的定义，结合三角形的知识判断A错误；锐角的定义判断B正确；象限角判断C错误；锐角的范围判断D正误、【解答】解：第一象限角必是锐角，显然不正确，A错误；小于90°的角是锐角，可以是负角，所以B不正确；假设cosα＜0，那么α是第二或第三象限角，可以是x负半轴上的角，所以不正确、锐角必是第一象限角，正确、应选D、【点评】此题是基础题，考查三角函数的有关概念，角的范围的应用，考查基本知识的应用、2、集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|0＜x＜1}，那么有〔〕A、A⊆BB、A⊊BC、B⊊AD、A=B【考点】集合的包含关系判断及应用、【专题】计算题；集合思想；综合法；集合、【分析】根据真子集的定义，即可得出结论、【解答】解：由于B中元素都是A中元素，且A中有元素不属于B，所以B⊊A、应选：C、【点评】此题考查真子集的定义，考查学生对概念的理解，比较基础、3、函数f〔x〕=+的定义域为〔〕A、〔﹣3，0]B、〔﹣3，1]C、〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，0]D、〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，1] 【考点】函数的定义域及其求法、【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用、【分析】由，解得x范围即可得出、【解答】解：由，解得x≤0，且x≠﹣3、∴函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣3，0]、应选：C、【点评】此题考查了函数的定义域求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、4、将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为〔〕A、2πB、3πC、4πD、6π【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离、【分析】判断几何体的特征，然后求解即可、【解答】解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，，应选：B、【点评】此题考查旋转体的几何特征，球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力、5、假设偶函数f〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，那么以下关系式中成立的是〔〕A、f〔﹣〕＜f〔﹣1〕＜f〔2〕B、f〔﹣1〕＜f〔﹣〕＜f〔2〕C、f〔2〕＜f〔﹣1〕＜f〔﹣〕D、f〔2〕＜f〔﹣〕＜f〔﹣1〕【考点】奇偶性与单调性的综合、【专题】常规题型、【分析】题目中条件：“f〔x〕为偶函数，”说明：“f〔﹣x〕=f〔x〕”，将不在〔﹣∞，﹣1]上的数值转化成区间〔﹣∞，﹣1]上，再结合f〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，即可进行判断、【解答】解：∵f〔x〕是偶函数，∴f〔﹣〕=f〔〕，f〔﹣1〕=f〔1〕，f〔﹣2〕=f〔2〕，又f〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，∴f〔﹣2〕＜f〔﹣〕＜f〔﹣1〕即f〔2〕＜f〔﹣〕＜f〔﹣1〕应选D、【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想、属于基础题、6、m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，那么以下说法正确的选项是〔〕A、α∥γ，β∥γ，那么α∥βB、α⊥γ，β⊥γ，那么α⊥βC、m∥α，n∥α，那么m∥nD、m⊥l，n⊥l，那么m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系、【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离、【分析】在A中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，m与n相交、平行或异面、【解答】解：由m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，知：在A中：α∥γ，β∥γ，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中：α⊥γ，β⊥γ，那么α与β相交或平行，故B错误；在C中：m∥α，n∥α，那么m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中：m⊥l，n⊥l，那么m与n相交、平行或异面，故D错误、应选：A、面面间位置关系的合理运用、7、假设lgx=m，lgy=n，那么lg﹣lg〔〕2的值为〔〕A、m﹣2n﹣2B、m﹣2n﹣1C、m﹣2n+1D、m﹣2n+2【考点】对数的运算性质、【专题】计算题；函数的性质及应用、【分析】运用对数的运算性质把要求的代数式化为lgx，lgy及常数的形式，那么答案可求、【解答】解：因为lgx=m，lgy=n，所以lg﹣lg〔〕2==、应选D、【点评】此题考查了对数的运算性质，关键是熟记有关性质，是基础题、8、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如下图，该四棱锥侧面积等于〔〕A、20B、5C、4〔+1〕D、4【考点】简单空间图形的三视图、【专题】空间位置关系与距离、【分析】由中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案、【解答】解：由中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面棱长为2，高h=2，故侧面的侧高为=，故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，应选：D【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决此题的关键是得到该几何体的形状、①假设m⊥α，m⊂β，那么α⊥β；②假设m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，那么α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④假设α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，那么n∥α且n∥β、A、①②B、②③C、③④D、①④【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定、【专题】综合题、【分析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可、应选D、【点评】此题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题、10、函数f〔x〕=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是〔〕A、〔﹣2，﹣1〕B、〔﹣1，0〕C、〔0，1〕D、〔1，2〕【考点】函数零点的判定定理、【专题】函数的性质及应用、【分析】将选项中各区间两端点值代入f〔x〕，满足f〔a〕•f〔b〕＜0〔a，b为区间两端点〕的为答案、【解答】解：因为f〔0〕=﹣1＜0，f〔1〕=e﹣1＞0，所以零点在区间〔0，1〕上，应选C、【点评】此题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题、函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解、11、假设函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2在〔﹣∞，4]上是递减的，那么a的取值范围是〔〕A、a≥﹣3B、a≤﹣3C、a≤5D、a≥3【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质、【专题】计算题；数形结合、【分析】此题中的函数是一个二次函数，由于其在〔﹣∞，4]上是递减的，可以得出此区间应该在对称轴的左侧，由此关系得到参数a的不等式，解之即得参数的取值范围、【解答】解：函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2的对称轴是x=1﹣a又函数f〔x〕=x2+2〔a﹣1〕x+2在〔﹣∞，4]上是递减的，∴4≤1﹣a∴a≤﹣3应选B【点评】此题的考点是二次函数的性质，考查由二次函数的性质得到相关参数的不等式，求解析式中的参数的取值范围，属于二次函数的基础考查题、12、函数是R上的减函数那么a的取值范围是〔〕A、〔0，3〕B、〔0，3]C、〔0，2〕D、〔0，2]【考点】函数单调性的性质、【专题】函数的性质及应用、【分析】由f〔x〕为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f〔x〕均递减，且〔a﹣3〕×1+5≥，由此可求a的取值范围、【解答】解：因为f〔x〕为R上的减函数，所以x≤1时，f〔x〕递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f〔x〕递减，即a＞0②，且〔a﹣3〕×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2、应选D、【点评】此题考查函数单调性的性质，此题结合图象分析更为容易、【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13、幂函数y=f〔x〕的图象过点〔2，〕，那么f〔9〕= 3 、【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用、【专题】计算题、【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f〔16〕的值【解答】解：由题意令y=f〔x〕=x a，由于图象过点〔2，〕，得=2a，a=∴y=f〔x〕=∴f〔9〕=3、故答案为：3、【点评】此题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值、14、三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，那么此球的体积等于π、【考点】球的体积和表面积、【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何、【分析】通过条件求出底面外接圆的半径，确定球心为O的位置，求出球的半径，然后求出球的体积、【解答】解：在△ABC中AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=60°，可得BC=，可得△ABC外接圆半径r=1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱，侧面BAA1B1是正方形它的中心是球心O，球的直径为：BA1=2，球半径R=，故此球的表面积为πR3=π、故答案为：π、【点评】此题是中档题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；此题考查空间想象能力，计算能力、15、设函数f〔x〕=〔x+1〕〔x+a〕为偶函数，那么a= ﹣1 、【考点】函数奇偶性的性质、【专题】计算题、【分析】因为函数为偶函数，那么根据偶函数定义f〔﹣x〕=f〔x〕得到等式解出a即可、【解答】解：∵函数为偶函数得f〔1〕=f〔﹣1〕得：2〔1+a〕=0∴a=﹣1、故答案为：﹣1、【点评】此题考查学生应用函数奇偶性的能力、16、函数 f〔x〕的定义域为 A，假设当f〔x1〕=f〔x2〕〔x1，x2∈A〕时，总有x1=x2，那么①函数f〔x〕=x2〔x∈R〕是单值函数；②函数f〔x〕=2x〔x∈R〕是单值函数；③假设f〔x〕为单值函数，x1，x2∈A，且x1≠x2，那么f〔x1〕≠f〔x2〕；④函数f〔x〕=是单值函数、【专题】综合题；新定义；函数思想；数学模型法；简易逻辑、【分析】由新定义可知，满足题意的函数实际上是单调函数、由二次函数f〔x〕=x2〔x∈R〕的单调性判断①；由指数函数的单调性判断②；结合单调函数的性质判断③，由分段函数f〔x〕=的单调性判断④、【解答】解：由f〔x1〕=f〔x2〕〔x1，x2∈A〕时，总有x1=x2，那么f〔x〕实际上是单调函数、①函数f〔x〕=x2〔x∈R〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，〔0，+∞〕上单调递增，故不是单值函数；②函数f〔x〕=2x〔x∈R〕是单调函数，故f〔x〕=2x〔x∈R〕是单值函数；③f〔x〕为单值函数，那么f〔x〕是单调函数，假设x1≠x2，那么f〔x1〕≠f〔x2〕；④函数f〔x〕=是分段函数，在〔﹣∞，0〕上单调递减，〔0，+∞〕上单调递增，故不是单值函数、故答案为：②③、中档题、【三】解答题、本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、f〔x〕=2x，g〔x〕是一次函数，并且点〔2，2〕在函数f[g〔x〕]的图象上，点〔2，5〕在函数g[f〔x〕]的图象上，求g〔x〕的解析式、【考点】函数解析式的求解及常用方法、【专题】函数的性质及应用、【分析】待定系数法：设g〔x〕=kx+b，根据点〔2，2〕在函数f[g〔x〕]的图象上，点〔2，5〕在函数g[f〔x〕]的图象上，列出方程组解得即可、【解答】解：设g〔x〕=kx+b，那么f[〔g〔x〕]=f〔kx+b〕=2kx+b，因为点〔2，2〕在函数f[g〔x〕]的图象上，所以f[g〔2〕]=f〔2k+b〕=22k+b=2，所以2k+b=1〔1〕；g[f〔x〕]=k•2x+b，因为点〔2，5〕在函数g[f〔x〕]的图象上，所以g[f〔2〕]=4k+b=5〔2〕，由〔1〕〔2〕得：、所以g〔x〕=2x﹣3、【点评】此题考查函数解析式的求解，一般知道函数类型，可考虑用待定系数法求解析式，设出解析式，据条件列出方程〔组〕，解出即可、18、〔1〕计算：〔2〕+〔lg5〕0+〔〕；〔2〕解方程：log3〔6x﹣9〕=3、【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值、【专题】计算题、【分析】〔1〕化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算；〔2〕化对数式为指数式，然后求解指数方程，得到x的值后进行验根、【解答】解：〔1〕=〔〕+〔lg5〕0+[〔〕3]=+1+=4、〔2〕由方程log3〔6x﹣9〕=3得6x﹣9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2、经检验，x=2是原方程的解、∴原方程的解为x=2、【点评】此题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数方程的解法，解答对数方程时不要忘记验根，此题是基础题、19、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O是BD1的中点、〔Ⅰ〕求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；〔Ⅱ〕求证：EO∥平面ABCD、【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定、【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离、【分析】〔Ⅰ〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，利用面面垂直的性质推断出平面A1BD1⊥平面ABB1A1、〔Ⅱ〕连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G、证明四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又因为EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD、所以EO∥平面ABCD、【解答】证明：〔Ⅰ〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，∴平面A1BD1⊥平面ABB1A1、〔Ⅱ〕连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G、∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AE∥DD1，且AE=DD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，∴OG∥DD1，且OG=DD1，∴OG∥AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又∵EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EO∥平面ABCD、【点评】此题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理、考查了学生分析推理的能力、20、函数f〔x〕=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]、〔Ⅰ〕当a=﹣1时，求函数f〔x〕的最大值和最小值；〔Ⅱ〕求实数a的取值范围，使y=f〔x〕在区间[﹣5，5]上是单调函数、【考点】函数单调性的判断与证明；二次函数的性质、【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用、【分析】〔Ⅰ〕a=﹣1时，配方得到f〔x〕=〔x﹣1〕2+1，从而可以看出x=1时f〔x〕取最小值，而x=﹣5时取最大值，这样便可得出f〔x〕的最大值和最小值；〔Ⅱ〕可以求出f〔x〕的对称轴为x=﹣a，而f〔x〕在[﹣5，5]上是单调函数，从而可以得出﹣a≤﹣5，或﹣a≥5，这样便可得出实数a的取值范围、【解答】解：〔Ⅰ〕a=﹣1，f〔x〕=x2﹣2x+2=〔x﹣1〕2+1；∵x∈[﹣5，5]；∴x=1时，f〔x〕取最小值1；x=﹣5时，f〔x〕取最大值37；〔Ⅱ〕f〔x〕的对称轴为x=﹣a；∵f〔x〕在[﹣5，5]上是单调函数；∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；∴实数a的取值范围为〔﹣∞，﹣5]∪[5，+∞〕、【点评】考查配方求二次函数最大、最小值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性、21、如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点、〔Ⅰ〕求证：DE∥面PBC；〔Ⅱ〕求证：AB⊥PE；〔Ⅲ〕求三棱锥B﹣PEC的体积、【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定、【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离、【分析】〔I〕根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；〔II〕连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB⊥PE；〔III〕由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高、结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积、【解答】解：〔I〕∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；〔II〕连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；〔III〕∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=【点评】此题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积、着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题、22、定义域为R的函数是奇函数、〔Ⅰ〕求a，b的值；〔Ⅱ〕假设对任意的t∈R，不等式f〔t2﹣2t〕+f〔2t2﹣k〕＜0恒成立，求k的取值范围、【考点】指数函数单调性的应用；奇函数、【专题】压轴题、【分析】〔Ⅰ〕利用奇函数定义，在f〔﹣x〕=﹣f〔x〕中的运用特殊值求a，b的值；〔Ⅱ〕首先确定函数f〔x〕的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f〔t2﹣2t〕+f〔2t2﹣k〕＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围、【解答】解：〔Ⅰ〕因为f〔x〕是奇函数，所以f〔0〕=0，即又由f〔1〕=﹣f〔﹣1〕知、所以a=2，b=1、经检验a=2，b=1时，是奇函数、〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，易知f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上为减函数、又因为f〔x〕是奇函数，所以f〔t2﹣2t〕+f〔2t2﹣k〕＜0等价于f〔t2﹣2t〕＜﹣f〔2t2﹣k〕=f〔k﹣2t2〕，因为f〔x〕为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2、即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式、所以k的取值范围是k＜﹣、【点评】此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略、2016年2月21日。
2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年内蒙古赤峰市高一下学期期末联考数学（文）试题一、单选题1．若集合{|24},{|3}A x x B x x =≤<=>，则A B =A ．{|34}x x ≤<B ．{|34}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|23}x x ≤≤【答案】B【解析】根据交集定义计算． 【详解】由题意{|34}A B x x ⋂=<<． 故选B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．2．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是 A ．cos y x =- B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=【答案】B【解析】可先确定奇偶性，再确定单调性． 【详解】由题意A 、B 、C 三个函数都是偶函数，D 不是偶函数也不是奇函数，排除D ， A 中cos y x =-在(,0)-∞上不单调，C 中21y x =-在(,0)-∞是递增，只有B 中函数lg y x =在(,0)-∞上递减．故选B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时可分别确定函数的这两个性质．3．函数2||22x y x =-在[]22-,的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象． 【详解】易知函数222xy x =-（[2,2]x ∈-）是偶函数，图象关于y 轴对称，可排除BD ，2x =时，2222240y =⨯-=>，可排除A ．故选C ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等． 4．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则下列结论正确的是A ．a b =r rB ．2a b ⋅=C ．a b -与a 垂直D ．a b【答案】C【解析】可按各选择支计算． 【详解】由题意1a =，2b =，A 错；1a b ⋅=，B 错；()(0,1)(1,0)0a b a -⋅=-⋅=，∴()a b a -⊥，C 正确；∵不存在实数λ，使得b a λ≠，∴//a b 不正确，D 错， 故选C ．【点睛】本题考查向量的数量积、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等知识，属于基础题．5．设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为 ①若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ ②若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则n m ∥ ③若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥④若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥ A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确． 【详解】如图正方体1111ABCD A B C D -，平面ABCD 是平面α，平面11BCC B 是平面β，但两直线BC 与1B C 不垂直，①错； 平面ABCD 是平面α，平面1111D C B A 是平面β，但两直线11B C 与AB 不平行，②错； 直线11A B 是直线m ，直线BC 是直线n ，满足m n ⊥，但平面11A B CD 与平面ABCD 不垂直，③错；由,m n m α⊥∥得n α⊥，∵n β，过n 作平面γ与平面β交于直线l ，则//n l ，于是l α⊥，∴αβ⊥，④正确． ∴只有一个命题正确． 故选A ．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯 A ．81盏 B ．112盏C ．162盏D ．243盏【答案】D【解析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363．由等比数列的知识可得． 【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为12345,,,,a a a a a ，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，则51(13)36313a -=-，13a =，∴4451333243a a =⨯=⨯=．故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题． 7．已知1log 0,log log 4ab b a a <=-，则,a b 满足的关系式是 A ．1a >，且1b > B ．1a >，且01b << C ．1b >，且01a << D ．01a <<，且01b <<【答案】B【解析】根据对数函数的性质判断． 【详解】 ∵1log 04a<，∴1a >， ∵log log b b a a =-，∴log 0b a <，又1a >，∴01b <<， 故选B ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握对数函数的单调性是解题关键．8．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减【答案】B【解析】把函数()f x 化简后再判断． 【详解】21cos 22sin ()tan sin 22sin cos x x f x x x x x-===，由正切函数的性质知，A 、C 、D 都错误，只有B 正确． 【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质．三角函数的性质问题，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合相应的三角函数得出结论．9．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅=A ．33+ B ．92C D ．9【答案】D【解析】选取向量,BA BC 为基底，用基底表示,AC AE ，然后计算． 【详解】由题意120ABC ∠=︒，22cos1202BA BC ⋅=⨯⨯︒=-，1()()()()2AC AE BC BA BE BA BC BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅-221322BC BA BC BA =-⋅+22132(2)2922=⨯-⨯-+=． 故选D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．10．在正四棱柱1111ABCD A B C D -，11,AB BC AA ==1BC 与11D B 所成角的余弦值为A．4B．4C．14D．2【答案】A【解析】作出两异面直线所成的角，然后由余弦定理求解． 【详解】在正四棱柱中11//BD B D ，则异面直线1BC 与11D B 所成角为1DBC ∠或其补角，在1DBC ∆中，BD =，112BC DC ===，1cos 4DBC ∠==． 故选A ． 【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求之．11．已知点,,,A B C D 均在球O上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体，则球O 的体积为 A ．323πB ．16πC ．32πD ．163π【答案】A【解析】设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．由此可计算球半径． 【详解】如图，设M 是ABC ∆的外心，则三棱锥D ABC -体积最大时，DM ⊥平面ABC ，球心O 在DM 上．∵3BA BC AC ===，∴3cos 2BCA ∠==，即30BCA BAC ∠=︒=∠，∴112sin 22AB BM BCA =⨯==∠．又13sin3024ABCS∆=︒=，∴1344DM⨯=，3DM=．∵DM⊥平面ABC，∴DM BM⊥，设球半径为R，则由222BM OM OB+=得222(3)R R+-=，解得2R=，∴球体积为3344322333V Rπππ==⨯=．故选A．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．12．已知圆()()22:1C x a y b-+-=，设平面区域70,{30,x yx yy+-≤Ω=-+≥≥，若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切，则22a b+的最大值为（）A．5 B．29 C．37 D．49【答案】C【解析】试题分析：作出可行域如图，圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，可得，所以所以要使a 2＋b 2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C 位于B 点时，取得最大值，B 点的坐标为，即时是最大值.【考点】线性规划综合问题.二、填空题13．若存在实数[2,5]x ∈，使不等式2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围是_______________. 【答案】()5,+∞；【解析】不等式转化为225m x x >-+，由于存在[2,5]x ∈，使不等式成立，因此只要求得225x x -+的最小值即可． 【详解】由题意存在[2,5]x ∈，使得不等式225m x x >-+成立，当[2,5]x ∈时，2225(1)4x x x -+=-+，其最小值为2(21)45-+=，∴5m >． 故答案为(5,)+∞． 【点睛】本题考查不等式能成立问题，解题关键是把问题转化为求函数的最值．不等式能成立与不等式恒成立问题的转化区别：在定义域D 上，不等式()f x m <恒成立，则max ()m f x >，不等式()f x m <能成立，则min ()m f x >，不等式()f x m >恒成立，则min ()m f x >，不等式()f x m >能成立，则max ()m f x >．转化时要注意是求最大值还是求最小值．14．若点()5,1P -为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线的方程为___________.【答案】2110x y --=；【解析】利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦． 【详解】圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)C ，101532CP k --==--， ∵P 是MN 中点，∴CP MN ⊥，即12MN PCk k =-=， ∴MN 的方程为12(5)y x +=-，即2110x y --=． 故答案为2110x y --=． 【点睛】本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长l =d 为圆心到弦所在直线的距离）． 15．已知5sin cos 4αα-=-，则cos2=α___________.【答案】16±； 【解析】把已知式平方可求得sin cos αα，从而得sin 2α，再由平方关系可求得cos2α． 【详解】∵5sin cos 4αα-=-， ∴225(sin cos )16αα-=，即2512sin cos 16αα-=， ∴92sin cos 16αα=-，即9sin 216α=-,∴cos2α===.故答案为16±．【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值．16．设函数1,()1ln,x a xef xx xe⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则a的取值范围是___________.【答案】11,e⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭.【解析】确定函数的单调性，由单调性确定最小值．【详解】由题意()f x在1[,)e+∞上是增函数，在1(,)e-∞上是减函数，又11()ln1fe e==-，∴11ae-+≥-，11ae≥-，故答案为1[1,)e-++∞．【点睛】本题考查分段函数的单调性．由单调性确定最小值，三、解答题17．设等差数列{}n a中，268,0a a=-=.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若等比数列{}n b满足121238,b b a a a=-=++，求数列{}n b的前n项和n S.【答案】（1）*212,na n n N=-∈（2）()*413,nnS n N=-∈【解析】（1）求出公差d，由公式()n ma a n m d=+-得通项公式；（2）由（1）求出2b，计算公比q，再由等比数列前n项和公式得和．【详解】（1）在等差数列{}n a中，268,0a a=-=，故设{}n a的公差为d，则624a a d =+，即084d =-+，所以2d =， 所以*2(2)212,n a a n d n n N =+-=-∈.（2）设数列{}n b 的公比为q ，则221231108624,3b b a a a q b =++=---=-==， 所以()()*813413,13n n n S n N --==-∈-.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项1a 和公差d （或公比q ），则数列的通项公式与前n 项和随之而定．18．已知函数22()cos sin cos sin f x x a x x x =--，且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求常数a 及()f x 的最大值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间. 【答案】（1）2a =，max ()f x =2）()f x 递增区间为3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由()14f π=-求出a ，然后由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值； （2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间． 【详解】（1）()cos 2sin 22af x x x =-，由14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得，12a -=-，即2a =.∴()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，当()8x k k Z ππ=-∈时，即22()4x k k Z ππ+=∈时，max ()f x .（2）由()2,222()44f x x k x k k Z πππππ⎛⎫=+-≤+≤∈ ⎪⎝⎭，得5()88k x k k Z ππππ-≤≤-∈，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以382x ππ≤≤，所以()f x 递增区间为3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解．19．在ABC △中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，且7cos ,28A b c ===. （1）求ABC △的周长； （2）求()cos A C -的值. 【答案】（1）5（2）1116【解析】（1）由余弦定理求得a ，从而得周长；（2）由余弦定理求得cos C ，由平方关系得sin C ，同理得sin A ，然后由两角差的余弦公式得结论． 【详解】解：（1）在ABC △中，7cos ,28A b c ===，由余弦定理，得 22272222218a =+-⨯⨯⨯=，即1a =，∴ABC △的周长为2215a b c ++=++=（2）由2221441cos 22124a b c C ab +-+-===⨯⨯，得sin C =由7cos 8A =，得sin A =7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -=+=⋅+=.【点睛】本题考查余弦定理和两角差的余弦公式，考查同角间的三角函数关系式，属于基础题． 20．已知圆C 经过点(0,4),(5,5)E F ，且圆心在直线l ：2780x y -+=上. （1）求圆C 的方程；（2）过点()1,2M 的直线与圆C 交于,A B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22(3)(2)13x y -+-=（2）在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得AN BN k k =-恒成立，详见解析【解析】（1）求出弦EF 中垂线方程，由中垂线和直线l 相交得圆心坐标，再求出圆半径，从而得圆标准方程；（2）直线斜率存在时，设方程为(1)2y k x =-+，代入圆的方程，得x 的一元二次方程，同时设交点为()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1212,x x x x +，假设定点存在，设其为(,2)N t ，由A N B N k k =-求得t ，再验证所作直线斜率不存在时，N 点也满足题意． 【详解】（1）EF 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，∴EF 的垂直平分线的斜率为5-， ∴EF 的垂直平分线的方程为5170x y +-=，∴EF 的垂直平分线与直线l 交点为圆心C ，则27805170x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，又r == ∴ 圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则过点()1,2M 的直线方程为(1)2y k x =-+，故由22(1)2(3)(2)13y k x x y =-+⎧⎨-+-=⎩，整理得()()222216240k x k x k +-++-=， 设()()221122121222624,,,,,11k k A x y B x y x x x x k k+-∴+==++， 设(),2N t ，则121222,,AN BN AN BN y y k k k k x t x t--===---，()()()()12122112220,220y y y x t y x t x t x t--∴+=∴--+--=--，()2212122228262(1)20,(1)2011k k x x t x x t t t k k-+-+++=-++=++， 即222282(1)6(1)220k k t t t k t --+-+++⋅=786620,2t t t ---+==-，当斜率不存在时，1,(1,5),(1,1),AN BN x A B k k =-=-成立，∴在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得AN BN k k =-恒成立 【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查与圆有关的定点问题．求圆的标准方程可先求出圆心坐标和圆的半径，然后得标准方程，注意圆心一定在弦的中垂线上．定点问题，通常用设而不求思想，即设直线方程与圆方程联立消元后得一元二次方程，设直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，然后设定点坐标如本题(,2)N t ，再由条件AN BN k k =-求出t ，若不能求出t 说明定点不存在，如能求出t 值，注意验证直线斜率不存在时，此定点也满足题意．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为4的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,D E 分别是线段11,BB AC 的中点.（1）求证：DE 平面ABC ；（2）若平面ABC ⊥平面11BB C C ，110BB =，求三棱锥A DCE -的体积.【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）取AC 中点为H ，连接,HE BH ，由中位线定理证得//,HE BD HE BD =，即证得平行四边形EHBD ，于是有//DE BH ，这样就证得线面平行；（2）由等体积法变换后111122A DCE E ACD C ACD A CDC V V V V ----===可计算． 【详解】证明：（1）取AC 中点为H ，连接,HE BH ，111111,,,,22BD CC BD CC HE CC HE CC HEDB ∴==∴∥∥是平行四边形，,HB DE HB ∴⊂∥平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴DE 平面ABC解：（2）E 是线段1AC 中点，则111111*********A DCE E ACD C ACD A CDC V V V V ----===⨯=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积．线面平行的证明关键是找到线线平行，而棱锥的体积常常用等积变换，转化顶点与底．22．已知函数()2x xe ef x -+=.（1）判断函数奇偶性； （2）讨论函数()f x 的单调性； （3）比较()1f x +与()f x 的大小.【答案】（1）()f x 是偶函数（2）见解析（3）()1f x +<()f x【解析】（1）由奇偶函数的定义判断； （2）由单调性的定义证明；（3）由于函数为偶函数，因此只要比较()1f x +与()f x 的大小，因此先确定1x +与x 的大小，这就得到分类标准． 【详解】（1）,()(),()2x x e e x R f x f x f x -+∈-==∴是偶函数（2）当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数；当(,0)x ∈-∞时，()f x 是减函数；先证明当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数 证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()()2211212121111222x x x x x x x x e e e e f x f x e e e--+++⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12,(0,)x x ∈+∞，且2112121,0,10x x x x x x e e e+<∴->->，()()21f x f x ∴>，即：当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数∵()f x 是偶函数，∴当(,0)x ∈-∞时，()f x 是减函数. （3）要比较()1f x +与()f x 的大小，∵()f x 是偶函数，∴只要比较()1f x +与()f x 大小即可.当1x x +≥时，即21x ≥-时，∵当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数， ∴()1fx +≥()f x当1x x +<时，即当21x <-时，∵当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数， ∴()1fx +<()f x【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．。