3.1.1 两角差的余弦公式教学设计

“§3.1.1 两角差的余弦公式”教学设计

朔州市一中李燕一、内容和内容解析

（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。

（2）内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时公式成立。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。基于这些分析，两角差的余弦公式的探索将是本节的重点。二、目标和目标解析

（1）目标：

①经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，培养从已有知识出发探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

②探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式，体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。

③掌握两角差的余弦公式的结构特征、变形以及应用，培养运用数学知识的能力以及逆用思维的能力。

（2）目标解析：

①联系已经学过的三角函数线探索三角函数问题是很自然的，鉴于学生独立的运用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式存在一定困难，我采用动画课件

的形式把这一探究过程逐步展示出来。让学生对公式的结构特征进行直观感知，使他们对公式有一个基本了解，并引起寻找适当方法推出公式的欲望。所以这种方法只要求理解。

②向量工具的引入，使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。所以这一过程，鼓励学生独立探索和讨论交流，推导过程不要求一步到位，先抓住主要问题进行探索，然后再引导学生反思完善。这也是处理一般探索性问题应遵循的原则。在学生思维的困惑处，教师作简要提示。

③为了体现“数学是有用的”，我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用，两角差的余弦也不例外。通过公式的正用、逆用，达到掌握公式的目的。

三、教学问题诊断分析

1、学生初次遇到两角差的余弦这个概念，会感到陌生。我采用联系诱导公式的方法，让学生思维过渡自然。而且通过一组诱导公式还可以看出两角差的余弦与哪些值有关，为公式的得出做第一步铺垫。

2、如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦？我采用：一是让学生联系相关已学知识，二是联系数学思想方法（数形结合思想）来处理问题，把学生的思维引到三角函数线上。

3、用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，绝大多数学生的思维没达到这个高度。所以这个内容以我制作的课件为主，学生做到理解就可。

4、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识，努力使数学思维显得自然、合理．

5、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的预习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。

6、鉴于学生的水平不同，我采用分层作业。有必做题和选做题两部分。

四、教学支持条件分析

整节课借助多媒体进行辅助教学，当、、-都是锐角时用三角函数线得到两角差的余弦公式，这个内容比较复杂，用PowerPoint 演示，通过色彩的强烈对比突出效果。αβ-与向量夹角之间的关系，利用几何画板课件演示，可以将抽象的问题直观化。但关键的探究过程和推理过程要借助黑板，即时完成必要的演算推证过程，比课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片要效果更好。

五、教学过程设计

(1)创设情境，引入新课：

请同学们思考问题：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上。如图所示，在地平面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为60米，从A 观测电视发射塔的视角∠CAD 约为45°, ∠CAB=15°。求AD 长度。

解：AD = 120 cos15°= 120cos （60°－45°）

问题一：不借助计算器如何求cos15°的值？我们可以有什么思路呢？

（提示：请联系我们已经学过的特殊角的三角函数值，可以将15°写成什么？） 生： cos （45°－30°）或者cos （60°－45°）等两角差的余弦形式。

师：那么是否可以根据45°和60°的三角函数值来求出15°的余弦？这就是我们这节课要研究的问题。更一般的来说，我们这节课要研究的就是：能不能用α、β的三角函数值把α－β的余弦值表示出来。

学生行为分析与设计意图：①基于人的由低到高的认知规律，把新内容的起点定的越低学生越容易入门。所以我将原教材例子作了修改，使得学生可以当堂解决C 150 D

45° 60 A

B

这个实际问题，做到课的前后呼应，还能体现数学来源于生活，又应用于生活的思想。

②渗透角的变换的思想，把非特殊角15°拆成60°与45°之差。角的变换是这一章三角恒等变换的一种。

(2)联系就知，自然过渡：

问题二：其实我们之前已经接触过两角差的余弦，大家想想在哪呢？ （提示：学生如果想不起来，可以翻教材寻找）

生：诱导公式中就有好多两角差的余弦形式。

师：诱导公式是特殊的两角差的余弦，我们就从诱导公式看起。

对于cos()αβ-， 令2πβ=，则cos()sin 2π

αα-= 令βπ=，则cos()cos απα-=- 令2πα=，则cos()sin 2π

ββ-= 令απ=，则cos()cos πββ-=-

学生行为分析与设计意图：①从新旧知之间的联系入手，让学生对新知不陌生。 ②通过一组示例，让学生发现cos()αβ-的值与sin α、cos α、sin β、cos β的值都有关系，为最终公式的得出做小小的铺垫。

师：从这一组诱导公式可以看出：cos()αβ-的值与哪些值有关？