高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系专题讲解
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读 1.以常见几何体为模型，利用公理或推论判断线面位置关系；2.利用等角定理及平面求角的方法求异面直线所成的角．[基础梳理]1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行公理(公理4)和等角定理：①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (3)异面直线所成的角：①定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)；②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2 . 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系[三基自测]1．下列命题中，真命题是()A．空间不同三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．两组对边相等的四边形是平行四边形D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60° D．90°答案：C3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直答案：D4．(必修2·2.1练习改编)两两相交的三条直线最多可确定________个平面．答案：35．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)在正方体ABCD A1B1C1D1中，与平面A1AC平行的棱有________．答案：D1D、B1B考点一平面的基本性质|易错突破[例1](1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()(2)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC[解析](1)A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．(2)由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.[答案](1)D(2)C[易错提醒]1．由元素确定平面时，要看元素满足的条件．(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线．2．多点共线或多线共点问题：点为平面的公共点，线为平面的交线．3．共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[纠错训练]1.如图，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.答案：A2．(2018·大连模拟)给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③考点二空间直线的位置关系|方法突破命题点1异面直线的判定[例2](2018·德州模拟)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．[解析]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中GH与MN异面．[答案]②④[方法提升]异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．[跟踪训练]1.(2018·赣州模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．答案：②③④命题点2平行和垂直的判定[例3](1)(2018·衡水中学模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[解析](1)连接C1D，BD(图略)．∵N是D1C的中点，∴N是C1D的中点，∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD，∴CC1⊥MN，故A，C正确．∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确．故选D.(2)如图长方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．[答案](1)D(2)B[方法提升]1．线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断．(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直． 2．注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．[跟踪训练]2．(2018·东营模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2F A ，则EF 与BD 1的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．相交且垂直C ．异面D ．平行解析：连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ， 因为A 1E ＝2ED ，可得M 为AD 的中点， 连接BF 并延长，交AD 于点N ， 因为CF ＝2F A ，可得N 为AD 的中点， 所以M ，N 重合，且ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MF BF ，所以EF ∥BD 1.答案：D考点三 异面直线所成的角|方法突破[例4] (1)直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(2)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．[解析] (1)如图，可补成一个正方体，由AC 1∥BD 1，得BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1.又易知△A 1BD 1为正三角形，∴∠A 1BD 1＝60°. 即BA 1与AC 1成60°的角．(2)如图所示，连接ND ，取ND 的中点E ，连接ME ，CE ，则ME ∥AN ，则异面直线AN ，CM 所成的角即为∠EMC . 由题可知CN ＝1，AN ＝22， ∴ME ＝ 2.又CM ＝22， DN ＝22，NE ＝2，∴CE ＝3， 则cos ∠CME ＝CM 2＋EM 2－CE 22CM ×EM＝8＋2－32×22×2＝78.[答案] (1)C (2)78[方法提升]求异面直线所成角的方法[母题变式]在本例(1)中，将∠BAC ＝90°改为∠BAC ＝60°，其余条件不变，求AC 1与BC 所成的角的余弦值．解析：如图，取AC 的中点D .C 1C 的中点E ，AB 的中点F ，连接DF ，DE ，EF ，CF . ∴DE ∥AC 1，DF ∥BC ，∴DE 与DF 所成的锐角或直角是AC 1与BC 所成的角． 不妨设AB ＝2，∴DE ＝12AC 1＝2，DF ＝1，CF ＝3，在Rt △CEF 中，EF ＝2，在△EDF 中，cos ∠EDF ＝2＋1－422＝－122＝－24.∴AC 1与BC 所成角的余弦值为24.1.[考点三](2016·高考全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13解析：在原正方体的前方补一个正方体(如图)，故平面α为平面AMQ ，∴α∩平面ABCD ＝m ＝AM ，∴AM ∥B 1D 1，即m ∥B 1D 1，同理n ∥D 1C ，∴m ，n 所成角为∠CD 1B1.又△CD 1B 1为正三角形，∴∠CD 1B 1＝60°，∴m ，n 所成角的正弦值为32，故选A.答案：A2.[考点二](2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m ⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案：②③④。
高中数学必修二8.4《空间点、直线、平面位置关系》课件
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：D [如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD， AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足题意，故 这样的直线 l 可以作 4 条．]
的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A.
2 2
B.
3 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：C [如图，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成的角为∠ EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ 5，则 tan∠EAB＝BAEB＝ 25，所以异面直线 AE 与 CD 所 成角的正切值为 25，故选 C.]
[典例] (1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面
β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是(
)
A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：B [本题为立体几何中的问题，考查垂直关系，线面、线 线位置关系．∵△BDE 中，N 为 BD 中点，M 为 DE 中点，∴BM， EN 共面相交，选项 C，D 为错．作 EO⊥CD 于 O，连接 ON，过 M 作 MF⊥OD 于 F.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
b
a
a
a
b
b
总结新知
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
//
相交直线
∩=
异面直线
与异面
探究新知
A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
活动. ①一个平面把空间分为几部分？
②二个平面把空间分为几部分？
③三个平面把空间分为几部分？
02
典 型 例 题 分 析
应用新知
题型一：用符号语言描述位置关系(数学抽象)
例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
解：在(1)中， ∩ = ， ∩ = ， ∩ = .
高中数学中的空间解析几何位置关系
高中数学中的空间解析几何位置关系在高中数学中，空间解析几何是一个重要的内容。
通过解析几何，我们可以研究点、直线、平面以及它们之间的位置关系。
本文将介绍空间解析几何中的位置关系，并探讨一些常见的几何问题。
1. 点与直线的位置关系在三维空间中，一个点可以在直线上、在直线上的延长线上、不在直线上，这取决于点与直线之间的位置关系。
根据点在直线上的投影，可以将点与直线的位置关系分为三种情况：点在直线上、点在直线的某个延长线上、点在直线的某个截线上。
具体来说，如果一个点的坐标满足直线上的方程，那么这个点就在直线上。
如果一个点的坐标满足直线的方程但不满足直线上的方程，那么这个点就在直线的某个延长线上。
如果一个点的坐标不满足直线的方程，那么这个点就不在直线上。
2. 点与平面的位置关系与点与直线的位置关系类似，点与平面之间的位置关系也可以分为三种情况：点在平面上、点在平面的上方或下方、点不在平面上。
通过将点的坐标代入平面的方程，我们可以判断点与平面的位置关系。
如果点的坐标满足平面的方程，那么这个点在平面上。
如果点的坐标不满足平面的方程，那么这个点不在平面上。
如果点的坐标满足平面的方程但不满足平面上的方程，那么这个点在平面的上方或下方。
3. 直线与直线的位置关系在三维空间中，两条直线可以相交、平行或重合。
通过求解两条直线的交点，我们可以判断它们之间的位置关系。
如果两条直线有且仅有一个交点，那么它们相交。
如果两条直线没有交点且它们的方向向量平行，那么它们平行。
如果两条直线完全重合，那么它们重合。
4. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系可以分为四种情况：直线在平面上、直线平行于平面、直线与平面相交但不在平面上、直线与平面没有交点。
通过直线的方程和平面的方程，我们可以判断直线与平面之间的位置关系。
具体而言，如果直线的方程同时满足平面的方程，那么这条直线在平面上。
如果直线的方程与平面的法向量平行，那么这条直线与平面平行。
必修二空间点、直线、平面之间的位置关系讲义
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本知识1、平面的概念：具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小，无厚薄，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不可度量。
．．．．．2、平面的表示：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线。
点与平面平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B ∉α二、平面的基本性质1、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
三、平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。
四、等角定理定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
五、异面直线1、空间直线位置关系（1）在同一平面内⎩⎨⎧平行直线相交直线 （2）不同在任何一平面内：异面直线2、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、两条异面直线所成的角：已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线 a ˊ∥a 、b ˊ∥b ，我们把a ˊ与b ˊ所成的锐角．．（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
注意：① a ˊ与b ˊ所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈⎥⎦⎤⎝⎛2,0π ； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a ．⊥．b ．； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结1.内容归纳总结 （1）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面它给出了确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。
符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。
公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。
（易知：夹角范围090θ<≤︒）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种：//l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线直线、平面平行的判定及其性质1.内容归纳总结（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,,////a b a baααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
高中数学课件-第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
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(2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且
A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( D )
A.垂直
B.相交
C.异面
D.平行
D 若m与n平行，由于A∈m，A∈α，可得m⊂α，与m⊄α矛盾，故m 与n不平行.
13Leabharlann 聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
知识梳理
1.平面的基本事实及推论
(1)平面的基本事实
基本事实1：过___□_1 _不__在__一__条__直__线__上___的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的__□_2_两__个__点____在一个平面内，那么这
条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
有__□_3__一__条___过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__□_4_平__行____.
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(2)三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条__□_5 _相__交__直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条__□6__平__行__直线，有且只有一个平面.
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2.回源教材
(1)下列命题正确的是( D )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线确定一个平面
D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面
D A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，当三条直线交于一点时不一定确定一个平面，C错，故只有选 项D正确.