小专题(一)：平行四边形的证明思路

小专题（一）平行四边形的证明思路

类型1 若已知（已证）四边形中边的关系

（1）已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；

（2）已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等.

1.如图，在△ABC中，AB AC

=，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF EC

=.求证：四边形DBFE是平行四边形.

2.如图，在ABCD中，点O是对角线,

AC BD的交点，点E是边CD的中点，点F

在BC的延长线上，且

1

2

CF BC

=，求证：四边形OCFE是平行四边形.

3.（2018·孝感）如图，点,,,

B E

C F在一条直线上，已知//,//

AB DE AC DF，BE CF

=，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形.

4.如图，在ABCD中，分别以,

AD BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接,

BE DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.

5.如图，已知点,,D E F 分别在△ABC 的边,,BC AB AC 上，且//,DE AF DE AF =，将FD 延长到点G ，使2FG DF =，连接AG ，则ED 与AG 互相平分吗？请说明理由.

6.如图，在ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，AF 与BE 交于点,G CE 与DF 交于点H ，求证：四边形EGFH 是平行四边形.

类型2 若已知条件（己证结论）与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形

7.如图，ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与,AB CD 的延长线交于点,E F .求证：四边形AECF 是平行四边形.

8.如图，在ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与,AD BC 分别相交于点,,E F GH 过点O ，与,AB CD 分别相交于点,G H ，连接,,,EG FG FH EH .求证：四边形EGFH 是平行四边形.

参考答案

1.证明：,.,AB AC B C EF EC EFC C =∴∠=∠=∴∠=∠.B EFC ∴∠=∠. //AB EF ∴.又//,DE BC ∴四边形DBFE 是平行四边形.

2.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴点O 是BD 的中点.又∵点E 是边CD 的中点，OE ∴是△BCD 的中位线. //OE BC ∴，且12OE BC =.又12CF BC =， OE CF ∴=.又∵点F 在BC 的延长线上，//.OE CF ∴∴四边形OCFE 是平行四边形.

3.证明：//,AB DE B DEF ∴∠=∠.//,AC DF ACB F ∴∠=∠.BE CF =，

BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =.在△ABC 和△DEF 中，,,

,B DEF BC EF ACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

∴△ABC ≌△DEF （ASA ）. .//,AB DE AB DE ∴=∴四边形ABED 是平行四边形.

4.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，,CD AB AD CB ∴==，DAB BCD ∠=∠.又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴,DE AD AE CF BF BC ====，

60.DAE BCF BF ︒∠=∠=∴=,.DE CF AE DCF BCD BCF =∠=∠-∠，

,BAE DAB DAE DCF BAE ∠=∠-∠∴∠=∠.在△DCF 和△BAE 中， ,,,CD AB DCF BAE CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCF ≌△BAE

（SAS ）. DF BE =.又,BF DE =∴四边形

BEDF 是平行四边形.

5.解：ED 与AG 互相平分.理由：连接,,

//,,EG AD DE AF DE AF =∴四边形AEDF 是平行四边形.//,AE DF AE DF ∴=.又2,.FG DF DG DF AE DG =∴=∴=.又//,AE DG ∴四边形AEGD 是平行四边形.ED ∴与AG 互相平分.

6.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，//,AD BC AD BC ∴=.,E F 分别是,AD BC 的中点，11,,//,,22

AE AD FC BC AE FC AE FC ∴==∴=∴四边形AECF 是平行四边形.//GF EH ∴.同理可证：//ED BF 且.ED BF =∴四边形BFDE 是平行

四边形.//.GE FH ∴∴四边形EGFH 是平行四边形.

7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，,OD OB OA OC ∴==，//AB CD .

,DFO BEO FDO EBO ∴∠=∠∠=∠.在△FDO 和△EBO 中，,,,DFO BEO FDO EBO OD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△FDO ≌△EBO （AAS ）.∴OF OE =.又,OA OC =∴四边形AECF 是平行四边形.

8.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，//..

AD BC EAO FCO O ∴∴∠=∠为AC 的中点，OA OC ∴=.在△OAE 和△OCF 中，,,,EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

∴△OAE ≌△OCF （ASA ）.OE OF ∴=.同理可证：.OG OH =∴四边形EGFH 是平行四边形.