第三章 薄板理论
第三章 圆板的应力分析
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板 中心挠度和 应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
21
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均布载荷固支圆板
2πr
z
r
(b)
薄板理论基础学习
然后，取上式等号右侧的第二项，再对x作分部积分得：
a b a b 2 w w w w 2w 2w dx - dy 2 dxdy dy 2 2 2 x x y x y 0 x y 0 0 0 0 0 b a 3
对于周边固定的板，沿其边缘应有
w w 0 ；其中n表示 n t
板边的法线方向，t表示板边的切线方向。
w w 0 对于矩形板 对于矩形板，沿各边应有 沿各边应有 x y
对于沿边缘w=0矩形板 沿着y=0，y=b的边缘，应有 沿着x=0 0，x x=a a的边缘，应有
E 2w 2w 由： x z 1 2 ( x 2 y 2 ) E 2w 2w y z ( 2 ) 2 2 1 y x
xy z
E w 1 x y
2
薄板小挠度弯曲 应变能公式
2 2 2 2 w w 2w 2w 2w D dxdy 2(1 ) U 2 2 2 2 2 2 A x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 w w w D w w 2 2 2(1 ) 2 dxdy 2 2 A x y x y x y
飞行器结构力学
对于板边固定的任何形式的板，或沿板的边缘为 w=0 的 矩形板，应变能表达式可以进行简化：方括号项=0 首先取方括号中后一项，对y作分部积分：
b b 2 w 2 w w w 3 w w w dx dy dx dy dxdy 2 x y x y x y x y x 0 0 x x y 0 0 0 0 0 a b 2 a b 2 2 a a b w w w 3 w dxdy dx 2 x y x 0 x x y 0 0 0 a 2 b
第三章 相互作用(重力、弹力和摩擦力)讲义(含例题和习题答案)
第三章相互作用（上）(2020新版)（重力、弹力和摩擦力）前言：《李老师物理教学讲义》由李老师高中物理教研室一线教师根据本人多年教学经验，以及人教版教学大纲（最新版）和教材，精心编撰的教学讲义。
本讲义以教材内容为主线，附有大量经典例题和习题，并附有详细答案或解析。
本讲义主要供广大高中物理一线教师教学参考之用，任何自然人或法人未经本教研室许可不得随意转载或用于其它商业用途。
——李老师高中物理教研室一、重力和弹力1．力（1）力是物体与物体之间的相互作用。
在国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，符号N。
（2）力的三要素：力的大小、方向和作用点。
（3）力的性质：例题1-1.（2019·南充高一期中）下列说法中正确的是（）A．“风吹草动”，草受到了力，但没有施力物体，说明没有施力物体的力也是存在的B．运动员将足球踢出，球在空中飞行是因为球在飞行中受到一个向前的推力C．甲用力把乙推倒，只是甲对乙用力，而乙对甲没用力D．两个物体发生相互作用不一定相互接触答案：D例题1-2.如图所示，用球拍击打乒乓球时，如果以球为研究对象，则施力物体是( )A．人 B．球拍C．乒乓球 D．无法确定答案：B（4）力的图示和力的示意图力可以用有向线段表示。
有向线段的长短表示力的大小，箭头表示力的方向，箭尾（或箭头）表示力的作用点。
如图3.1-4，球所受的重力大小为6N，方向竖直向下。
这种表示力的方法，叫作力的图示。
在不需要准确标度力的大小时，通常只需画出力的作用点和方向，即只需画出力的示意图。
例题1-3.下图甲、乙中物体A的重力均为10 N，画出它所受重力的图示。
答案：如图所示例题1-4.（2019 -温州模拟）足球运动员已将足球踢向空中，在下图描述足球在向斜上方飞行过程中某时刻的受力图中，正确的是（）答案：B（5）力的分类2.重力（1）定义：由于地球的吸引而使物体受到的力叫作重力（gravity），单位是牛顿，简称牛，符号用N表示。
薄壁结构中的应力分析和薄板理论
薄壁结构中的应力分析和薄板理论薄壁结构是指在某一方向上尺寸远远小于其他两个方向的结构。
它们在工程领域中广泛应用，如飞机机身、汽车车身、船舶外壳等。
在设计和分析这些结构时，应力分析和薄板理论是必不可少的工具。
首先，我们来了解一下应力分析。
应力是物体内部的力分布，它是由外部施加的力和物体内部的几何形状共同决定的。
在薄壁结构中，由于其尺寸的特殊性，应力分布具有一些特殊的规律。
例如，在一根薄壁柱上施加一个压力，应力分布呈现出一个圆环状。
这是因为薄壁结构的几何形状限制了应力的传递路径，使得应力集中在壁的边缘处。
这种应力分布的特点对于薄壁结构的设计和分析具有重要意义。
接下来，我们来介绍薄板理论。
薄板理论是一种基于假设的理论，它假设薄板在受力时可以看作一个平面。
根据这个假设，可以得出一些重要的结论。
首先，薄板的应力只有两个分量，即法向应力和切应力。
这是因为薄板的厚度相比于其宽度和长度来说非常小，所以沿厚度方向的应力可以忽略不计。
其次，薄板的应力分布可以通过一些简化的方法进行计算。
例如，可以使用平衡方程和边界条件来求解薄板的应力分布。
在实际的工程应用中，薄壁结构的设计和分析需要考虑到多种因素。
首先，材料的选择非常重要。
不同的材料具有不同的力学性质，如弹性模量、屈服强度等。
这些性质直接影响到薄壁结构的应力分布和变形情况。
其次，结构的几何形状也是一个关键因素。
不同的几何形状会导致不同的应力分布和应力集中情况。
因此，在设计薄壁结构时，需要考虑到材料和几何形状之间的相互影响。
此外，薄壁结构的应力分析和薄板理论还可以应用于其他领域。
例如，在医学领域中，可以使用薄板理论来分析和设计人体骨骼的结构。
在航天领域中，可以使用应力分析来评估航天器的结构强度。
在建筑领域中，可以使用薄板理论来设计建筑物的外墙结构。
薄壁结构的应力分析和薄板理论在不同领域中都具有广泛的应用前景。
综上所述，薄壁结构的应力分析和薄板理论是设计和分析薄壁结构的重要工具。
第三章薄板理论
S
S
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（3-4）代入式（f），（g），并积分得 d w dw M D （ 3-6 ） dr r dr
2
1 dw d2 w M D r dr dr2
第三章 薄板理论
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1
第一节 薄板的基本概念及基本假定 平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离 远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为 平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板 的中面，参考坐标系位于中面内。
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弹性薄板小挠度理论的基本假设
（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即 板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移， (u) z0 (v) z， (w) z 0 w ( x, y) 即 。 0 0
（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直 线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性 yz 曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 x z 、 应等于零。 （3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不 挤压，即垂直于板面的应力分量 z 和应变分量 z 略去不计。
因为d 是个小角度，sin d2 d2
Mr r d Mr M Qr r 0 dr
，略去高阶微量，
即
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d(r . M r ) M Qr . r 0 dr
（3-2） 11
（二）几何方程
薄板理论 1
又由薄板上、下板面的边界条件可以求出
(rzx )z t , (rzy )z t
2 2
(11)
应用这两边界条件得
Ez 2 t2 2 zx (z2 ) w 2 2(1 ) 4 x 2 2 t 2 2 Ez (z ) w zy 2 2(1 ) 4 y
3 2
1
z 4 w t
(18)
再由薄板的上板面的边界条件
( z ) z t /2 q
(19)
其中 q 是薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力， 及横向体力，如（14）所示。将 z 的表达式（18）代入 （19）整理得 Et 3
12(1 )
2
4 w q
f 1 ( x, y ) 0 f 2 ( x, y ) 0
u z 0 0 (3) v z 0 0
w v z y (4) u w z x
2，将主要应变分量 以得;
x , y , rxy
用w表示，则由几何方程可
5
主要应力：弯应力 x y 扭应力 xy yx 次要应力：横向剪应力 xz 挤压应力 z 内力的平衡：
2 2 2
yz
M x M xy M y 2 2 q 0 2 x xy y
6
此外若代入内力的应力表达式，则又可得到薄板的挠度微 分方程。
w w x 0 0 , 0 x x0 简支边OC
O a b
C
w y 0 0 , M y y 0 0
2w 2w 2 2 0 x y 0 y
A
B
再对简支边界条件减化。
薄板理论在工程中的应用研究
薄板理论在工程中的应用研究引言：薄板理论是一种广泛应用于工程领域的理论模型，它主要用于描述和分析薄板结构在受力情况下的变形和破坏行为。
在工程实践中，薄板结构广泛应用于航空航天、建筑、汽车等领域，因此对薄板理论的研究和应用具有重要的意义。
本文将探讨薄板理论在工程中的应用研究，并分析其在不同领域的具体应用案例。
一、薄板理论的基本原理薄板理论是基于弹性力学理论的基础上发展起来的，它假设薄板结构在受力作用下的变形主要发生在板的中面，而板的表面则保持平面状态。
根据这一假设，薄板理论可以通过边界条件和力平衡方程来描述薄板结构的变形和破坏行为。
二、薄板理论在航空航天领域的应用在航空航天领域，薄板结构广泛应用于飞机机翼、机身等部件中。
薄板理论可以用于分析飞机结构在飞行过程中受到的各种载荷情况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化飞机结构设计，提高结构的强度和刚度，同时减少结构的重量，提高飞机的性能。
三、薄板理论在建筑领域的应用在建筑领域，薄板结构常用于大跨度屋盖、墙板等部件中。
薄板理论可以用于分析这些结构在风荷载、地震荷载等外力作用下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化结构设计，提高结构的稳定性和安全性，同时减少材料的使用量，降低建筑成本。
四、薄板理论在汽车工程中的应用在汽车工程中，薄板结构广泛应用于车身、车顶等部件中。
薄板理论可以用于分析汽车结构在碰撞、振动等工况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以提高汽车的安全性和舒适性，同时降低车身重量，提高燃油经济性。
五、薄板理论在其他领域的应用除了航空航天、建筑和汽车工程领域，薄板理论还可以在其他工程领域中得到应用。
例如，薄板理论可以用于分析电子设备中的散热板、光学器件中的薄膜等结构的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化这些结构的设计，提高其性能和可靠性。
结论：薄板理论作为一种重要的理论模型，在工程领域中得到了广泛的应用。
通过对薄板结构的变形和破坏行为进行分析，可以优化结构设计，提高结构的性能和可靠性。
高等结构动力学4_连续体3_薄板弯曲强迫振动
2 wr ,s
òò pst (x, y )Wr,s (x, y )dxdy
W
而正则坐标的初始速度显然等于零
r ,s (0) = 0 h
如此以来，可求解初始分布载荷突然移去时，薄板在初始条件下 的响应。
5. 薄板的强迫振动
5. 薄板的强迫振动
5. 薄板的强迫振动
¥
上面两式乘以 rhWr ,s ，并在面积域积分，利用正交性条件，得到
hr ,s (0) = r ,s (0) = h
òò rhf1(x, y )Wr ,s (x, y )dxdy
W
òò rhf2 (x, y )Wr,s (x, y )dxdy
W
5. 薄板的强迫振动
2 r ,s (t ) + wr h ,s hr ,s (t ) = qr ,s (t )
W T
ksr = òò D0κT( Ws )D1κ( Wr )dxdy
W
4. 薄板主振型的正交性
T T D κ D κ d x d y = a Ka òò 0 1
W
T κ D òò 0 D1κdxdy
w2 = st
W
2 dxdy r h W òò
2 hW dxdy r òò W
= òò rh ( aW i i + a jWj )( aW i i + a jWj ) dxdy = a Ma
i =1 j =1 i =1 j =1 ¥ ¥
两边乘以 Wr ,s ，并在薄板的面积域积分
i, j òò rhWi, jWr ,s dxdy å å hi, j òò D0 ( 4Wi, j )Wr ,s dxdy + å å h
i =1 j =1 ¥ ¥ ¥ ¥
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第三章 薄板理论
1.研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。
所谓薄板是指板的厚度S 与板面最小尺寸b 之比相当小的平板，其定义范围一般为0.01< S/b<0.2，以区别薄板与厚板。
S/b ≥0.2时为厚板。
比薄板挠度更大的壳体称为薄膜（大挠度薄板）。
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。
在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲变形。
薄板弯曲后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移w ，称为挠度。
3.如果挠度w 远小于板厚S ，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w ，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互相不挤压，即垂直于板面的应力分量z σ和应变分量z ξ略去不计。
5.受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：
（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力max σ与2(/)R S 成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
6.试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即2max 223()4r R
r s
z qR S
σσ====± 最大挠度发生在板中心r=0处，
4max 0()64r qR D
ωω===（2）在周边简支情况下最大弯曲应力发生在板中心处，即20
0max 2223()()(3)8r r r s
s
z z qR S
θσσσμ=======+ 最大挠度仍发生在板中心r=0处，4
m a x 05()164r qR D
μωωμ=+==+ 7.提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？
（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
（2）当圆板的几何尺寸和载荷一定时，则选用E 、μ较大的材料，可减小最大挠度，然而在工程实际中由于E 、μ的变化范围较小，故采用此法，不能获得需要挠度和应力状态。
（3）较多的采用改变其周边支撑结构，更接近于固支结构。
（4）增加圆板厚度或用正交格栅法，圆环肋加圆平板等方法来提高圆平板的刚度和强度。
8.哪一种情况，平面封盖应力水平更高，为什么？
由受对称均布载荷的圆平板的应力和变形特点来看，周边固支无论从强度还是从刚度，均比周边简支好，所以固支平面封头比较好。
9.承受均匀内压压力容器封头，比较平底端部焊接与法兰连接，那一种中心处变形更大？
法兰连接中心处的变形更大，因为焊接圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力，而法兰连接最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
10.当其他条件相同时，平盖封头的承载能力远小于凸形风头的承载能力，为什么？提高平盖封头的承载能力途径是什么？
壳体和平板相比，在同样的横向载荷作用下弯曲时，平板以弯矩为主，而壳体以面力为主，因此平盖封头的承载能力远小于凸形封头的承载能力。
平盖封头以采用固支、焊接以提高承载能力。
在相同材料和相同径后比情况下，圆薄板的承载能力要小于旋转薄壳的承载能力。