高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
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高等数学期末复习
第八章 向量代数与空间解析几何
一、内容要求
1、了解空间直角坐标系,会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标
2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系
3、会运用定义和运算性质求向量数量积
4、会运用定义和运算性质求向量的向量积
5、掌握向量数积和向量积的定义形式
6、掌握向量模的定义与向量数量积关系
7、掌握向量的方向余弦概念
8、掌握向量的平行概念
9、掌握向量的垂直概念
10、能识别如下空间曲面图形方程:柱面,球面、锥面,椭球面、抛物面,旋转曲面,双曲
面
11、掌握空间平面截距式方程概念,会化平面方程为截距式方程和求截距
12、会求过三点的平面方程,先确定平面法向量
13、会用点法式求平面方程,通常先确定平面法向量
14、会求过一点,方向向量已知的直线对称式方程,通常先确定直线方向向量
15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数
16、掌握直线对称式方程标准形式,能写出直线方向向量
二、例题习题
1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( ); (内容要求1)
A. )2,4,1(-Q
B. )2,0,1(-Q
C. )0,4,1(-Q
D. )2,4,0(Q
解:yoz 面不含x ,所以x 分量变为0,故选D
2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321π
θθθ≤≤),则
=++322212cos cos cos θθθ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3
解:由作图计算可知,222123cos cos cos 2θθθ++=,所以选C 。(内容要求2)
3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321π
θθθ≤≤),则
=++322212cos cos cos θθθ ;
解:222123cos cos cos 2θθθ++=,所以填2。(内容要求2)
4、向量)3,1,1(-=a ,)2,1,3(-=b ,则=⋅b a ( );
A. 0
B. 1
C. 2
D. )
2,11,5(---
解:311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=,所以选C 。(内容要求3)
5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-⋅=a b
解:2624i j k -=-++a ,所以(2)61224(1)6-⋅=-⨯+⨯+⨯-=-a b ,所以填6-。(内容要求3)
6、设a =2 i +2j +2k ,b =3j -4k ,则a ·b = 。
解:23202(4)2a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=-,所以填-2。(内容要求3)
7、向量}3,0,1{=a ,}2,1,1{-=b ,则=⨯b a ( );
A. 6
B. 6-
C. }1,1,3{-
D. }1,1,3{-- 解:1033112
i
j k a b i j k ⨯==+--,所以选C 。(内容要求4)
8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a ,则=⨯b a ; 解:3122111
i
j k a b i j k ⨯=-=---,所以填2i j k --,或填{1,1,2}--。(内容要求4)
9、a 与b 为两个向量,θ为二者的夹角,则a b ⋅=( ).
(A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ
解:由定义,选D 。(内容要求5)
10、设,a b 为非零向量,则a b ⋅( )a b ⋅.
(A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠
解:因为||||cos θ⋅=⋅a b a b ,所以|||||cos |||||θ⋅=⋅⋅≤⋅
a b a b a b ,选B 。(内容要求5)
11、已知1,a
b ==a 与b 的夹角为4
π
,则a b +=( ). 1 (C) 2 (D) 1+
解:222
||||2|
|||cos 5θ+=++⋅=a b a b a b ,所以,+=a b A 。(内容要求6)
12、设,a b 为非零向量,且⊥a b ,则必有( ).
(A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b 解:2
2222||||2||||cos ||||θ+=++⋅=+a b a b a b a b ,(cos θ=0) 22222||||2||||cos ||||θ-=+-⋅=+a b a b a b a b
所以选C 。(内容要求6)
13、设向量a
与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,则 =++γβα222cos cos cos ;
解:222cos cos cos 1αβγ++=,所以填1。(内容要求7)
14、设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,已知,4,4π
βπ
α==则
γ=
解:因为向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,,4,4π
βπ
α==
222cos cos cos 1αβγ++=,所以cos 0γ=,2π
γ=,所以填2π
γ=。(内容要求7)
15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=,且//a b ,则λ=( ); (A)
103 (B) 103
- (C) 6- (D) 6 解:因为//a b ,所以12324λ-==,所以选C 。(内容要求8) 16、设向量{2,1,10}a =--,{4,2,1}b =-,则向量a 与向量b 的关系是( ).
(A) 平行 (B) 斜交
(C) 垂直 (D) 不能确定
解:0⋅=a b ,所以选C 。(内容要求9)
17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a a ,}1,,2{-=m b ,则=m ( );
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
解:因为a b ⊥,所以2402a b m m ⋅=--=⇒=-,所以选D 。(内容要求9)
18、在空间直角坐标系中, 方程4
92
2y x z +=表示的曲面是( ); A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面