三角函数作业(文)
高考数学(文)大一轮复习检测：第三章 三角函数、解三角形 课时作业21 Word版含答案
课时作业21 三角函数的图象与性质l一、选择题1．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，所以选A .答案：A2．下列函数中，周期为π，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增的函数是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝－sin 2xD ．y ＝－cos 2x解析：由－π2＋2k π≤2x≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递减，则函数y ＝－sin2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上单调递增，易知y ＝－sin2x 的周期为π，因此选C.答案：C3．(2017·湖南长沙模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π解析：令z ＝π3－12x ，函数y ＝sin z 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，由2k π＋π2≤π3－12x ≤2k π＋3π2，得4k π－7π3≤x ≤4k π－π3，k ∈Z ，而z ＝π3－12x 在R上单调递减，于是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3，k ∈Z ，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π，故选D.答案：D4．下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x 2＋1)0解析：A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期，故选B.答案：B5．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上单调递增，其中φ∈(π，2π)，则φ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π B.⎝⎛⎦⎥⎤π，116πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，116πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，2π 解析：由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，得2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ，23π＋φ，又∵φ∈(π，2π)，∴π2＋φ>32π，23π＋φ≤52π，∴π<φ≤116π，故选B. 答案：B6．(2017·河北名校联考)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)，且f (2＋x )＝f (2－x )，则|ω|的最小值为( )A.π12 B.π6 C.5π12D.5π6解析：由题意可得，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω≠0)的图象关于直线x ＝2对称，∴2ω－π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝5π12＋k π2，k ∈Z ，∴|ω|min ＝π12.答案：A 二、填空题7．函数f (x )＝sin2x －4sin x ·cos 3x (x ∈R )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x －2sin2x cos 2x ＝sin2x (1－2cos 2x )＝－sin2x cos2x ＝－12sin4x ，故其最小正周期为2π4＝π2.答案：π28．(2017·东北沈阳四城市质检)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是______．解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π69．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x 的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋4cos 2x ＝sin2x －cos2x ＋2(cos2x ＋1)＝sin2x ＋cos2x＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，所以函数f (x )的最小值为2－ 2.答案：2－ 2 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32·sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈[－π3，π4]，知2x －π6∈[－56π，π3]，当－56π≤2x －π6≤－π2即－π3≤x ≤－π6时，f (x )是减函数；当－π2≤2x －π6≤π3即－π6≤x ≤π4时，f (x )是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 11．(2016·北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间． 解：(Ⅰ)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 依题意，πω＝π，解得ω＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为 [k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．1．(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sin x 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而 π2<π2，故选D. 答案：D2．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.答案：B3．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：f (x )＝12(1－cos ωx )＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin(ωx －π4)，当ω＝12时，f (x )＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22，无零点，排除A ，B ；当ω＝316时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫316x －π4，x ∈(π，2π)时，0∈f (x )，有零点，排除C.故选D.答案：D4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为 [k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z .。
高一数学三角函数独立作业
高一数学独立作业班级 姓名 学号 成绩 ( )1．tan(30)tan(120)tan(180)︒︒︒++=A ．433-B ．233-C ．433D ．0 ( )2．3sin()2πθ-=A ．sin θB ．sin θ-C ．cos θD ．cos θ-( )3．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象A 、向左平行移动3π个单位长度B 、向右平行移动3π个单位长度 C 、向左平行移动6π个单位长度 D 、向右平行移动6π个单位长度( )4．若0cos sin <αα，则角α的终边在A ．第三象限B ．第四象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限( )5．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是:A ．sin2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．sin y x =∣∣ ( )6．已知76θπ=，则22(1tan )cos θθ+=A ．1 B.12 C. 32 D. 32( )7．把函数y =sin(2x-4π)的图象向右平移8π个单位，所得图像对应的函数是 A ． 非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ． 偶函数( )8．函数y ＝2sin （321π+x ）在一个周期内的三个零点是310,34,32B. 311,35,3A.ππππππ--35,32,3D.623,611,6C. ππππππ--( )9．与函数sin(3)4y x π=+的图像完全相同的一个函数是A ．sin(3)y x =B ．7sin(3)4y x π=-C ．3sin(3)4y x π=+ D ．7sin(3)4y x π=-( )10．已知α是锐角，那么2α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于π的正角D ．第一或第二象限角( )11．已知α是第一象限角，那么α2是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角( )12．扇形的弧度数为π310，半径r=20cm ，则这扇形的周长为 A ．()206cm π+ B ．()406cm π+ C ．6cm π D ．60cm π( )13．下列哪个角为第三象限角A ．1B ．2C ．3D ．4( )14．根据下列数据X 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y1.510.511.510.511.5Y 与X 之间的关系选择以下哪种函数模型比较合适A ．指数函数B ．对数函数C ．幂函数D ．正弦函数 ( )15．在[]0,2π之间，方程2cos 1.5x =的根的个数A ．0B ．2C ．4D ．无数个( )16．（ 附加题）如图是半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米.已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上一点P 到水面的距离Y （米）与时间X （秒）满足函数关系式()()sin 20,0,y K x K R ωφωφ=++>>∈,则有A ．2,315K πω== B ．15,32K ωπ== C ．2,515K πω== D ．15,52K ωπ==( )17. （附加题）定义在R 上的函数()f x ，既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 Ａ．12- Ｂ．32 Ｃ．32- Ｄ．1218．写出终边在坐标轴上的角的集合________ 19．已知函数()sin()(00,)f x A x b A x ωϕωϕπ=++>>≤<2∈R ，，0在一个周期内的图象如图2所示，求函数解析式 （x 坐标轴从左向右依次为357,,,,22222πππππ-，y 轴上为2）20．已知2tan =x ，则222sin cos x x +=____________；21. 用“五点法”作函数cos y x =-，[]0,2x π∈图像的五点是_________________________ 22. 函数[]2sin 2,0,2y x x π=∈的单调递增区间为________________________________23.（附加题）下列命题中正确的是_______________⑴在△ABC 中，若sinA=sinB ，则A=B ⑵ 函数cos 0.5y x =+的周期为π ⑶函数tan y x =在定义域上为单调递增函数 ⑷函数33sin ,4y x x R =-∈是奇函数24.（附加题）如果,0s in tan <αα 且,1cos sin 0<+<αα那么与α的终边相同的角的集合_______________________25. (附加题，不计入总分)已知角α、β满足：1sin cos cos sin 2424=+βαβα，求证：1sin cos cos sin 2424=+αβαβ。
作业_第一章§1.3 三角函数的诱导公式(1)
三角函数的诱导公式（一）1.计算cos(－600°)＝ A.32 B.－32 C.12 D.－122.下列式子中正确的是A.sin(π－α)＝－sin αB.cos(π＋α)＝cos αC.cos α＝sin αD.sin(2π＋α)＝sin α3.已知点⎝⎛⎭⎫tan 5π4，sin ⎝⎛⎭⎫－π6是角θ终边上一点，则tan θ等于 A.2 B.－32 C.－12 D.－24.化简sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________.5.已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值.[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.计算cos(－330°)的值是A.－32B.－12C.12D.322.已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 A.－35 B.35 C.±35 D.453.计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是A.14B.34C.114D.944.已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α等于 A.13B.－13C.233D.－2335.若cos(－80°)＝k ，则tan 100°等于 A.1－k 2k B.－1－k 2k C.k 1－k 2 D.－k 1－k 26.(能力提升)已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 A.b ＞a ＞c B.a ＞b ＞cC.b ＞c ＞aD.a ＞c ＞b 二、填空题(每小题5分，共15分)7.化简cos （－α）tan （7π＋α）sin （π＋α）＝________. 8.已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________. 9.(能力提升)下列三角函数，其中n ∈Z ：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3，其中与sin π3的值相同的是________(填序号).三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)若cos α＝23，α是第四象限角.求sin （α－2π）＋sin （－α－3π）cos （α－3π）cos （π－α）－cos （－π－α）cos （α－4π）的值.11.(12分)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值.12.(12分)(能力提升)设f (θ)＝cos （4π＋θ）·cos 2（π＋θ）·sin 2（3π＋θ）sin （θ－4π）·sin （5π＋θ）·cos 2（－π＋θ）. (1)化简f (θ).(2)若θ＝660°，求f (θ)的值.。
高一三角函数诱导公式课后各作业
1．cos315sin(30)sin 225cos480+-++2．cos 225tan 240sin(60)tan(60)++-+-3．42sin()2sin 2sin333πππ-++ 4．已知：1tan 2α=，求 sin cos sin cos αααα+-的值5已知：，tan 2α=-求 2222sin cos sin sin cos 2cos αααααα+--的值6.证明函数 ①()s i n c o s f x x x = 为奇函数②()sin f x x = 为偶函数2.角α、β的终边关于y 轴对称,下列各式正确的是( ) A. sin sin αβ= B. cos cos αβ= C. tan tan αβ= D. sin sin αβ=-3.若角A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，则下则等式中一定成立的是（ ） A. cos()cos A B C += B. sin()sin A B C +=- C. tan()tan A B C += D. sin()cos 22A B C+= 4.若cos()6m πα-=,则2sin()3πα-=( ) A. m - B. 2m - C. 2m D. m 5若1sin()44πα-=,则cos()4πα+=_____________. 6. 000cos(585)sin 495sin(570)-+-的值为__________. 7.化简: 000sin()sin(90)sin(540)sin(270)αααα-+---+--8.设函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++,其中,,,a b αβ都是非零实数,且满足(2008)10f =,求(2009)f 的值.★★9.求证: 232sin()cos()1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ-+-++=-++-★★10.已知函数()sin(),3n f n n Z π=∈求(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++ 的值2.与角α的终边相同的角的表示形式 。
2020高考数学 课后作业 4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2020·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32 [答案] A[解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－12，故选A.2．(文)(2020·山东淄博一模)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝( )A ．－15B.15 C ．－75D.75[答案] B[解析] (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝125，又α∈(－π4，0)，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.(理)(2020·河北石家庄一模)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22，则sin α－cos α的值为( )A ．－ 2B ．－62C. 2D.62[答案] D[解析] ∵sin α＋cos α＝22，0<22<1,0<α<π，∴π2<α<π，∴sin α－cos α>0. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12，∴2sin αcos α＝－12；∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝32，∴sin α－cos α＝62. 3．(文)(2020·杭州二检)若a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° [答案] C[解析] 依题意得32×13－sin αcos α＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.(理)已知向量a ＝(tan α，1)，b ＝(3，－1)，α∈(π，2π)且a ∥b ，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，sin π－α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴tan α＝－3， ∵α∈(π，2π)，∴α＝5π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 13π6＝cos π6>0， sin(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－sin 2π3<0，∴点P 在第四象限．4．(2020·绵阳二诊、长春模拟)已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ<0，则cos θ的取值范围是( )A ．(－22，0) B ．(－1，－22) C ．(0，22) D ．(22，1)[答案] A[解析] 如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2k π＋5π4<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，因此－22<cos θ<0.选A.5．(2020·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.6．(文)(2020·湖北联考)已知tan x ＝sin(x ＋π2)，则sin x ＝( )A.－1±52B.3＋12 C.5－12 D.3－12[答案] C[解析] ∵tan x ＝sin(x ＋π2)，∴tan x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52，∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选C. (理)(2020·重庆诊断)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32C ．1 D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即21－cos 2αcos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.7．(文)(2020·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案] －33[解析] 由已知得sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cos α＝1－sin 2α＝32，因此tan α＝sin αcos α＝－33.(理)(2020·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos (π12－α)＝________.[答案] － 223[解析] ∵－π<α<－π2，∴－7π12<5π12＋α<－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.8．设a ＝12cos16°－32sin16°，b ＝2tan14°1＋tan 214°，c ＝1－cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)．[答案] a <c <b[解析] a ＝sin14°，b ＝2sin14°cos14°cos 214°＋sin 214°＝sin28°， c ＝sin25°，∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <c <b .9．(2020·江西上饶四校联考)对任意的a ∈(－∞，0)，总存在x 0使得a cos x 0＋a ≥0成立，则sin(2x 0－π6)的值为________．[答案] －12[解析] 若对任意的a ∈(－∞，0)，总存在x 0使得a cos x 0＋a ≥0成立，则cos x 0＋1≤0， 又cos x 0＋1≥0，所以cos x 0＋1＝0， 所以cos x 0＝－1，则x 0＝2k π＋π(k ∈Z)， 所以sin(2x 0－π6)＝sin(4k π＋2π－π6)＝sin(－π6)＝－sin π6＝－12.10．(文)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求证：cos 2α＝38.[解析] 由题设知，sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β， ② ①②，得9cos 2α＝4cos 2β， ③ ①＋③，得sin 2α＋9cos 2α＝4， 即1－cos 2α＋9cos 2α＝4，∴cos 2α＝38.(理)(2020·南充市)已知三点：A (4,0)，B (0,4)，C (3cos α，3sin α)． (1)若α∈(－π，0)，且|AC →|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝0，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．[解析] (1)由题得AC →＝(3cos α－4,3sin α)，BC →＝(3cos α，3sin α－4) 由|AC →|＝|BC →|得，(3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2⇒sin α＝cos α∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. (2)由AC →·BC →＝0得，3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0， 解得sin α＋cos α＝34，两边平方得2sin αcos α＝－716∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716.11.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <sin A ，sin B >cos A ，故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，选B.12．(2020·安徽铜陵一中)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＋c ＝3，tan B ＝73，则△ABC 的面积为( ) A.74 B.54 C.72 D.52[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∵tan B ＝73，∴sin B ＝74，cos B ＝34， ∵a ＋c ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝74.13．(文)(2020·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α等于( ) A.15 B ．－15 C ．－75D.75[答案] A[解析] 由于cos α＝45，α∈(－π4，0)，所以sin α＝－35，所以sin α＋cos α＝15，故选A.(理)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( ) A ．－ 195 B.195C.113 D ．－ 113[答案] A[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000，则f [f (2020)]＝________.[解析] 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x ≤2000x －102 x >2000得，f (2020)＝2020－102＝1910，f (1910)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2020)]＝－1.15．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)，求cos A .[解析] 解法一：∵π4<A <π2，∴π2<A ＋π4<3π4，∵sin(A ＋π4)＝7210，∴cos(A ＋π4)＝－1－sin2A ＋π4＝－210. ∴cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210×22＋7210×22＝35.解法二：∵sin(A ＋π4)＝7210，∴sin A ＋cos A ＝75，∴sin A ＝75－cos A ，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中得 2cos 2A －145cos A ＋4925＝1，∵π4<A <π2，∴0<cos A <22，∴cos A ＝35.16.(2020·潍坊质检)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. (1)求sin2α＋cos2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．[解析] (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45·45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·35＝725.1．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋α)，其中a ，b ，α∈R ，且ab ≠0，α≠k π (k ∈Z)．若f (2020)＝5，则f (2020)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5[答案] C[解析] ∵f (2020)＝a sin(2020π＋α)＋b cos(2020π＋α)＝－a sin α－b cos α＝5， ∴a sin α＋b cos α＝－5.∴f (2020)＝a sin α＋b cos α＝－5.2．(2020·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B[解析] sin80°＝1－cos 280° ＝1－cos2－80°＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.3．(2020·山东济南模考、烟台市诊断)已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( )A.1213 B.513C ．－513D ．－1213[答案] D[解析] 在△ABC 中，由tan A ＝－512<0知，∠A 为钝角，所以cos A <0,1＋tan 2A ＝sin 2A ＋cos 2A cos 2A ＝1cos 2A ＝169144，所以cos A ＝－1213，故选D. [点评] 学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tan A ＝－512，A 为三角形内角，即知A 为钝角，∴cos A <0，排除A 、B ；又由勾股数组5,12,13及tan A ＝sin A cos A 知，|cos A |＝1213，故选D.4．(2020·山东临沂一模)已知cos(π2－φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 [答案] D[解析] cos(π2－φ)＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.5．(2020·福建省福州市)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( ) A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1 [答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°[答案] C[解析] ∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，又∵y ＝cos x 在[0°，90°]上单调递减，90°>79°>78°>10°，∴cos79°<cos78°<cos10°，∴sin11°<sin168°<cos10°，选C.7．化简sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝______(k ∈Z)．[答案] －1[解析] 对参数k 分奇数、偶数讨论．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin 2n π＋π－α·cos 2n π－αsin 2n π＋2π＋α·cos 2n π＋π＋α＝sin π－α·cos αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1.当k ＝2n (n ∈Z)时，原式＝sin 2n π－α·cos 2n π－π－αsin 2n π＋π＋α·cos 2n π＋α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1.所以sin k π－α·cos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]·cos k π＋α＝－1.。
作业正文-第三单元-三角函数、解三角形
时作业(十六) 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础热身1.下列说法中正确的是 ( ) A .第一象限角一定不是负角 B .不相等的角,它们的终边必不相同 C .钝角一定是第二象限角D .终边与始边均相同的两个角一定相等2.[2017·南充模拟] 若角α的终边经过点P 0(-3,-4),则tan α= ( ) A .43B .34C .-45 D .-353.已知点P √32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )A .5π6B .3π4C .11π6D .5π34.扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形面积是 ( ) A .16π B .32π C .16D .325.已知角α的终边在图K16-1中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α用集合可表示为 .图K16-1能力提升6.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是 ( )A .sin α+cos α<0B .tan α-sin α<0C .cos α-tan α<0D .tan αsin α<07.已知集合M={x|x=k ·90°+45°,k ∈Z},N={x|x=k ·45°+90°,k ∈Z},则有 ( )A .M=NB .N ⊆MC .M ⊆ND .M ∩N=⌀8.若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则θ在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限9.已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为 ( )A .-12 B .-√32C .12 D .√3210.角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是角α终边上一点,且|OP|=√10(O 为坐标原点),则m-n 等于 ( ) A .2 B .-2 C .4 D .-411.角α的顶点在坐标原点O ,始边在y 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第三象限内的点P ,且tan α=-34;角β的顶点在坐标原点O ,始边在x 轴的正半轴上,终边与单位圆交于第二象限内的点Q ,且tan β=-2.对于下列结论:①P -35,-45;②|PQ|2=10+2√55;③cos ∠POQ=-35;④△POQ 的面积为√55.其中正确结论的编号是 ( ) A .①②③ B .①②④ C .②③④D .①③④12.若△ABC 的两内角A ,B 满足sin A cos B<0,则△ABC 的形状是 . 13.cos 1·cos 2·cos 3·cos 4的符号为 (填“正”或“负”).14.[2017·泉州二模] 在平面直角坐标系xOy 中,角θ的终边经过点P (x ,1)(x ≥1),则cos θ+sinθ的取值范围是 . 难点突破15.(5分)[2017·吉林、黑龙江两省八校联考] 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田(如图K16-2)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为2π3,半径为6米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数,√3≈1.73)图K16-216.(5分)若角α的终边落在直线y=√3x 上,角β的终边与单位圆交于点12,m ,且sin α·cosβ<0,则cos α·sin β= .课时作业(十七) 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式基础热身1.[2017·天水二中期中] tan 390°=( )A .-√3B .√3C .√33 D .-√332.[2017·成都一诊] 已知α为锐角,且sin α=45,则cos(π+α)= ( ) A .-35B .35C .-45D .453.[2017·宁德质检] 已知sin α+π6=45,则cos α-π3的值为 ( )A .35 B .45 C .-45 D .-35 4.已知tan θ=2,则sin 2θ-sinθcosθ2cos 2θ的值为 ( )A .12 B .1 C .-12 D .-15.[2017·东莞四校联考] 已知sin α=√55,π2≤α≤π,则tan α= . 能力提升6.[2017·潮州二模] 已知sin α-π8=45,则cos α+3π8= ( ) A .-45 B .45 C .-35 D .357.[2017·衡阳四中月考] 若sin x=2sin x+π2,则cos x cos x+π2= ( )55C .23D .-238.[2017·重庆一中月考] 已知α∈32π,2π,且满足cos α+20172π=35,则sin α+cos α= ( )A .-75B .-15C .15D .759.[2018·岳阳一中一模] 已知sin x+cos x=√3-12,x ∈(0,π),则tan x= ( )A .-√33B .√33C .√3D .-√310.若三角形ABC 中,sin(A+B )sin(A-B )=sin 2C ,则此三角形一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形D .等腰直角三角形11.[2017·沈阳三模] 若1+cosαsinα=2,则cos α-3sin α= ( )A .-3B .3C .-95 D .95 12.设tan α=3,则sin(α-π)+cos(π-α)sin(π2-α)+cos(π2+α)= ( )A .3B .2C .1D .-113.已知sin θ,cos θ是方程4x 2-4mx+2m-1=0的两个根,3π2<θ<2π,则θ= ( )A .7π4 B .8π53614.已知A ,B 为△ABC 的两个内角,若sin(2π+A )=-√2·sin(2π-B ),√3cos A=-√2cos(π-B ),则角B= .难点突破 15.(5分)已知1+tanx 1-tanx=3+2√2,则sin x (sin x-3cos x )的值为 .16.(5分)已知sin α+cos α=-15,且π2<α<π,则1sin(π-α)+1cos(π-α)的值为 .课时作业(十八) 第18讲 三角函数的图像与性质基础热身1.已知函数y=12cos ωx -π6的周期为π,则ω的值为 ( )A .1B .2C .±1D .±22.已知函数f (x )=2sin π4-2x ,则函数f (x )的单调递减区间为 ( )A .[3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B .[-π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C .[3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D .[-π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)3.已知函数f (x )=-sin x+π2(x ∈R),则下面结论中错误的是 ( )A .函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数4.[2017·天水二中期中]下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=π3对称的是 ()A.y=sin(2x-π3)B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(2x+π6)D.y=sin(x2+π6)5.函数y=√tanx-1的定义域是.能力提升6.[2017·太原五中段考]给出下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=sin2x+π2,④y=tan|x|.其中周期为π的所有偶函数为()A.①②B.①②③C.②④D.①③7.[2017·枣庄八中月考]已知函数f(x)=2sin x2的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则b-a的值不可能是()A.4π3B.2πC.8π3D.14π38.[2017·许昌二模]若函数y=sin(2x+φ)0<φ<π2的图像的对称中心在区间π6,π3内有且只有一个,则φ的值可以是()A .π12B .π6 C .π3D .5π129.[2017·龙岩六校联考] 已知函数f (x )=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f (x )≤f (π4)对任意x ∈R恒成立,且f (π6)>0,则f (x )的单调递减区间是 ( )A .[kπ,kπ+π4](k ∈Z)B .[kπ-π4,kπ+π4](k ∈Z) C .[kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z)D .[kπ-π2,kπ](k ∈Z)10.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)+√3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图像相邻的两条对称轴方程为x=0与x=π2,则 ( )A .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数B .f (x )的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数C .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为增函数D .f (x )的最小正周期为π,且在(0,π2)上为减函数11.[2017·昆明三模] 已知函数f (x )=sin ωx+π3(ω>0),A ,B 是函数图像上相邻的最高点和最低点,若|AB|=2√2,则f (1)= .12.[2017·荆州中学二模] 已知函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点2π3,0中心对称,则|φ|的最小值为 .13.(15分)[2017·衡水冀州中学月考] 已知函数f (x )=sin 2x-π6.(1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求函数f (x )的单调递增区间;(3)当x ∈0,2π3时,求函数f (x )的最小值,并求出使y=f (x )取得最小值时相应的x 值.14.(15分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的最小正周期为π,且f (π3)=-√32. (1)求ω和φ的值;(2)若f (x )>12,求x 的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·湖北部分重点中学模拟] 设函数f (x )=4cos(ωx+φ)对任意的x ∈R,都有f (-x )=fπ3+x ,若函数g (x )=sin(ωx+φ)-2,则g (π6)的值是 ( ) A .1 B .-5或3 C .12 D .-216.(5分)[2017·安阳林州一中期中] 已知函数f (x )=2cos(ωx+φ)+1ω>0,|φ|<π2,其图像与直线y=3相邻两个交点的距离为2π3,若f (x )>1对任意x ∈-π12,π6恒成立,则φ的取值范围是( ) A .[-π6,π6] B .[-π4,0]C .(-π3,-π12] D .[0,π4]加练一课(三)三角函数的性质一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2017·资阳一诊]函数y=sin2x-π3的图像的一条对称轴方程为()A.x=π12B.x=-π12C.x=π6D.x=-π62.函数y=√32的定义域为()A.[-π6,π6 ]B.[kπ-π6,kπ+π6](k∈Z)C.[2kπ-π6,2kπ+π6](k∈Z)D.R3.下列函数中,最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+π2)B.y=sin(2x+π2)C.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x4.[2017·襄阳四校联考]将函数f(x)=2sin2x-π3+1的图像上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图像的一个对称中心可能是()A.(π3,0)B.(2π3,0)C.(π3,1)D.(2π3,1)5.[2018·衡水中学二调]已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图像关于直线x=π6对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图像()A .关于直线x=π3对称B .关于点(2π3,0)对称 C .关于点(π3,0) 对称 D .关于直线x=π6对称6.设函数f (x )=sin 2x+π4+cos 2x+π4,则 ( ) A .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π4对称 B .f (x )在(0,π2)上单调递增,其图像关于直线x=π2对称C .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π4对称 D .f (x )在(0,π2)上单调递减,其图像关于直线x=π2对称7.若f (x )=2cos(2x+φ)(φ>0)的图像关于直线x=π3对称,且当φ取最小值时,存在x 0∈0,π2,使得f (x 0)=a ,则a 的取值范围是 ( )A .(-1,2]B .[-2,-1)C .(-1,1)D .[-2,1)8.[2018·广雅中学、河南名校联考] 已知函数f (x )=cos(2x+θ)|θ|≤π2在-3π8,-π6上单调递增,若f (π8)≤m 恒成立,则实数m 的取值范围为 ( )A .[√32,+∞) B .[12,+∞) C .[1,+∞) D .[√22,+∞)9.设函数f (x )=sin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f (x )在区间π6,π2上单调,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 ( )A .π2 B .2πC .4πD .π10.[2017·河北武邑中学调研] 已知函数f (x )=sin x-a cos x 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2,则|x 1+x 2|的最小值为 ( )A .3π4 B .π2 C .π4 D .0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 11.[2017·沧州一中月考] 函数y=log 3(2cos x+1),x ∈-2π3,3π3的值域为 . 12.[2018·鞍山一中一模] 函数f (x )=2sin x cos x+√3cos 2x 的周期为 .13.[2018·海南八校联考] 函数y=sin x+cos x+2sin x cos x x ∈-π4,π4的最小值是 .14.函数f (x )=3sin 2x-π3的图像为C ,如下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号).①图像C 关于直线x=1112π对称;②图像C 关于点2π3,0对称;③函数f (x )在区间-π12,5π12内是增函数;④由y=3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C.课时作业(十九) 第19讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用基础热身1.[2017·东莞四校联考] 为了得到函数y=sin 2x-π6的图像,可以将函数y=sin 2x 的图像( )A .向右平移π6个单位长度 B .向右平移π12个单位长度C .向左平移π6个单位长度 D .向左平移π12个单位长度2.[2017·郴州三模] 函数f (x )=2sin 2x-π3的图像关于直线x=x 0对称,则|x 0|的最小值为( ) A .π12B .π6C .π4D .5π123.[2017·榆林三模] 函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-1所示,则ω,φ的值分别为 ( )A .2,0B .2,π4C .2,-π3D .2,π6图K19-14.[2017·昆明一中月考] 函数f (x )=12cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-2所示,则φ的值为 ( )A .π3 B .π6 C .-π6D .-π3图K19-25.已知函数f (x )=A tan(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K19-3所示,则f (π24)= .图K19-3能力提升6.[2017·江西百所重点高中联考] 函数f (x )=sin(πx+θ)|θ|<π2的部分图像如图K19-4所示,且f (0)=-12,则图中m 的值为 ( )图K19-4A .1B .43C .2D .43或27.[2017·绵阳三诊] 已知函数f (x )=4cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,A (a ,0),B (b ,0)是其图像上两点,若|a-b|的最小值是1,则f (16)= ( ) A .2 B .-2 C .√32D .-√328.[2017·辽南协作体三模] 已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,|φ|<π2的图像在 y 轴左侧的第一个最高点为-π6,3,第一个最低点为-2π3,m ,则函数f (x )的解析式为 ( ) A .f (x )=3sin (π6-2x)B .f (x )=3sin (2x -π6) C .f (x )=3sin (π3-2x) D .f (x )=3sin (2x -π3)9.[2017·泉州二模] 已知曲线C :y=sin(2x+φ)|φ|<π2的一条对称轴方程为x=π6,曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到的曲线E 的一个对称中心为π6,0,则|φ-θ|的最小值是 ( )A .π12 B .π4 C .π3D .5π1210.[2017·成都九校联考] 已知函数f (x )=A sin(2x+φ)-12A>0,0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1,且关于直线x=π12对称,若对于任意的x ∈0,π2,都有m 2-3m ≤f (x ),则实数m 的取值范围为( )A .[1,32] B .[1,2] C .[32,2] D .[3-√32,3+√32] 11.某实验室一天的温度(单位:摄氏度)随时刻t (单位:时)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3·cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24),则该实验室这一天的最大温差是 .12.[2017·柳州、钦州一模] 将函数f (x )=3sin 4x+π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g (x )的图像,则y=g (x )的解析式为 .13.(15分)[2017·衡阳十校联考] 已知函数f (x )=√22sin 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若函数g (x )对任意x ∈R,有g (x )=f x+π6,求函数g (x )在-π6,π2上的值域.14.(15分)[2017·台州质量评估] 已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的最小正周期为π,且x=π12为f (x )图像的一条对称轴. (1)求ω和φ的值; (2)设函数g (x )=f (x )+f x-π6,求g (x )的单调递减区间.难点突破15.(5分)将函数f (x )=3sin 2x+π3的图像向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g (x )的图像,若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈-3π2,3π2,则2x 1-x 2的最大值为 ( )A .21π12B .35π12C .19π6D .59π1216.(5分)[2017·芜湖质检] 将函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图像向左平移π4ω个单位长度得到函数g (x )的图像,若函数g (x )的图像关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为( )A .3√π2B .π4C .√π2 D .3π2课时作业(二十) 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础热身1.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为 ( ) A .-√32B .-12C .12D .√322.函数y=sin x+√3cos x 的最小值为 ( )A .1B .2C .√3D .-23.[2017·哈尔滨九中二模] 若2sin θ+π3=3sinπ3-θ,则tan θ= ( )A .-√32B .√35C .2√33 D .2√34.在△ABC 中,sin A=513,cos B=35,则cos C=( )A .-1665 B .-5665 C .±1665D .±56655.[2017·济宁二模] 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 .能力提升6.[2017·长沙长郡中学月考] 已知锐角α,β满足sin α=√1010,cos β=2√55,则α+β的值为 ( )A .3π4B .π4 C .π6D .3π4或π47.[2017·东莞四校联考期中] 已知sin α=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为 ( ) A .-211B .211C .112D .-1128.[2017·襄阳五中一模] 已知α,β均为锐角,且sin 2α=2sin 2β,则 ( ) A .tan(α+β)=3tan(α-β) B .tan(α+β)=2tan(α-β) C .3tan(α+β)=tan(α-β) D .3tan(α+β)=2tan(α-β)9.[2017·衡水一模] 已知sin α+π3+sin α=-4√35,-π2<α<0,则cos α+2π3等于 ( )A .-45 B .-35 C .45 D .3510.[2017·淮北一中期中]2sin46°-√3cos74°cos16°= .11.[2017·商丘九校联考] 函数f (x )=cosx+sinx cosx -sinx的最小正周期为 .12.[2017·德州二模] 已知cos α=35,cos(α-β)=7√210,且0<β<α<π2,那么β= . 13.(15分)[2017·山东实验中学一模] 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2c-a )·cos B-b cos A=0.(1)求角B 的大小; (2)求√3sin A+sin C-π6的取值范围.14.(15分)已知函数f (x )=(1+√3tan x )cos 2x.(1)若α是第二象限角,且sin α=√63,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的定义域和值域.难点突破15.(5分)已知锐角α,β满足sin α-cos α=16,tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,则α,β的大小关系是 ( )A .α<π4<β B .β<π4<αC .π4<α<β D .π4<β<α16.(5分)如图K20-1所示,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE=1,连接EC ,ED ,则sin ∠CED= ( )A .3√1010B .√1010C .√510 D .√515图K20-1课时作业(二十一) 第21讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换基础热身1.[2017·株洲一模] 已知α∈(0,π),cos α=-12,则sin 2α= ( ) A .±√32B .±12C .-√32D .-122.[2017·葫芦岛二模] 已知cos π4-θ2=23,则sin θ= ( ) A .79B .19C .-19 D .-793.[2017·揭阳二模] 已知sin α-cos α=13,则cos π2-2α= ( )A .-89 B .23 C .89 D .√179 4.√3cos10°-1sin170°= ( )A .4B .2C .-2D .-45.已知sin α-2cos α=√102,则tan 2α= .能力提升6.[2017·抚州临川实验学校一模] 若sinπ6-α=13,则2cos 2π6+α2-1等于 ( )A .13B .-13 C .-79D .-17817.[2017·郴州四模] 已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z),则sin[2(π-θ)]等于 ( ) A .-13 B .13 C .23 D .-238.已知tan B=2tan A ,且cos A sin B=45,则cos A-B-3π2= ( )A .-45 B .45 C .-25D .259.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=√22(sin 56°-cos 56°),c=1-tan 239°1+tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .a>b>c B .b>a>c C .c>a>b D .a>c>b10.[2017·四川师大附中二模] 已知α∈0,π2,sinπ4-αsin π4+α=-310,则tan α= ( ) A .12 B .2 C .√5D .√5511.化简sin 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-sin 2α的结果是 .12.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°= .13.已知tan(A-B )=12,tan B=-17,且A ,B ∈(0,π),则2A-B= .14.(12分)[2017·天津南开区三模] 设函数f (x )=√22cos 2x+π4+sin 2x. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)设函数g (x )对任意x ∈R,有g x+π2=g (x ),且当x ∈0,π2时,g (x )=12-f (x ).求函数g (x )在[-π,0]上的解析式.15.(13分)[2017·陕西师大附中模拟] 已知函数f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1(x ∈R).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值; (2)若f (x 0)=65,x 0∈π4,π2,求cos 2x 0的值.难点突破16.(5分)[2017·天水二中期中] 已知α,β都是锐角,sin α=12,cos(α+β)=12,则cos β等于( )A .1-√32B .√3-12C .12 D .√3217.(5分)[2017·上饶六校联考] 设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则cos(2α-β)的取值范围为 ( )A.[0,1]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[-√22,√2 2]课时作业(二十二)第22讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8√3,S△ABC=16√3,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°2.在△ABC中,若A=60°,a=√3,则a+b-csinA+sinB-sinC等于()A.2B.12C.√3D.√323.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.√24.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cs A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.55.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√2c-a =sinAsinB+sinC,则角B= . 能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2√3,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2√3ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=2√23,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A.(0,π3]B.(0,π3)C.(0,π6]D.(0,π6)10.已知△ABC的面积为5√3,A=π6,AB=5,则BC=()A.2√3B.2√6C.3√2D.√1311.[2017·福建四地六校联考]已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,a=3,则△ABC的周长的最大值为()A.2√3B.6C.√3D.912.[2017·宜春四校联考] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=1,B=π4,△ABC 的面积S=2,则bsinB的值为 .13.[2017·河南新乡二模] 如图K22-1所示,在△ABC 中,C=π3,BC=4,点D 在边AC 上,AD=DB ,DE ⊥AB ,E 为垂足,若DE=2√2,则cos A= .图K22-114.(10分)[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底] 如图K22-2所示,在△ABC 中, C=π4,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =48,点D 在BC 边上,且AD=5√2,cos ∠ADB=35. (1)求AC ,CD 的长; (2)求cos ∠BAD 的值.图K22-215.(13分)[2017·潮州二模] 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acosB+bcosA c=2√33sin C. (1)求C 的值;(2)若asinA =2,求△ABC 的面积S 的最大值.难点突破16.(12分)[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB b +cosCc=2√3sinA3sinC.(1)求b的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c的取值范围.课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者 ()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走,某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角,前进200 m后,测得该参照物与前进方向成75°角,则河的宽度为 ()A.50(√3+1) mB.100(√3+1) mC.50√2mD.100√2m3.如图K23-1所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30°B.45°C.60°D.75°图K23-14.如图K23-2所示,为了测量一棵树的高度,在地面上取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为m.图K23-25.[2017·海南中学月考]如图K23-3所示,设A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出A,C两点间的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为m.图K23-3能力提升6.在直径为30 m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,光源射向地面的光呈圆锥体,且其轴截面的顶角为120°,若要求光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为()A.15√3mB.15 mC.5√3mD.5 m7.甲船在岛A正南方向的B处以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自岛A出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为()A.1507分钟B.157分钟C.21.5 分钟D.2.15小时8.如图K23-4所示,一座建筑物AB的高为(30-10√3)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为()A .30 mB .60 mC .30√3 mD .40√3 m图K23-49.如图K23-5所示,为了了解某海域海底构造,在海平面上取一条直线上的A ,B ,C 三点进行测量,已知AB=50 m,BC=120 m,于A 处测得水深AD=80 m,于B 处测得水深BE=200 m,于C 处测得水深CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为 ( ) A .1665 B .1965 C .1657 D .1757图K23-510.[2017·北大附中期中] 如图K23-6所示,某住宅小区的平面图形是圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于OA 的小路DC.已知住户张先生从O 沿OD 走到D 用了3 min,再从D 沿DC 走到出入口C 用了4 min .若张先生步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为 ( ) A .40√13 m B .50√13 mC .30√15 mD .40√15 m图K23-611.某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处正上方的点E处观测烟囱顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱的高AB= 米.12.某小区的绿化地有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用A,B,C表示,其对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在A处望B处和C处所成的视角为.13.[2017·湖北百所重点中学模拟]我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为平方千米.14.(10分)[2017·佛山二模]某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图K23-7所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=40+30√3n mile,CD=250√6n mile.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,则收到指令时该轮船到城市C的距离是多少.图K23-715.(13分)如图K23-8所示,已知在水平面东西方向上的M,N处各有一座发射塔,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米,BN=200米,一辆测量车在M正南方向的点P处测得发射塔顶A 的仰角为30°,该测量车沿北偏西60°的方向行驶了100√3米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量得tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.图K23-8难点突破方向的A 16.(12分)如图K23-9所示,某流动海洋观测船开始位于灯塔B北偏东θ0<θ<π2+θ-√3cos 2θ=1,AB=AD.在接到上级命令后,该观测船从A点沿AD方向点,且满足2sin2π4在D点补充物资后沿BD方向投放浮标C.已知该观测船行驶的航程为8 km,浮标C与A点的距离为4√3km.(1)求θ的值;(2)求浮标C到补给站D的距离.图K23-9。
55九年级下册第一章第三节三角函数的计算课后作业
三角函数的计算课后作业一．基础性作业（必做题）1．如图，一个人从山脚下的点A出发，沿山坡小路AB走到山顶点B．已知坡角为20°，山高BC ＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（）A．2÷sin20＝B．2×sin20＝C．2÷cos20＝D．2×tan20＝(第1题图) (第2题图)2．如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在10m高的天桥两端分别修建了40m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角∠A，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．3．如图，一根铁管CD固定在墙角，若BC＝5米，∠BCD＝53°，则铁管CD的长为米（结果精确到1 m）（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图A、B两点在河两岸．要测量这两点之间的距离．测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝10米．∠A＝90°，∠C＝40°，则AB为米．（结果精确到0.1 m）5．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝30°，则BC=米．（结果保留根号）6．某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）二、拓展性作业（选做题）1．一个人从山底爬到山顶，需先爬45°的山坡200米，再爬30°的山坡100米，求山高AB．2．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄在北偏西52°方向．（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到该公路的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：sin26°≈0.4384，cos26°≈0.8988，sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157）3．如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市，CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A ，B 相距62米，∠A ＝67°，∠B ＝37°．求CD 与AB 之间的距离．（参考数据：sin67°≈1312，cos67°≈135，tan67°≈512，sin37°≈53，cos37°≈54，tan37°≈43）。
1.3 三角函数的计算 分层作业(含答案)
1．用计算器求sin62°20′的值正确的是() A．0.885 7B．0.885 6C．0.885 2D．0.885 12．Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算∠A的度数为(精确到1°)() A．30°B．37°C．38°D．39°3．已知sinα＝0.831 0，则锐角α＝________；cosα＝0.951 1，则锐角α＝________(精确到1′)．4．[2013·陕西]比较大小：8cos31°______ 35.(填“＞”“＝”或“＜”)5．[2014·维吾尔]如图4－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝________．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图4－26．利用计算器求下列各角(精确到1′)．(1)sin A＝0.75，求∠A的度数；(2)cos B＝0.888 9，求∠B的度数；(3)tan C＝45.43，求∠C的度数；(4)tan D＝0.974 2，求∠D的度数．7．[2014·常德]如图4－3，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160 m，400 m，1 000 m，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB 和BC的总长度(结果精确到1 m)．图4－38．为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其横截面为一梯形(如图4－4)，堤的上底宽AD 和堤高DF都是6 m．其中∠B＝∠CDF，且tan B＝2.求堤的下底BC的长及坡CD的倾斜角的度数(精确到1″)．图4－49．[2013·青海]如图4－5，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C.从点B测得点D的仰角α为60°，从点A测得点D的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB＝34 m，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC(结果保留根号)．图4－5参考答案1．A 2.B 3.56°12′18°0′ 4.＞ 5.246．(1)∠A≈48°35′(2)∠B≈27°16′(3)∠C≈88°44′(4)∠D≈44°15′7．钢缆AB和BC的总长度约为1 328 m.8．BC＝21 m，坡CD的倾斜角的度数为26°33′54″.9．BC＝17 3 m，DC＝51 m。
2020高考数学 课后作业 3-3 三角函数的图象与性质 新人教A版
2020高考数学人教A 版课后作业1.(文)(2020·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.(理)(2020·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 [答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z)，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1 B ．2π，0 C ．π，0 D ．π，1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2020·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1 [答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．(2020·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c [答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．(2020·衡水质检)函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π2[答案] A[解析] ∵y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ，令π4＝k π－φ得φ＝k π－π4(k ∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.5．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π [答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥54T ＝5，故选C.6．(2020·安徽巢湖质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C. 7．(2020·福建质检)已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.[答案] 2sin π3x ＋2[解析] 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.1.(文)(2020·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.(理)(2020·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z}[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6k ∈Z ， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)．2．(文)(2020·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.(理)(2020·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47 [答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.3．(文)(2020·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－π3＋π6)≠0，A错；对B 项，y＝sin(－π2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，y＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0符合，故选D.(理)(2020·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 4．(2020·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f (x )＝cos 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] f (x )＝12＋12cos(2ωx ＋2φ)，由图可知T2<1<34T ，∴43<T <2，43<2π2ω<2，π2<ω<34π， 又ω∈N *，∴ω＝2.故选B.5．(2020·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．[答案] [1,2)[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点，∴1≤m <2. 6．(2020·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]．7．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2020·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？ [解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z)(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2020·合肥质检)对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.3．(2020·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)的值为( )A ．2020 B.40172 C ．2020 D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝2020＋f (2020)＝2020＋f (1)＝40192.4．(2020·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π[答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.5．已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f (1)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，由于π3>1>π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，故选C.6．(2020·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8C.π28－8 D ．－π28＋8 [答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8.7．(2020·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：x 0 1 2 3 4 y11－1－2y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.8．(2020·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)，(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．(3)由f (α)＝f (β)得：2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.。
【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：3-3三角函数的图象与性质(含答案解析)
课时作业18 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2C ．πD.π2解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx cosx ·cosx ＝2cos(x －π3)，则T ＝2π.答案：A2．(2016·吉林延吉月考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称D ．函数f(x)在区间(0，π)内单调递增解析：因为函数的最小正周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A ，B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x≤2π3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ，k ∈Z ，所以D 错误，故选C.答案：C3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的一个单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 解析：y ＝sin(π4－x)＝－sin(x －π4)，故由2kπ＋π2≤x －π4≤2kπ＋3π2，解得2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k ∈Z)．因此，函数y ＝sin(π4－x)的单调增区间为[2kπ＋34π，2kπ＋74π](k ∈Z)．答案：A4．(2016·北京石景山一模)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，x ＝－π2是该图象的一条对称轴方程．答案：A5．(2016·衡水调研)已知f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.若a ＝f(lg5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1解析：因为f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π42＝1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 15＝－t ，所以a ＝f(lg5)＝1＋sin2t 2，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝1－sin2t 2，所以a ＋b ＝1. 故选C. 答案：C6．(2016·陕西西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知πω6＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.答案：B7．(2016·南昌大学附中月考)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是( )A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f′(0)＝1D ．f′(0)＝0解析：f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，有φ＝kπ＋π2，k ∈Z.∴f(x)＝±cosωx.而f′(x)＝±ωsinωx ，∴f′(0)＝0，故选D.答案：D8．(2016·云南统考)已知函数①y ＝sinx ＋cosx ，②y ＝22·sinxcosx ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同解析：设f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g(x)＝22sinxcosx ＝2sin2x.对于A 、B ，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2≠0，易知A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2kπ，π4＋2kπ (k ∈Z)，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋kπ，π4＋kπ(k ∈Z)，易知C 正确．对于D ，f(x)的最小正周期为2π，g(x)的最小正周期为π， D 不正确. 故选C.答案：C9．(2016·北京顺义一模)已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f(x)的单调递增区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k ∈Z.其中正确的结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由已知得，f(x)＝cos(2x ＋π3)－cos2x ＝cos2xcos π3－sin2xsin π3－cos2x ＝－sin(2x ＋π6)，不是奇函数，故①错．当x ＝2π3时，f(2π3)＝－sin(4π3＋π6)＝1，故②正确；当x ＝5π12时，f(5π12)＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋π2≤2x ＋π6≤2kπ＋3π2，k ∈Z, 得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案：C10．(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g(x)的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋kπ<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A 、C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B 二、填空题11．(2016·河北唐山一模)已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．解析：由已知得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2. ∴f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当f(x)＝0时，2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，即x ＝kπ2＋π6，则当x ∈[0,2π]时f(x)有4个零点．答案：412．设函数f(x)＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 解析：由题意得f′(x)＝3cos(3x ＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数，因此φ＋π3＝kπ(其中k ∈Z)，φ＝kπ－π3.又0<φ<π，所以φ＝2π3. 答案：2π313．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.解析：注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π，T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.答案：1214．(2016·皖南八校一模)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a .当a ＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________． 解析：若－π6≤x≤π3，则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6. 此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 即f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1. 若－π6≤x≤a ，则－π3≤2x≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6. 因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， 则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a≤π， 所以π6≤a≤π2，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1 ⎣⎡⎦⎤π6，π2 三、解答题15．已知函数f(x)＝4cosωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．解：(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx ＋π4)＝22sinωx·cosωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx)＋ 2 ＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．16．(2016·湖北部分重点中学联考改编)已知函数f(x)＝3sin2x －2sin 2x －1. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|<3，对任意x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f(x)＝3sin2x －2sin 2x －1 ＝3sin2x －(1－cos2x)－1 ＝3sin2x ＋cos2x －2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2. ∴最小正周期为T ＝π，最小值为－4. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2， 当x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，则－1≤f(x)≤0. 又对任意x ∈⎝⎛⎦⎤π12，π3，|f(x)－m|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧＋3，－3恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧min ＋3，max －3，即－3<m<2.故m 的取值范围是(－3,2)．。
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1．已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. （2）当]2,0[π∈x 时，方程0)(=-m x f 有实数解，求实数m 的取值范围. 2．在ABC ∆中，3,2a b B A ==∠=∠。
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值。
3．已知函数π()sin sin()3f x x x =-+. （1）求4π(3f 的值； （2）求()f x 的单调递增区间. 4．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a b A =． （1）求B 的大小； （2）求cos sin A C +的取值范围． 5.知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=。
（1）求A 的大小； （2）若7a =，求ABC ∆的周长的取值范围． 6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n s 2s i n s i n a A c a C b B +=. （1）求B 的值； （2）若2,75=︒=b A ，求a 和c 的值.参考答案1．已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.（2）当]2,0[π∈x 时，方程0)(=-m x f 有实数解，求实数m 的取值范围.1．（1）最小正周期为π，Z k k k ∈++-],6,3[ππππ；（2）]023[，-. 【解析】试题分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，然后求出函数的最小正周期和单调递增区间．（2）当]2,0[π∈x 时，方程0)(=-m x f 有实数解，求实数m 的取值范围，即求函数()f x ，当]2,0[π∈x 时的值域，故由（1）中化简后的解析式1)62sin()(-+=πx x f ，先由]2,0[π∈x 求出62π+x 的取值范围，再结合正弦函数图象即可求得函数()f x ，当]2,0[π∈x 时的值域，即为实数m 的取值范围． 试题解析：（1）1cos 231()22cos2x-1=sin(2)12226x f x x x x π+=+-=++- ()sin(2)16f x x π∴=+- 2分 ∴最小正周期为π 4分 令z=26x π∴+.函数()sin z 1f x =-的单调递增区间是-2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，由-222262k x k πππππ+≤+≤+， 得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ 6分 （2）当]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，]1,21[)62sin(-∈+πx ]0,23[)(-∈x f m x f =)( ]0,23[-∈∴m 12分 考点：1. 三角函数中的恒等变换应用；2. 三角函数的周期性及其求法；3. 三角函数的单调性及其求法．2．在ABC ∆中，3,2a b B A ==∠=∠。
（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值。
2 【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理3sin sin sin a b A B A =⇒=cos A（Ⅱ）由余弦定理，222222(2cos 32＝＋－＝＋－a b c bc A c ⇒⨯， 则28150.5－＋＝＝c c c ∴ 或3＝c . 当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C.由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝2π，与222＋a c b ≠矛盾． ∴c ＝3舍去．故c 的值为5.考点：1.正弦定理；2. 余弦定理.3．已知函数π()sin sin()3f x x x =-+. （1）求4π()3f 的值； （2）求()f x 的单调递增区间.3．（1）0;（2）π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z 【解析】试题分析：（1）将43π代入()f x 解析式直接计算.（2）先用两角和差公式将sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开,再用化一公式将其化简,将()f x 化简为()sin A x ωφ+的形式.将整体角代入正弦的单调增区间ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z 计算可得()f x 的单调增区间. 试题解析：解：（1）4π4π4ππ()sin sin()03333f =-+=. 3分（2）π()sin sin()3f x x x =-+ ππsin (sin cos cos sin )33x x x =-+ 5分11πsin (sin )sin sin()223x x x x x x =-+=-=-. 9分函数sin y x =的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ， 由πππ2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， 11分 得π5π2π2π()66k x k k -+∈Z ≤≤. 所以 ()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z . 13分 考点：1三角函数的化简;2三角函数的单调性.4．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．4．（1）6π；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23 【解析】试题分析：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =；（2）由（1）知AC --=6ππ，利用诱导公式与辅助角公式变形化简得)3sin(3sin cos π+=+A C A ，由ABC △为锐角三角形知2336A πππ<+<，因此cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 试题解析：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （2）cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 考点：解三角形与三角恒等变换5.知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=。
（1）求A 的大小；（2）若7a =，求ABC ∆的周长的取值范围．5．（1）3A π=；（2）(14,21]． 【解析】试题分析：（1）条件中的等式cos sin 0a C C b c --=给出了边角满足的关系式，利用正弦定理，统一为边之间的关系：co 3s i n 0s i n c o s 3s ia a Cbc A C A C B --=-=+，进一步化简sin cos sin sin()sin A C A C A C C⇔=++1cos 1sin()62A A A π⇔-=⇔-= 663A A πππ⇔-=⇔=；（2）根据题意可知，欲求周长的取值范围，即求b c +的取值范围，首先显然有7b c a +>=，再由余弦定理结合基本不等式可知22222231492cos ()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+，从而71b c <+≤，即有周长的取值范围是(14,21]．试题解析：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔=++1cos 1sin()62A A A π⇔-=⇔-=663A A πππ⇔-=⇔=； （2）由已知：0b >，0c >，7b c a +>=， 由余弦定理22222231492cos ()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当7b c ==时等号成立，∴2()449b c +≤⨯，又∵7b c +>，∴714b c <+≤， 从而ABC ∆的周长的取值范围是(14,21]．考点：1．三角恒等变形；2．正余弦定理；3．基本不等式．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=.（1）求B 的值；（2）若2,75=︒=b A ，求a 和c 的值.6．（1）︒=45B ；（2）31+=a ，6=c ；【解析】试题分析：（1）本小题主要通过正弦定理得边角互化把条件转化为2222cos .b a c ac B =+-，然后利用余弦定理化简可得cos 45.B B ==︒因此； （2）本小题通过sin sin(3045)A =︒+︒展开得426sin +=A ，然后根据正弦定理求得31+=a ，6=c .试题解析：（1）由正弦定理得222.a c b +=由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+-故cos 45.B B ==︒因此 6分 （2）sin sin(3045)A =︒+︒sin 30cos 45cos30sin 45=︒︒+︒︒=故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 602sin sin 45C c b B ︒=⨯=⨯=︒13分 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.。