圆周角定理及推论
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
圆周角定理及其推论
在圆中，画一个角使其顶点在圆上， 并且两边都与圆还有另一个交点。
A A
A
A
你能仿照圆心角的定义给这个角起个名并下个定
义吗?
圆周角：顶 角点 叫在 圆圆 周上角，。两边都与圆还有另一个公共点的
圆中BC所对的圆周角与圆心角有几种位置关系？
A
O.
B
C
A
.OO
B
C
B
C
A
O.
C B
例.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ∠ACD＝60°,∠ADC＝70°。求∠APC的度数．
解 ：连接BC, ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝ 90 ° ∵∠ACD＝60° ∴ ∠DCB ＝30°.
又 ∵ ∠BAD＝ ∠DCB=30° Nhomakorabea ∠APC＝∠BAD+∠ADC ＝30°+70° ＝100°．
C A OP B
D
直径条件常构造：90°的圆周角
知识内容：
圆周角定义 圆周角定理
推论1 推论2
数学思想方法： 类比思想、分类思想、划归方法等
1、习题24.3第2题、第3题． 2、《同步练习》24.3同步一
3、试找出下图中所有相等的圆周角
D
∠1=∠5
A1
87
3
2
6
54
B
C
∠2=∠6
∠3=∠7 ∠4=∠8
4、如图，AB是⊙O的直径，请问：
① ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
② 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，则 ∠AOB= 180°。
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角定理课件
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反思感悟 本题主要考查平面几何中平行线的性质，三角形相似 的判定等，意在考查考生的观察能力和分析问题的能力.
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题型四 圆周角定理的综合应用 【例 4】 如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，以 BC 为
直径的⊙O 交 AB 于 E 点，D 为 AC 的中点，连结 BD 交⊙O 于 F 点． 求证：BBCE＝CEFF. [思维启迪] 证△BEF∽△BDA⇒EBFE＝BADD， 证△CBF∽△DBC⇒CBCF＝CBDD， 又 AD＝CD，可得结论．
( )．
3
4
A.4
B.3
5
7
C.3
D. 3
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解析 连接 BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴CADB ＝PPDB ＝34.
在 Rt△BPD 中，cos∠BPD＝PPDB，
∴cos∠BPD＝34，∴tan∠BPD＝
7 3.
答案 D
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方法技巧 圆中相关角的综合应用 【示例 1】 如图所示，AB 为⊙O 的直径，弦 AC⊥EF 于 D，你认
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外 求圆周角时易应用到解三角形的知识．
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【变式 1】 如图，点 A、B、C、D 都在⊙O 上，若∠C＝34°，求 ∠AOB 和∠ADB 的度数． 解 ∵∠C 和∠AOB 分别是 AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB＝2∠C＝68°. ∵周角是 360°，∴ACB 的度数为 292°. ∴∠ADB＝12×292°＝146°.
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圆周角定理及其推论3
A
E
●O
C
B
A
E B
C D
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做
圆周角.
D
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A
A
C
C
A C
●O
●O
●O
B
B B
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
与他所处的位置B对球门
AC的张角(∠ABC)有关.
A
C
A
B
B
●O
C
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做
圆周角.
•辩一辩 下列图形的角是不是圆周角？
A
B
C
D
E
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处 的位置对球门AC分别形成三个张 角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个 角有何特点?它们的大小有什么 关系?.
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会
怎样?
B
提示:能否也转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论圆周角定理是一个重要的几何定理，它规定了三角形内角之和与圆周角之间的关系，从而形成一种经典的几何定理，被广泛应用于几何学和数学中。
关于圆周角定理的历史有很多，就其本身的来源来说，圆周角定理的最早证明可以追溯到古希腊数学家阿基米德，而后经过不同数学家的发展、研究和思考，使得圆周角定理的结构更加完善。
一般来说，圆周角定理讲的是三角形内角之和与圆周角之间的关系，而所指的圆周角是指由三角形所在的圆上某点到另一点之间的弧度，它可以用角度来表示。
圆周角定理用数学语言记述就是，如果把圆上的任一点当作三角形的顶点，将其余两点当作边的端点，此时此三角形的内角之和为180°，这就是圆周角定理的本质。
从实际几何中得出的圆周角定理，有利于我们更深入地理解几何中涉及到的三角形，有助于推理类题目的解答，这种推理关系也被称作三角恒等式，表示两等腰三角形两个内角之和等于三角形外角之和，即内角和=外角，这是圆周角定理的推论之一。
圆周角定理的另一个推论就是全等三角形恒等式，即三角形内角两两等边的三角形，它的三个角的大小相等，即相等的三角形的三个内角之和也等于180°，这是圆周角定理的另一个推论，又称为“全等三角形定理”。
圆周角定理的发现和研究对几何学的发展有重要意义，它为几何学到达发展的新高度和完善提供了重要的理论基础，同时也为数学建立了一种经典的定理模型，并且广泛应用于几何学和数学中。
因此，圆周角定理被广泛应用于几何学和数学中，它影响着我们对几何定理的理解，以及在几何学里面的推理思维，它也是我们几何学课本里面比较重要的定理，引用它可以使我们更好的理解几何形式和推理思维的重要性。
圆周角定理的发现，让我们更好地理解几何，使得更多的几何问题得到解决，从而为我们几何学的发展提供更多有利的条件。
它也为数学研究提供了一种经典的定理结构，从而推动了数学自身的发展和提高，使得数学越来越完善。
归纳总结，圆周角定理的本质是三角形内角之和为180°，它有两个推论：三角形恒等式和全等三角形恒等式，它是几何学和数学中经典的定理，并且对几何学的发展和完善有重要的意义，对数学也起到了推动作用。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。
它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。
圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。
本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。
一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。
它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。
也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。
以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。
其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。
此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。
三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。
它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。
此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。
2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。
圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。
圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。
四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。
圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论一、圆周角定理圆周角定理是几何学的重要定理，它源于古希腊数学家弥尔顿（Archimedes）的研究。
圆周角定理规定：任何两个正夹角的正弦之积等于它们之间的乘积，也就是学术上说的“正夹角全乘积等于余弦。
”以上是圆周角定理的文字表示，而在数学上，圆周角定理又有如下式子体现：Sin（α+β）= Sinα×Cosβ+Cosα×Sinβ二、圆周角定理的推论1、正弦定理：一个三角形角α，β，γ的正弦值分别为Sinα，Sinβ，Sinγ，那么有Sinα：Sinβ：Sinγ=a：b：c；2、余弦定理：每个三角形角α，β，γ的余弦值分别为Cosα，Cosβ，Cosγ，那么有a2+b2=c2-2abCosγ；3、正切定理：任一三角形角α，β，γ的正切值分别为tanα，tanβ，tanγ，那么有tanα×tanβ=tanγ/1-tanαtanβ；4、正割定理：一个三角形角α，β，γ的正割值分别为cotα，cotβ，cotγ，那么有cotα+cotβ=cotγ/1+cotα cotβ；5、互补定理：任一角α，它的余角β满足Cosα=Sinβ；Cosβ=Sinα；6、倒数定理：对一角α，其余角β均有Secα=1/Cosα；Secβ=1/Cosβ；7、士角定理：一角α，其余角β乘积等于正弦定理，那么Sinα×Sinβ=Cos角γ/2;8、三边定理：任一三角形角α，β，γ的边长分别为a，b，c，那么有a/(Sinα)=b/(Sinβ)=c/(Sinγ)；9、兰勃托定理：一个等腰三角形，其底边和对边相较于当前对角之正弦的比值之和等于1，也就是说：Sinα/(a/2)+Sinβ/(a/2)=1；10、马克斯定理：一个三角形边长abc，那么有cosA+cosB+cosC=4cosA/2cosB/2cosC/2=3/2。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
27.1.3圆周角(1)圆周角定理
∵AO=BO ∴AO=BO=CO.
· O
B
∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,
∴∠ACB= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
7.如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
例1 如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数。
A
解：∵AB为⊙O的直径 ∴∠C=90°，
O
又∠A=80°
∴ ∠B=10 °
图 23.1.12
例2.试分别
求出图中
∠x的大小。
例3.如图：OA、OB、OC都是⊙O的 半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： 1 ∵∠ACB= ∠AOB 2 1 A ∠BAC= 2 ∠BOC ∠AOB= 2 ∠BOC
（图 2） 折痕 23.1.11 在圆周角的 内部,
（3） 折痕 在圆周角的 外部。
已知：在⊙O中，AB所对的圆周角是 ∠ACB，所对的圆心角是∠A0B.
图⌒ 23.1.11
1 求证：∠ACB= ∠AOB 2
定理的证明
分三种情况来证明： （1）圆心在∠ACB的一边上.
C
证明:∵ OA=OC ∴ ∠ACB=∠OAC ∵∠AOB=∠ACB+∠OAC 1 B ∴ ∠ACB= 2 ∠AOB
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危 险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船在圆外时，如图2， 设AP于圆交于点E，连接BE， 根据外角的性质可得∠α=∠AEB∠PBE=∠ACB-∠PBF， 弓形所含的圆周角∠ C=50°, 所以∠ α＜∠ACB， 问船在航行时怎样才能保证 当船在圆外时，船与两个灯塔 不进入暗礁区? 的夹角∠α小于危险角。
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课题：圆周角及推论
【学习目标】
1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论．
2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．
3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算．
【学习重点】
圆周角的定理及应用．
【学习难点】
运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
(1)圆心角指顶点在圆心的角．
(2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦：
①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ；
②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ；
③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵．
自学互研 生成能力
知识模块一 圆周角的定义
【自主探究】
阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题：
1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角．
2．如图，下列图形中是圆周角的是( C )
3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ．
结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角．
知识模块二 圆周角定理
【自主探究】
认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题：
1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？
图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部．
2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A ＝12
∠BOC ．理由如下： ⎭
⎪⎬⎪⎫OA ＝OC ⇒∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ⇒∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A ＝12
∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A ＝12
∠BOC ，理由略．
范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，
∴∠ADC ＝12
∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°.
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴AC ＝12
AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角
知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1．如图，在⊙O 中，圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的大小为( C )
A ．156°
B ．78°
C ．39°
D ．12°
(第1题图)
(第2题图)
2．如图，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( D )
A ．135°
B ．122.5°
C ．115.5°
D ．112.5°
3．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.
证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，
∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。