二次函数最值学案-人教版高中数学必修一
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。
2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。
3. 掌握相关的解题技巧和方法。
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。
2. 应用最值问题解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。
1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。
讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。
2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。
3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。
演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。
2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。
3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。
讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。
（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。
演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。
2. 建立函数模型并确定函数的最值。
3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。
4. 求解最值并给出合理的解释。
讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。
高中数学二次函数中的几何最值上课用导学案
二次函数中的几何最值(学案)(一) 一、常见的几何最值问题：
二、典型例题：
例： 如图1, 在平面直角坐标系中, 抛物线2
23y x x =-++与x 轴交于点A B 、两点(点A 在点B
点的左侧), 与y 轴交于点C , 点D 是抛物线的顶点, 点P 315
(,)24
是抛物线上一点.
(1)填空：点A B C D P 、、、、的坐标分别为：
(图1)
(2)如图2, M 为y 轴上一动点, 求BM DM +的最小值以及此时点M 的坐标.
(图2)
(3)如图3, M 为y 轴上一动点, N 为抛物线对称轴上一动点, 且MN y ⊥轴,
求PN MN MB ++的最小值.
(图3)
如图, 已知直线l 及点A , 在直线l 上作点P , 使PA 如图, 已知直线l 及点A B 、,
A ：( , )，
B ：（ ， ）
C ：（ ， ）
D ：（ ， ） (图1)
(4)如图4, M为y轴上一动点, N为x轴上一动点,
求
5
DM MN NB
++的最小值
.
(图4)
三、课堂小结：
四、课后作业：
(5)如图5, Q为直线AC上一动点, 当DOQ
∆的周长最小时, 求点Q的坐标.
(图5) (6)如图6, G为线段OC上一动点, 求
3
5
BG CG
+的最小值此时点G的坐标.
(图6)
(7)如图7, 在(6)问的条件下, M为直线BK上一动点, N为y轴上一动点,
求AM MN
+的最小值.
(图7)。
二次函数区间最值学案
课题：二次函数区间最值序号 009 编制人 李玉福 审核 高一数学组 使用时间 2017.9.27【学习目标】【预习导学】1、已知函数a x a x x f +-+=)31()(2在区间[1，+∞)上递增，则a 的取值范围是 ___2、函数2422-+-=x x y 的最大值是__________3、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，求2221x x +的最小值。
课内探究展示【探究1】题型1、轴定区间定例1、函数242-+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是________最小值是_________在区间[-2，1]上的最大值是________最小值是_________在区间[4，6] 上的最大值是________最小值是_________1、会求二次函数的区间最值；2、锻炼学生分析问题，解决问题的能力；【探究2】题型2、轴动区间定例2、求12)(2+-=ax x x f 在区间[-1,2]上的最小值)(a h 。
变式训练：求12)(2+-=ax x x f 在区间[-1,2]上的最大值)(a g 。
【探究3】轴定区间动例 3. 如果函数2()-2+2f x x x =定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。
变式训练：已知2()22f x x x =-+，当[1]x t t ∈+，时，求()f x 的最大值【探究4】例：已知函数12)(2-+-=a ax x x f ，在[0,1]x ∈上的最小值为-2，求a 的值。
【检测反馈】1、函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）)(A 1 ,3 )(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 32、如果函数2()(0)f x ax bx c a =++>对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么函数在区间[1，4]上的最大值为____________最小值为______________.3、已知函数2()21f x x ax =++，在[1,2]x ∈-上的最大值为4，求a 的值。
【秋季课程人教版高一数学】函数的最值问题-教案
适用学科 高中数学适用年级高一适用区域 人教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 教学目标单调性的应用，最值问题 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用． 通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法．教学重点 函数最大(小)值的定义和求法．教学难点 如何求一个具体函数的最值．【教学建议】 函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则.鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学 生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点.但这只是感性上的认识， 要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概 念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：(1)由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日， 请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平 均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图 是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图．问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天最高温度、最低温度是多少以及何时达到；(2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是 很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．从而引入 最大值、最小值的概念．二、知识讲解【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定 义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：前提设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足①对于任意 x I ，都有 f (x) M ； ①对于任意 x I ，都有 f (x) M ；条件②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M结论M 为最大值M 为最小值考点 2 函数的最大值函数图象上任意点 P 的坐标 (x, y) 的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变 量为 x 时对应的函数值的大小．(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(2)由于点 C x0, y0 是函数 y f (x) 图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对定义域内任意 x ，都有 y y0 ，即 f (x) f (x0 ) ，也就是对函数 y f (x) 的定义域内任意 x ， 均有 f (x) f (x0 ) 成立．(3)一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．大．值．．． (4) f (x) M 反映了函数 y f (x) 的所有函数值不大于实数 M ；这个函数的特征是 图象有最高点，并且最高点的纵坐标是 M . (5)函数 y 2x 1，x (1, ) 没有最大值，因为函数 y 2x 1，x (1, ) 的图象没有最高点． (6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．考点 3 函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．小．值．。
人教B版高中数学必修一第一轮高效复习导学案第十课时二次函数的最值新人教
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
二次函数中的最值问题【学习目标】1.巩固二次函数的常规的性质。
2.掌握求二次函数的最值常见方法。
3.体会高中数学中数形结合的思想。
4.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。
【学习重点】二次函数中含参数问题【学习难点】二次函数中含参数问题[自主学习]1．二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：零点式：2.二次函数图像y=ax2+bx+c (a≠0)开口方向a>0时函数在x= 时区的最值a<0时函数在x= 时区的最值[典型例析]例1已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记为g(a).(1)求g(a)的表达式；（2）求g(a)的最大值。
变式训练1：已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值2，求a的值。
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
变式训练2：函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t,t+1] （x R）的最小值记为g(t),（1）写出g(t)的函数表达式，（2）作出g(t)的图像；（3）求出g(t)的最小值。
例3设=)x (f ,2ax 2x 2+- 当x ∈),1[∞- 时, a )x (f ≥恒成立, 求实数a 的取值范围。
变式训练1：当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .小结：[当堂检测]1.设函数=)x (f ) 0a ( c bx ax 2≠++, 对任意实数t 都有) t 2 (f ) t 2 (f -=+成立. 问:在函数值)1(f -、)1(f 、)2(f 、)5(f 中, 最小的一个不可能是2.已知函数y ＝) 3x 1 ( ax 4x 2≤≤-是单调递增函数, 则实数a 的取值范围是3.已知函数f(x)=（x-a)2+2，a ∈ R ，当x ∈[1，3] 时，求函数f(x)的最小值。
4.已知函数f(x)=x 2-2x-3，若x ∈[t ，t+2]时，求函数f(x)的最值。
高一数学 1.3.1第2课时函数的最值学案 新人教A版必修1
第2课时 函数的最值[知识链接] 以下说法中：①函数y ＝2x 在R 上为增函数；②函数y ＝1x的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③函数y ＝x 2＋4x －3的单调递增区间为(2，＋∞)． 正确的有________． 答案 ① [预习导引] 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．要点一 利用图象求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.规律方法 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值． 2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)x ∈R ；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． 解 f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7. (1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．即函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2)函数f (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f (0)＝5，f (2)＝－7，f (3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5，在x ＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )max ＝f (－1)＝20，f (x )min ＝f (1)＝－4. 要点二 利用单调性求函数的最值 例2 求函数f (x )＝x x －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2x 2－x 1－，∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0. ∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 规律方法 1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．跟踪演练2 已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明 设1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)解 由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2，当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174.综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是174，最小值是2. 要点三 函数最值的实际应用例3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2x ，80 000 x ＞其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －x ，60 000－100xx ＞(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )＜60 000－100×400＜25 000.∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．规律方法 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．2．实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪演练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个． ∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元．1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f (12)，f (－1)C ．f (12)，f (－32)D ．f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32)．2．已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 A解析 可知函数f (x )＝1x在[1,2]上单调递减．∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12.3．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 当0≤x ≤1时，f (x )的最大值是f (1)＝2，又当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3，则f (x )的最大值是3.4．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数， 函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.5．f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________． 答案 9解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1,2]上递增，∴f (x )max ＝f (2)＝9.1.函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M 不是最大(小)值，如f (x )＝－x 2(x ∈R )，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f (x )≤M (或f (x )≥M )，故也不能只有(2)．2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．一、基础达标1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，－x 2x ＜，画出图象可知，既无最大值又无最小值．2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴f (x )在[0,1]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 答案 A解析 ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8.又x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6，∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，∴a ＝－2.综上，a ＝±2. 5.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B 解析 －aa ＋＝－a 2－3a ＋18＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋3a ＋94＋814＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 由于－6≤a ≤3， 所以当a ＝－32时，－a a ＋有最大值92.6.函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________． 答案 1 解析 函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1. 7．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．解 ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． ∴f (x )在[1,2]上递增，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. ∴f (x )在[1,2]上的值域为[21,49]． 二、能力提升8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元 答案 C解析 设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 C解析 令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) ＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1 图象如下：∴f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0.10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的， 又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.11．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x －∞，，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.三、探究与创新12．求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值．解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减， 故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增， 故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增， 故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知f (x )的最小值为 f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a a ，2－a 2－1≤a ，3＋2aa <－13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意知x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.。
人教版数学高一A版必修一学案 1.函数的最大(小)值
第2课时函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．梳理一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．答案当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)2．f (x )＝1x(x >0)的最小值为0.(×)3．函数f (x )取最大值时，对应的x 可能有无限多个．(√)4．如果f (x )的最大值、最小值分别为M ，m ，则f (x )的值域为[m ，M ]．(×)类型一 借助单调性求最值 例1 已知函数f (x )＝xx 2＋1(x >0)．(1)求证：f (x )在(0,1]上为增函数； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数单调性求最值(1)证明 设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 2－x 1)(x 2x 1－1)(x 21＋1)(x 22＋1).当0<x 1<x 2≤1时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0,1]上单调递增．(2)解 当1≤x 1<x 2时，x 2－x 1>0，x 1x 2－1>0， f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递减．∴结合(1)(2)可知，f (x )max ＝f (1)＝12，无最小值．反思与感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )． (3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数单调性求最值解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]上是减函数．因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2， 在x ＝6时取得最小值，最小值是25.类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值； (3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4. (2)∵对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. ②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值．反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题． 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值；(3)求函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 设f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )． 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.综上，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t2－2t－7，t<1，－8，1≤t≤2，t2－4t－4，t>2.类型三借助图象求最值例3(2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A．2 B．1C．－1 D．无最大值考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案 B解析在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．所以当x＝1时，f(x)max＝1.反思与感悟借助图象求最值注意两点(1)作图要准确；(2)最值的几何意义要理解．跟踪训练3已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，－1≤x≤0，x2，0<x≤1，x，1<x≤2，则f(x)的最大值为________．考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案 2解析f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)＝2.类型四 函数最值的应用例4 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需y min ＝4a －14>0，解得a >14. ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x . 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 只需a >(－x 2＋x )max ， 又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14， ＋∞. 引申探究把本例中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞”，再求a 的取值范围． 解 f (x )＝－x 2＋x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为减函数， ∴f (x )的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，14， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决．任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立一般可转化为f (x )max <a .跟踪训练4 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x.要使a ≤1x 2－1x 对任意x ∈(0,1]恒成立，只需a ≤⎝⎛⎭⎫1x 2－1x min .设t ＝1x ，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1.1x 2－1x＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即当x ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x 2－1x min ＝0， ∴a ≤0.∴实数a 的取值范围是(－∞，0].1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( ) A ．－12 B ．－1 C.12 D ．3考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 C2．函数f (x )＝1x 在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A3．函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值、最小值分别为( ) A ．4,1 B ．4,0 C ．1,0D ．以上都不对考点 函数的最值及其几何意义 题点 二次函数最值 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值 答案 A5．若不等式－x ＋a ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－12考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 D1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．3．许多数学问题如不等式证明，恒成立的不等式，图象与y ＝a (a 为常数)的交点问题等，都与函数最值有关，所以会求函数最值是一种基础技能．。
《二次函数在区间上的最值》学案
《二次函数在区间上的最值》学案教师：任后兵一、目标知识与技能：理解函数最值的概念,会用函数的单调性找出二次函数在给区间上的最值过程与方法：{行}经历求二次函数最值的求法，通过课件实验归纳求二次函数在给定区间上最值的一般方法,通过问题串的形式，层层递进。
态度、情感与价值观：{知}感知在函数最值当中求法，在学习中，提高观察、分析、归纳、概括的能力，体验函数思想、数形结合与分类讨论的数学思想方法。
二、重点、难点（－）重点:二次函数在给定区间上最值的一般方法．（二）难点:对称轴与区间的相互位置关系的讨论．三、教具学具准备：多媒体（PPT 、几何画板），直尺1）教学过程：1设f x ax bx c a ()()=++≠20，求x ∈R 的最大值与最小值（必修1教材16页）。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()在a<0时，它的图象是开口向下的抛物线，f x ()的最大值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()取最大值还是取最小值与a 正负有关，（－）定义域为R 的二次函数的值域（教材16页）问题1：求y=-2x +2x+3在x ∈R 值域为：（二）定义域不为R 的二次函数的值域问题2：例１、当x ∈[2,3]时，求函数y=-2x +2x+3上的值域。
问题3：当x ∈[2,3]改为x ∈（2,3]问题:4：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,1]问题5：当x ∈[2,3]改为x ∈[-1,2]问题6：当x ∈[2,3]改为x ∈[0,4]练习1：求下列函数在x∈[0,3]时的最值1）f x()= -（x-4）2+12）f x()= -（x+1）2+13）f x()= （x-4）2+14）f x()=2x-2x+3对于（4）在x∈[0,3]时，求f x()=2x-2x+3最值问题7：当x∈[0,3]改为x∈[0,a]问题8：当x∈[0,3]改为x∈[k,k+2]问题9：当x∈[0,3]改为x∈[m,n]（三）题型一：“定函数动区间”型的二次函数最值例2、求函数y=2x-2x+3在区间x∈[0，a]上的最值练习2：如何求函数y=2x-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值?（四）问题10：动函数（轴）定区间的二次函数的值域思考题：若x ∈｛x|-1≤x ≤1｝，求函数y =2x +ax+3的最小值：练习3.求f x ()=2x +ax+3在x ∈[0,1]时的最值课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，1 关键抓住二次函数图象的1开口方向，2对称轴3定义区间，方法：应用数形结合法与分类讨论求解。
二次函数的最值导学案
二次函数限定范围下的最值问题班级： 姓名： .复习目标：1、会借助图象，求自变量限定范围时二次函数的最值2、理解并会处理含参数的二次函数的最值问题3、会运用二次函数解决实际问题中的最值问题4、体会数形结合和分类讨论等数学思想方法在解决函数问题中的作用 一、课前热身，复习回顾你会作二次函数322--=x x y 的图象吗？不妨试一下.二、例题重现，变式深入例题：求二次函数223y x x =--的最值．变式1：当1-≥x 时，求函数的最值变式2：当2≥x 时，求函数的最值变式3：当2-≤x 时，求函数的最值变式4：当22≤≤-x 时，求函数的最值x xyx xy备用图三、知识归纳，学会迁移1、当函数自变量没有限定范围时，二次函数总是在 处取得最值,为 .2、当函数自变量限定范围时，二次函数总是在 处取得最值, .变式5：已知二次函数4)(2--=m x y ,当22≤≤-x 时，求函数的最小值四、应用新知，展示自我题1已知函数6422+--=x x y ， 当x 分别满足下列条件时，求函数的最值. （1）2≥x （2）22≤≤-x0xx xy0x x x题2(①号本P.6 T2改编) 已知121-=x y ,且21≤<-x ,令xy S =，则: (1) 当=x题3(②号本P.4 T5改编)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 米2．（1） 求S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2） 怎样才能围出最大面积，最大面积是多少？五、课堂小结，提炼精华这堂课我们解决了什么问题？用到了哪些数学方法？0xx xS0xx xS六、习题训练，提升能力A 组1．求函数222-+=x x y 的最值.2．对于函数2243y x x =+-，当2-≤x 时，求y 的最值．3．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最值，并求对应的x 的值．4．已知函数322--=x x y ，当x 在什么范围时0<y ？5．某商店在最近的30天内的价格和时间t （单位：天）的关系是)10(+t ；销售量与时间t 的关系 是)35(t -，其中300≤<t ，t 为整数．．，求这种商品何时取得日销售金额的最大值？这个最大值 是多少？B 组1．求函数3y =2．已知二次函数1)(22++-=m m x y ,当12≤≤-x 时，函数的最小值是4，那么m 的值是多少？。
二次函数的最值问题教案
二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。
2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。
3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。
教学内容：
1. 二次函数最值的概念。
2. 求解二次函数最值的方法。
3. 应用实例。
教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。
2. 运用二次函数解决实际问题。
教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。
2. 灵活运用二次函数解决实际问题。
教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。
2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。
3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。
教具准备：
1. 黑板和粉笔。
2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。
3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。
教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。
2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。
3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。
4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。
5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
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[专题训练] 二次函数在闭区间上的最值问题
班级 学号 姓名
一、基本原理：已知)0()(2≠++=a c bx ax x f ，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得)
(x f 在][n m ，上的最大值或最小值.
若 f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴为x= x 0，给定区间为[m,n]
(1) 若m ≥ x 0，则f max (x)=f(n)，f min (x)=f(m)
(2) 若n ≤ x 0，则f max (x)=f(m)，f min (x)=f(n)
(3) 若m ＜x 0＜n ，则f max (x)=max{f(n), f(m)}，f min (x)=f(x 0).
例：函数：f(x)=x 2－2x+3，
(1) 在[2，3]上，f max (x)= , f min (x) =
(2) 在[－1，0]上，f max (x)= , f min (x =
(3) 在[－1，2]上，f max (x)= ，f min (x)=
小结：最值只有可能在左端点、右端点、顶点三处的取得
二、基本题型：
1、 轴定区间定：
【例1】若函数 y =ax 2+2ax +1 (a <0)在区间[－3,2]上有最大值4，求a 的值.
课堂练习1. 若关于x 的不等式24x x m -≥对任意x ∈(0, 1]恒成立, 则 ( )
A.4m ≥-
B. 3m ≥-
C. 30m -≤<
D. 3m ≤- 2. 2y x x =+ 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M ＋N ＝ .
2、轴动区间定：
【例2】已知函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0,1]上有最大值2，求a 的值
课堂练习1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则实数a 的取值范围是_
2. 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________
3、轴定区间动:
【例3】求函数f (x )=x 2在[－1，k ]上的值域。