第二章 实数复习课 导学案
北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案
第二章实数复习教案教学目的知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进展实数的相关运算.4.理解二次根式、最简二次根式的概念,理解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法那么,会用它们进展有关的简单四那么运算.过程与方法:1.体验从详细情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.经历数系扩大、探务实数性质及其运算规律、借助计算器探究数学规律等活动过程.3.理解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能务实数的相反数与绝对值.4.理解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.情感态度与价值观:1.开展抽象概括才能,并在活动中进一步开展学生独立考虑、合作交流的意识和才能.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,进步应用意识,开展解决问题的才能,从中体会数学的应用价值.教学重难点【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探究一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进展化简,并能利用化简进展有关实数的简单四那么运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用. 知识总结 实数分为:{实数分类{ 有理数{整数分数无理数{正无理数负无理数平方根{定义:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 叫做a 的平方根表示:若x 2=a ,则x =±√a 算术平方根:若x 2=a ,则a 的算术平方根为√a 立方根{定义:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 叫做a 的立方根表示:若x 3=a ,则x =√a 3二次根式{定义:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式重要性质{(√a )2=a (a ≥0)√a 2=|a |(√a 3)3=a√a 33=a 积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则{√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)√a b =√a √b(a ≥0,b >0)√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)√a √a=√a a (a ≥0,a >0)专题讲座:专题一 实数的相关概念、性质和运算【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法那么和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的根底.实数是中学数学的重要根底,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.以下各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?√23,√53,3.14159265,√9,-π,√3-1,(-√5)2,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).〔解析〕 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数. 解:3.14159265,√9,(-√5)2是有理数.√23,√53,-π,√3-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.[知识总结] 此题考察有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.[易错提示] (-√5)2=5,是有理数,不是无理数.【针对训练1】 以下各数-13,√13,43π,√-0.0013,(√2)2中,是无理数的是 .〔解析〕 根据无理数的定义判断.故填 √13,43π.[解题策略] 判断是不是无理数时,不要只看外表形式,如√-0.0013=-0.1,(√2)2=2都是有理数.计算.(1) √110-√40; (2) 5√12-9 √13+12√48.〔解析〕 此题主要考察实数的运算法那么及二次根式的化简. 解:(1) √110-√40=√10-√4·√10=√1010-2√10=-19√1010.(2)5√12-9√13+12√48=5√4·√3-9√3+12√16·√3=10√3-9·√33+2√3=10√3-3√3+2√3=9√3. 【针对训练2】 (1)a ,b 满足√a -2+|b +3|=0,求(a +b )2021的值; (2)y =√2x -4-2√4-2x +3,求x y 的值.解:(1)∵√a -2≥0,|b +3|≥0,且√a -2+|b +3|=0,∴√a -2=0,|b +3|=0,∴a =2,b =-3,∴(a +b )2021=(2-3)2021=(-1)2021=-1.(2)∵2x-4≥0,4-2x ≥0,∴2x-4=4-2x =0,∴x =2,∴y =0-0+3=3,∴x y =23=8.[解题策略] 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.【针对训练3】 ΔABC 中,AB =17,AC =10,BC 边上的高AD =8,那么边BC 的长为多少?〔解析〕 分ΔABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况.解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.[知识总结]此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在进步学生运用分类讨论的思想解决数学问题的才能.专题二与二次根式有关的规律探究题【专题分析】二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探究题.在解决此类题目时,通过条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.1,√2,√3,√6按如下图的方式排列.假设规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,那么(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A.1B.2C.2√3D.6〔解析〕 假设将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,√2,√3,√6这四个数循环排列的数列,那么(m , n ) 是第(1+m -1)(m -1)2+n =m (m -1)2+n 个数,即 (4, 2) 是第4×(4-1)2+2=8 个数,8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是 √6.(21, 2) 是第21×(21-1)2+2=212 个数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的数是√6,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.应选D .【针对训练4】 观察以下各式及其验证过程,然后答复后面的问题.√2+23=2√23,验证:√2+23=√83=√22×23=2√23;√3+38=3√38,验证:√3+38=√278=√32×38=3 √38.(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜测√4+415的变形结果并进展验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用a (a 为任意自然数,且a ≥2)表示的等式,并给出验证.〔解析〕 (1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子一样,根号内的分母是分子的平方减去1.解:(1) √4+415=4 √415.验证如下:√4+415= √6415= √42×415= 4 √415.(2) √n +nn 2-1=n √nn 2-1.验证如下: √n +n n 2-1=√n (n 2-1)+nn 2-1=√n 3n 2-1=n √nn 2-1.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2,擅长考虑的小明进展了以下探究:设a +b √2=(m +n √2)2(其中a ,b ,m ,n 均为正整数),那么有a +b √2=m 2+2n 2+2mn √2,∴a =m 2+2n 2,b =2mn.这样小明就找到了一种把局部形如a +b √2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探究并解决以下问题:(1)当a ,b ,m ,n 均为正整数时,假设a +b √3=(m +n √3)2,用含m ,n 的式子分别表示a ,b ,那么a = ,b = ;(2)利用所探究的结论,找一组正整数a ,b ,m ,n 填空: + √3=( + √3)2;(3)a +4√3=(m +n √3)2,且a ,m ,n 均为正整数,求a 的值. 〔解析〕 (1)根据完全平方公式运算法那么,即可得出a ,b 的表达式.∵a +b √3=(m +n √3)2,∴a +b √3=m 2+3n 2+2mn √3,∴a =m 2+3n 2,b =2mn.(2)首先确定好m ,n 的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a ,b 的值.设m =1,n =1,那么a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然后即可确定a的值.解:(1)m2+3n22mn(2)421 1(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,∵4=2mn,且m,n为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.【针对训练5】研究以下算式,你发现有什么规律?√1×3+1=√4=2;√2×4+1=√9=3;√3×5+1=√16=4;√4×6+1=√25=5……请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.解:√n(n+2)+1=√(n+1)2=n+1(n为正整数).【针对训练6】先观察以下等式,再答复以下问题:①√1+112+122=1+11-11+1=112;②√1+122+132=1+12-12+1=116;③√1+132+142=1+13-13+1=1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜测√1+142+152的结果,并验证;(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).解:(1) √1+142+152=1+14-14+1=1120.验证:√1+142+152=√1+116+125=√1+25400+16400= √441400=1120.(2) √1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1=1+1n(n+1)(n为正整数).[方法归纳]找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.专题三实数与数轴【专题分析】数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.如下图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O',点O'所对应的数值是.〔解析〕圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.【针对训练7】假设√a2=-a, 那么实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧B.原点右侧C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧〔解析〕当a≤0时,√a2=-a.应选C.【针对训练8】实数a, b在数轴上的位置如下图,化简|a-√5|+|b-√2|.〔解析〕由数轴可知1<a<2<√5,-1<b<0<√2.解:原式=√5-a+√2-b=√5+√2-a-b.[方法归纳]数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.。
八年级数学上学期第二章实数复习课教案
八年级数学上学期第二章实数复习课教案教学目标1、实数的分类（两种分类方法：按概念分和按大小分）；2、无理数的意义；3、平方根、立方根的意义；4、无理数的化简；5、实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算；6、在数轴上用作图的方法找出无理数所对应的点教学重难点重点：系统的掌握第二章的知识（掌握实数的意义、分类、混和运算以及比较大小、估算、在数轴上表示无理数）。
难点：1.实数的混和运算；2.在数轴上表示无理数。
教学过程一、出示教学目标1、实数的分类（两种分类方法：按概念分和按大小分）；2、无理数的意义；3、平方根、立方根的意义；4、无理数的化简；5、实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算；6、在数轴上用作图的方法找出无理数所对应的点二、概述本章内容引导学生系统地回顾本章所学的所有内容：本章我们分别学习了6节内容：第一节，数怎么又不够用了。
在这一节中我们引入了无理数，并学习了无理数的概念（问：无理数的概念世什么？）。
第二节，平方根。
在这一节中我们学习了无理数的表示方法、平方根的意义（问：平方根的意义世什么？怎样求一个正数和0的平方根？负数有平方根吗？）。
第三节，立方根。
在这一节中我们学习了一个任意数的立方根（问：立方根与平方根有什么区别？）。
第四节，公园有多宽。
在这一节中我们学习了平方根和立方根的实际运用（问：怎样对一个无理数进行估值？比较大小的方法？）。
第五节，用计算器开方。
在这一节中我们进一步学习了计算器的用法。
第六节，实数。
在这一节中我们学习了实数的意义和分类，以及实数的混合运算（实数怎样分类？）。
三、分类完成目标（一）问题导学一1、理解无理数的意义；2、会区分无理数和有理数练一练1.在实数0.3 ，，0 ，，0.123456 … 中，其中无理数的个数是（）A.2B.3C.4D.52.边长为1的正方形的对角线长是（）A. 整数B. 分数C. 有理数D. 不是有理数3、下列说法中正确的是（ ）A.和数轴上的点一一对应的数是有理数B.数轴上的点可以表示所有的实数C.带根号的数都是无理数D.不带根号的数都是无理数4、下列说法正确的是（ ）A.两个无理数的和是无理数B.有理数与无理数的差都是有理数C.带分数线的数一定是有理数D.开方开不尽 的数是无理数（二） 问题导学二1、理解平方根和立方根的意义 ；2、会运用平方根和立方根的意义解题。
八年级上册第二章《实数》导学案2.6.3实数
八年级上册第二章《实数》导学案课题：2.６实数（三）学习目标：1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用． 2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．重点：1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.【学习过程】一、复习引入下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？二、知识探究探究（一）：1．能否根据上一课时探究的公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a =（a ≥0，b ＞0）．将8化成22？ 2. 巩固练习： 化简：（1）45； （2）27； （3）54； （4）98； （5）16125． 3.反思：以上化简过程有何规律呢？含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在＿＿＿＿＿，并省略去＿＿＿＿号．（2）以上化简过程有何规律呢？学生讨论交流得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了＿＿＿外面．明确带根号的数什么时候要化简：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．被开方数含有＿＿＿＿也需要进行化简．探究（二）:面积8 面积21. 议一议： 21怎样化简呢？ 2. 练习：化简：31． 3.反思：被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？4. 小结归纳：带根号的数的化简要求：（1）使被开方数不含开得尽的数；（2）使被开方数不含分母．5. 运用自学课本例2三、知识巩固化简：（1）18；（2）7533-；（3）72．（4）278 （5）81四、知识拓展化简：（1）128； （2）9000； （3）48122+；（4）325092-+； （5）5145203--； （6）3223+．(5).38-532 (6).73-31 (7).40 -5101+10五、课堂测试1．计算23475482131-+的结果是 ( ) A. 2 B. 0 C. -3 D. 32．化简：②125205-； ③22)77()77(--+。
实数复习课导学案 2
《实数复习课》导学案年级：八年级 科目：数学 制卷人：李平 审核人：●学习目标：1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握平方根及算术平方根的区别与联系。
2.了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义3.了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．了解有序实数对与平面坐标系中的点的对应关系。
●学习重点：1.平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2.算术平方根的意义及实数的性质●学习难点：实数与数轴上的点一一对应关系及有序实数对与平面坐标系中的点的一一对应关系。
●学习过程：★活动一：[填一填]1.4936的算术平方根是 .9的算术平方根是 .()25-的算术平方根是 . 0 的算术平方根是 . 2.4936的平方根是 . 16的平方根是 .()24-的平方根是 . 0 的平方根是 . 3. 27的立方根是 .－64的立方根是 .38-的立方根是 . 0 的立方根是 .4.在实数,722,3,13.0,2..π-080108.0中,无理数的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个 5.53-的相反数是 .53-的绝对值是 .★本章知识结构图:★活动二：[练一练]1.有下列说法:(1)无理数就是开方开不尽的数. (2)无理数就是无限不循环小数. (3)无理数包括正无理数、0和负无理数. (4)无理数都可以用数轴上的点表示 其中正确的说法的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 42.把下列各数分别填在相应的集合中:，，，，，，，，，，， 1010010001.0094123.02.32777352233∙∙----π整数 集 合：{ ……} 分数 集 合：{ ……} 有理数集合：{ ……} 无理数集合：{ ……}3.如图所示:数轴上的点A表示的数可能是（）A.4的算术平方根B.4的平方根C.8的算术平方根D.8的立方根4.已知a是13的整数部分,b是13的小数部分,则a－b= .5.如图:若点Ｂ也在数轴上，且它到点A的距离为1，则点B表示的实数是．★活动三：[做一做]问题一：已知2a－1的算术平方根是3, a－3b+2的立方根是－2,求4a－b的平方根.问题二：以4的平方根作为直角坐标系内点的横坐标，以2的平方根作为点的纵坐标，可以组成几个点的坐标，在直角坐标系内描出这些点。
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第二章实数知识复习教学目标 1 经历数系的扩充，探求实数性质及运算2 结合具体情景理解估算的意义，能进行简单的估算进一步发展数感和估算能力3 了解平方根，算术平方根，立方根，二次根式，最简二次根式实数及其相关的概念，会求平方根，立方根，能进行有关实数的运算，和简单的二次根式的化简，发展运算能力4 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值能力目标培养由特殊到一般由具体到抽象的思维能力情感目标渗透数形结合及分类的思想体验数学知识来源于实际又服务于实际的关系。
通过学生之间的相互交流，增强学生的合作意识教学重点平方根算术平方根立方根实数二次根式的概念及计算教学难点二次根式的化简及运算教学过程第一环节知识回顾知识点填空:（1）叫做无理数．（2）统称为实数．（3）和数轴上的点是一一对应的．（4） 2 a a 3 ) 33 3 ；a2 ；( a) ( 0) ；( a a ； a aa aa b ab(a 0,b 0) ；(a 0,b 0)b b（5）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式（7）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．设计说明：以上7 个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.第二环节典例精析（一）实数的相关概念例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？23 ，3 5 ，3.14159265，9 ，， 3 1，( 5)2 ，3.1010010001⋯（相邻两个 1 之间0的各数逐次加1）设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的9 ，( 5) 2虽然都含有根号，但它们都是有理数. 所以此题中的有理数有： 3.14159265，9 ，2( 5) ；无理数有：23 ，35 ，， 3 1，3.1010010001⋯（相邻两个1 之间0的各数逐次加1）（二）实数的相关性质及运算例2实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简a b b a .2( )例3计算：(1) 110 401 1(2) 485 12 93 2设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.例4 （1）已知a 、b满足 a 2 b 3 0 ，求2013(a b) 的值（2）已知y 2x 4 2 4 2x3，求x的值.y（三）实数中的数形结合例5、已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？（第三环节运用巩固1．下列说法错误的是（）A．4 的算术平方根是 2 B． 2 是2 的平方根C．－1 的立方根是－1 D．－3 是 2( 3) 的平方根2．当2 x 3 时，求代数式 216 16x 4x 2x 6 的值．13．若有意义，求x 的取值范围.xx 24．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6 ，它底边上的高为68 ，求这个等腰三角形的周长与面积．第四环节课堂小结请同学们认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？2、我还有哪些没有解决的困惑？设计说明：用2 分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．第五环节布置作业完成课本P复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解144749题；问题解决21题．设计说明：1题是关于有理数与无理数概念的题；4题为实数的运算题；10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点，巩固数形结合的思想方法；14题看似简单，其实考查了本章的众多概念，特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况；21题为实数的应用，在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力．四、教学设计反思1．选择性的使用例题在此教学设计中，例题数量并不少，针对不同的学生群体，老师可适当删减，做到有的放矢，但是建议概念例题保留．2．给予学生充分的表达和交流的机会老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法，可以师生互动也可以生生互动，通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳．其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会．3．注意收集学生生成性的学习资源。
八年级数学上册第二章实数复习教案北师大
第二章课题第二章总复习课型教学目标掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
灵活运用二次根式的性质、运算法则。
重点二次根式的加减乘除的混合运算。
难点二次根式的加减乘除的混合运算。
新课导入这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课程讲授第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即ax=2，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a±表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a-叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a±（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00=，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。
aa=2==⎩⎨⎧-aa<≥aa()aa=2（0≥a）⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ，则b a >（二）立方根和开立方 1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a 2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０. 3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
实数2导学案
实数(二)导学案一、学习目标：1.了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。
2.进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。
3.发展学生的类比与归纳能力。
二、温故新知：1. 每一个无理数都可以用数轴上的表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .实数与数轴上的点就是的，即每一个实数都可以用上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 .2、的相反数是．－π的相反数是．0的相反数是．∣－= ，∣－π∣= ，∣0∣= ．3、把下列各数填入相应的集合内：有理数集合{ } 无理数集合{ } 整数集合{ } 分数集合{ } 实数集合{ }三、合作交流，解读探究【活动1】提出问题，解决问题1、用字母表示有理数的加法交换律和结合律2、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律3、有理数的混合运算顺序归纳总结:实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然使用。
【活动2】例1化简（1π∣（2π∣-3.14π例2计算下列各式的值（1）（2）（3）练习(1)23-+.总结：实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的训练与提升：1、下列各数中，是无理数的是（）A. 1.732- B. 1.414 C. D. 3.14 2、、已知四个命题，正确的有（）（1）有理数与无理数之和是无理数⑵有理数与无理数之积是无理数（3）无理数与无理数之积是无理数⑷无理数与无理数之积是无理数（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。
（）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个3、若实数a满足1aa=-，则（）A. 0a> B. 0a< C. 0a≥ D. 0a≤。
北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案
一、教学内容
北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案：
1.实数的定义及其分类；
2.有理数的性质与运算法则；
3.无理数的理解与估算；
4.实数的数轴表示及大小比较；
5.实数的混合运算；
6.实数在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解实数的概念，培养学生的数学抽象素养，使其能够把握数的本质属性；
-实数的概念及其分类：理解实数的定义，掌握有理数与无理数的区别，明确实数的包含关系。
-举例：解释有理数的有限小数和无限循环小数特性，以及无理数的无限不循环特性，如π和√2等。
-实数的数轴表示：能够准确地在数轴上表示实数，并进行大小比较。
-举例：在数轴上标出√3和2的位置，并比较它们的大小。
-实数的混合运算：掌握实数的加减乘除运算法则，特别是带根号的运算。
2.通过实数的性质与运算，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力；
3.利用数轴和估算无理数，增强学生的直观想象和数学建模能力；
4.在解决实际问题时，提高学生的数据分析能力和数学应用意识；
5.通过实数的学习，引导学生形成严谨的科学态度和良好的数学学习习惯，培养其终身学习的素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾实数的基本概念。实数是包含有理数和无理数的数集，它们在数轴上有着广泛的应用。实数的重要性在于它们可以精确地描述自然界中的各种量。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个边长为√2的正方形，我们如何计算它的面积？通过这个案例，我们可以看到实数在实际问题中的应用。
-实数的运算规则：特别是无理数的运算，学生容易混淆运算规则，导致计算错误。
北师大八年级数学上册第二章实数全部导学案
本章课标要求：（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
数怎么又不够用了 一、知识回顾： 有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n≠0）的形式。
任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 有理数的分类：无理数：无限不循环小数叫无理数 。
像π，0.8885…，1.…，2.…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数 实数：分为有理数和无理数两类。
实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.…（两个3之间依次多一个1）中属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 训练作业：一、按要求完成下列题目1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，∙∙75.0，0.…，0.4583，∙7.3，－π，－712..把下列各数分别填入相应的集合里：π31-，1322-，7，327，0.…，0.5，36.0-，39，924，16实数集{ …}， 无理数集{ …}， 有理数集{ …}， 分数集{ …}， 负无理数集{ …} 3.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
八年级数学上册第二章《实数》复习导学案(无答案)(新版)北师大版
第二章《实数》 导 学 目 标 通过本节课的复习训练，进一步理解无理数、算数平方根、平方根和估算的相关知识；体 验成功乐趣。
学法指导及使用说明：请先认真复习课本。
认真思考，独立完成导学案，不会的或是有疑问的做 好标记，以备小组合作解决。
运用双色笔，第一次完成用蓝色，第二次课堂生成改动用红色。
9、 已知△ ABC 的三边长a 、b 、c 满足.孑5 |b 1| （c 2）2是 _________ 三角形。
10、 比较大小：.32;1.（填“〉”或“ <”）2 2三、计算题：11、 计算下列各式的值：0 ,则厶ABC —定知识链接:①.1.44 ;② 3 0.027 ;③ 10 6;课前复习： 请同学们认真复习前几天学过的无理数、 算数平方根、平方根和估算的相关知识。
合作探究，展示提高: 一、认真选一选： 25的平方根是（ 1、 、-5 、土 5 D 备注（教师复 备栏及学生笔 记）24 25F 列说法中，正确的有 ①无限小数都是无理数； ③带根号的数都是无理数; ⑤含n 的式子都是无理数 2、 ②无理数都是无限小数； ④一2是4的一个平方根。
A.①③⑤ B. ①②③ C.③④ D.②④3、要使式子 x 2有意义，x 的取值范围是( )A. x > 2B. x w 2C. x-2 D. x 工24、 卜列说法止确的是（)A.0.064的立方根是0.4 B.9的平方根是3C.16的立方根是3 16D.0.01的立方根是0.0000015、已知：a 、b 、c 是厶ABC 的三边, i （ab c)2 (a bc)2 等:A.2a-2bB.2b-2aC.2cD.-2c6、右 a 和a 都有意义，则 a 的值是（)A. a 0B. a 0 1 c. a 0 D . a 0(认真填一填:备注（教师复 备栏及学生笔 记）7、36的平方根是 ;-16的算术平方根是8 -27的立方根与<81的平方根之和是四、解答题：12、已知某正数有两个平方根分别是 a+3与2a — 15,求这个正数13、已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求3ab . c d 1的值我在方面的表现很好，在方面表现不够，以后要注意的是：总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
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子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案
2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日
年 级
科 目
课 题
主 备 人 备 课 方 式
负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学
第二章 实数复习课
乔智
一、数形结合
例1：b a ,的位置如图所示，则下列各式有意义的是（ ） A 、;b a + B 、;b a -
C 、;ab
D 、a b -。
归纳：实数和数轴上点的一一对应关系也是通过数形结合的思想方法进行说明的。
实践练习：若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_________。
二、无理数的识别与估算
例2：在实数437
3
5，，，中，无理
数是
（ ） A 、5；
B 、；7
3
C 、；3
D 、4。
例3：估计10的值在（ ） A 、1到2之间；
B 、2到3之间；
C 、3到4之间；
D 、4到5之间。
归纳：常见的无理数有三种形式：（1）所有开方开不尽的数；（2）π及与π有关的数；（3）无限
不循环小数。
实践练习：
1、在实数70107.0,8
1
,2,21.0,3π-中，其中无理数的个数为（ ）
A 、1；
B 、2；
C 、3；
D 、4。
2、估算728-的值在（ ） A 、7到8之间； B 、6到7之间； C 、3到4之间； D 、2到3之间。
三、实数的性质
例4：已知12-a 的平方根为13,3++±b a 的算术平方根为4，求b a 2+的平方根。
归纳：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
实践练习：
1、若一个正数的平方根是212+--a a 和，则a 的值为__________。
2、已知3,0255xy y x 求=++-的值。
四、实数大小的比较
例5：比较大小：34_______7--。
归纳：比较实数大小时，要灵活选择以下几种常见的方法：（1）数轴比较法；（2）求差比较法；（3）求商比较法；（4）绝对值比较法；（5）倒数法；（6）中间值比较法；（7）分子、分母有理化法；（8）平方法。
实践练习：
1、下列不等式成立的是（ ）
A 、;3223<
B 、35->-；
C 、π<9；
D 、174>。
2、比5小且比3-大的整数是_____________。
五、二次根式有意义的条件 例6：若二次根式
2-x 有意义，则x 的取值范围是____________________。
归纳：二次根式的被开方数为非负数；若含有分母，则分母不为零。
实践练习：已知,0122=+-++y x x 求y x 32+的值。
七、实数的混合运算
例7：计算：（1）2)2(18)25(3
1
2
01⋅--+---）（；（2）)321)(321(--+-。
归纳：进行实数的运算时要注意两点：（1）运算法则；（2）运算顺序。
实践练习：计算（1）
2)23(2
21
4321--⨯+-；
（2）2
31
321)2(2
--
+-+-。
八、整体思想
例8：已知,32,32-=+=b a 试求
a
b
b a -的值。
归纳：在二次根式化简求值的过程中，应根据代数式的特点将某些含有字母的代数式的值整体代入，这样可达到事半功倍的效果。
实践练习：已知),37(2
1
),37(21-=+=y x 求代数式xy y x -+22的值。
批改日期 月 日。