稳恒磁场习题课

解： (1)
∫ H ⋅ dl = ∑ I
H 2π r = jπ r
2
0
B = μ0 μ r H = μ0 H
μ0 Ir B= r= 2 2π R 2
I E= = σ π R 2σ
Y.L.Wang
μ0 j
(2)
j =σE
j
例2. 在氢原子中，若视电子绕质子作半径为r 、角速度 为ω 的匀速圆周运动求：电子的轨道磁矩p m
Y.L.Wang
大学物理辅导书习题请大家认真做一遍 包括
“例题” “选择题” “填空题”
Y.L.Wang
场 定义 描 述 力 产 生 高斯 定理 环路 定理
磁场
运动 产生 磁 力 电荷 场 运动 电荷
电场
电 产生 电 力 荷 场 电 荷
Fmax ˆ ˆ ˆ ) 电场强度 E = F = F F ( Fmax × v 磁感应强度 B = qv q q 磁 点电荷 F = qv × B 电 点电荷 F = qE 场 电流元 dF = Idl × B 场 电荷元 dF = dqE
磁场
ˆ μ 0 Idl × r dB = 4π r 2
电场
dq ˆ r dE = 2 4πε 0 r 1
∫ B ⋅ dS
S
=0
∫
S
∑q E ⋅ dS =
ε0
∫ B ⋅ dl
l
= μ0 ∑ Ii
⎪ 磁场叠 B = ⎧ ∑ i B i ⎨ 加原理 ⎪ ∫ dB ⎩
∫ E ⋅ dl = 0 ⎧∑ E ⎪ 场强叠 E=⎨ 加原理 ⎪ ∫ dE ⎩
2
4
q
q
C
Y.L.Wang
如图所示，其中哪个图正确地描述了半径为 R 的无限长均匀载流圆柱体沿径向的磁场分布（ D）
B B
(A)
OR B r
(B)
OR B r
(C)
O R r
(D)
O R r
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例：将两个平面线圈平行放置在均匀磁场中，面积之比 S1 / S 2 = 2，电流之比为 I1 / I 2 = 2，则它们所受最大磁力矩 C 之比 M 1 / M 2 为（ ）
Y.L.Wang
例：载电流为 I ，磁矩为 Pm 的线圈，置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中。若 Pm B 方向相同，则通过线圈的磁通 与
Φ 与线圈所受的磁力矩 M 的大小为（ B）
Φ （A） = IBP , M = 0； m Φ （C） = IBP , M = BPm ； m
BPm Φ , M =0 （B） = I m （D）Φ = BP , M = BP m I
ω 解： ∵ i e = e 2π
-e
2
∴ Pm = ieπ r
e
=
ω
2
er
2
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例3. 薄圆环内半径a，外半径b，可绕与环面垂直的轴o 以ω的角速度逆时针旋转。现给该圆环均匀带电+Q,求 环心o处的磁感应强度。 解：将环分成无数同心小环，任选 其中一 个环，设其半径为 r, 环宽dr 则环上带电量： Q
N
S1 b RI a S2
B
θ
M
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如图所示，一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向 均匀地流有电流I。若作一个半径为5a、高为l的柱形 曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相 距3a。则B在圆柱侧面上的积分 ∫ B ⋅ dS = 0
S
3a 5a 2a
l
I Y.L.Wang
如图所示，均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于直线的轴O 以ω角速度匀速转动（线形状不变，O点在 AB延长线上）。则O点的磁感应强度大小为
∂D 位移电流密度 j d = ∂t
ˆ μ Idl × r dB = 4π r 2
B = μ0 μ r H D = ε 0ε r E
位移电流 高斯定理：
d Φd Id = = dt
∫
S
jd ⋅ dS
∫ B ⋅ dS = 0
S
无源场
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μ0 I μI B= (sin β 2 − sin β 1 ) B = 0 无限长 载流直导线ab 4π a 2π a μ0 IR 2 μ0 pm = 载流圆环轴线 B = 3 3 2 2 2 2 2 2 2π ( R + x ) μ 0 I 2π ( R + x ) B 环心处：o = 2a
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例：电荷为 + q 的离子以速度为 0.01c 沿 + x 方向运动， 磁感应强度为 B，方向沿 + y ，要使离子不偏转， 所加电场的大小和方向为（C ） （A） = B，沿 − y 方向； E E （B） = υB，沿− y 方向； （C） = υB，沿 − z方向； E E （D） = υB，沿 + z 方向。
μ 0 λω a + b ln 4π a
ω
B b
O a
A
Y.L.Wang
两个在同一平面内的同心圆线圈，大圈半径为R, 通有电流I1,小圈半径为r(r<<R),通有电流I2,电流方向如图 所示。在小线圈从图示位置转到两线圈平面相互垂直位置 的过程中，磁力矩所作的功A= .
−
μ 0πr 2
2R
I1 I 2
洛伦兹力： 安培定律： 均 匀 磁 场
f = qv × B
dF = Idl × B
载流线圈所受的合外力 载流线圈所受的合外力力矩
∑F =0
M = pm × B
磁力或磁力矩所作的功为： A = I ΔΦ m
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毕—萨定理： H 环路定理：
∂D ∫ H ⋅ dl = ∫S ( jc + ∂t ) ⋅ dS
1
2
3
1A
2A
3A
Y.L.Wang
如图所示，夹角为θ的平面S1与S2相交于直线 MN ，磁感应强度为B的空间匀强磁场的磁力线 与S1面平行，且与直线MN垂直。今取半径为R的 半圆导线ab,并通以电流I, 将它整体放置在平面S2 的不同部位，则它可能受到的最大安培力的大小 为 2 IBR ，最小安培力的大小为 2IBR sin θ 。
力
载流导线 F = ∫ Idl × B
ˆ μ 0 Idl × r dB = 4π r 2 ∫ B ⋅ dS = 0
S
力 带电体 F = ∫ dqE 1 dq ˆ dE = r 2 4πε 0 r
∫
S
∑q E ⋅ dS =
ε0
∫ B ⋅ dl
l
= μ0 ∑ Ii
∫ E ⋅ dl = 0
l
场 产 生 高斯 定理 环路 定理 求场 的方 法
例5. 解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为： μ 0 Ir 0≤ r < R o´ b 2 a ⎧ 2πR o B = ⎨ μ0I a R ⎩ p R≤ r < ∞
2π r
由叠加原理：此题相当于电流流向相反的 大小两载流柱体产生磁场的叠加 Iπ b 2 2 2 I′ = μ 0 Ia μ0I′ πR μ 0 I ( a − b ) − ∴ B = 2 2πR 2 2a 2π 2 a 2π R
Y.L.Wang
（D） ° 210 P
例：如图所示，在一圆形电流 I 的平面内，选取一个 同心圆形闭合回路 L 。则由安培环路定律可知（B） （A）LB ⋅ dl =，且环路上任意一点 B = 0 0 ∫
0 （B）LB ⋅ dl =，但环路上任意一点 B ≠ 0 ∫
0 （C）LB ⋅ dl ≠，且环路上任意一点 ∫
+ q′
∫ M ⋅ dl
l
= I′
ε0
∫ P ⋅ dS = ∑ q′
S
∫(
l
B
μ0
− M ) ⋅ dl = I 0
∫ (ε E + P ) ⋅ dS = ∑ q ∫ D ⋅ dS = ∑ q
0
0
∫
H = B
l
H ⋅ dl = I 0
μr − 1 M = B μ0μr
D = ε0E + P
S
P = ε 0 (ε r − 1) E
Y.L.Wang
例： 如图所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流 I 1 = 1 A ，方向垂直纸面向外；电流 I 2 = 2 A，方向垂直 纸面向内。则 P 点的磁感应强度 B 的方向与 x 轴的夹角 为（ A） （A）30°；
120° （C） ；
（B） ° 60 y I1 d 2d I2 ⊗ x
1 （A） ；
（B）2 ； （C）4 ；
（D）1 / 4
Y.L.Wang
如图，在竖直放置的长直导线AB附近，有一水平放置的 有限长直导线CD，C端到长直导线的距离为a，CD长为b， 若AB中通以电流I1，CD中通以电流I2，则导线CD受的安培 力的大小为（ C ）
μ0 I1 I 2b (A) F = 2πx
π2
例：半径为r的导线圆环中载有电流I ，置于磁感应强度为 B的均匀磁场中，若磁场方向与环面垂直，则圆环 所受的合力为 0 ，导线所受的张力为 IBr 。
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例：在同一平面上有三根等距 离放置的长直通电导线，如图 所示，导线1、2、3分别载有1、 2、3A电流，则导线1和导线2所 受之力F1/F2= 7 : 8
L O
I
B≠0
0 （D）LB ⋅ dl ≠，且环路上任意一点 B = 0 ∫
Y.L.Wang
例：边长为 a 的正方形的4个角上，固定有4个电量为 q 的点电荷，如图所示，当正方形以角速度 ω 绕联结 AC 的轴旋转时，在正方形中心 O点产生的磁场为 B1 ， 若以同样的角速度 ω 绕过 O点垂直于正方形平面的轴 旋转时，在 O点产生的磁场为 B2 ，则 B 与 B2 的数值 1 关系应为（ C ） A q q （A）B1 = B2 （B）B1 = 2B2 1 （C） 1 = 1 B2 B （D）B1 = B2 •O