因数与积的变化规律
积的变化规律
“点线面”思维训练模式3——
从“积的变化规律”到“积不变的规律”
一、一个因数变化
【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。
【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。
【2】一个因数不变，另一个因数缩小。
【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。
(一)、积的变化规律：
(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。
字母表示：如果axb=C，则
(ax3）×b=c×3
举例：axb=12如果(ax3)则积就是
12×3=36.
(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
【3】积的变化规律:
【结论】:积与因数同向变化。
【4】同步应用
【5】能力提升
【6】拓展训练
二、积不变的规律
【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。
两个因素反向变化，积不变。
（巧墨静好）
下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律
2、和、差、积、商的变化规律。
因数与积、商与被除数除数的变化规律
例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。
小学三年级数学因数和积的变化规律教案
① 6 扩大 4 倍是多少？ ② 3 扩大 10 倍是多少？
③ 200 缩小 20 倍是多少？ ④ 8 缩小 8 倍是多少？
2．教例 6．
（2）学生口算填表：
（3）想：发现了什幺？分组讨论．
① 第 2、3、4、5 组的第二个因数同第一组比较，分别扩大 2 倍、5 倍、 10 倍、50 倍，积也随着扩大 2 倍、5 倍、10 倍、50 倍．
2．填空：
（1）一个因数不变，另一个因数（ ） ，积也（ ） ．
（2）一个因数不变，另一个因数扩大 5 倍，积（
） ；一个因数缩小 7
Байду номын сангаас
倍，另一个因数不变，积（ ） ；一个因数不变，要想使积扩大 24 倍，另一个 因数（ ） ．
五、布置作业．
（207＋99） 32 130 （560－490） 400 （225 9） （798＋486） 6
② 一个因数不变，另一个因数扩大若干倍，积也扩大相同的倍数．
（4）练习：
12 3＝ 48 5＝24 5＝
120 3＝ 48 50＝ 24 25＝
1200 3＝ 48 500＝24 75＝
小结：启发学生把发现的规律进行概括：一个因数不变，另一个因数扩大 （或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数．
（5）填空练习：
① 在 4 5＝20 中，如果 4 不变，5 扩大 2 倍，那幺积也（ ）倍．
② 在 6 8＝48 中，如果 8 不变，6 缩小 3 倍，那幺积也（ ）倍．
三、课堂总结．
这堂课你学到了什幺？
四、随堂练习．
化？
1．填表：观察每次计算同前一次比较，因数有什幺变化？积有什幺变
28 40 2800 30
因数变化引起积的变化规律
因数变化引起积的变化规律在生活中，数学就像个老朋友，总是悄悄跟在身边，偶尔让你感到困惑，偶尔又给你带来惊喜。
今天咱们聊聊一个有趣的主题，叫做因数变化引起积的变化规律。
听起来可能有点深奥，但别担心，我会让这件事情变得轻松有趣。
想象一下，你正在厨房里做饭，决定给家人做一个大蛋糕。
你把面粉、糖、鸡蛋和牛奶放在一起，想着“我加多少就能做出一个超好吃的蛋糕呢？”这时候，面粉的量就是一个因数，糖的量是另一个因数，最后你混合在一起的就是蛋糕的“积”。
如果你把面粉的量从两杯增加到三杯，结果是啥？没错，蛋糕就会变得更大，味道更好。
这里，面粉的变化引起了蛋糕“积”的变化。
是不是听起来很简单？再说说我们生活中常见的买东西。
如果你去超市，想买水果。
你看到苹果，三块钱一个，买了十个，那就是三十块。
你还想买橙子，四块钱一个，买了五个，那就是二十块。
算上总共，哎呀，七十块。
这时候，苹果和橙子就是你的因数，而最终花的钱就是积。
假设今天打折，苹果变成两块，买十个只要二十块，哇，这样你省下来的钱可是能买好多零食呢！因数的变化，直影响你的购物计划，简直是生活的数学魔法。
再举个例子。
大家都知道，运动对于我们的身体健康非常重要。
有时候你决定去健身房锻炼，今天你做十个俯卧撑，明天你加到十五个。
因数增加了，你的肌肉就会慢慢变得结实，体能也会提升。
运动的积也在不断变化，跟你付出的努力成正比。
这就像一个滚雪球，越滚越大，越加越壮。
咱们可能会在社交场合遇到新的朋友。
想象一下，一个聚会，大家围坐在一起聊天。
一个人讲笑话，大家都哈哈大笑。
笑声传递开来，气氛就活跃起来。
这里，笑话的质量和参与的人数都是因数，而最后的快乐程度就是“积”。
你能感受到的那种欢快的氛围，就是因数变化带来的美好结果。
再来谈谈家庭聚会。
比如，大家一起做火锅，你和朋友们轮流点菜。
每个人贡献的食材数量和种类，就是因数。
最后煮出来的火锅香气四溢，大家围坐在一起，其乐融融，这就是因数的变化带来的积的变化。
小学三年级数学因数和积的变化规律教案
教案标题：小学三年级数学因数和积的变化规律教学目标：1.理解因数和积的概念；2.掌握数学因数和积的变化规律；3.能够灵活应用因数和积的规律解决实际问题。
教学准备：1.教学工具：白板、黑板、彩色粉笔、讲解卡片；2.教学材料：练习题、实际问题、实物模型等。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1.引入主题：今天我们要学习因数和积的变化规律，相信大家都知道乘法吧？（学生应进行回答）2.提问：你们还记得乘法的运算法则吗？（学生应回答乘法的基本法则：乘法交换律、乘法结合律）3.复习：请大家回忆一下，怎样计算两个数的积？步骤二：概念讲解（10分钟）1.出示讲解卡片：因数和积的概念定义；2.老师讲解：因数是指能够整除一个数的数，而积是指两个数相乘的结果；例如：6是12的因数，因为6能够整除12；而12和6的积是72，因为12乘以6等于72步骤三：变化规律的探究（20分钟）1.提问：如果一个数的因数和积有什么样的变化规律呢？2.引导学生合作完成以下操作：(1)拿出数字卡片1和2，观察和计算1和2的因数之和和积；(2)再拿出数字卡片3，观察和计算1、2和3的因数之和和积；(3)请学生依此类推，使用数字卡片继续进行计算；(4)让其中一组学生上来，把卡片上的数字放入一个小箱子中；(5)让另一组学生上来，把小箱子中的数字拿出来，组成因数之和和积的等式，并解释他们的发现。
3.教师引导学生总结规律：(1)因数之和=因数1+因数2=积；(2)当一个数的因数之和和积相等时，这个数有几个因数呢？(3)变化规律是否适用于更大的数呢？(4)提出新的问题，让学生思考并继续实践验证。
步骤四：实际问题应用（15分钟）1.出示一个实际问题：小明要买苹果，每箱装12个，他一共买了多少个苹果？2.让学生们尝试使用因数和积的规律解决这个问题，并根据结果回答问题。
步骤五：拓展练习（10分钟）1.从小到大列举10以内的整数，让学生们找出它们的因数之和和积的特点；2.请学生用白板写出规律，并解释；3.完成练习题并批改。
因数和积的变化规律
因数和积的变化规律导读：本文是关于因数和积的变化规律，希望能帮助到您！课题：因数和积的变化规律教学目标1．知道“扩大”、“缩小”的含义．2．理解乘法里一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍积也扩大（或缩小）相同倍数的规律．3．能运用积的变化规律进行简便计算．教学重点理解“一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数”这一数学规律．教学难点理解因数和积的变化规律并运用规律计算．教学步骤一、铺垫孕伏．1．口算：420×2 9×40 23×30 0×700600×3 80×90 35×20 800×10200×30 70×60 1×190 18×402．下面两题，用竖式怎样计算比较简便？28×40 2800×30二、探究新知．1．教“扩大”或“缩小”几倍的含义．（1）讲授把一个数“扩大”几倍就是把这个数乘几．如5扩大3倍就是5×3＝15，板书：，把一个数缩小几倍就是把这个数除以几．如15缩小3倍就是15÷3＝5，板书：（2）练习：① 6扩大4倍是多少？② 3扩大10倍是多少？③ 200缩小20倍是多少？④ 8缩小8倍是多少？2．教例6．（1）出示表格：因数1616161616因数241020100积32（2）学生口算填表：（3）想：发现了什么？分组讨论．①第2、3、4、5组的第二个因数同第一组比较，分别扩大2倍、5倍、10倍、50倍，积也随着扩大2倍、5倍、10倍、50倍．②一个因数不变，另一个因数扩大若干倍，积也扩大相同的倍数．（4）练习：12×3＝ 48×5＝24×5＝120×3＝ 48×50＝ 24×25＝1200×3＝ 48×500＝24×75＝小结：启发学生把发现的规律进行概括：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数．（5）填空练习：①在4×5＝20中，如果4不变，5扩大2倍，那么积也（）倍．②在6×8＝48中，如果8不变，6缩小3倍，那么积也（）倍．三、课堂总结．这堂课你学到了什么？四、随堂练习．1．填表：观察每次计算同前一次比较，因数有什么变化？积有什么变化？因数204040200200因数5050100100200积2．填空：（1）一个因数不变，另一个因数（），积也（）．（2）一个因数不变，另一个因数扩大5倍，积（）；一个因数缩小7倍，另一个因数不变，积（）；一个因数不变，要想使积扩大24倍，另一个因数（）．五、布置作业．（207＋99）×32 130×（560－490） 400×（225÷9）（798＋486）÷6板书设计因数和积的变化规律因数1616161616因数241020100积32641603201600一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数．。
因数和积的变化规律
《因数和积的变化规律》例3 陈洁●教学目标1．使学生经历因数和积变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律。
2．尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。
3．初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。
●教学重难点教学重点：通过对算式的归纳，自己找出并掌握因数和积的变化规律。
教学难点：通过对算式的归纳，自己概括并掌握因数和积的变化规律。
●教学过程一、激趣引入师：今天我们来猜一个谜语“一位游泳家，说话呱呱呱。
小时有尾没有腿，大时有腿没有尾。
”它是？预设：青蛙。
师：这是我们的青蛙王子。
一起来数一数它有几条腿？师：1只青蛙4条腿，3只青蛙呢？那30只呢？300只呢？（列出3只、30只、300只的算式。
）（请一位同学上台完成）给三个算式编上序号。
①3×4=12②30×4=120③300×4=1200二、孕育新知师：那我们就来讨论这三个式子。
我们来观察这三道算式，你发现了什么？1、发现因数和积的变化中有规律预设：我发现，在这个算式中因数变大了，积也变大了。
师：你能说得更详细一些吗？你是把哪两个式子拿来作比较的？什么变了，什么没变？预设：我看的是第一个和第二个式子，从3变成30，乘了10，其他没有变化，而积乘了10倍。
师：这次就说得比较完整了，谁能照着他刚才说得样子再说一说，你还有哪些发现？预设1：第二个和第三个式子比，其中一个因数从30变成了300，扩大了10倍，其他没有变化，积也是扩大了10倍。
预设2：第一个和第三个式子比，因数从3变成了300，扩大了100倍，其他不变，积也扩大了100倍。
师：同学们们眼睛可真尖，一下子就发现了藏在里面的规律，那你能用自己的话来试着概括一下你的发现吗？预设：两个因数相乘，因数扩大几倍，他们的积也就扩大几倍。
师：说得很简明扼要，但数学讲究的是严谨。
我们一起来完善这个规律。
看黑板上的式子，它是哪个因数在变化？预设：3、30、30.师：那另外一个因数有没有变化呢？预设：没有。
在乘法里因数的变化引起积的变化的规律
在乘法里因数的变化引起积的变化的规律
积的变化规律有：
1、两个数相乘，一个因数扩大(或缩小)N倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大N倍，(N为非0自然数)。
2、一个因数扩大a倍，一个因数扩大b倍，积就扩大a*b倍。
3、两个数相乘，一个因数扩大了N倍，另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。
4、在乘法算式中，一个因数a乘m，另一个因数b除以n，积c 乘m再除以n，(m≠0，n≠0)。
5、在乘法算式中，一个因数a除以m，另一个因数b除以n，积c除以m再除以n，(m≠0，n≠0)。
两个因数所得结果，叫做积。
也可阐述为其中一个因数表示另一个因数的数量，这么多的这个因数之和为这个乘式的积。
一个乘式中的各个数字为这个乘式的因数。
乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。
其运算结果称为积，“x”是乘号。
从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。
整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。
因数和积的变化规律
因数和积的变化规律
因数和积的变化规律是指当一个数的因数发生变化时，它们的和与积会如何变化。
当一个因数增加或减少时，和与积也会相应地发生变化。
假设我们有一个正整数N，并且找到了N的所有因数。
这些因数可以用来表示N可以整除的所有数。
例如，如果N是12，那么它的因数是1, 2, 3, 4, 6和12。
当我们将这些因数相加时，就得到了因数的和。
在我们的例子中，因数和为1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28。
当我们将这些因数相乘时，就得到了因数的积。
在我们的例子中，因数积为1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12 = 1728。
如果我们增加或减少一个因数，那么和与积也会相应地发生变化。
例如，如果我们增加一个因数，那么和与积将会增加。
相反，如果我们减少一个因数，那么和与积将会减少。
总的来说，当一个数的因数发生变化时，它们的和与积会随之变化。
这种变化可以通过增加或减少因数来实现。
5第五讲 积的变化规律
，另一个因数除以b(b≠0)，那么积就是原来
的积除以(axb)。
练习一
1、填空
在乘法算式中，一个因数不变，另 一个因数乘2，积就（ 乘2 ）； 一个因数不变，另一个因数除以3， 积就（ 除以3 ）；一个因数乘4，另 一个因数乘3，积就（ 乘12 ）；一 个因数除以2，另一个因数乘8，积就 （ 乘4 ）。
12÷4=3 81÷3=27 答：得到的新积是27。
3×5=15 630÷15=42
答：得到的新积是42。
1、两个数相乘，如果一个因数不变，另一 个因数乘a，那么积就乘a。
2、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数乘b，那么积就乘(axb)。
3、两个数相乘，如果一个因数乘a，另一个 因数除以b(b≠0)，那么积就是原来的积乘a除 以b
如果一个因数除以4，另一个因 数也除以4，那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数除以4， 即120÷4，另一个因数也除以4， 即80÷4。那么积变为： （120÷4）×(80÷4) 9600÷4÷4
（120×6）×（60÷3） 120×60=7200
=30×20
=2400÷4
=720×20
即7200×6÷3
2、两个数相乘，如果一个因数乘a， 另一个因数乘b，那么积就乘(axb)。
拓 展1 在乘法算式25×8中，如 果一个因数乘2，另一个因数乘3， 那么积有什么变化?
分析与解答：一个因数乘2，即25×2， 另一个因数乘3，即8×3，那么积变为：
（25×2）×（8×3） = 50×24 = 1200
25×8=200 即200×2×3=1200 也就是 2×3=6,200×6=1200 答：积就乘6，由原来的的 200变为1一个 因数乘3、另一个因数乘4。积有什么 变化?
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你能独立完成课本27页例二的填空吗？来，
试一试吧！！
1、第3列与第2列比，一个因数扩大2 倍，另一个因数扩大2倍，积就扩大4 倍。 2、第3列与第4列比，一个因数缩小2倍， 另一个因数缩小2倍，积就缩小4倍。
1、计算
规律3:一个数连续除 以两个数，可以用这 个数除以这两个数的 积，结果不变。
一、你能说出答案吗？
3 × 8= 24 12 × 8= 6 × 8=
规律1：一个因 数不变，另一个 因数扩大（或缩 小）几倍，积也 跟着扩大（或缩 小）相同的倍数。
1、
扩 大 2 倍
1×2= 2
扩 大 3 倍 扩 大 （ ） 倍
2、 4×12=
缩小2倍 缩小2倍
48
缩 小 （ ） 倍
16
8 × 2= 16
规律4：一个因数扩大几倍，另一个因数 缩小相同的倍数，积不变。
本课小结
孩子，这节课你收获了几个规律
呢？与我们分享一下吧。
练习
28页课堂活动第二题：
2、观察，填空 8×4=32 16×8= 24×8=
24×36=864 12× 18= 6× 12=
2×6= 12 4×12= 48
2 × 6 = 12 1×2= 2
发现：一个因数扩大a倍，另一 个因数扩大b倍，积就扩大 （a×b）倍
发现：一个因数缩小a倍，另一个因 数缩小b倍，积就缩小（a×b）倍
孩子，你能用一句话来概括一下这
个规律吗？
规律2：一个因数扩大（或缩小）a倍， 另一个因数扩大（或缩小）b倍，积就 扩大（或缩小）（a×b）倍。
（1）66÷2÷3= 66÷（2×3）= （2） 72÷4÷6= 72÷（4×6）= （3）175÷5÷7= 175÷（5×7）=
1、2500÷25÷42、 100÷5÷2 1、扩大2倍
1 × 16= 16
缩小2倍 不 变
2、4 × 4= 16
扩 大 2 倍 缩 小 2 倍 不变
2 × 8=