2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(四十)曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法 含答案

高考达标检测（四十）曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法 一、选择题

1．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→

，则动点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2

＝4y B ．y 2

＝3x C ．x 2＝2y

D ．y 2

＝4x

解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→，

∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2

－2(y －1)，整理得x 2

＝4y ， ∴动点P 的轨迹方程为x 2

＝4y 、

2．(2016·呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆

的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ， 所以|PF 1|＋|PO |＝1

2(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，

所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．

3．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD ＝BE ，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )

A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)

B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)

C ．y ＝x 2

(0≤x ≤1) D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)

解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋y

λ＝

1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝ 1－λ x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－

x )(0≤x ≤1)．

4．(2016·廊坊二模)有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则圆心P 的轨迹为( )

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

解析：选D 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， ∵△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝

32R ，即|x |＝3

2

R 、 而R ＝|PF |＝ x －a 2

＋y 2

， ∴|x |＝

32

· x －a 2＋y 2

、 整理得(x ＋3a )2

－3y 2

＝12a 2

， 即 x ＋3a 2

12a 2－y 2

4a

2＝1、

∴点P 的轨迹为双曲线．故选D 、

5．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )

A ．8x 2

＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2

＋8y 2

－2x －4y －5＝0 C ．8x 2

＋8y 2

＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2

＋8y 2

－2x ＋4y －5＝0

解析：选 A 设P 点的坐标为(x ，y )，由|PA |＝3|PO |，得 x －1 2

＋ y ＋2 2

＝3x 2

＋y 2

，整理得8x 2

＋8y 2

＋2x －4y －5＝0，故选A 、

6．(2017·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2

－y 2

3＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆

心M 的轨迹方程是( )

A ．y 2

＝8x B ．y 2

＝－8x C ．y 2＝4x

D ．y 2

＝－4x

解析：选B 双曲线x 2

－y 2

3＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，

则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2

＝－8x 、

二、填空题

7．(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→

)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．

解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→

)＝(1＋t,2t )，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2、

答案：y ＝2x －2

8．已知圆的方程为x 2

＋y 2

＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．

解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为

x 24

＋y 2

3

＝1(y ≠0)．

答案：x 24＋y 2

3

＝1(y ≠0)

9．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12

sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．

解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |

2R ，

即|AB |－|AC |＝1

2

|BC |，

故动点A 是以B ，C 为焦点，a

2为实轴长的双曲线右支．

即动点A 的轨迹方程为16x 2

a 2－16y

2

3a 2＝1(x >0且y ≠0)．

答案：16x

2

a 2－16y

2

3a 2＝1(x ＞0且y ≠0)

三、解答题

10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；

(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ ―→＝m OA ―→＋(1－m )ON ―→

(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2、

解：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，