2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(四十)曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法 含答案
2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程课件理
解析：(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0 上的充要条件． (2)错误．方程变为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝ 0或直线x＋y－1＝0. (3)错误．当以两条互相垂直的直线为x轴，y轴时，是x2＝y2，否则不正确． (4)错误．因为方程y＝ x 表示的曲线只是方程x＝y2表示曲线的一部分，故其不 正确．
点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
•一 定义法求轨迹方程
• 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条 件推出关于动点的等量关系式，由等量关系 结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准 方程，用待定系数法求解．
• 【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x －1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内 切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径 r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
PM ＋ PN ＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝ MN .由椭圆的定义可知，曲线C是以
x1＝fx，y， (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 y1＝gx，y；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
x2 y2 5 【例3】 已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 3 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程．
【精品】2018年高考数学(理)总复习达标检测(五十八) 参数方程含答案
高考达标检测（五十八） 参数方程1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)， 则|AP |＝θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1， 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4， ∴|PM 1|·|PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ， 所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝8；直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0.(2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，得t 2－(4＋53)t ＋33＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝33. 点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|PA |·|PB |＝33.5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ， |OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B ()1，3，C ()3，－3，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3. 6．(2017·唐山模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，点A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－435， 且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2. 又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3， 故|AC |－|BD |＝|AC |－()|AD |－|AB | ＝|AC |－|AD |＋|AB | ＝t 1＋t 2＋3＝35. 7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0， 即(x －2)2＋(y －23)2＝16，其表示一个圆． (2)将C 1的参数方程代入C 2的方程可得，t 2－23sin α·t －13＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝23sin α，t 1t 2＝－13. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝()23sin α2－－＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最大值为8，最小值为213.8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22， d 的最大值为52＝522. ∴22≤d ≤522， 即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。
(完整版)求曲线方程的六种常用方法
(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。
这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。
方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。
方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。
它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。
方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。
它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。
通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。
方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。
利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。
方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。
拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。
方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。
它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。
通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。
选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。
结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。
通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。
希望这些方法能够对你有所帮助。
高考理科数学专题九解析几何第二十九讲曲线与方程.pdf
3
，抛物线
E：x2
2y
ab
2
的焦点 F 是 C 的一个顶点 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB
的中点为 D ，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M ．
（ i）求证：点 M 在定直线上；
QA （ 2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得
QB
PA
恒成立？若存在，求
PB
出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
x2 y2 9．（ 2015 北京）已知椭圆 C ： 2 2 1 a b 0 的离心率为
2 ，点 P 0 ，1 和点
ab
2
A m，n m≠ 0 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点， 斜率为 k(k 0) 的直线交 E
t3
于 A, M 两点，点 N 在 E 上， MA NA ．
（Ⅰ）当 t 4,| AM | | AN | 时，求 AMN 的面积；
（Ⅱ）当 2 AM AN 时，求 k 的取值范围．
6．（ 2015 湖北）一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处 铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN ON 1， MN 3 ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动．． N 绕 O 转动一周 （ D 不动时， N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为 原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设动直线 l 与两定直线 l1 : x 2y 0 和 l 2 : x 2 y 0 分别交于 P, Q 两点．若直线 l 总与曲线 C 有且 只有一个公共点，试探究：△ OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在， 说明理由．
2018年高考数学理一轮复习文档 第八章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程 含答案 精品
第8讲 曲线与方程1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．1．辨明两个易误点(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )； (3)列式——列出动点P 所满足的关系式；(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．1．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋y －5＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，－3)D ．(3，6)A2．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分D ．直线的一部分B x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分． 3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.4.教材习题改编 已知方程ax 2＋by 2＝2的曲线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53和B (1，1)，则曲线方程为________．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧259b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3225，b ＝1825.所以曲线方程为3225x 2＋1825y 2＝2，即1625x 2＋925y 2＝1.1625x 2＋925y 2＝1 5．平面上有三个不同点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0， 即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0，所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．y 2＝8x (x ≠0)直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容． 直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度： (1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)； (2)无明确等量关系求轨迹方程．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或 判断轨迹)1．已知点F (0，1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x ，2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)， 整理得x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .角度二 无明确等量关系求轨迹方程2．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，PM ， 则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又因为|PA |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2， 即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.定义法求轨迹方程已知A (－5，0)，B (5，0)，动点P 满足|PB →|，12|PA →|，8成等差数列，则点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知得|PA →|－|PB →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支， 且a ＝4，b ＝3，c ＝5，所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≥4)．【答案】x 216－y 29＝1(x ≥4)若将本例中的条件“|PB →|，12|PA →|，8”改为“|PA →|，12|PB →|，8”，求点P 的轨迹方程．由已知得|PB →|－|PA →|＝8，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的左支，且a ＝4，b ＝3，c ＝5， 所以点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≤－4)．定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．(2017·江西红色七校二模)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x－2)2＋y 2＝64相内切．求动圆C 的圆心的轨迹方程．圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2，0)，半径R ＝8.因为|AM |＝4<R ，所以点A (－2，0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.所以圆心C 的轨迹是中心在原点，焦点为A ，M ，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝12.所以动圆C 的圆心的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.利用相关点法(代入法)求轨迹方程(2017·石家庄一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【解析】 因为点P 满足OQ →＝12(OF 1→＋OP →)，所以Q 是线段PF 1的中点．设P (x 1，y 1)， 由于F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，则F 1(－6，0)，故Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－62，y 12， 由点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，则点P 的轨迹方程为（x 1－6）264＋y 2140＝1，故点P 的轨迹为椭圆． 【答案】 D(2017·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1、A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q交点的轨迹方程为________．由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有 直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，①直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x，y 1＝2y x，③所以x ≠0，且|x |<2，因为点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，所以x 212－y 21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对C (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16yB 因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．3．(2017·珠海模拟)已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . 因为点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上， 所以y 1＝2x 1－4，所以－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .4．已知动圆Q 过定点A (2，0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB 设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2，0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B ．5．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0，2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9D 由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A 、B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 3.所以点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，所以AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9，故选D ．6．(2017·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B ．4x 221＋4y225＝1C.4x 225－4y221＝1 D ．4x 225＋4y221＝1D 因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是________．由OP →·OA →|OA →|＝－5，知x ＋2y ＝－5，即x ＋2y ＋5＝0.x ＋2y ＋5＝08．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.y ＝2x －29．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形， 所以|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得，x 2＋y 2＝4.因为M ，N ，P 不共线，所以x ≠±2， 所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． x 2＋y 2＝4(x ≠±2)10．已知点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q (x ，y )的轨迹方程是________．依题意有|QP |＝|QF |，则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.x 2－y 23＝111．设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， 因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)， PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， 所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .12．(2017·唐山模拟)已知P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1，0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．(1)圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于2 2. 由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22>2＝|AB |， 故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆， 即a ＝2，c ＝1，b ＝1， 所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24（x ＋1），整理得5x 2＋2x －7＝0，解得x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上， 所以点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.13．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线D 过点P 在平面ABCD 内作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1， 即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹为抛物线．14．已知点A ，B 分别是射线l 1：y ＝x (x ≥0)，l 2：y ＝－x (x ≥0)上的动点，O 为坐标原点，且△OAB 的面积为定值2，则线段AB 中点M 的轨迹方程为________．由题意可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，M (x ，y )，其中x 1>0，x 2>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，①y ＝x 1－x 22.②因为△OAB 的面积为定值2，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12(2x 1)(2x 2)＝x 1x 2＝2.①2－②2得x 2－y 2＝x 1x 2，而x 1x 2＝2， 所以x 2－y 2＝2.由于x 1>0，x 2>0，所以x >0，即所求点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝2(x >0)． x 2－y 2＝2(x >0)15．已知实数m ＞1，定点A (－m ，0)，B (m ，0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线的斜率之积为－1m2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t ＞0)与曲线C 有且只有一个交点． (1)设点S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m2＝－1m2，即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． 因为m ＞1，所以轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)若m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0. 令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. 因为t ＞0，所以t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．16．(2017·郑州质检)已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．(1)设点P (x ，y )，由题意可得，（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22，当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．。
2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第八章解析几何46Word版含答案
课时达标 第46讲[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( C ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4. 由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．4．(2017·浙江嘉兴模拟)如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－CB ＞0，所以，直线不通过第三象限．5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( B )A ．aa ＋1B ．－aa ＋1C ．a ＋1aD ．－a ＋1a解析：结合图形，若直线l 先沿y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与l 重合，这说明直线l 和l ′的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l ′的倾斜角为θ，则tan θ＝－a a ＋1.6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋ y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－43，52 C ．⎣⎡⎦⎤－52，43 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点 M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝－43，由图可知：－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 二、填空题7．(2017·哈尔滨模拟)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1， ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是3. 解析：∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时xy 才最大， ∴1＝x 3＋y 4≥2|xy |12， ∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为16. 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab . 又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16， 当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上． 由题意知⎩⎨⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解析：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解析：(1)证明：直线l 的方程是 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2018年高考数学总复习高考达标检测(四十)曲线与方程求解3方法-直接法、定义法、代入法理
解析：选 A 设D （0 ,入），E （1,1 —入），O w 入w i ,所以线段 AD 的方程为1(0 w x w 1),线段 OE 的方程为 y = (1 —入)x (0 w x w 1),联立方程组咼考达标检测（四十）曲线与方程求解 3方法直接法、定义法、代入法、选择题 1. （2017 •深圳调研）已知点F （0,1），直线l : y =— 1, F 为平面上的动点，过点 F 作 直线i 的垂线，垂足为 Q 且-F • ~QiF ="FP • —Q ,则动点F 的轨迹方程为（ ） 八 2 ,A. x = 4y C. x 2= 2y B . y 2= 3x D. y 2= 4x 解析：选A 设点F （x , y ），则Qx , — 1）. -- > ---- > --- > ---- > ••• QF • QF = FF • FQ ,• - (0 , y + 1) • ( — X, 2) = (x , y — 1) •(x , — 2), 即 2(y + 1) = x 2— 2(y — 1)，整理得 x 2= 4y , •••动点P 的轨迹方程为x 2= 4y . 2 2 x y 2. （2016 •呼和浩特调研）已知椭圆 尹話=1（a >b >0） , M 为椭圆上一动点, Fi 为椭圆的左焦点，则线段 MF 的中点F 的轨迹是（ ） A.圆 B .椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：选B 设椭圆的右焦点是 F 2, 由椭圆定义可得|MF | + |MF = 2a >2c ,yVV 1 所以 | FF | + | PQ 円刿 MF | + | MF |） = a >c , 企J 所以点P 的轨迹是以F 1和0为焦点的椭圆. Jz 3.已知正方形的四个顶点分别为 O 0,0） , A （1,0）,耳1,1） , C （0,1），点D, 线段OC AB 上运动，且 OD= BE 设AD 与 OE 交于点 G 则点G 的轨迹方程是（ E 分别在 A. y = x (1 — x )(0 w x w 1) B. C .D .x = y (1 — y )(0 w y w 1) 2y = x (0 w x w 1) 2y = 1 — x (0 w x w 1) x+¥（入为参数），消去参数 入得点G 的轨迹方程为y = x （1 —x )(0 < x < 1).4. （2016 •廊坊二模）有一动圆P 恒过定点F （a, 0）（a >0）且与y 轴相交于点 A, B,若厶ABP 为正三角形，则圆心 P 的轨迹为（ ）解析：选 A 设P 点的坐标为（x ，y ），由|PA = 3| PO ，得，x —1 2+ y +? 23 x 2+ y 2,整理得 8x 2+ 8y 2 + 2x — 4y — 5 = 0，故选 A.2x 2—鲁=1的左焦点且与直线x = 2相切，则圆3心M 的轨迹方程是（）A. y 2= 8xx +¥ = 1, o w X < 1， y =[—入 x , 0< x <1A.直线B .圆C.椭圆D.双曲线解析：选D 设Rx , y ），动圆P 的半径为R,•••△ ABP 为正三角形， ••• P 至U y 轴的距离d =而 R = |PF = ~x — a~2+222整理得（x + 3a ） — 3y = 12a ，c22 即丄亠-角=1.12a 4a / w•••点P 的轨迹为双曲线.故选 D.5. （2016 •沈阳质检）已知点 Q0,0） ，A （1，— 2），动点P 满足| PA = 31 PQ ，则P 点的轨迹方程是()22 lA*8x + 8y + 2x — 4y — 5= 0 2 28x + 8y — 2x — 4y — 5= 02 28x + 8y + 2x + 4y — 5= 0 8x 2 + 8y 2— 2x + 4y — 5= 0A. B. C.D.6. （2017 •梅州质检）动圆M 经过双曲线B . y 2= — 8xD. y = — 4x即 | x | =C. y2= 4x2解析：选B 双曲线X 2—售=1的左焦点F ( — 2,0)，动圆M 经过F 且与直线x = 2相切，3则圆心M 到点F 的距离和到直线 x =2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方2程为y =— 8x .二、填空题7. (2017 •聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0),巳2,2)，若点C-- > --- > ------ > ---- >满足 OC = OA +1( OB — OA )，其中t € R ,则点C 的轨迹方程是 _________________解析：设 C (x ,y )，则"OC = (x,y ), "O/A +1( "OB —"OA ) = (1 + t, 2t )，所以 f ^1, y= 2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y = 2x — 2.答案：y = 2x — 2&已知圆的方程为x 2 + y 2 = 4,若抛物线过点 A — 1,0) , B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是 _________________F ,过 A, B, O 作准线的垂线 AA , BB , OO,则 | AA | + | BB | =| AA | + | BB | = | FA + | FB ，二 | FA + | FE | = 4,故 F 点的轨迹 是以代B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为2+ y 3 = 1" 0).2 2“宀 x y答案：4+ 3=1(y 丰0)9•在△ ABC 中, A 为动点，B , C 为定点，B ；— |, 0 i, C |, 0 (a >0)，且满足条件sin1C- sin B = 2sin A ,则动点A 的轨迹方程是 ________________ .解析：由正弦定理得LAR-— 瞬=》LBR-,1即 |AB — I AC = 2 BC ,故动点A 是以B, C 为焦点，2为实轴长的双曲线右支.三、解答题10. 已知圆C 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 丨1： x — y — 2迈=0相切.解析：设抛物线焦点为2|OO = 4,由抛物线定义得即动点A 的轨迹方程为16x 2 a 16y 23a 2 =1( x >0 且 y 丰 0). 答案:16x 2 a16y 2=1(x > 0且沪 0)(1)求圆的标准方程;⑵设点A为圆上一动点，ANILx轴于点N若动点Q满足"O)Q= mOA + (1 —m) "ON (其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.解：(1)设圆的半径为r，圆心到直线11的距离为d, 则d =1當=2= r,•••圆C的方程为x2+ y2= 4.(2)设动点Qx, y) , A(x o, y o),••• ANLx轴于点N,• Nx o,o),由题意，得(x, y) = m(x o, y o) + (1 —m(x o,O),x o = x,x= x o,•十即f 1l y = my, y o= ?,F 1 \ 2 2将A卜my 代入x2+ y2=4，得7+4^= j2 2 即动点Q的轨迹方程为x + £= 1.4 4m2 211. (2017 •唐山统考)已知动点P到直线1 : x =—1的距离等于它到圆C: x + y —4x + 1 = 0的切线长(P到切点的距离).记动点P的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E的方程；y/X/Tk At(2) 点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A B两点，设AB的中点| QD 一为D求|AJ的取值范围... 2 2解：(1)由已知得圆的方程为(x—2) + y = 3,7 /严丿则圆心为C(2,0)，半径r = .'3.设P(x, y)，依题意可得| x + 1| = . x—2+ y2—3,整理得y2= 6x.故曲线E的方程为y2= 6x.⑵设直线AB的方程为my= x—2, 则直线CQ的方程为y=—m(x—2)，可得Q —1,3 m .2 2将my= x —2代入y= 6x并整理可得y—6my- 12= 0,设A(X1, y1) , B(X2, y2),则y1+ y2=6m y1y2=—12,即 D (3m + 2,3 m , I QD =3m + 3.| QD一故的取值范围是1 AB(2)求直线AA 与直线AB 交点M 的轨迹方程.解：⑴ 设 A (x o , y o )，则 S 矩形ABC H 4|x °y o | ,2 2X o 22X o由 9+y o =1 得 y o =1 — 6,9 1当 x o = 2, y o =2时，S max = 6.从而 12= x 0+ y 0= 5, t = ;.：5,•••当t = ,5时，矩形ABC 啲面积取到最大值 6.2X 2(2)由椭圆 C 2: 9十 y = 1,知 A( — 3,0) , A(3,0),由曲线的对称性及 A (x o , y o ), 得 B (x o ,— y o ), 设点M 的坐标为(x , y ),y o直线AA 的方程为y = 七(x + 3).① X o 十3——y o直线AB 的方程为y =— (x — 3).②X o — 32由①②得y 2= x —y - 9).③ 又点A (x o , y o )在椭圆C 上,AB 的中点D 的坐标为y 1 + y 2，2， + m ■ . y i — y 223m + 3I AB =11 QD 2所以=27QAB 丿2=2.3；1+m,=41-3m 2 + 4的取值范围是审4)'12. (2016 •泰安质检 )如图所示，动圆亠 2 2.2, .C ： x + y = t 1v t v 3,相交于A , B, C, D 四点,点A ，A 分别为C 2的左，右顶点. (1)当t 为何值时，矩形 ABCD 勺面积取得最大值？并求出其最大面积.从而 x 0y 2= x 0 1 — 9 :1 —-X o — 922272X o故 y o = 1 — 9.④X 2 将④代入③得-—y =1(x v — 3, y v 0).2x 2因此点M 的轨迹方程为——y = 1(x v — 3, y v 0)・。
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高考达标检测（四十）曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法 一、选择题1．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵QP ―→·QF ―→＝FP ―→·FQ ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＝4y 、2．(2016·呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2， 由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ， 所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．3．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD ＝BE ，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1) D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝ 1－λ x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．4．(2016·廊坊二模)有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则圆心P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选D 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， ∵△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R 、 而R ＝|PF |＝ x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32· x －a 2＋y 2、 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2， 即 x ＋3a 212a 2－y 24a2＝1、∴点P 的轨迹为双曲线．故选D 、5．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选 A 设P 点的坐标为(x ，y )，由|PA |＝3|PO |，得 x －1 2＋ y ＋2 2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A 、6．(2017·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x 、二、填空题7．(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2、答案：y ＝2x －28．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)9．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x >0且y ≠0)．答案：16x2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ ―→＝m OA ―→＋(1－m )ON ―→(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2、解：(1)设圆的半径为r ，圆心到直线l 1的距离为d ，则d ＝|－22|12＋12＝2＝r ， ∴圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4、 (2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)， ∵AN ⊥x 轴于点N ， ∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y 代入x 2＋y 2＝4，得x 24＋y 24m 2＝1、即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m2＝1、11．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E 、(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．解：(1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3， 则圆心为C (2,0)，半径r ＝3、设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝ x －2 2＋y 2－3， 整理得y 2＝6x 、故曲线E 的方程为y 2＝6x 、 (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3、|AB |＝1＋m 2· y 1－y 2 2＝23 1＋m 23m 2＋4 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34 3m 2＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12、 12．(2016·泰安质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．(2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解：(1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94、当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6、从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，∴当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6、 (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上， 故y 20＝1－x 209、④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．x2 9－y2＝1(x＜－3，y＜0)．因此点M的轨迹方程为。