保险精算课件(年金与寿险)
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社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险
将来法和过去法
30
责任准备金以将来法计算，是未来给付精算现 值与未来净保费精算现值之差。对不同保单， 根据契约规定的保险责任、保险金额和保费缴 付方式，可以分别计算出计算时点的未来给付 精算现值和未来净保费精算现值。t年末的责任 准备金以tV表示。
过去法责任准备金是过去净保费的累积与过去 保险金累积之差。
社会保险精算原理第二章 人寿和年金保险 作者
终身寿险
6
在上式中，两边同乘以生命表x岁的存活人数lx
lxAx k1dxk k0
等式表明，lx个x岁的人投保终身寿险的趸缴净 保费总额正好满足按生命表死亡规律在死亡年 末ຫໍສະໝຸດ 单位的赔付。定期寿险7
对(x)的1单位赔付n年定期寿险，其现值随机变 量为：
以nEx表示1单位元n年纯粹生存保险现值：
nEx n n px
2.2.1纯粹的生存保险
21
与在复利下的现值系数νt和累积系数(1+i)t的作 用类似，nEx是在利率和生者利下n年的折现系 数， 1/ nEx为在利率和生者利下n年的累积系数。
1/nEx1/nnpx(1i)nlxl xn
它是利率累积因子（1+i）n与生存累积因子之 积。
2.2.2年付一次生存年金的精算现值
22
生存年金是以生存为条件发生的年金。如果被 保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收 付，否则，停止收付。年金保险中，在保险期 内年金的发放以被保险人存活为条件。长期寿 险的缴费通常也采取生存年金的方式，在被保 险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停 止缴费。生存年金有终身年金、定期年金、延 期年金几种基本类型，由首次支付的起点不同 分为期首付年金和期末付年金。
νK+1 k=0,1,2,……n-1
2、社会保障精算(第二章)人寿与年金保险精算(5)
β
F
=
A (1 ) a x + 1: n − 1
A (1 ) 表示同险种在 x + 1 岁 n – 1 期的趸缴净保费。 期的趸缴净保费。
然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 然后，用下式计算责任准备金（将来法）： 责任准备金
F t x
V
=
Ax + t
–
β ⋅ a x + t:n −t
F
【习题】 p.62 第7、8题。 习题】 、 题
V
=
Ax
P ⋅ a x :n
t
= 0
Pax:n
过去净保费
V
Ax +t 将来赔付
0
x
x+n
x+t
时点，净保费已缴清，将来净保费为零 为零， 由于 在x+t 时点，净保费已缴清，将来净保费为零，所以
t
V
=
Ax +t
2 过去法 过去净保费的累积值 过去赔付的累积值 责任准备金 = 过去净保费的累积值 – 过去赔付的累积值 以终身寿险、 年缴费 年缴1次）、死亡年末赔付为例 年缴费（ 死亡年末赔付为例， 以终身寿险、n年缴费（年缴 次）、死亡年末赔付为例，计 算 t 年末的责任准备金 t V ： （1） t < n ）
• 如何修正？ 如何修正？
通常采用“ 通常采用“完全初年定期修正法 (FPT)，方法是： ，方法是： 年修正的净保费为自然保费 第1年修正的净保费为自然保费 α F = A1:1 = vq x 年修正的净保费为 x 以后各年修正的净保费为
β
F
=
பைடு நூலகம்
A (1 ) a x + 1: n − 1
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
《保险精算学年金》课件
年金保险的特点和分类
1 特点
提供稳定的经济收入，分散老年风险，满足退休者的生活需求。
2 分类
分为定期年金、终身年金、延期年金等类型，根据领取方式和期限的不同。
保险精算学在年金保险中的应 用
保险精算学通过概率分析、风险评估和投资策略等方法，帮助保险公司确定 合适的保险费率、风险分担和理赔政策，确保年金保险的长期可持续性。
结论和要点
1 结论
保险精算学在年金保险中发挥重要作用，确保保险公司的长期可持续性和退休者的生活 稳定。
2 要点
年金保险的定义、特点和分类，保险精算学在年金保险中的应用及计算公式，以及风险 和稳定性分析。
年金计算公式介绍Βιβλιοθήκη 定期年金计算方法：[年金金额] × [年金支付期数]
终身年金
计算方法：[年金金额] × [预计领取年数] × [生存概率]
延期年金
计算方法：[年金金额] × [预计领取年数] × [延期期限折现率]
年金保险的风险和稳定性分析
风险
年金保险面临投资风险和长寿风险，需做好风险管 理和资产配置。
《保险精算学年金》PPT 课件
本PPT课件将介绍保险精算学在年金保险领域的应用，探讨年金保险的特点、 分类、计算公式等内容，并分析年金保险的风险和稳定性。
保险精算学年金的定义
年金是一种金融产品，为退休者提供规定期限内的经济支持。保险精算学是 一门应用数学，使用统计学和金融原理来评估和管理保险风险。
稳定性
保险精算学的应用增强了年金保险的稳定性，确保 保险公司能够按时支付给退休者。
年金保险的发展趋势
创新产品
开发更灵活和个性化的年金保 险产品，满足日益多样化的退 休需求。
技术应用
《保险精算学》课件
总结词
准备金的管理策略包括静态管理、动态管理以及风险管理等 。
详细描述
静态管理是指基于历史数据和当前市场环境确定准备金的数 额；动态管理则是根据市场变化和公司经营状况调整准备金 的数额；风险管理则强调通过建立风险管理体系来降低准备 金的风险。
05
保险风险管理与控制
风险识别与分类
风险识别
识别潜在的风险因素，分析风险发生 的可能性和影响程度。
识，为保险行业的决策提供了更加全面和精确的依据。
02
保险精算的基本原理
概率论基础
随机变量
表示随机事件的数 值结果。
期望值
随机变量的平均值 。
概率
描述随机事件发生 的可能性。
概率分布
描述随机变量取值 的概率规律。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的指标。
统计推断
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法。
保险人用于赔付损失的资金。
附加保费确定
附加保费包括经营费用、预期利 润等，是保险人在纯保费基础上
额外收取的费用。
保险费率分类
保险费率可分为单一费率和分类 费率，单一费率适用于相同风险 的多个被保险人，分类费率则根 据被保险人的不同风险等级收取
不同费率。
附加费用的确定
01
02
03
初始费用
初始费用是保险合同签订 时收取的一次性费用，用 于覆盖保险公司的初期成 本。
再保险业务精算案例
比例再保险精算案例
以某保险公司的比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失 情况，确定再保险的比例和保费。
VS
非比例再保险精算案例
以某保险公司的非比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失情 况，确定再保险的限额和保费。
社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2 定期寿险
实用公式
3 两全保险
A1 x:n
Mx
M xn Dx
两全保险 = n 年定期寿险 + n 年纯生存保险
纯生存保险： n年期满后，如果被保险人仍存活， 赔付保险金。赔付现值的随机变量 Z 为：
vn
(k n, n 1,, )
Z
0
(k 0,1,2,, n 1)
11
纯生存保险的精算现值为
A 1 x:n
k0 v xlx
Ax
Mx Dx
8
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
0
x
x k x k 1 xn
时间
理论公式
n1
A1 x:n
E(Z )
v k 1 k| q x
k 0
vK1 (k 0,1,2,, n 1)
Z 0
(k n, n 1,, )
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
理论公式
Ax E(Z )
v t
0
t
px
xt dt
15
对于1单位元的终身寿险，赔付现值随机变量为
Z vT (t 0)
实用公式
Ax
i
Ax
i ln(1
i)
Ax
其中， 称为利息力，是衡量确切时点上年利率水平的指标。
1、早期皮肌炎患者，还往往 伴有全身不适症状，如-全身肌肉 酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉 两腿费力；举手梳理头发时，举 高手臂很吃力；抬头转头缓慢而 费力。
2 定期寿险
实用公式
3 两全保险
A1 x:n
Mx
M xn Dx
两全保险 = n 年定期寿险 + n 年纯生存保险
纯生存保险： n年期满后，如果被保险人仍存活， 赔付保险金。赔付现值的随机变量 Z 为：
vn
(k n, n 1,, )
Z
0
(k 0,1,2,, n 1)
11
纯生存保险的精算现值为
A 1 x:n
k0 v xlx
Ax
Mx Dx
8
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
0
x
x k x k 1 xn
时间
理论公式
n1
A1 x:n
E(Z )
v k 1 k| q x
k 0
vK1 (k 0,1,2,, n 1)
Z 0
(k n, n 1,, )
9
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
理论公式
Ax E(Z )
v t
0
t
px
xt dt
15
对于1单位元的终身寿险，赔付现值随机变量为
Z vT (t 0)
实用公式
Ax
i
Ax
i ln(1
i)
Ax
其中， 称为利息力，是衡量确切时点上年利率水平的指标。
2、社会保障精算(第二章)人寿与年金保险精算(4)
趸缴净保费
A
A
总保费
Ga
G G G G G
L
G
附加保费（用于保单销售、广告、税金等）分三类： 附加保费（用于保单销售、广告、税金等）分三类：
保险金额的 第1类 ： 以保险金额的 类
g 比例缴附加保费，现值为 gA 比例缴附加保费，
总保费的 比例缴附加保费， 第2类 ： 以总保费的 k 比例缴附加保费，现值为 类
M 30 N 30 +1 10050 + 10 + 2 D30 D30 = N 30 N 30 +1 − 0 .6 − 0 .1 D30 D30
= 58 .99 （元）
= 0 .6G + 0 .1G ⋅ a 30 + 10 + 2 ⋅ a30
G ⋅ a 3 0 = 10000 A30 + 0 .6G + 0 .1G ⋅ a 30 + 10 + 2 ⋅ a30 + 50 ⋅ A30
10050 A30 + 10 + 2 a 30 G= a 30 − 0 .6 − 0 .1a 30
2.3 保险费
2.3.1 均衡净保费 1 保险费
保 险 费
保险
保
附加保费 净保费
保险
费
2 净保费
1 险 2 保费 保费 均衡保费 保险 险 保
Ax 1
保费 保费
保险 均衡 均
3 均衡净保费的计算
某人购买终身寿险， 某人购买终身寿险，已知趸缴净保费为 A x ，采用年付 1 次均 的方式， 衡净保费 P 的方式，总共缴纳 n 年，求 P 。
人寿与年金保险精算（ 第二章 人寿与年金保险精算（4）
终身寿险、定期寿险、两全寿险、 §2.1 人寿保险 ： 终身寿险、定期寿险、两全寿险、 变额寿险的精算现值的计算 生存年金：生存年金的精算现值的计算 §2.2 生存年金：生存年金的精算现值的计算 保险费： 均衡保险费、 §2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 责任准备金：均衡净保费责任准备金、 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正的责 任准备金
A
A
总保费
Ga
G G G G G
L
G
附加保费（用于保单销售、广告、税金等）分三类： 附加保费（用于保单销售、广告、税金等）分三类：
保险金额的 第1类 ： 以保险金额的 类
g 比例缴附加保费，现值为 gA 比例缴附加保费，
总保费的 比例缴附加保费， 第2类 ： 以总保费的 k 比例缴附加保费，现值为 类
M 30 N 30 +1 10050 + 10 + 2 D30 D30 = N 30 N 30 +1 − 0 .6 − 0 .1 D30 D30
= 58 .99 （元）
= 0 .6G + 0 .1G ⋅ a 30 + 10 + 2 ⋅ a30
G ⋅ a 3 0 = 10000 A30 + 0 .6G + 0 .1G ⋅ a 30 + 10 + 2 ⋅ a30 + 50 ⋅ A30
10050 A30 + 10 + 2 a 30 G= a 30 − 0 .6 − 0 .1a 30
2.3 保险费
2.3.1 均衡净保费 1 保险费
保 险 费
保险
保
附加保费 净保费
保险
费
2 净保费
1 险 2 保费 保费 均衡保费 保险 险 保
Ax 1
保费 保费
保险 均衡 均
3 均衡净保费的计算
某人购买终身寿险， 某人购买终身寿险，已知趸缴净保费为 A x ，采用年付 1 次均 的方式， 衡净保费 P 的方式，总共缴纳 n 年，求 P 。
人寿与年金保险精算（ 第二章 人寿与年金保险精算（4）
终身寿险、定期寿险、两全寿险、 §2.1 人寿保险 ： 终身寿险、定期寿险、两全寿险、 变额寿险的精算现值的计算 生存年金：生存年金的精算现值的计算 §2.2 生存年金：生存年金的精算现值的计算 保险费： 均衡保险费、 §2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 责任准备金：均衡净保费责任准备金、 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正的责 任准备金
人寿保险的基本概念及其精算学PPT(31张)
受益人是指人身保险合同中由被保险人或 者投保人指定的享有保险金请求权的人，投保 人、被保险人可以为受益人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
寿险合同的基本内容包括保险人名称和 住所，投保人、被保险人名称和住所，人身 保险受益人名称和住所， 保险责任和责任免 除，保险期间和保险责任开始时间，保险以 及支付办法，保险金赔偿或者给付办法，违 约责任和争议处理，订立合同的具体时间等。
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
•
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。
•
16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。
本课程只讨论人寿保险。 人寿保险是以人的生存和死亡为保险 事故的保险。若被保险人在保险期内死亡 或生存到一定年龄，保险人依照契约规定 给付保险金。
纯粹的生存保险 生存保险
生存年金 人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期）
生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险）
人身意外伤害保险
第0章 总 论
本章主要内容： ● 人寿保险的基本概念 ●精算学及其应用领域 ● 寿险精算学的基本思想 ● 精算师和精算工作
一、 人寿保险的基本概念
1、 基本概念 • 保险是指投保人根据合同约定，向保险人支
付保费，保险人对于合同约定的可能发生的 事故因其发生所造成的财产损失承担保险赔 偿责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病 或者达到合同约定的年龄、期限时承担给付 保险金责任的商业行为。
投保人是指与保险人订立保险合同，并 按照保险合同负有支付保险费义务的人。
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趸缴纯保费 5000 14851 元 D 40 5000 93943
练习：假定上面的投保人现年60岁，年金不延期， 问趸缴纯保费是多少？并与上面的情况比较， 分析为什么差距这样大？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一份延期25年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时在80和 100岁分别获得2万和10万祝寿金，不考虑附加 费用，问趸缴纯保费是多少？
第五章 生存年金的趸缴纯保费
第一节 生存年金概述
生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定 的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
（ 1）
ax = 1+ vpx ax+ 1
（2） n| x
a = v n px ax+ 1
n
（ 3）
n| x
a = n| ax n - n E x
再考虑到资金折现，成立以下等式
第二节 生存年金的推导与计算
2 l x a x = l x + v l x+1 + v l x+2 +
l x + v l x+1 + v 2l x+2 + L v xl x + v x+1 l x+1 + v x+2l x+2 + ax = = x lx v lx
Sx - Sx+ n - nN x+ n x:n = (Ia) Dx Sx+ 1 - Sx+ n+ 1 - nN x+ n+ 1 (Ia)x:n = Dx
第二节 生存年金的推导与计算
例1：某60岁的一老人利用拆迁补偿款10万元为自 己购买一份终身年金，不考虑附加费用，他每 年可领取多少年金？ 答：
答：课堂讲授
第二节 生存年金换算与计算
1、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（ 1） （ 2）
a = E × a n| x n x x+ n
a = a a n| x n x: n
（ 3）
ax:n = ax:n n Ex 1
第二节 生存年金换算与计算
2、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
第一节 生存年金概述
1、确定年金与生存（生命）年金的区别。 2、纯粹生存保险与生存年金的区别。 3、 生存年金的分类：
(1) 定期年金与终身年金 （2）即期年金与延期年金 （3）纯粹年金与保证给付年金， 其中后者包含保证给付一定期限和保证给付一 定金额两种形式。
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
上述 N x 即为精算转换函数
x n
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值 ，再将所有的现值相加或积分。 总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给 付额的现值，再求现值的数学期望 两种方法是等价的
符号介绍： 精算折现因子 精算累积因子
1 n E = A = v n px n x x:n 1 n Ex
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：
x N x D x a 终身年金：
X岁的人投保即期支付的终身年金，保险金1元 求趸缴纯保费或该保险的精算现值！ 期初趸缴纯保费设为 x ，期初一次性交费人 a 数 l x ，以后每年领取年金人数分别为
lx+1、lx+2、lx+3、
N 60 305710 100000 x x D60 26606 每年年金领取额x 8703 元
第二节 生存年金的推导与计算
例2：某40岁的人购买一份延期20年的定期年金， 期限到80岁为止，每年年金为5000元，不考虑 附加费用，问趸缴纯保费是多少？ 答： N 60 N 80 305710- 26681
令
v lx = Dx
x
，
N x = D x + D x+1 + D x+ 2 +
则 ax = Nx Dx
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：期末付年金 Nk 变成N k+1 请推导以下公式： x N x D x a 终身年金： 定期年金：
x: n (Nx N xn ) Dx a
解答：见板书
第二节 生存年金的推导与计算
习题：某35岁的人购买一的终身年金，从60岁开始 每年年金为3000元，从61岁开始每年递增100 元直至死亡，不考虑附加费用，问趸缴纯保费 是多少？ （年金年初支付）
第二节 生存年金的推导与计算
例5：某40岁的人购买一份延期20年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时从61岁开 始每年增加300元，不考虑附加费用，问趸缴 纯保费是多少？
n|
延期终身年金
延期定期年金：
x N x n D x a
m|n
x (Nxm N xmn ) Dx a
第二节 递增年金的计算
每年递增一单位：
Sx = Nx + Nx+1 + Nx+2 +
x
终身递增年金： ) (I a 定期递增年金：
S x Dx (Ia)x S x1 Dx
解答：见板书
第二节 生存年金的推导与计算
习题：某45岁的人购买一份延期定期年金，约定每5 年返还1000元直至60岁，从60岁开始每年年金 为5000元直至90岁，同时在90岁还获得50万 祝寿金，不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多 少？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一的终身年金，从35-60岁每 年年金为5000元，从61岁开始每年递增300元， 不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多少（年金 年末支付）？
X岁的人投保n年期纯粹生存保险，保险金1元，求
趸缴纯保费活该保险的精算现值！ 生命表中x岁的生存人数和x+n岁时生存人数可确 定，再考虑n年折现
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
n
E x l x 1 l x n v
n
n
v l x n v l x n N x n n Ex x lx v lx Nx
练习：假定上面的投保人现年60岁，年金不延期， 问趸缴纯保费是多少？并与上面的情况比较， 分析为什么差距这样大？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一份延期25年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时在80和 100岁分别获得2万和10万祝寿金，不考虑附加 费用，问趸缴纯保费是多少？
第五章 生存年金的趸缴纯保费
第一节 生存年金概述
生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定 的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
（ 1）
ax = 1+ vpx ax+ 1
（2） n| x
a = v n px ax+ 1
n
（ 3）
n| x
a = n| ax n - n E x
再考虑到资金折现，成立以下等式
第二节 生存年金的推导与计算
2 l x a x = l x + v l x+1 + v l x+2 +
l x + v l x+1 + v 2l x+2 + L v xl x + v x+1 l x+1 + v x+2l x+2 + ax = = x lx v lx
Sx - Sx+ n - nN x+ n x:n = (Ia) Dx Sx+ 1 - Sx+ n+ 1 - nN x+ n+ 1 (Ia)x:n = Dx
第二节 生存年金的推导与计算
例1：某60岁的一老人利用拆迁补偿款10万元为自 己购买一份终身年金，不考虑附加费用，他每 年可领取多少年金？ 答：
答：课堂讲授
第二节 生存年金换算与计算
1、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
（ 1） （ 2）
a = E × a n| x n x x+ n
a = a a n| x n x: n
（ 3）
ax:n = ax:n n Ex 1
第二节 生存年金换算与计算
2、证明并阐述和解释该等式的直观含义：
第一节 生存年金概述
1、确定年金与生存（生命）年金的区别。 2、纯粹生存保险与生存年金的区别。 3、 生存年金的分类：
(1) 定期年金与终身年金 （2）即期年金与延期年金 （3）纯粹年金与保证给付年金， 其中后者包含保证给付一定期限和保证给付一 定金额两种形式。
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
上述 N x 即为精算转换函数
x n
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值 ，再将所有的现值相加或积分。 总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给 付额的现值，再求现值的数学期望 两种方法是等价的
符号介绍： 精算折现因子 精算累积因子
1 n E = A = v n px n x x:n 1 n Ex
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：
x N x D x a 终身年金：
X岁的人投保即期支付的终身年金，保险金1元 求趸缴纯保费或该保险的精算现值！ 期初趸缴纯保费设为 x ，期初一次性交费人 a 数 l x ，以后每年领取年金人数分别为
lx+1、lx+2、lx+3、
N 60 305710 100000 x x D60 26606 每年年金领取额x 8703 元
第二节 生存年金的推导与计算
例2：某40岁的人购买一份延期20年的定期年金， 期限到80岁为止，每年年金为5000元，不考虑 附加费用，问趸缴纯保费是多少？ 答： N 60 N 80 305710- 26681
令
v lx = Dx
x
，
N x = D x + D x+1 + D x+ 2 +
则 ax = Nx Dx
第二节 生存年金的推导与计算
期初付年金的趸缴纯保费：期末付年金 Nk 变成N k+1 请推导以下公式： x N x D x a 终身年金： 定期年金：
x: n (Nx N xn ) Dx a
解答：见板书
第二节 生存年金的推导与计算
习题：某35岁的人购买一的终身年金，从60岁开始 每年年金为3000元，从61岁开始每年递增100 元直至死亡，不考虑附加费用，问趸缴纯保费 是多少？ （年金年初支付）
第二节 生存年金的推导与计算
例5：某40岁的人购买一份延期20年的终身年金， 从60岁开始每年年金为5000元，同时从61岁开 始每年增加300元，不考虑附加费用，问趸缴 纯保费是多少？
n|
延期终身年金
延期定期年金：
x N x n D x a
m|n
x (Nxm N xmn ) Dx a
第二节 递增年金的计算
每年递增一单位：
Sx = Nx + Nx+1 + Nx+2 +
x
终身递增年金： ) (I a 定期递增年金：
S x Dx (Ia)x S x1 Dx
解答：见板书
第二节 生存年金的推导与计算
习题：某45岁的人购买一份延期定期年金，约定每5 年返还1000元直至60岁，从60岁开始每年年金 为5000元直至90岁，同时在90岁还获得50万 祝寿金，不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多 少？
第二节 生存年金的推导与计算
例4：某35岁的人购买一的终身年金，从35-60岁每 年年金为5000元，从61岁开始每年递增300元， 不考虑附加费用，问趸缴纯保费是多少（年金 年末支付）？
X岁的人投保n年期纯粹生存保险，保险金1元，求
趸缴纯保费活该保险的精算现值！ 生命表中x岁的生存人数和x+n岁时生存人数可确 定，再考虑n年折现
第二节 生存年金的推导与计算
1、纯粹生存保险的推导。
n
E x l x 1 l x n v
n
n
v l x n v l x n N x n n Ex x lx v lx Nx