数学形态学及其应用

9.3.7 开－闭运算和闭－开运算
• 形态开、闭运算作为最基本的形态滤波运算。
• 在实际的图像处理中，仅仅采用形态开和闭的滤
波效果往往不能令人满意。
• 在基本的形态开、闭运算的基础上设计出形态开
－闭和形态闭－开组合滤波器，发挥其更好的滤
波性能。
开－闭运算和闭－开运算互为对偶操作
• 形态开闭－运算能够滤除图像中形状小于结构元素的亮
9.2.1
二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
A
d
B x : B x A
d
d/4
(9.3)
d
B A
图9.2
A
d/4
B
d/8 d/8
腐蚀示意图
9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，通过对补集的腐蚀来定义。 • 以AC表示集合A的补集， B 表示B关于坐标原点的 反射。 • 集合A被集合B膨胀表示为：
噪声。
• 形态闭－开运算可以滤除图像中形状小于结构元素的暗 噪声。
• 开－闭运算：
–
f□g= f○g●g f■g = f●g○g
(9.18) (9.19)
• 闭－开运算：
–
9.4 彩色形态学（选学）
9.4.1 彩色形态学的基本方法 9.4.2 基于数学形态学的彩色图像滤波
9.1 概述
9.1.1

数学形态学的发展简史及基本思想
可回溯到19世纪Euler、20世纪Minkowski等人的研究。 1964 年法国的 Matheron 和 Serra 在积分几何的研究成果 上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数 学形态学的图像处理系统。 1968年在巴黎矿业学院创建了数学形态学研究中心。 Matheron于1975年出版的《Random Sets and Integral Geometry》一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑 逻辑论，为数学形态学奠定了坚实的理论基础。
数学形态学是研究空间结构的形状、框架的学科
• 以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此 外还涉及随机集论、近世代数和图论等一系列数
学分支。
• 数学形态学的理论虽然很复杂，被称为“惊人的
数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。
• 数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。
数学形态学的基于集合的观点
• 其中，g为结构元素。
• 高帽变换是一种波峰检测器
– 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。
百度文库 低帽变换
• 与高帽变换相对偶的算子，定义为：
•
BHT(f) = (f●g) —f
(9.17)
• 低帽变换是一种波谷检测器
– 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。
图9.12
利用Top-Hat和Bot-hat变换检测图像峰值和谷值
• （1）运算由集合运算（如并、交、补等）来定义；
• （2）所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。
• 形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，更适 合视觉信息的处理和分析。 • 基本思想：
–利用结构元素作为“探针”在图像中不断移动，在此过程 中收集图像的信息、分析图像各部分间的相互关系，从而 了解图像的结构特征。
9.3.6
高帽变换和低帽变换
• 通过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的 标记点。
– 在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中求亮 的像素点；检测受到噪声污染图像中的边缘等。
• 为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以 作阈值处理。
高帽变换
• 从一幅原始图像 f 中减去对其作开运算后得到图 像WHT(f)，其定义为： • WHT(f) = f — (f○g) (9.16)
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更 为直观的几何形式。
开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用 B对A作开运算，用符号A○B表示，其定义 为：
或
可以通过计算所有可以填入图像内部的结构元素平 移的并集求得。
当结构元素B扫过整个图像集合内部，A○B就是使结构 元素B的任何像素不越出图像A边界的图像A像素点的集合。
y 3 2 1
灰值腐蚀运算
y 3 2 1 b
0
1
2
3
4 (a)
5
6
7
x
£ 2
£ 1
0 (b)
1
2
3
x
f
£ f ( s) £ b( s x) «
f
£ f ( s) £ b( s x ) «
O
s¡ ä (c)
s¡ å
s
O
f
b (d)
s
9.3.2 灰值膨胀
• 灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。 • 采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件 下，求上推结构所能达到的最大值。 • 利用结构元素的反射，求将信号限制在结构元素 的定义域内时，上推结构元素使其超过信号时的 最小值来定义。
– 输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度 值之间。
9.3.1 灰值腐蚀
• 形态学源于填充的概念
–灰值形态学处理的对象是图像信号波形的拓扑特性， 结构元素也是一个信号。
• 二值形态学中，集合的交、并运算起到关键作用
–在灰值形态学中这两种运算对应与极大和极小运算。
• 可利用填充、极大/极小概念直接定义灰值运算。
图9.4
•
利用圆盘作开运算
AB
A
AB
AOB
AB B
B
9.2.4 二值闭运算
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨 胀后作腐蚀。 或 开、闭运算也互为对偶运算
开运算具有磨光图像外边界的作用 闭运算具有磨光图像内边界的作用
图9.5
利用圆盘作闭运算
9.3 灰值形态学
• 在灰度图像形态处理中，输入和输出的图 像都是灰度级形式的
• 3. 结构元素 • 结构元素与被处理的目标图像中抽取何种信息密 切相关。 • 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计 一种“结构元素”。在图像中不断移动结构元素， 就可以考察图像之间各部分的关系。 • 根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方 形、扁平形、圆形等。 • 在多尺度形态学分析中，结构元素的大小可以变 化，但结构元素的尺寸一般地要明显小于目标图 像的尺寸。
– 抑制噪声、特征提取、边缘检测、形状识别、纹理分析、图像恢 复与重建等方面的问题。
数学形态学进行图像处理有其独有的特性：
• （1）反映的是一幅图像中像素点间的逻辑 关系，而不是简单的数值关系。
• （2）是一种非线性的图像处理方法，并且 具有不可逆性。
• （3）可以并行实现。 • （4）可以用来描述和定义图像的各种集合 参数和特征。
9.1.2 几个基本概念
•1.击中与击不中 •设有两幅图像 A和B，如果A∩B≠Ф（空集），那么称B击中 （ hit ） A ，记为 B↑A ，；否则，如果 A∩B=Ф ，称 B 击不中 （miss）A。 •2.平移和反射 •设A是一幅数字图像，a是A的元素；b是一个点，那么定义 A被b平移后的结果为 • A＋b＝{a＋b| a∈A} （9.1） •即整个图像沿着向量b的方向平行移动。 •一幅数字图像A关于原点的反射定义为 • AV＝{a| -a∈A} （9.2）
第9章 数学形态学及其应用
内容提要:
9.1 概述
9.1.1 数学形态学的发展简史及基本思想 9.1.2 几个基本概念
9.2 二值形态学
9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 二值腐蚀 二值膨胀 二值开运算 二值闭运算
9.3 灰值形态学
9.3.1~9.3.4 灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算 9.3.5 灰值形态学梯度 9.3.6 高帽变换和低帽变换 9.3.7 开－闭运算和闭－开运算
– 先作腐蚀再作膨胀的迭代运算：
• 这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念 来说明。
图9.8
灰值开运算
9.3.4 灰值闭运算
• 根据对偶性定义，灰值闭运算定义为： • f● g = ( f⊕ g )g (9.14)
• 灰值闭运算具有扩展性
– 滤波结果总位于原始图像的上方。它从图像的上
方磨光图像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。

1982 年 Serra 的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑。
1985年以后，一些相关领域的国际会议开始把数学形态学 列为学术讨论专题，或专门举行研讨会。 1990 年 起 ， SPIE 每 年 举 办 一 次 “ Image Algebra and Morphological Image Processing”会议。 1986年《计算机视觉与图形图像处理杂志》(GVGIP)出版 了数学形态学专刊 1989年和1994年《 Journal of Signal Processing》出版了 形态学在信号处理中的应用研究专辑。
图9.9
灰值闭运算
图9.10
细胞组织图像的灰值形态运算
9.3.5
灰值形态学梯度
• 利用扁平结构元素g对f作腐蚀和膨胀可得到f的局 部极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。 • 形态学梯度的定义为：
为了更好地获得边缘检测的效果，可以将形 态学梯度与阈值结合起来使用。
图9.11
核磁共振图像的形态学梯度

图9.3
膨胀示意图
腐蚀和膨胀操作的直观解释
• 腐蚀是对图像内部作滤波处理，而膨胀是 利用结构元素对图像补集进行填充，因而 它是对图像外部作滤波处理。 • 腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩大 图像的作用。
9.2.3 二值开运算
• 两种二次运算起着非常重要的作用
–开运算
–闭运算（开运算的对偶运算） 。
用结构元素g对输入图像f(x, y)进行灰值膨胀
• (f⊕g)(s, t)=max{f(s-x, t-y)+g(x, y)|s-x, t-y ∈Df, x+y∈Dg}
用一维函数对其进行简化，定义为 (f⊕g)(s)=max{f(s-x)+g(x)| s-x ∈Df, x∈Dg}
对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然 后，再对每次平移信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定 义域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其 最大值，便可得到膨胀结果。
步骤：
图9.7
f
灰值膨胀运算
f
f ( s)
f ( s) x) ＋ b( s －
f b f ( s) ＋ b ( s － x)
f ( s)
O s′ (a) s O (b) s
s″
•
(a)灰值膨胀过程
(b)灰值膨胀结果
9.3.3 灰值开运算
• 灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。
9.2
二值形态学
• 二值图像是数字图像的重要子集，指灰度值 只取两种值的图像。
– 两个灰度值可取为 0 （相应的点构成背景）和 1 （相应的点构成景物）。
• 二值形态学处理算法都是以膨胀,腐蚀这两种 最基本的运算为基础的。
– 一般设集合 A为图像集合，集合 B为结构元素， 数学形态学运算是用B对A进行操作。
图9.1
数学形态学的方法
输入图像
移位、交、并等集合运算
输出图像
结构元素
结构元素的选择十分重要
• 根据探测研究图像的不同结构特点，结构元素可携带形态、 大小、灰度、色度等信息。 • 不同点的集合形成具有不同性质的结构元素。由于不同的 结构元素可以用来检测图像不同侧面的特征，因此设计符 合人的视觉特性的结构元素是分析图像的重要步骤。 • 最基本的形态学运算有：膨胀,腐蚀，开，闭。 • 用这些算子及其组合来进行图像形状和结构的分析及处理， 可以解决
• 用结构元素g对输入图像f (x, y)进行灰值腐蚀记为
用一维函数对其进行简化，定义为
由于结构元素必须在信号的下方，故空间平移结 构元素的定义域必为信号定义域的子集，否则腐蚀 在该点没有定义。
结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与结 构元素从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
图9.6