一元三次方程的解法

一元三次方程023=+++d cx bx ax 的解法

先把方程023=+++d cx bx ax 化为03=++q px x 的形式： 令a

b

y x 3-

=，则原式变成 0)3()3()3(23=+-+-+-

d a

b

y c a b y b a b y a 0)3()932()273(2

22

332223

=+-++-+-+-d a b y c a b a by y b a

b a y b a by y a 039322732

322

2322

3

=+-++-+-+-d a bc cy a b y a b by a b y a b by ay

0)3272()3(2

323

=-++-+a bc

a

b d y a b

c ay 0)3272()3(2

33223

=-++-+a bc

a b a d y a b a c y

如此一来二次项就不見了，化成03

=++q py y ，其中22

3a

b a

c p -=，2333272a bc a b a

d q -+=。

---------------------------

对方程03=++q py y 直接利用卡尔丹诺公式：

3323321)3()2(2)3()2(2p

q q p q q y +--+++-

= 33223322)3()2(2)3()2(2p

q q p q q y +--⋅+++-

⋅=ωω 33233223)3

()2(2)3()2(2p q q p q q y +--⋅+++-

⋅=ωω 其中i 31+-=ω。

32)3

()2(p

q +=∆是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且

其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。

附：方程03=++q py y

（2）求根公式的推导过程：

不妨设p 、q 均不为零，令v u y += （3）

代入（2）得，0)3)((33=+++++q p uv v u v u （4）

选择u 、v ，使得0p 3uv =+，即3

p

uv -= （5）

代入（4）得，q v u -=+3

3 （6）

将（5）式两边立方得，27

3

3

3p v u -= （7）

联立（6）、（7）两式，得关于3u 、3v 的方程组： 3273

3

333p uv p v u q

v u -=⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=+　，且 于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t 的一元二次方程027

3

2

=-+p qt t 的两根3u 、3v 。 设27432

p q +=∆，3

2324⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==p q D ∆，2q T -=，

又记3u 的一个立方根为1u ，则另两个立方根为112u u ω=，123u u ω=，其中1ω、2ω为1的两

个立方虚根。

以下分三种情形讨论：

1）若0>∆，即0>D ，则3u 、3v 均为实数，可求得D T u +=3，D T u -=3。 取31D T u +=，31D T v -=，

在j i v u y +=，()3,2,1,=j i 组成的九个数中，有且只有下面三组满足3p uv -

=， 即1u 、1v ；2u 、3v ；3u 、2v ，也就是满足3

32233211p

D T v u v u v u -=-===，

于是方程（2）的根为，

，，

这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根

，

，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”

的形式，这里的根式及

都是在实数意义下的。

2）若，即D ＝0时，可求得

。取，

同理，可求得

方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

•

3）若0<∆，即D ＜0时，因为02323<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ，∴ p ＜0，033

>⎪⎭⎫

⎝⎛p ，

则3u 、3v 均为虚数，求出3u 、3v ，并用三角式表示，就有，，

其中T ，都是实数，

4

同理，

其中，且

取，，

则

显然，当且仅当取，；，；，

这三组时才满足，

于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：

其中

4当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，

，

1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，

2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，

，，

3）当时，方程有三个实根，

，