奥数 六年级竞赛 计数问题.教师版word

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． ⑴能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． ⑵运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． ⑶理解和运用概率性质进行概率的运算．

【例 1】 若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方

法？ 【分析】 题目要求A 和B 两个人必须排在一起，首先将A 和B 两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A ，

B ”、

C 、

D 、

E “四个人”进行排列，有4

424A =种排法．又因为捆绑在一起的A 、B 两人也要排序，有22

2A =种排法．根据分步乘法原理，总的排法有42

4224248A A ⨯=⨯=种．

【例 2】 一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但

不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【分析】 若直接解答须分类讨论，情况较复杂．故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏

灯去插7个空位，共有37C 种方法（请您想想为什么不是37A ），因此所有不同的关灯方法有

3

776535321

C ⨯⨯==⨯⨯种.

［拓展］若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

［分析］ 题目要求A 和B 两个人必须隔开．首先将C 、D 、E 三个人排列，

有3

36A =种排法；若排成D C E ，则D 、C 、E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：

D C

E ，此时可将A 、B 两人插到

四个空位置中的任意两个位置，有2

4

12A =种插法．由乘法原理，共有排队方法：32

3461272A A ⨯=⨯=．

【例 3】 现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?

第 8讲

计数㈠

【分析】 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的

7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法．

由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个 档板可把球分为7组），其方法种数为6984C =．

【例 4】 ⑴已知方程20=++z y x ，求这个方程的正整数解的个数．

⑵已知方程20=++z y x ，求这个方程的非负整数解的个数．

【分析】 ⑴将20分成20个1，列出来：11111111111111111111在这20个

数中间的19个空中插入2个板子，将20分成3部分，每一部分对应“1”的个数，按顺序排成=x ；

=y ；z =；即是正整数解．故正整数解的个数为2

19

171C =． ⑵将问题转化为求方程24x y z ++=的正整数个数，显然原方程的解法与转化后的方程的解可以一一对应，新方程的每一组解的值减去1，即可得到原方程的一组解，反过来，原方程的任意一

个解的值加一，也可对应新方程的解对应所以该方程的非负整数解有2

23

253C =个．

在抛掷一枚硬币时，究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的，但是当我们在相同的条件下，大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时，就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的一半左右．这里的“大量重复”是指多少次呢?

历史上不少统计学家，例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验，随着试验次数的增加，出现正面的频率波动越来越小，频率在0.5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现，0.5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值，0.5就是抛掷硬币时出现正面的概率．这就是概率统计定义的思想，这一思想也给出了在实际问题中估算概率的近似值的方法，当试验次数足够大时，可将频率作为概率的近似值．

【例 1】 一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数

依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿. 【分析】 掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，

再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷

概率的古典定义：

如果一个试验满足两条：

⑴试验只有有限个基本结果；

⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．

对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：

()m

P A n

=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本

结果数．小学奥数中，所涉及的问题都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．

一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．

例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．

［前铺］在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞 200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那 么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？

［分析］ 200尾鱼中有25条鱼被标记过，所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，

所以池塘中的鱼被标记的概率可一看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．

［前铺］一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往周面上扔

放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大． ［分析］ 因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性

较大，即小亮得分高的可能性较大．

举例：⑴明天正午的天气是阴天与明天正午的天气是雨天是两个互斥事件，所以明天正午天气为阴雨的概率等于明天正午的天气是阴天概率与明天正午的天气是雨天概率之和．

⑵抛一枚硬币掉下来后是正面向上与抛一枚硬币掉下来后是反面向上是两个互斥事件，所以抛一枚硬币掉下来后是正面或是反面向上的概率等与抛一枚硬币掉下来后是正面向上的概率与抛一枚硬币掉下

来后反面向上的概率之和，即11

122

P =+=．

⑶掷出的骰（t óu ）子数字1、2、3、4、5、6向上情况互斥且机会均等，所以每种情况发生的

概率为1

6

.

【例 2】 （20XX 年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12

点都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______． 【分析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．

其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种，

互斥事件：()()()P A B P A P B +=+

互斥事件也叫互不相容事件．也可表述为不可能都发生的事件.

公式的含义为：如果事件A 和B 为互斥事件（互不相容事件）,那么A 或B （之一）发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和．

如果事件A 、B 为互斥事件，且事件A 、B 发生机会均等，那么()()()1

2

P A P B P A B ==+.

如果某事件所有可能发生的情况1A 、2A 、、n A 互斥，且机会均等，那么

()()()()121211

n n P A P A P A P A A A n n ====+++=.

其中的m 种情况发生的概率为m

n

．