信号与线性系统题解第九章

第九章习题答案 收集自网络

9.1如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中)(1ΩH 是低通，截止频率为1c Ω；

)(2ΩH 是高通，截止频率为2c Ω：

(a)当1c Ω>2c Ω时，试证明，图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽度。 （b ）当1c Ω<2c Ω时，试证明，图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。 （c ）如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何？

)

(a)

解：（a ） )(1ΩH 是低通，截止频率为1c Ω；)(2ΩH 是高通，截止频率为2c Ω ∴1

110

1{

)(c c H Ω>ΩΩ<Ω=Ω， 2

220

1{

)(c c H Ω<ΩΩ>Ω=Ω

当1c Ω>2c Ω时， otherwise

H c c 0

1{

)(12Ω<Ω<Ω=Ω

故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为：21c c B Ω-Ω=。

（b ）当 1c Ω<2c Ω时，

otherwise

H c c 10{

)(2

1Ω<Ω<Ω=Ω ， 故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为：12c c B Ω-Ω= （c ）数字滤波器结果与上类似。

9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器，反之亦然。

(a) 证明当)(ΩH 是截止频率为p Ω的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通

滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。

（b ）如果)(ΩH 是一个截止频率为p Ω的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。

（c ）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.2联接，所组成的系统是理

想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？

⊕

图P9.2

解：（a ） )(ΩH 是低通滤波器，截止频率为p Ω ∴otherwise

H p

01

{

)(Ω<Ω=Ω

整个系统的频率响应为： otherwise

H H p

01

{

)(1)(1Ω>Ω=Ω-=Ω

故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：

t

t t t h p hp πδ)

sin()()(Ω-

=

其波形如图所示。

)(ΩH

)

(t x )(t y

（b ） )(ΩH 是高通滤波器，截止频率为p Ω ∴otherwise

H p

01

{

)(Ω>Ω=Ω

整个系统的频率响应为： otherwise

H H p

01

{

)(1)(1Ω<Ω=Ω-=Ω

故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为p Ω。

（c ）是。

9.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器

的单位冲激响应并概略绘出其波形。

（a ）∢)(ΩH =0

（b ）∢)(ΩH =ΩT ，其中T 为常数

（c ）∢)(ΩH =⎩⎨⎧<Ω->Ω0

,2/0

,2/ππ

解：（a ）若∢)(ΩH =0，则有：

t

t

t h c a πΩ=

sin )( 波形如图所示：

（b ）若∢)(ΩH =ΩT,则有：

T

j a b e H H ΩΩ=Ω)()(

)

()

(sin )()(T t T t T t h t h c a b ++Ω=+=π

图9.3

（c)如 ∢)(ΩH =⎩⎨

⎧<Ω->Ω0,2/0

,2/ππ，则

)(0

)

({

)(<ΩΩ->ΩΩ=Ωa a c jH jH H

)(Ωc H 可视为如下的卷积： )]2

()2([*)2()(c c a c j H H Ω+Ω-Ω-

ΩΩ=Ωδδ ∴2

/)(sin )(2

t t t h c c πΩ-=

9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为)(n h ，频率响应如图P9.4所示。另一

个新的滤波器的单位脉冲响应为)(1n h ，且

⎩⎨

⎧=为奇数

为偶数n n n h n h ,0),2/()(1

试确定并粗略画出新滤波器的频率特性)(1ω

j e H 。指出它属于哪一种滤波器（低通，

解：∑∑+∞

-∞

=+∞

-∞

=--==

=

n n j n

j n

j j e H e

n h e

n h e

H )(][)()(221

1ωωωω

,其频谱如下所示,它是一个带

阻滤波器。

)(ωj e H

π-

π

2

c Ω-

2

c

Ω ω

1 )(ωj e H

π2-

c Ω-

c Ω

ω

1

2π