北师大版七年级数学下探索直线平行的条件(1)
2 D
F
再品一品--数学与生活
装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙 壁的边缘垂直，那么木条a与墙壁的边缘所夹 的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？ 你知道其中的理由吗？
∠1=∠2=90°
1
2
a∥b
(同位角相等，两直线平行)
借助直尺、三角板画平行线
1.放 2.靠 3.推 4.画
课堂总结
B E D
C
跟踪练习
如图, ∠1=∠2=50º ,∠3等于多少度?直线 AB与CD平行吗?说明你的理由.
E
解： ∠3=50° AB ∥ CD
1
A G
C
理由：∵∠1=∠2=50º （已知）
∠2= ∠3（ 对顶角相等 ）
3
H
∴ ∠3= ∠1 = 50° （等量代换）
B ∴ AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∠1 = ∠C （已知） ∴∠2 = ∠C （等量代换）
∴ AC∥FD C (同位角相等, 两直线平行)
2 D
E
E
解： AB∥CD
B
理由如下
2
A
∵ ∠1+∠3＝ 180°
∠1+∠2＝180°
3 1 C
D
∴ ∠2=∠3 （同角的补角相等） ∴
（ 同位角相等， AB∥CD 两直线平行 ）
F
再练一练
2、如图，BF交AC于B，FD交CE于D， 且∠1=∠2，∠1=∠C. 试说明 AC∥FD.
解：∵∠1 = ∠2
A B 1 F
b
1
a
2
c
当 ∠ 2 ＜ ∠ 1时
当 ∠ 2＝ ∠ 1时
当 ∠ 2 ＞ ∠ 1时
①直线a和b不平行 ②直线 a与b平行 ③直线a和b不平行
探究活动二
b
a 2 c
1
请同学们观察图中的∠1与∠2，思考并回答：
（1） ∠1与∠2的边所在直线有哪些？有公 共直线吗？若有，是哪条？ ∠1边所在直线有b，c；∠2边所在直线有a， c；有公共直线是c. （2） ∠1与∠2的位置有何特点？ ∠1，∠2在被截线的右侧，在截线的上方。
本节课你有哪些收获？
当堂达标
1.下列图中∠1和∠2是同位角的 是（ (1)(2)(5) ） A. ⑴、⑵、⑶ B. ⑵、⑶、 ⑷ C. ⑶、⑷、⑸ D. ⑴、⑵、 ⑸
当堂达标
2.已知a、b、c三条直线满足a∥c，c∥b， 平行于同一条直线 则a ∥ b.理由是__________________.
北师大版数学七年级下册第二章第二节
探索直线平行的条件 （第1课时）
学习目标
1.理解同位角的定义，并会识别它们。 2.掌握直线平行的条件并能解决一些 问题。 3.进一步发展推理能力和有条理的表 达能力。
探究活动一 构造模型，固定纸片b1、∠2的大小关系有哪些？ （2）纸片a、b的位置关系有哪些？ （3）对比∠1、∠2的大小变化和a、b的 位置关系，你发现了什么？
的两条直线平行
当堂达标
4、如图， 同位角相等，两直线平行 若∠1 =∠2，则 CD ∥GH （ ） 同位角相等，两直线平行 若∠2 =∠5，则 AB ∥ EF （ ） 同位角相等，两直线平行 若∠3 =∠4，则 AB ∥ EF （ ）
当堂达标
例：如图，已知∠1+∠2＝180º ，AB 与CD平行吗？为什么？
探究活动二
b
a 2 c
1
具有∠1和∠2这样位置关系的角叫同位 角。
探究二---“三线八角”
C
A
3 E 1 7 5 4 2 8 6 F
1
2
同位角是 F 形状 D B
3 7
右上
左上
4 ②
左下
8 ③
右下
6 ④
5
①
练 一 练 如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什 么?
2 1 1 2
∠1和∠2不是同位角 ∠1和∠2是同位角
不满足有一条边共线
平行线的判定方法
两条直线被第三条直线所截 ,如果同 位角相等, 那么这两条直线平行.
简称为：同位角相等,两直线平行.
几何 语言
C E 1 D
∠1=∠2
A
2 F
B
AB∥CD
(同位角相等，两直线平行)
跟踪练习
57º 1、如图，∠C=57º ，∠ABE=____ 时，就能使BE∥CD. A
新北师大版七年级数学下册第二章《 探索直线平行的条件(第1课时)》公开课课件
5.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别 相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=60°, ∠E=30°,试说明AB∥CD. 【解析】因为EG⊥AB ,∠E=30°, 所以∠EKG=180°-90°-∠E=60°, 所以∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF, 所以AB∥CD.
分
特别提醒：∠3与∠DBE
(1)与AB相交所成的同位角为 不是(2)中的同位角.
∠1与∠DBC，………………3分
(2)与BE相交所成的角中没有同位角，……………………5分
(3)与AC相交所成的同位角为∠3与∠C……………………7分
【规律总结】 判断两个角是否为同位角的三个诀窍
1.若两个角的两边都不在同一条直线上，则这样的角不是同位角. 2.若两个角各有一边在同一条直线上，这条直线叫截线，这两个 角的另一边为被截直线，若两个角都在截线的同旁，被截直线 的同一侧，则这两个角为同位角，否则不是. 3.为同位角关系的两角的两边组成的图形，如字母“F”.
(C)12对
(D)16对
【解析】选C.每两条直线被第三条直线所截都有4对同位角，所
以共有12对.
3.如图，∠B与∠________是直线________ 和直线________被直线________所截得到的 同位角. 【解析】∠B应与∠FAC是同位角，是直线BC和AC被直线BF所 截得的同位角. 答案：FAC BC AC BF
3.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系 是________. 【解析】因为直线a,b相交于P，a∥c即直线a是过点P平行于c 的直线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 可知，过点P的直线b与直线c相交. 答案：相交
4.如图所示,BE是AB的延长线,量 得∠CBE=∠A，由∠CBE=∠A可以 判断________∥________, 根据 是__________________. 【解析】因为∠CBE=∠A，且∠CBE与∠A是直线AD，BC被直 线AE所截形成的同位角,所以AD∥BC. 答案：AD BC 同位角相等，两直线平行
2.2 第1课时 同位角相等时两直线平行 课件(共19张PPT)北师大版七年级数学下册
4.如图，已知直线 与直线 ， 分别交于点 ， ，且 ，当 _______ 时， .
（第4题图）ຫໍສະໝຸດ 5.如图，用直尺和三角尺作直线 ， ，从图中可知，直线 与 平行的理由是_________________________.
（第5题图）
同位角相等，两直线平行
6.如图，直线 , 相交于点 ， 于点 ， 交 于点C.若 ， ，则 吗？为什么？
【解】 .理由： ,而 ，则 .因为 ,所以 .由“同位角相等，两直线平行”可知 .
变式.如图，直线 与 相交于点 ， ，直线 与 一定平行吗？试说明你的理由.
解：直线 与 一定平行.理由:因为 ，而 ，所以 .所以 .
1.如图， 的同位角是( )
（第1题图）
A. B. C. D.
D
2.如图，对于图中标记的各角，下列条件中能够推理得到 的是( )
（第2题图）
A. B. C. D.
D
3.在同一平面内，有三条直线 ， ， ，若 ， ，则 与 的位置关系是( )A. B. C. 或 D.无法确定
解： .因为 于点 ， ， ，所以 .而 与 是同位角,所以 ．
7.如图， ， 是 上一点，直线 与 的夹角 .要使 ，直线 绕点 按逆时针方向至少旋转_____度.
12
8.如图,将含有 角的三角板 的直角顶点 放在直线 上.若 ,则当 的度数是多少时,才能使直线 ？
解:因为 , ,所以 .而 与 是同位角,故要使直线 ,应使 ．
9.如图,已知 平分 , 平分 ,且 ,试找出图中互相平行的直线,并说明理由.
解：图中互相平行的直线有 , .理由：因为 平分 ,所以 .而 ,所以 .所以 .因为 ，所以 ，即 .所以 ．
北师大版七年级数学下册探索直线平行的条件课件
2
1
∠1和∠2不是同位角， 因为∠1和∠2在两直线的 同一方，但不在第三直线 的同一侧。
1
2
∠1和∠2是同位角，
因为∠1和∠2在两直 线的同一方，且在第 三直线的同一侧。
练一练 A
如图，∠1与∠C，∠2与∠B,∠3与∠C 分别是哪两条直线被哪一条直线截成的
同位角？
D2
1E
B
3
C
F
∠1与∠ C 是同位角.它们是直线 DE 、BC 被直线 AC 截成的
做一做 做一做
如图，三根木条相交成∠1,∠2 ，固定木条b、c，转动木条a , 视察∠1， ∠2大小关系以及直 线a与b的位置关系.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
直线a ∥b
两回直到线两直平线平行行的的判判断定上公来 理
由此可得：
判断两条直线平行的方法 ：同位角相等，两直线平 行。
符号语言：∵∠1=∠2（已知） ∴a ∥ b(同位角相等，两直线平行)
E
G
① AB∥CD
M
N
A
B
∵ ∠AMP=∠CPF=45°
CP
Q
∴ AB∥CD （同位角相等，
D
② EF∥GH 两直线平行）
F
H
∵ ∠AMP=∠ANQ=45°
请看下面的推理是否正确
∴ EF∥GH （同位角相等，
∵ ∠AMP=∠CQH ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ断两直线平行—— 两直线平行）
一定要借助第三线；
∴ EF∥GH。
两角必须是同位角。
同位角。
∠2与∠ B 是同位角，它们是由直线 DE 、BC 被直线 AB 截成
的同位角.
∠3与∠ C 是同位角，它们是直线 DF 、AC 被直线 BC 截成 的同位角.
北师大版初中七年级下册数学：探索直线平行的条件
学 掌握利用内错角相等及同旁内角互补 习 判定两直线平行的方法。 目 2.经历识别内错角、同旁内角和利用 标 内错角相等及同旁内角互补判定两直
线平行的过程。进一步掌握利用转化
的思想学习新知的方法。
内错角、同旁内角定义的理解
C
3
E 1
7
5
D
42
B
A
8 F6
（1）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，位 于两条直线之间、且在第三条直线的两侧，没有公共顶 点的两个角，叫做内错角. （2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，位 于两条直线之间、且在第三条直线的同一侧，没有公 共顶点的两个角，叫做相等，两直线平行
平行线判定定理3：
同旁内角互补，两直线平行
（1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
作业布置： 必做题：教材49页的习题2.4；
资源68页的训练案
选做题：资源68、69页的加强案
北师大版七年级数学下册课件：2.2探索直线平行的条件
2 同说位明角 你相的等理,由两.直线平行
你同还位记 角得相怎等样,两用直移线动平三行角尺的方法画两条平行线吗？你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？请说出其中的道理。
∴(4∠)找1=出∠下2=图55互º(等相量平代行换的)直线
上(4)图你是能木用条一转张动不后规,则拍的下纸的(比3种如情,如况图,你所发示现的木四条边a形与的木纸条)b折的出位两置条关平系行发的生直了线什吗么?变与化同?桌木说条说a何你时的与折木法条. b平行？
如图,若∠1=∠2,则a___∥__c,理由是:__同__位__角__相__等__,两__直__线_平__行_ ∴(4∠)你1=能∠用2=一55张º(等不量规代则换的)纸(比如,如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗?与同桌说说你的折法.
如 议图一,议若∠按1=照∠上2,面则的a_方__式__,同c,理学由们是讨:论___一__下__,∠_1_与__∠_2_大__小__满__足_ 什么关系时，木条a与木条b平行？ 经1. 历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，提高推理能力和有条理表达的能力，培养学生自主探索和合作交
系时，木条a与木条b平行？(∠1=∠2)
b
a
1
2
c
下面所出现的角在位置上有什么关系呢?
A
3 E1
B
位请 置大
5 27 4
关家
D
系找 的出
角具
?
我们把C象∠1和6 ∠F2这8样位置关系(都在有同样AB
和CD的同一边,且在EF的同一侧) 的角称
为 同位角
5 练一练
1.如图，∠1和∠2是同位角的是（ D）
同位角相等,两直线平行 ∵∠1=∠2=55º（已知）
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——探索直线平行的条件(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——探索直线平行的条件（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．特别提醒：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【知识点二】平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．特别提醒：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.【知识点三】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【考点2】平行公理及推论的应用；【考点3】同位角相等，两直线平行；【考点4】内错角相等，两直线平行；【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【考点6】垂直于同一直线的两直线平行；【考点7】判定两直线平行综合应用.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】本题考查了射线、线段的作法，画平行线，掌握平行线画法是解题关键．（1）根据射线及线段的定义作图即可；（2）过点B作AC的垂线BD，垂足为D即可；（3）将C点向右移3个单位得到点E，作直线BE即可；（1）解：射线AC，线段AB即为所求；（2）解：垂线段BD即为所求；（3）解：直线BE即为所求．【变式1】（2022下·辽宁辽阳·七年级统考期末）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案．解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；故选D【点拨】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键．【变式2】（2020·四川达州·校考一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：①沿三角尺的边作出直线CD；②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：．【答案】③②④①【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，故答案我③②④①．【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．【考点2】平行公理及推论的应用；【例2】（2022上·河南南阳·七年级校考期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．（1）过点A 作BC 的垂线，垂足为点D ，该垂线经过的一个格点记为点E ．（2）过点E 作AC 的平行线EF ，该平行线经过的一个格点记为F ；过点B 作AC 的平行线BG ，该平行线经过的一个格点记为G ．【发现】EF 与BG 的位置关系为______．【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行．【分析】（1）根据网格结构作出BC 的垂线AD 即可；（2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得EF 与BG 的位置关系以及结论．解：（1）如图，AD BC ，D 为垂足；（2）如图，EF AC ∥，BG AC ∥，EF 与BG 的位置关系为平行；结论：平行于同一条直线的两条直线平行．【点拨】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键．【变式1】（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（）A ．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C ．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线【答案】D【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．解：A 、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；B 、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，正确，本选项不符合题意；C 、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；D 、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．【变式2】（2022上·上海·九年级开学考试）如图，点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，联结EF 、DE ，如果图中DEF △的面积为1.5，那么梯形ABCD 的面积等于．【答案】6【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，根据梯形中位线定理得到AD BC ∥EF ∥，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．解：过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，如图，∵点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，∴AD BC ∥EF ∥，∴AG EF ⊥，AG GH =，∵ 1.5DEF S = ，∴1 1.52EF AG ⋅=，∴• 1.546EF AH =⨯=，∴•6ABCD S EFAH 梯形＝＝，故答案为：6．【点拨】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键．【考点3】同位角相等，两直线平行；【例3】（2022上·黑龙江绥化·七年级统考期末）AB BC ⊥，12=90∠+∠︒，23∠∠=．BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，ABC \Ð=︒，即34∠+∠=︒．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，∴=．理由是：．BE DF ∴∥．理由是：．【答案】90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】由AB 垂直于BC ，利用垂直的定义得到ABC ∠为直角，进而得到3∠与4∠互余，再由1∠与2∠互余，根据23∠∠=，利用等角的余角相等得到14∠=∠，利用同位角相等两直线平行即可得证．解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，即3490∠+∠=°．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，14∴∠=∠．理由是：等角的余角相等．BE DF ∴∥．理由是：同位角相等，两直线平行．故答案为：90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键【变式1】（2022下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，若12∠=∠，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定a b ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断出1∠与2∠是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案．解：A 、1∠与2∠是内错角，故该选项错误；B 、1∠与2∠是同位角，∵12∠=∠，∴a b ，故该选项正确；C 、1∠与2∠不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误；D 、1∠与2∠是对顶角，故该选项错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行，是需要同学们熟练记忆的内容．【变式2】（2023上·七年级课时练习）如图，若12∠=∠，则 ；若23∠∠=，则 ．【答案】AB DE BC EF【分析】根据12∠=∠，利用同位角相等两直线平行推出AB DE ∥；由23∠∠=，利用同位角相等两直线平行推出BC EF ∥．解：∵12∠=∠，∴AB DE ∥，∵23∠∠=，∴BC EF ∥，故答案为：AB ，DE ，BC ，EF ．【点拨】此题考查平行线的判定定理，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键．【考点4【例4】（2023上·七年级课时练习）如图，已知CD AD ⊥于点,D DA AB ⊥于点,12A ∠=∠．试说明：DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（__________）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（__________），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=_______（___________）．∴_____∥_____（____________）．【答案】垂直的定义，等量代换，4∠，等量代换，DF ，AE ，内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义得到90CDA DAB ∠=∠=︒，推出132490∠+∠=∠+∠=︒，得到3=4∠∠，由此证得DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（垂直的定义）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（等量代换），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=4∠（等量代换）．∴DF AE ∥（内错角相等，两直线平行）．【点拨】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·蛇口育才二中校考三模）如图，能判定EB AC ∥的条件是（）A ．C ABE∠∠=B ．A EBD ∠∠=C ．C ABC ∠∠=D ．A ABE∠∠=【答案】D 【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可．解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，选项D 中A ABE ∠∠=是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断．故选：D ．【点拨】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．【变式2】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）三个完全相同的含30︒角的三角板如图摆放，可以判断AB 与EC 平行的理由是．【答案】BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理求解．解：由题意知90BAC ACE ∠=∠=︒，由内错角相等，两直线平行，可判断AB 与EC 平行．故答案为：BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【例5】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，EF BC ∥，CE 平分BCF ∠，111DAC ∠=︒，23ACF FEC ∠=∠=︒，则AD 与BC 平行吗？请说明理由．【答案】AD 与BC 平行．理由见分析【分析】根据角平分线的定义可得246BCF FEC ∠=∠=︒，进而得出69ACB ∠=︒，结合题意可得69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，即可得证．解：AD 与BC 平行．理由如下：∵CE 平分BCF ∠，23ACF FEC ∠=∠=︒，∴246BCF FEC ∠=∠=︒，∴462369ACB BCF ACF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，又∵111DAC ∠=︒，∴69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，∴AD BC ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定是解题的关键．【变式1】（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条ABCD 沿折痕MG 折叠，MA 时对应线段MA '与CD 相交于点N 则下列条件中，不足以证明AB CD ∥的是（）A ．180BMN CNM ∠+∠=︒B ．2AMN MGN ∠=∠C ．MN NG=D ．MN MG=【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.180BMN CNM ∠+∠=︒ ，∴AB CD ∥；B ．由翻折可知：2AMN AMG ∠=∠，2AMN MGN ∠=∠ ，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故B 选项不符合题意；C ．由翻折可知：AMG NMG ∠=∠，MN NG = ，NMG MGN ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故C 选项不符合题意；MN MG = ，MGN MNG ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠≠∠，AB ∴不平行CD ，故D 选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2019下·七年级课时练习）如图，某工件要求AB ∥ED ，质检员小李量得∠ABC ＝146°，∠BCD ＝60°，∠EDC ＝154°，则此工件．（填“合格”或“不合格”）【答案】合格【分析】作CF ∥AB ，由平行线的性质得出∠ABC+∠1=180°，求出∠1，得出∠2，由∠2+∠EDC=180°，得出CF ∥ED ，证出AB ∥ED ，即可得出结论．解：作CF ∥AB ，如图所示：则∠ABC+∠1=180°，∴∠1=180°-146°=34°，∴∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°，∵∠2+∠EDC=26°+154°=180°，∴CF ∥ED ，∴AB ∥ED ；故答案为合格．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键【考点6】垂直于同一直线的两直线平行.【例6】（2023下·七年级课时练习）探索与发现（在同一平面内）：（1）若直线12a a ⊥，23a a ∥，判断直线1a 与3a 的位置关系，请说明理由；（2）若直线12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，则直线1a 与4a 的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2023条直线1a ，2a ，3a ，…，2023a ，且有12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，45a a ∥，…，请你探索直线1a 与2023a 的位置关系．【答案】（1）13⊥a a ．理由见分析；（2）14a a ∥；（3）直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解．（1）解：13⊥a a ．理由如下：如图，∵12a a ⊥，∴190∠=︒，∵23a a ∥，∴2190∠=∠=︒，∴13⊥a a ．（2）解：由（1）知13⊥a a ，又34a a ⊥，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得14a a ∥，故答案为：14a a ∥；（3）解：直线1a 与2a ，3a 的位置关系分别是12a a ⊥，13⊥a a ，直线1a 与4a ，5a 的位置关系分别是14a a ∥，15a a ∥，从2a 开始，直线2a ，3a ，…，2023a 与直线1a 的位置关系以⊥，⊥，∥，∥为一次循环，∴12022a a ⊥，12023a a ⊥，∴直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥．【点拨】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键．【变式1】（2018下·七年级单元测试）在同一平面内，a 、b 、c 是直线，下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b c ∥则a c∥B ．若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c ⊥C ．若a b ∥，b c ⊥，则a c∥D ．若a b ∥，b c ∥，则a c ⊥【答案】A【分析】根据平行公理、平行线的性质对各选项分析判断即可解答．解：A.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥正确，故本选项正确；B.在同一平面内，若a b ⊥r r ，b c ⊥则a c ∥，故本选项错误；C.在同一平面内，若a b ∥，b c ⊥则a c ⊥，故本选项错误；D.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，故本选项错误．故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行公理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．【变式2】（2018下·七年级课时练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线．（1）它的理由如下：（如图1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？．【答案】平行同位角相等，两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行解：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，∴这两条直线互相平行．故答案为平行；（1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c （同位角相等，两条直线平行）．故答案为同位角相等，两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，故答案为垂直于同一条直线的两条直线平行．【考点7】判定两直线平行的综合应用.【例7】（2024下·七年级课时练习）如图，AK 与BC 相交于点B ，BC 与CD 相交于点C ，如果160∠=︒，2120∠=︒，60D ∠=︒，那么AB 与CD 平行吗？BC 与DE 呢？并说明理由．【答案】AB CD ∥，BC DE ∥．理由见分析【分析】根据对顶角相等得出60ABC ∠=︒，进而可得2180ABC ∠+∠=︒，则AB CD ∥，进而得出BCD D ∠=∠，即可得证．解：AB CD ∥，BC DE ∥．理由如下：∵160∠=︒，1ABC ∠=∠∴60ABC ∠=︒．又∵2120∠=︒，∴2180ABC ∠+∠=︒．∴AB CD ∥．又∵2180BCD ∠+∠=︒，∴60BCD ∠=︒．∵60D ∠=︒，∴BCD D ∠=∠．∴BC DE ∥．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，将一副三角尺如图放置，DE 、BC 交于点F ，（45C ∠=︒，30D ∠=︒）则下列结论不正确．．．的是（）A ．13∠=∠B ．2180CAD ∠+∠=︒C ．若230∠=︒，则BC AD∥D ．若230∠=︒，则AC DF∥【答案】C 【分析】由余角的性质，得到13∠=∠，由 3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠，得到2180CAD ∠+∠=︒，因为3B ∠≠∠，故BC 和DA 不平行，由160E ∠=∠=︒，得到AC DF ∥．解：1∠ ＋23∠=∠＋290∠=︒，13∴∠=∠，故A 正确；3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠ ，2180CAD ∴∠+∠=︒，故B 正确；230∠=︒ ，390260∴∠=︒-∠=︒，45B ∠=︒ ，3B ∴∠≠∠，BC ∴和DA 不平行，故C 错误；230∠=︒ ，190260∴∠=︒-∠=︒，60E ∠=︒ ，1E ∴∠=∠，∴AC DF ∥，故D 正确．故选：C ．【点拨】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，有下列说法：①若12∠=∠，则AB CD ∥；②若3=4∠∠，则AD BC ∥；③若180ABC BCD ∠+∠=︒，则AD BC ∥；④若13180ABC ∠+∠+∠=︒，则AD BC ∥．其中说法正确的有个．【答案】1【解析】略。
七年级数学下册《相交线与平行线》：探索直线平行的条件
在教师讲解和同伴的 帮助下能用几何语言 写出判断平行的过程
☆☆☆
灵活运用判定方法 判定方法应 来解决实际问题
用用
运用判定方法来解 决一般问题
在同伴的帮助下能运 用判定方法来解决简 单问题
☆☆☆
学习任务三：过直线外一点画平行线
操作·思考
（1）给你一副三角板，你能过直线AB外一点C画直线的平行线MN吗？ （2）你能画出几条？你能说明其中的道理吗？
4.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得 数学结论的过程，进一步发展想象、推理能力和有条理表达的能力。
学习任务一：认识同位角、内错角、同旁内角
操作·观察
若在两条直线的基础上，画第三条直线与这两条直线都
相交，你能画出怎样的图形？
观察·归纳
三线八角
同位角定义
两直线被第三条直线所截而成的8个角中， 在截线的同一侧且在两条被截线的同一方的两个角， 叫做同位角。
验证
当∠1＜∠2时
12
①直线a和b 不平行， ②直线a和b 平行 ； ③直线a和b 不平行 。
猜想
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。
归纳
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行。
E
1
A
B
2
C
D
F
几何语言： ∵∠1=∠2
∴ AB∥ CD
（同位角相等，两直线平行）
你学会了吗？
会借助三角尺过已知直线外一点画这 条直线的平行线
还有疑惑是
课后任务 ≥16☆：完成课后小测题“能力提高”1-3题。（必做）
＜16☆：完成课后小测题“基础巩固”1-2题，（必做） “能力提高”第1题。（选做）
2-2 探索直线平行的条件(第1课时) 课件 2023--2024学年北师大版七年级数
课堂练习 （识别同位角）
1．图中，与∠1成同位角的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列图中∠1和∠2是同位角的是( )
A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4） C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（5）
新知探究
例题讲解
例1.如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位 角是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
新知探究
你能借助三角尺画平行线吗？ 小明按如下方法画出了两 条平行线， 请说明其中的道理．
新知探究
平行于同一条直线的两条直线平行
如何过已知直线外一点画它的平行线？你能画出来几条？ 请说出其中的道理。 同位角相等，两直线平行.
③直线a和b不平行
归纳总结
判定方法：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这 两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
A
因为∠1=∠2(已知)，
1
所以l1∥l2
（同位角相等，两直线平行）.
l2
2
l1
B
新知探究
平行线的表示法 我们通常用“//” 表示平行.
A
B
C
D
a∥b
AB∥CD 读作：“AB平行于CD” a b 读作：“a平行于b”
解：∵ ∠1＝58°,∠2＝58°, ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). ∵ ∠3＝122°, ∴ ∠4＝58°(邻补角的定义), ∴ ∠2＝∠4, ∴ b∥c(同位角相等,两直线平行), ∴ a∥c(平行于同一直线的两直线平行).
课堂小结
1.平行线的判定方法： (1)两条直线被另一条直线截得的同位角相等； (2)两条直线同平行于第三条直线； (3)在同一平面内，两条直线同垂直于第三条直线．