2018年秋北师大九年级数学上册《第四章图形的相似》综合测试含答案
第四章综合训练（满分120分）
一、选择题.(每小题4分，共32分)
1.下列说法中正确的是（）
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
2.已知，那么下列等式中不一定正确的是（）
3.已知△ABC的三边长分别为2，6,2，△A′B′C′的两边长分别是1和3，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）
4.下面四组图形中，必是相似三角形的是（）
A.有一个角为40°的两个等腰三角形
B.两个直角三角形
C.两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
D.有一个角为100°的两个等腰三角形
5.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD 等于（）
6.如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是（）
A.两个三角形是位似图形
B.点A是两个三角形的位似中心
C.AE∶AD是相似比
D.点B与点E，点C与点D是对应位似点
7.（2015·黑龙江牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
①∠DBM=∠CDE；
③CD·EN=BN·BD；
④AC=2DF.
其中正确结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图，AEAF=ABAC，∠1=∠2，则对于以下结论：①△
ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF；其中正确的结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题.（每小题4分，共32分）
9.两个相似三角形面积比是16∶25，其中一个三角形的周长为
36cm，则另一个三角形的周长是.
10.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为________.
11.（2015·广东梅州）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是.（写出一个即可）
12.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是.
13.如图，在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为cm2.
14.如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为.
15.（2015·山东东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为.
16.（2015·江苏扬州）如图，已知△ABC的三边长为a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线将△ABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为,则的大小关系是（用“<”号连接）.
三、解答题.(共56分)
17.（9分）如图，有三条线段AB、BD、DC，AB=6，BD=8，DC=2，且AB∥DC.点E和点F分别为BD上的两个动点，且DFBE=13.
（1）求证：△ABE∽△CDF；
（2）当EF=2时，求BE的长度；
（3）在以上2个问题的解题过程中，概括（或者描述）你所用到的数学基本知识（定义、定理等）或者是利用的数学思想方法.（共写出2点即可）
18.（9分）如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.
19.（9分）如图，AD·AB=AE·AC，那么△ADC与△AEB相似吗？请说明理由.
20.（9分）（2015·辽宁抚顺）如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到.
（1）△ABC与的位似比等于；
（2）在网格中画出关于y轴的轴对称图形；
（3）请写出是由怎样平移得到的？
（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为.
21.（10分）如图.在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
22.（10分）正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4∶3，求NC的长；
（3）设BM=x，当M点运动到什么位置时△ABM∽△AMN？并求出x的值.。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．2：16．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：59．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都乘以2B．横坐标和纵坐标都加2C．横坐标和纵坐标都除以2D．横坐标和纵坐标都减210．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．3倍B ．6倍C ．9倍D ．12倍二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知，＝，则＝ ．12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF＝1，FB ＝3，则＝ ．13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．三．解答题（共7小题，共66分）19．已知4：x＝1：75%，求x的值．20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．25．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．参考答案一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝或＝或＝．故选：C．2．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：A．10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．二．填空题11．解：∵＝，∴＝＝﹣5．故答案是：﹣5．12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l 2∥l 3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．故答案为95°．14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故答案为：∠B ＝∠D 等15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，∴△PMN ∽△PBC ，∴＝（）2＝，∴S △PMN ＝×8＝2．故答案为2．16．解：∵AB ∥CD∴△ABO ∽△CDO∴＝又∵AB ＝27∴CD ＝18．故答案为：18．17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．故答案为4：3．18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．三．解答题19．解：4：x＝1：75%，x＝4×75%，解得：x＝2．20．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，∴＝，∴AE＝．21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；（2）∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ；23．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB∴△ADP ∽△BCP（2）∵△ADP ∽△BCP ，∴＝，∵∠APB ＝∠DPC∴△APB ∽△DPC∴＝＝，∴AP ＝624．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BEF ∽△CDF ；（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，答：CF 的长为160cm ．25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。
北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似(单元综合卷)(解析版)
第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案1. 以下条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝45°，∠C＝26°，∠A′＝45°，∠B′＝109°B ．AB ＝2，AC ＝32，BC ＝2，A′B′＝6，A′C′＝9，B′C′＝12 C ．AB ＝1.5，AC ＝1514，∠A＝36°，A′B′＝2.1，A′C′＝1.5，∠A′＝36° D ．AB ＝2，BC ＝1，∠C＝90°，A′B′＝ 2，B′C′＝ 22，∠C′＝90° 2. a b ＝52，那么以上等式中，不一定正确的选项是( ) A ．2a ＝5b B.a 5＝b 2 C ．a ＋b ＝7 D.a ＋b b ＝723. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，假定线段DE ＝5，那么线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．204. 如图，▱ABCD 中，G 是BC 延伸线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，那么图中相似三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5. 如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，那么CF 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在△ABC 中，假设DE 与BC 不平行，那么以下条件中，不能判别△ADE ∽△ABC 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB7. 小刚在打网球时，为使球恰恰能过网(网高为0.9 m)，且落在对方区域离网5 m 的位置上，他击球的高度是2.25 m ，那么他应站在离网的( )A ．15 m 处B ．10 m 处C ．8 m 处D ．7.5 m 处8. 如图，D ，E 区分是△ABC 的边AB ，AC 上的一点，DE ∥BC ，AF ⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，且AD ∶AB ＝5∶12，那么AG AF的值为( ) A.125 B.512 C.712 D.759. 两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6 cm ，那么较大的三角形的周长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P11. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩展到原来的2倍，失掉△A′B′O.假定点A 的坐标是(1，2)，那么点A′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)12. 在比例尺为1∶2 000的地图上测得A ，B 两地间的图上距离为5 cm ，那么A ，B 两地间的实践距离为________m.13. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的值是________． 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金联系点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________．15. 如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，那么旗杆AB 的高为________m.16. △ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，且△ABC 的边AC 上的高为8，那么△DEF 的边DF 上的高为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 区分是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝AB ，△ADE 的周长为6 cm ，那么△ABC 的周长为________cm.18. 小华自制了一个简易的幻灯机，其任务状况如下图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，那么屏幕上小树的高度是________cm.19. 如图，△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，假定△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，那么点P ′的坐标是____________．20. x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求x ＋2y －z x －y ＋3z的值． 21. 如图，是小明设计用手电来测量古城墙高度的表示图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求古城墙的高度CD.22. 如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m 的中央，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰恰遮住电线杆，手臂长约60 cm ，小明能求出电线杆的高度吗？假定能，请你替小明写出求解进程．参考答案：1---11 BCCDB CDBDD C12. 10013. 214. 5－1215. 916. 1617. 1818. 6019. (－2x ，－2y)20. 解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴原式＝2k ＋6k －4k 2k －3k ＋12k ＝4k 11k ＝411. 21. 解：由题意可得△PAB∽△PCD，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8，故古城墙的高度为8 m. 22. 解：可以求出电线杆的高度．过点A 作AN⊥EF 于N ，交BC 于M.∵BC∥EF，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC ∽△AEF ，∴BC EF ＝AM AN，∵AM ＝0.6，AN ＝30，BC ＝0.18，∴EF ＝BC×AN AM ＝0.18×300.6＝9 (m )．故电线杆的高度为9米．。
秋期九年级数学上册第四章图形的相似综合测试北师大版(2021年整理)
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第四章综合训练（满分120分)一、选择题.(每小题4分，共32分）1。
下列说法中正确的是（）A。
位似图形可以通过平移而相互得到B。
位似图形的对应边平行且相等C。
位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等2.已知，那么下列等式中不一定正确的是（）3.已知△ABC的三边长分别为2，6,2，△A′B′C′的两边长分别是1和3,如果△ABC与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是（）4。
下面四组图形中,必是相似三角形的是（）A。
有一个角为40°的两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两条边对应成比例,一个对应角相等的两个三角形D.有一个角为100°的两个等腰三角形5.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（）6。
如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是（）A。
两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心C。
AE∶AD是相似比D.点B与点E，点C与点D是对应位似点7.（2015·黑龙江牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①∠DBM=∠CDE;③CD·EN=BN·BD;④AC=2DF。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元测试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图，一组互相平行的直线a ，b ，c 分别与直线l 1，l 2交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，直线l 1，l 2交于点O ，则下列各式不正确的是( )A.AB BC ＝DEEFB.AB AC ＝DE DFC.EF BC ＝DEABD.OE EF ＝EB FC2．如图，E 是矩形ABCD 的AB 边上任意一点，F 是AD 边上一点，∠EFC ＝90°，图中一定相似的三角形是( )A ．①与②B ．③与④C ．②与③D ．①与④3.在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点A(2，2)，B(4，0)，C(6，4)以坐标原点为中心，将△ABC 缩小，相似比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标是（ ） A.(2，32)或(－2，－32)． B.(-2，32)或(－2，－32)．C.(2，32)或(2，－32)．D.(2，32)或(－2，32)．4．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶25．如图，△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，已知点A(2，2)，B(3，1)，D(5，2)，则点A 的对应点C 的坐标是( )A ．(2，3)B ．(2，4)C ．(3，3)D ．(3，4)6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝（ ）A.110°.B.115°.C.120°.D. 125°.7.如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.358.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S△COA＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( ) A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25二、填空题（每小题3分，共18分）9．若a 6＝b 5＝c4≠0，且a ＋b －2c ＝3，则a ＝_____．10．已知线段MN 的长为2 cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长是_____．11．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H ，设△AGH 的面积为S 1，▱ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2的值为_____．12．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，长方形城池ABCD ，南边城墙AD 长7里，东边城墙AB 长9里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，GE ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 过点A ，则FH ＝_____里．13．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4.若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是_____．三、解答题（共80分）15.如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．16．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝4，AD ＝33，AE ＝3，求AF 的长．17.如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.18.已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．19．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上一点，DH ⊥BM 于点H ，DH 交AC 的延长线于点E ，交BC 于点K.(1)求证：△AED ∽△CBM ； (2)求证：AE ·CM ＝AC ·CD.20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是中线，AC ＝BC ，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC ，BC 的延长线相交，交点分别为点E ，F ，DF 与AC 交于点M ，DE 与BC 交于点N.(1)如图1，若CE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；(2)如图2，在∠EDF 绕点D 旋转的过程中，探究三条线段AB ，CE ，CF 之间的数量关系，并说明理由．21．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F.(1)如图1，当CE EB ＝13时，求S △CEFS △CDF的值；(2)如图2，当DE 平分∠CDB 时，求证：AF ＝2OA ；(3)如图3，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，求证：CG ＝12BG.参考答案 一、选择题1-5、DAAAD 6-8、ABB 二、填空题9、6．10、(5－1) 11、16．12、1.05 13、127或2． 14、3105．三、解答题15、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18.∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H. ∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQQE .∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12.又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10. ∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ. 又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ. ∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10. ∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．16、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠B ＋∠C ＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC. (2)∵AE ⊥BC ，AD ＝33，AE ＝3， ∴在Rt △DAE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（33）2＋32＝6. 由(1)知△ADF ∽△DEC ，得AF DC ＝ADDE ，∴AF ＝DC ·AD DE ＝4×336＝2 3.17、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°. ∵AE ⊥BD ，∴∠ABC ＝∠BGE ＝90°. ∵∠AEB ＝∠BEG ， ∴△ABE ∽△BGE. ∴AE BE ＝BEEG . ∴BE 2＝EG ·EA.(2)由(1)得BE 2＝EG ·EA. ∵BE ＝CE ，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.18、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.19、证明：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠MCB＋∠ABC＝90°，∠DBM＋∠DMB＝90°.∴∠A＝∠MCB.∵DH⊥BM，∠BCE＝90°，∠CKE＝∠HKB，∴∠E＝∠CBM.∴△AED∽△CBM.(2)∵△AED ∽△CBM ， ∴AE ∶AD ＝CB ∶CM ， 即AE ·CM ＝AD ·CB. 在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD.∴AC ∶CB ＝AD ∶CD ， 即AC ·CD ＝AD ·CB. ∴AE ·CM ＝AC ·CD.20、解：(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ＝BD ， ∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°. ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°.在△DCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△DCE ≌△DCF.∴DE ＝DF. (2)∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°， ∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°. ∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°， ∴∠F ＝∠CDE.∴△CDF ∽△CED. ∴CD CE ＝CFCD . ∴CD 2＝CE ·CF.∵∠ACB ＝90°，AD ＝BD ， ∴CD ＝12AB.∴AB 2＝4CE ·CF.21、解：(1)∵CE EB ＝13，∴CE CB ＝14.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴EF FD ＝CE AD ＝CE CB ＝14.∴S △CEF S △CDF ＝14. (2)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADB ＝∠ACD ＝45°，AD ＝2OA. ∵DE 平分∠CDB ， ∴∠BDE ＝∠CDE.∵∠ADF ＝∠ADB ＋∠BDE ，∠AFD ＝∠ACD ＋∠CDE ， ∴∠ADF ＝∠AFD.∴AF ＝AD.∴AF ＝2OA. (3)设BC ＝4x ，CG ＝y ，则CE ＝2x ，FG ＝y ， ∵FG ∥CD ，∴△EGF ∽△ECD. ∴EG EC ＝FG CD ，即2x －y 2x ＝y 4x ， 整理，得y ＝43x ，即CG ＝43x.∴EG ＝2x －y ＝23x.∴BG ＝2x ＋23x ＝83x.∴CG ＝12BG.。
九年级数学上册单元清五检测内容第四章图形的相似新版北师大版(含参考答案)
九年级数学上册：检测内容：第四章 图形的相似得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面不是相似图形的是( A ),A),B) ,C),D)2．已知b a ＝513，则a －ba ＋b 的值是( D )A.23B.32C.94D.493．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，点O 为位似中心，若OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶1,第3题图) ,第4题图),第5题图) ,第6题图)4．如图，P 是△ABC 的AC 边上一点，连接BP ，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是( B )A ．AB 2＝AP ·AC B ．AC ·BC ＝AB ·BP C ．∠ABP ＝∠C D ．∠APB ＝∠ABC5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADES 梯形DBCE的值是( B )A.35B.916C.53D.16256．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A ，再在河的这一边选两点点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后再在河岸上选一点E ，使得EC ⊥BC ，设BC 与AE 交于点D ，如图所示，测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，那么这条河的大致宽度是( C )A ．75米B ．25米C ．100米D ．120米7．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．4,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)8．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是( C )A ．∠C ＝2∠AB ．AD 2＝DC ·AB C ．△BCD ∽△ABD D ．BD ＝AD ＝BC9．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG的值为( B )A.23B.712C.12D.51210．(2018·梧州)如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( D ) A ．3∶2 B ．4∶3 C ．6∶5 D ．8∶5 二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需要添加一个条件是∠A ＝∠D .(写出一种情况即可)12．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，OA ＝4，OB ＝6，OD ＝6，则OC ＝9.,第12题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图)13．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，已知S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝2∶3.14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，4)，B(－4，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是(－1，2) .15．(2018·上海)如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是 .16．如图是一山谷的横断面的示意图，宽AA ′为15 m ，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA ＝5 m ，OB ＝10 m ，O ′A ′＝3 m ，O ′B ′＝12 m(A ，O ，O ′，A ′在同一条水平线上)，则该山谷的深h 为20 m.,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，n 个全等三角形排列在一条直线BC 上，P n 为A n C n 的中点，若BP n 交A 1C 1于Q ，则C 1Q 与A 1Q 的等量关系为A 1Q ＝(2n －1)C 1Q.18．在Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，点D ，E 分别是线段AB ，AC 上的两个动点(不与点A ，B ，C 重合)．沿DE 翻折△ADE ，使得点A 的对应点F 恰好落在直线BC 上，当DF 与Rt △ABC 的一条边垂直时，线段AD 的长为__________．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，△ABC 在方格中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系xOy ，使A(2，3)，C(6，2)，并写出点B 的坐标； (2)在(1)的条件下，以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的△A ′B ′C ′.解：(1)B (2，1) (2)画图略20．(8分)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60 cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)证明：由对称性可知∠EFG ＝∠DFG ，又∵GF ⊥BC ，∴∠EFB ＝∠DFC.又∵在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)由(1)可知△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，∴70130＝260－CFCF，∴CF ＝169 cm21．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF(2)由(1)知△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF .又∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DEEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC22．(9分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 上的一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，连接AD ，AG ，DG.求证：(1)BD ·BC ＝BG ·BE ； (2)∠BGA ＝∠BAC.证明：(1)∵∠BGD ＝∠C ，∠GBD ＝∠CBE ，∴△BDG ∽△BEC ，∴BD BE ＝BG BC ，∴BD ·BC ＝BG ·BE(2)∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BD AB ＝AB BC，∴AB 2＝BD ·BC.又由(1)知BD ·BC ＝BG ·BE ，∴AB 2＝BG ·BE ，∴BG AB ＝AB BE.又∵∠GBA ＝∠ABE ，∴△GBA ∽△ABE ，∴∠BGA ＝∠BAC23．(9分)如图，为测量山峰AB 的高度，在相距50 m 的D 处和F 处分别竖立高均为2 m 的标杆DC 和FE ，且AB ，CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后2 m 到G 处可以看到山峰A 和标杆顶点C 在同一直线上，从标杆FE 退后4 m 到H 处可以看到山峰A 和标杆顶点E 在同一直线上，求山峰AB 的高度及山峰与标杆CD 之间的水平距离BD 的长．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD .又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ，∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ，∴22＋BD ＝44＋50＋BD ，解得BD ＝50 m ，∴2AB ＝22＋50，解得AB ＝52 m24．(11分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．(1)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的“完美分割线”，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(2)如图②，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的“完美分割线”，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求“完美分割线”CD 的长．解：(1)∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°.①当AD ＝CD 时，∠ACD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时，∠ADC ＝∠A ＝48°＝∠BCD ，这与∠ADC ＝∠BCD ＋∠B 相矛盾，舍去．∴∠ACB ＝96°或114°(2)由已知可知AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ，∴BC BA ＝BD BC ＝CD AC .设BD ＝x ，∴(2)2＝x (x＋2)，解得x ＝3－1或x ＝－3－1(舍去)．∴CD AC ＝3－12，∴CD ＝3－12×2＝6－225．(13分)在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB.(1)若四边形ABCD 为正方形，①如图①，请直接写出AE 与DF 之间的数量关系：DF ＝2AE ；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到如图②所示的位置，连接AE ，DF ，猜想AE 与DF 之间的数量关系，并说明理由；(2)如图③，若四边形ABCD 为矩形，BC ＝mAB ，其他条件都不变，将△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，连接AE ′，DF ′，请在图③中画出草图，并直接写出AE ′与DF ′之间的数量关系．解：(1)①点拨：∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BD ＝2AB. ∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2BE ，∴BD －BF ＝2AB －2BE ， 即DF ＝2AE ，故答案为DF ＝2AE②DF ＝2AE ，理由如下：由题意可知∠ABE ＝∠DBF ，∵BF BE ＝2，BD AB ＝2，∴BF BE ＝BDAB，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF AE ＝BFBE ＝2，故DF ＝2AE(2)如图③，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝1＋m 2AB.∵EF⊥AB ，∴EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴BE BA ＝BF BD ，∴BF BE ＝BD BA＝1＋m 2.∵△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴BF′BE′＝BDBA＝1＋m 2，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴DF′AE′＝BD BA＝1＋m 2，即DF ′＝1＋m 2AE ′单元清五1．A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10．D 11.∠A ＝∠D(答案不唯一) 12.9 13.2∶314．(－1，2)或(1，－2) 15.127 16.20 m17．A 1Q ＝(2n －1)C 1Q 18.209或 20719．解：(1)B(2，1) (2)画图略20．解：(1)证明：由对称性可知∠EFG ＝∠DFG ，又∵GF ⊥BC ，故∠EFB ＝∠DFC.又∵在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)由(1)可知△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，∴70130＝260－CFCF，∴CF ＝169 cm21．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF(2)由(1)知△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF .又∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DEEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC22．证明：(1)∵∠BGD ＝∠C ，∠GBD ＝∠CBE ，∴△BDG ∽△BEC ，∴BD BE ＝BGBC，∴BD ·BC＝BG ·BE(2)∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BD AB ＝AB BC，∴AB 2＝BD ·BC.又由(1)知BD ·BC ＝BG ·BE ，∴AB 2＝BG ·BE ，∴BG AB ＝AB BE.又∵∠GBA ＝∠ABE ，∴△GBA ∽△ABE ，∴∠BGA ＝∠BAC23．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD .又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ，∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ，∴22＋BD ＝44＋50＋BD ，解得BD ＝50 m ，∴2AB ＝22＋50，解得AB ＝52 m 24．解：(1)∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°.①当AD ＝CD 时，∠ACD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时，∠ADC ＝∠A ＝48°＝∠BCD ，这与∠ADC ＝∠BCD ＋∠B 相矛盾，舍弃．∴∠ACB ＝96°或114°(2)由已知可知AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ，∴BC BA ＝BD BC ＝CD AC .设BD ＝x ，∴(2)2＝x(x＋2)，解得x ＝3－1或x ＝－3－1(舍去)．∴CD AC ＝3－12，∴CD ＝3－12×2＝6－ 225．解：(1)①DF ＝2AE 点拨：∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BD ＝2AB.∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2BE ，∴BD －BF ＝2AB －2BE ，即DF ＝2AE ，故答案为DF ＝2AE②DF ＝2AE ，理由如下：由题意可知∠ABE ＝∠DBF ，∵BF BE ＝2，BD AB ＝2，∴BF BE ＝BDAB，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF AE ＝BFBE＝2，故DF ＝2AE(2)如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝1＋m 2AB.∵EF⊥AB ，∴EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴BE BA ＝BF BD ，∴BF BE ＝BD BA＝1＋m 2.∵△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴BF′BE′＝BD BA ＝1＋m 2，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴DF′AE′＝BD BA ＝1＋m 2，即DF ′＝1＋m 2AE ′。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案(必刷题)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合.设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为（）A. B. C. D.2、如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.4、小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.45、如图，点D是△ABC的边BC的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周长为10，则△ACD的周长是（）A.5B.5C.D.6、如图，△ABC 内接于⊙ O ，AD 是△ABC 边 BC 上的高，D 为垂足.若 BD = 1，AD = 3，BC = 7，则⊙O 的半径是（）A. B. C. D.7、如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长是( )A. B. C. D.8、如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.10、如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A. B. C. D.11、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm12、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A.72B.18C.12D.2013、如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC=OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.314、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，且把三角形ABC分成面积为S1， S2， S3三部分，则S1：S2：S3=（）A.1：2：3B.1：4：9C.1：3：5D.无法确定15、已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5∥l6∥l7，且每相邻两条直线的距离相等.若直线l8分别与l1， l2， l5， l7相交于点A，B，C，D，则AB：BC：CD为________.17、在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM=________．18、已知，则的值为________.19、把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为________．20、上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为________米21、如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD 于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________．22、如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm, OB=15 cm，则火焰的长度为________.23、将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作：（ 1 ）如图1，先将纸片对折，使BC和AD重合，得到折痕EF；（ 2 ）如图2，再将纸片分别沿EC，BD所在直线翻折，折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是________.24、如图，在直线l上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC ＝CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC∥HG∥DE，GN∥DC∥HF∥AB．设图中三个四边形的面积依次是S1， S2， S3，若S1+S3＝20，则S1＝________，S2＝________．25、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程.534%－2x=0.5627、李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．28、如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH．29、如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC 与△BPD相似吗？为什么？30、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C4、D5、B6、C7、D8、D9、D10、B11、C12、B13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，DE，AC相交于点F，S△CEF＝1，则S△ADC＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且//DE AC，若BE：CE=1:3，则DOE AOCS S:的值为（）A ．1 3B．14C．19D．1163．如图，已知,//,//ABC DF BC DE AC△，四边形DECF的面积为12,若DE经过ABC的重心，则ABC的面积为（）A．25B．26C．27D．284．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB <BC ．若AC=4，则BC 的长为（ ） A ．252+B ．252-C ．51- D ．51-6．如图，ABC 中，90ABC ∠=︒，点E 在CB 的延长线上，13BE AB =，过点E 作ED AC ⊥于D ．若AD ED =，6AC =，则CD 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．47．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个等腰三角形B ．两个等边三角形C ．两个平行四边形D ．两个菱形8．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDCABCS S的比值是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．239．OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A 的坐标为(3,33，OAB 与OA B ''△关于点О成位似图形，且在点О的同一侧，OAB 与OA B ''△的位似比为1：2，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．()6,63-B ．()6,63-C ．()3,33--D ．()6,6310．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAECAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．2BC DE =B ．ADE ABC ∆∆C ．AD ABAE BC= D ．4ABC ADE S S ∆∆=12．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．14．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．15．如图，在ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ED DC ==．点F ，M 在AB 边上，且////FE MD BC ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则EFBN的值＝______．16．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠ADC ＝120°，以AC 为边作菱形ACC 1D 1，且∠AD 1C 1＝120°；再以AC 1为边作菱形AC 1C 2D 2，且∠AD 2C 2＝120°…；按此规律，菱形AC 2020C 2021D 2021的面积为_____．17．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(2,4)A -，(3,1)B -，(2,0)C -，以原点O 为位似中心，把ABC 缩小为原来的12，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标为__________．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________； （2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________． 19．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，P 为CD 边上的动点，当DP =_________时，ADP △与BCP 相似．20．如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，6BC =，点E 在对角线BD 上，且1.8BE =，连结AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD=________．三、解答题21．在平面直角坐标系中，已知点1,0A ，()0,3B ，()3,0C -，D 是线段AB 上一点，CD 交y 轴于E ，且2BCE AOB S S =△△，（1）求直线AB 的解析式： （2）求点D 的坐标；（3）猜想线段CE 与线段AB 的数量关系和位置关系，并说明理由； （4）若F 为射线CD 上一点，且45DBF ∠=︒，求点F 的坐标．22．如图，直线AB 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点()0,2B ，点()1,3C -在直线AB 上，连结OC ．（1）求直线AB 的解析式和OBC 的面积；（2）点P 为直线AB 上一动点，AOP 的面积与BOC 的面积相等，求点P 的坐标． 23．在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在AC 、AB 上，AG ⊥BC 与点G ，AF ⊥DE 于F ，∠EAF =∠GAC ．（1）求证：△AEF ∽△ACG ． （2）求证：∠ADE =∠B ． （3）若AD =3，AB =5，求AFAG．24．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使CE BC =，连接DE ，连接AE 交BD 于点G ，交CD 于点H ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）求证：2DG FG BG =⋅；（3）若10AB =，12BC =，求线段GH 的长度．25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为()()()2,1,1,3,4,1A B C ，若111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，且1A 的坐标为()4,2，请画出111A B C △，并给出顶点11,B C 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ．（1）A 点的坐标为 ，B 点的坐标为 ；（2）若M 为直线()0y mx m =>在第一象限上一点，连接MA ，MB ． ①当1m =时，ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，求点M 的坐标；②当1m ≠时，是否仍然存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形的情况？如果存在，求此时点M 的坐标；如果不存在，说明理由；③当ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形，且为锐角三角形时，直接写出m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EFAD DF= ∵E 是BC 的中点， ∴EC=1122BC AD =∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1， ∴S △ADF ＝4，∵12EF DF = ∴DF=2EF∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2， ∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．2．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ，∴14DE BE AC BC ==，∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==， 故选：D ． 【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．3．C解析：C 【分析】设重心为G ，则2BGGH=，根据三角形相似的判定与性质可得49BDE ABCS S =，19ADF ABCSS=，列出方程组并求解即可． 【详解】解：∵DE 经过ABC 的重心，设重心为G ，则2BGGH=，∵//,//DF BC DE AC ，∴△BDE ∽△BAC ，△ADF ∽△ABC ， ∴23DE BG BD AC BH AB ===， ∴13AD AB =， ∴49BDE ABCS S =，19ADF ABCS S=， ∴45BDEADFDECFSSS =+，18ADFBDEDECFSSS =+，∴41251128BDEADF ADF BED S SS S ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得12BDES=，3ADFS=，∴27△ABC S =， 故选：C ． 【点睛】本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线 ∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线 ∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OEAB OB=，即③结论正确；∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．5．B解析：B【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=12AC ，将AC=4代入即可得出BC 的长度． 【详解】解：∵点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＜BC ，∴AC ， ∵AC=4，∴BC=2．故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=512-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 6．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ，∴BE EF AB AC=， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．7．B解析：B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A 错误；任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，故B 正确；任意两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，故C 错误；任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故D 错误； 故答案选B ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．8．B解析：B【分析】利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．【详解】∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据位似图形的性质和△OAB 和△OA B ''的位似比为1:2，即可求出两三角形的相似比为1:2，即可根据点A 的坐标求出点A '的坐标；【详解】如图所示：作AC ⊥OB 于点C ，∵A(3，33，AC ⊥OB ，∴ OC=3， AC=33 ∴ 229276OA OC AC =+=+=，∵ △AOB 和△OA B ''的位似比为1:2，∴ OA '=2OA=12，即△AOB 和△OA B ''的相似比为1:2，∴ A '(6，3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似图形与位似图形的性质，正确理解位似图形是解题的关键． 10．D解析：D【分析】①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；【详解】 由已知得：2,2AC AD ==AC AD AB AE∴= BAC EAD ∠=∠BAE CAD ∴∠=∠BAE CAD ∴∽所以①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O则AOB POC ∠=∠BAE CAD ∽45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒所以②正确；BAE CAD ∽BEA CDA ∴∠=∠PME AMD ∠=∠PME AMD ∴∽MP ME MA MD∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴所以③正确；由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠PMA EMD ∴△∽90APD AED ∴∠=∠=︒18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒CAP CMA ∴∽2AC CP CM ∴=⋅ 2AC =22CB CP CM ∴=⋅所以④正确故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．11．C解析：C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意BC 是△ABC 的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE ，BC ∥DE ，∴A 正确，且∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴ΔADE ∼ΔABC ，且相似比=DE:BC=1:2，∴B 正确，S ΔABC =4S ΔADE ，且AD:AE=AB:AC ，∴D 正确，C 错误，故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．12．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==， 即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△， 因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =， 即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．二、填空题13．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解． 【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 15．【分析】先证明再根据三角形全等证明即可解答【详解】在和中故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理全等三角形的判定和性质等知识解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理全等三角形的判定和性质 解析：14【分析】 先证明13EF BC =，再根据三角形全等证明EF CN =即可解答． 【详解】////EF DM BC ，AE DE CD == 13EF AE BC AC ∴== 在EFD △和CND △中EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EFD △≌CND △EF CN ∴=:1:3CN BC =:1:4CN BN ∴=14EF BN ∴= 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质．16．【分析】根据题意可以求得菱形ABCD 的面积再根据题意可以知所有的菱形都相似即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E 如右图所示由已知可得∠ABC ＝解析：40412【分析】根据题意，可以求得菱形ABCD 的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC 2020C 2021D 2021的面积．【详解】解：作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，如右图所示，由已知可得，∠ABC ＝120°，BC ＝1，∠CAB ＝30°，∴∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴CE ∴AC∴菱形ABCD 的面积是，∵AC AB ＝1，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C 2021D 2021（1）2]2020×4040【点睛】本题考查了图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．17．或【分析】根据在平面直角坐标系中如果位似变换是以原点为位似中心相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k 即可求得答案【详解】解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-24）B （-31）C （-2解析：(1,2)-或(1,2)-【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．【详解】解：∵△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，4），B （-3，1），C （-2，0），以原点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的12，得到△A'B'C′， ∴点A 的对应点A'的坐标为：（-2×12，4×12）或[-2×（-12），4×（-12）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案为：（1，-2）或（-1，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．18．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2； （2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==， ∵AD=BC ， ∴AF=13AD ， ∴FD AF=2； （2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ， ∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△， ∴296ABC ABCD S S==四边形 ， 故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．2或8或5【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB 根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度【详解】∵四边形ABCD 是矩形AD ＝4AB ＝10∴BC ＝AD ＝4CD ＝AB ＝10设D解析：2或8或5【分析】需要分类讨论：△ADP ∽△BCP 和△ADP ∽△PCB ，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝4，AB ＝10∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝10，设DP ＝x ，则CP ＝10－x ，分两种情况进行讨论：①当△ADP ∽△BCP 时，AD DP BC CP =，即4410x x =- ∴()4104x x ⨯-=，解得：5x =；②当△ADP ∽△PCB 时，AD DP PC BC=，即4104x x =-， ∴()1016x x -=解得：x=2或x=8，故答案为：2或8或5．【点睛】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x 的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位． 20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：3DF =，则CF CD DF =-=∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键． 三、解答题21．（1）33y x =-+；（2）36,55D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由见解析；（4）163,55F ⎛⎫-⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入03k b b +=⎧⎨=⎩，解方程组即可；（2）设()0,E t ，由1,0A ，()0,3B ，可求1OA =，3OB =，利用面积公式可求32AOB S =．由2BCE AOB S S =△△，可求3BCE S =，利用面积求法()13332t -⨯=，求出1t =，可求点()0,1E ．可求直线CD 的解析式为113y x =+．联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，求解即可；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：可证COE BOA △≌△， 由性质得CE AB =，OCE OBA ∠=∠，再求90CDA ∠=︒即可；（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ．由CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，可证12BF F △为等腰直角三角形，再证12BFG F BH △≌△（AAS ），可得2F HBG =，1BH FG =，设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F H BG m ==-，求出212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由点2F 在直线CD ：113y x =+上，构造方程1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解之即可． 【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入03k b b +=⎧⎨=⎩， 解得33k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为33y x =-+．（2）设()0,E t ，∵1,0A ，()0,3B ，∴1OA =，3OB =， ∴11313222AOB S OA OB =⋅=⨯⨯=△． ∵2BCE AOB S S =△△，∴3BCE S =， ∴()1133322BE OC t ⋅=-⨯=， 解得1t =，∴()0,1E ．设直线CD 的解析式为y=mx+n ，将C 、E 坐标代入得，-301m n n +=⎧⎨=⎩， 解方程组得131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，直线CD 的解析式为113y x =+． 联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩， 解得35x =，65y =，∴36,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：∵1OE OA ==，3OC OB ==，90COE BOA ∠=∠=︒，∴COE BOA △≌△，∴CE AB =，OCE OBA ∠=∠，∵90OBA BAO ∠+∠=︒，∴90OCE BAO ∠+∠=︒．∴90CDA ∠=︒，∴CE AB ⊥．（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ． ∵CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，∴∠BF 1D=∠BF 2D=45°，∴12BF F △为等腰直角三角形，∴12BF BF =，1290F BF ︒∠=，∴∠GBF 1+∠HBF 2=90°，∠HBF 2+∠HF 2B =90°，∴∠GBF 1=∠HF 2B∵∠G=∠H=90°，12BFG F BH △≌△（AAS ），∴2F H BG =，1BH FG =， 设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F H BG m ==-， 11131233BH FG m m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭． ∴212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∵点2F 在直线CD ：113y x =+上， ∴1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 解得65m =-．∴163,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查直线的解析式，三角形面积，直线的位置关系与线段数量关系，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，掌握直线的解析式的求法，利用三角形面积求点坐标，判断直线的位置关系与线段数量关系方法，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，解题关键是引辅助线构造图形．22．（1）直线AB 的解析式为：2y x =-+，S △OBC =1；（2）点P 的坐标为（1，1）或（3，-1）．【分析】解：（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，直线AB 过B 、C 两点，把B 、C 坐标代入直线得：32k b b -+=⎧⎨=⎩，解方程组得：12k b =-⎧⎨=⎩，直线AB 的解析式为：2y x =-+，由点C 与B 坐标可求CD=1，OB=2，利用面积公式可求S △OBC =1OB CD=12⋅； （2）∵点P 为直线AB 上一动点，求出A 点坐标和OA=2，设点P 的横坐标为x ，纵坐标为-x+2，由AOP 的面积与BOC 的面积相等，构造方程12212x ⨯⋅-+=，当21x -+=，P （1，1）；当21x -+=-时，P （3，-1），综合即可．【详解】解：（1）过C 作CD ⊥y 轴于D ， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，过B 、C 两点，把B 、C 坐标代入直线得：32k b b -+=⎧⎨=⎩， 解方程组得：12k b =-⎧⎨=⎩， 直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点()0,2B ，点()1,3C -，∴CD=1，OB=2，S △OBC =11OB CD=21=122⋅⨯⨯； （2）∵点P 为直线AB 上一动点， 当y=0时，2=0x ，x=2，OA=2，设点P 的横坐标为x ，纵坐标为-x+2， ∵AOP 的面积与BOC 的面积相等，∴S △AOP =1OA 2P y ⋅，S △OBC =1， ∴12212x ⨯⋅-+=， 21x -+=±，当21x -+=，x=1，12=1y ，P （1，1），当21x -+=-时，x=3，321y ，P （3，-1），AOP 的面积与BOC 的面积相等时点P 的坐标P （1，1）或（3，-1）．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，以及面积相等时动点P 坐标问题，掌握直线解析式求法，三角形面积公式，以及利用面积相等构造一元一次方程求动点P 坐标是解题关键． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）35AF AG =． 【分析】（1）根据条件AG BC AF DE ⊥⊥，，EAF GAC ∠=∠，可得AED ACB ∠=∠，又EAD BAC ∠=∠，证明即可；（2）由（1）知EAF ACG △∽△，证明得到∠AEF =∠D ，再利用公共角相等即可证明∠ADE=∠B ；（3）由（2）知35AD AEAB AC==，再证明EAF CAG，运用相似三角形对应边的比相等即可求解出结果．【详解】证明：（1）如图AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F ∴∠AFE=∠AGC=90°在ΔAEF与ΔACG中∠AFE=∠AGC=90°∠EAF=∠GAC∴ΔAEF∽ΔACG（2）由（1）知EAF ACG△∽△，∴∠AEF=∠C在ΔADE与ΔABC中∵∠AEF=∠D，∠DAE=∠BAC（公共角）∴∠ADE=∠B（3）由（2）知在ΔADE与ΔABC中∵∠AEF=∠C∠DAE=∠BAC（公共角）ΔADE∽ΔABC∴AE ADAC AB=由（1）知EAF ACG△∽△∴AE AFAC AG=∴AF ADAG AB=又已知AD=3，AB=5，∴35 AFAG=．【点睛】本题考查相似三角形判定和性质综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形判定和性质是解决本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）13 3【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得ADG EBG ∆∆∽，AGF EGD ∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到2DG FG BG =⋅；（3）由已知可得到DH ，AH 的长，又因为ADG EBG ∆∆∽，从而求得AG 的长，则根据GH AH AG =-就得到了线段GH 的长度．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，AD BC =，延长BC 到点E ，使CE BC =，//AD CE ∴，AD CE =，∴四边形ACED 是平行四边形；（2）证明：ABCD 是矩形，且//AD BC ，ADG EBG ∽， ∴DG AG BG GE=， 四边形ACED 是平行四边形，//AC DE ∴，AGF EGD ∽， ∴AG FG EG DG ， ∴DG FG BG DG=， 2DG FG BG ； （3）解：四边形ACED 为平行四边形，AE ，CD 相交点H ， 11522DH DC AB ，12AD CE ==， 在Rt ADH ∆中，222AH AD DH =+13AH， 在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2100576AE ， 26AE， ADG BGE ∽， ∴12AG AD EG BE ， 12AG GE ， 2GEAG ， 12633AGAE ， 26131333GH AH AG．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．25．见解析，11(),(2,6)8,2B C【分析】根据点A 、1A 的坐标求出位似比为2：1，再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案．【详解】111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，点A 坐标为()2,1，点1A 的坐标为()4,2∴111A B C △与ABC 的位似比为2：1∴如图所示：111A B C △即为所求；11(),(2,6)8,2B C .【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，解题关键是熟练掌握位似的性质．26．（1）()2,0，()0,4；（2）①M ()3,3；②不存在，见解析；③122m << 【分析】（1）由x=0时,y=4，可求B （0，4），由y=0时，24=0x -+解得=2x ，可求A （2，0）；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =．由勾股定理求5AB =ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形， 可求AM BM ==M 为直线y x =在第一象限上一点，45BOM COM ︒∠=∠=．过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，有MD MC =，可证△BMD ≌△AMC （ASA ），妨设点M 的坐标为(),a a ，利用DB=AC 可得42a a -=-，可求3a =． ②不存在．由1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，可得tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠，可证△BMD ∽△AMC ，可得OC 1MCBM DM AM CM ==≠，可得BM≠AM 即可； ③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，设E （x,y ）可求E （1,2），()0y mx m =>过点E 时，可得 m=2，证△FAE ∽△BAO ，求得AF=5，求得F （-3，0）设EF 解析式为：y kx e =+，可求直线FE ：13y 22x =+，当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12，结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形． 【详解】解：（1）一次函数24y x =-+图象与坐标轴分别交于点(),0A a ，()0,B b ， 当x=0时,y=4，B （0，4），当y=0时，24=0x -+解得=2x ，A （2，0），故答案为：()2,0，()0,4；（2）①由()2,0A ，()0,4B ，得2OA =4OB =，AB ∴==ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形，BM AM ∴=，22220AM AB ==，即AM BM ==点M 为直线y x =在第一象限上一点，即45BOM COM ︒∠=∠=，过点M 分别向x 轴，y 轴作垂线段MC ，MD ，则有MD MC =．∵90BMA ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°，∴△BMD ≌△AMC （ASA ），∴BD=AC ，不妨设点M 的坐标为(),a a ，则有OD OC MD MC a ====．BD AC OB OD OC OA ∴==-=-．42a a ∴-=-，解得3a =．点M 的坐标为()3,3；②不存在．∵1m ≠，设M 点的横坐标为x ，则M 点的纵坐标为mx ，tan ∠MOC=MC =1OC mx m x =≠ ∴MC 1OC≠， ∵90BAM ︒∠=，∠DMC=90°，∴∠BMD+∠DMA=90°，∠DMA+∠AMC=90°，∴∠BMD=∠AMC ，∵∠BDM=∠ACM=90°， ∴△BMD ∽△AMC ， ∴OC 1MCBM DM AM CM ==≠， ∴BM≠AM ， ∴不存在ABM ∆是以AB 为底的等腰直角三角形；③取AB 的中点E ，过E 作AB 的垂线，交x 轴与F ，与直线()0y mx m =>交于M ，则△ABM 为等腰三角形，∴B （0，4），A （2，0），设E （x,y ），∴2012x +==，0422y +==， ∴点E 坐标为E （1,2）， ()0y mx m =>过点E 时，2=m ，∴m=2，∵AB 25=，∴5∵∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE=∠BEO ，∴△FAE ∽△BAO ， ∴FA AE =AB OA即5=225， ∴AF=5，∴FO=FA-OA=5-2=3，∴F （-3，0），设EF 解析式为：y kx e =+，过E 、F 两点，3=02k e k e -+⎧⎨+=⎩， 解得1232k e ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线FE ：13y 22x =+， 当()0y mx m =>与EF 平行是两直线没有交点，即m=12， 结合图形得122m <<时，ABM ∆是以AB 为底的等腰三角形．【点睛】本题考查x ，y 轴上点的特征，勾股定理，三角形全等判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一次函数解析式求法，抓住BD=AC 构造等式， EF 与 直线y mx =交于E 以及平行是解题关键．。
2018年北师大九年级数学上册《第四章图形的相似》测试卷及答案
2018-2019学年九年级数学上册第四章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16 3．若x y ＝13，则x ＋y y＝（ ）A ．4∶3B ．1∶4C ．2∶3D ．4∶14．在比例尺为1∶10000的地图上，相距4cm 的A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．400m B ．400dm C ．400cm D ．400km5．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m第5题图第6题图6．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC＝23，DE ＝4，则EF 的长是（ ） A.83 B.203C ．6D ．10 7．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）A ．8和12B ．9和11C ．7和13D ．6和148．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．12第8题图9. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)第9题图第10题图第11题图10．如图，已知矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝BE ，那么BC 与AB 的比值是（ ） A.1＋22 B.1＋32 C.1＋52 D.1＋6211．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB12．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE 、BD 交于F ，若S △DEF ∶S △ABF＝1∶9，则DE ∶EC ＝（ ）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶9D ．2∶1第12题图第13题图第14题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AC ＝AE AB ＝12，∠BAC 的平分线分别交DE ，BC 于点N ，M .则ENBM的值为（ ） A.12 B.13 C.25 D.3514．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ，使斜边DE 所在的直线经过点A .测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m.已知DF ＝1.5m ，EF ＝0.6m ，那么树AB 的高度等于（ ）A ．4mB ．4.5mC ．4.6mD ．4.8m15．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB .其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个第15题图第16题图二、填空题(每小题5分，共25分)16．已知图中的两个三角形相似，则x ＝ .17．如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为 .第17题图18．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．19．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为 .第19题图第20题图20．如图，在三角形ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝12，在AB 上取一点E ，使以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ .三、解答题(共80分)21．(8分)已知a b ＝15，求2b －a 3a 的值．22．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (－1，4)，C (－3，2)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 2B 2C 2，并直接写出C 2点坐标；(3)如果点D (a ，b )在线段AB 上，请直接写出经过(2)的变化后D 的对应点D 2的坐标．24．(12分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．25．(12分)如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．26．(14分)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD 并延长交CE于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．27．(16分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(1)CG＝BH；(2)FC 2＝BF ·GF ； (3)FC 2AB 2＝GF GB.上册第四章检测卷1．D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9．A 10.C 11.D 12.A 13.A 14.A15．B 解析：∵BE ，CD 是△ABC 的中线，即D ，E 是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB .∴S △DOE S △COB ＝⎝⎛⎭⎫DE BC 2＝14，OE OB ＝DE BC ＝AD AB ＝12，可知①正确，②错误，③正确．故选B. 16．22 17.9518.(105－10) 19.5.1m20．16或9 解析：∠A 是公共角，△AED 与△ABC 相似分两种情况：①AD 与AC 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AB ＝AD AC ，即AE 24＝1218，解得AE ＝16；②AD 与AB 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AC ＝AD AB ，即AE 18＝1224，解得AE ＝9，∴AE ＝16或9.21．解：∵a b ＝15，∴b ＝5a ，(3分)则2b －a 3a ＝2×5a －a 3a＝3.(8分)22．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1，∠D 和∠D 1，∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.(3分)由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(5分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15 cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)23．解：(1)如图所示，C 1(3，2)；(3分)(2)如图所示，C 2(－6，4)；(6分) (3)D 2的坐标是(2a ，2b )．(10分) 24．(1)证明：∵∠EFG ＝∠DFG ，∠BFG ＝∠CFG ＝90°，∴∠EFB ＝∠DFC .(3分)∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF ；(5分)(2)解：∵△BEF ∽△CDF ，∴BE DC ＝FB FC .(7分)设CF ＝x cm ，则105140＝280－xx ，解得x ＝160.(11分)∴CF 的长为160cm.(12分)25．解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝48＝12，(3分)∴DE ＝12EF ＝6；(5分) (2)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝23，(8分)∴BC ＝32AB ＝32×6＝9，(10分)∴AC ＝AB ＋BC ＝6＋9＝15.(12分)26．(1)证明：在等边△ABC 中，∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°.∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝60°，∴∠A ＝∠ACE .(4分)又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；(6分)(2)解：∵△ABD ∽△CED ，AD ＝2CD ，∴AB CE ＝AD CD ＝2，∴CE ＝12AB ＝3.(8分)如图，过E 作EG ⊥BF 交BF 于点G ，在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，CE ＝3，∴CG ＝32，由勾股定理得EG ＝332.(11分)在Rt △BEG 中，BG ＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝⎝⎛⎭⎫1522＋⎝⎛⎭⎫3232＝63＝37.(14分)27．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AE ，∴AB ＝BC ，∠ABH ＋∠BAH ＝∠ABH ＋∠GBC ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG .(3分)∵CG ∥AE ，∴∠AHB ＝∠BGC ＝90°，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH ；(6分)(2)∵△BCF 是直角三角形，CG ⊥BF ，∠CFG ＝∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ，(8分)∴CFBF ＝FGFC，∴FC 2＝BF ·GF ；(10分) (3)∵∠BGC ＝∠BCF ＝90°，∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC .(12分)∴BC BF ＝BGBC，即FC2 AB2＝FC2BC2＝BF·GFBG·BF＝GFBG.(16分BC2＝BG·BF.(14分)由(2)得FC2＝BF·GF，∴。