数列通项公式与前n项和公式关系教案
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的前n项和的公式。
2. 培养学生运用等差数列的前n项和公式解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 等差数列的概念及通项公式。
2. 等差数列的前n项和公式。
3. 等差数列的前n项和的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的概念，等差数列的前n项和公式。
2. 教学难点：等差数列的前n项和的性质。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究等差数列的前n项和公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固等差数列的前n项和公式。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾等差数列的概念及通项公式。
2. 新课：讲解等差数列的前n项和公式，并通过案例分析让学生理解并掌握公式。
3. 练习：布置练习题，让学生运用前n项和公式解决问题。
4. 拓展：讲解等差数列的前n项和的性质，引导学生进行思考。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学活动：1. 课堂讨论：让学生举例说明在生活中哪些问题可以用等差数列的前n项和公式解决，促进学生对知识的理解和应用。
2. 小组合作：学生分组，每组选择一个实际问题，运用等差数列的前n项和公式进行解决，并展示解题过程和结果。
七、教学评价：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列的前n项和公式的掌握情况。
2. 课后作业：布置有关等差数列前n项和的练习题，评估学生对知识的吸收和运用能力。
3. 小组报告：评估学生在小组合作中的表现，包括问题选择、解题过程、结果展示等方面。
八、教学资源：1. PPT课件：制作包含等差数列前n项和公式的PPT课件，辅助教学。
2. 实际问题案例：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
等比数列前n项和教学教案
等比数列前n项和教学教案第一章：等比数列的概念1.1 等比数列的定义引导学生复习数列的概念，引入等比数列的定义。
通过示例，让学生理解等比数列的特点，即相邻两项的比值相等。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的性质，如通项公式的推导，公比的确定等。
利用性质解决问题，例如求等比数列的某一项或某几项的和。
第二章：等比数列的通项公式2.1 通项公式的定义和推导引导学生复习数列的通项公式，引入等比数列的通项公式。
通过示例，让学生理解通项公式的应用，能够求出等比数列的任意一项。
2.2 通项公式的运用利用通项公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考通项公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第三章：等比数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义和推导引导学生复习数列的前n项和的概念，引入等比数列的前n项和公式。
通过示例，让学生理解前n项和公式的应用，能够求出等比数列的前n项和。
3.2 前n项和的运用利用前n项和公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考前n项和公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第四章：等比数列的求和公式4.1 求和公式的定义和推导引导学生复习数列的求和公式，引入等比数列的求和公式。
通过示例，让学生理解求和公式的应用，能够求出等比数列的前n项和。
4.2 求和公式的运用利用求和公式解决实际问题，例如求等比数列的前n项和。
引导学生思考求和公式在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第五章：等比数列前n项和的性质5.1 等比数列前n项和的性质探讨等比数列前n项和的性质，如对公比的依赖性，与项数的关系等。
利用性质解决问题，例如判断等比数列前n项和的符号。
5.2 等比数列前n项和的运用利用前n项和的性质解决实际问题，例如判断等比数列前n项和的符号。
引导学生思考前n项和的性质在不同情境下的应用，提高学生的灵活运用能力。
第六章：等比数列前n项和的计算方法6.1 利用通项公式计算前n项和引导学生利用通项公式计算等比数列的前n项和。
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
《等差数列前n项和的公式》教案
《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。
能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。
2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。
公式的熟练运用。
2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。
提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。
方法一：依次相加。
方法二：倒序相加。
设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。
＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。
4.2.2-等差数列的前n项和公式 教案(师生互动)
高斯的算法实际上解决了数列
1，2，3，…， 前100项的和问题 。
老师问：高斯解决的是偶数项的问题。实际上我们会遇到的不仅是偶数项的问题。如果是奇数项的问题那又是如何解决？
老师：展示PPT让学生思考几种常用的解决奇数项的问题
老师：总结解决几种常用的奇数项的方法。
高斯（gauss,1777-1855),德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”
老师：展示PPT课件。据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
三、探究新知，讲授新课
1.老师：展示PPT高斯的算法：
作业布置：1.练习册P13 课后作业 1，4，9题
课后反思
高二年级组
老师：讲解倒序相加法
老师：我们只研究或解决了一些具体的等差数列的求和问题，那么对于一般的等差数列来说又是如何解决呢？
老师板演：等差数列的前n项和公式推导，并跟学生互动推导第1公式。
老师问：这个公式有哪些基本量？能否用_1,,表示_呢
？
老师板演：写出求和公式2.
老师问：我们如何选用以上两种公式？
老师：如果是n项的和的问题，我们又不知道奇数还是偶数项的情况下又是怎么解决呢？
老师：可以考虑分类讨论。
老师问：这个分类讨论有点麻烦，那么还有别的方法吗？
老师：展示PPT，讲解解决的这类问题的另一种问题（通过数形结合的方式引入倒序相加法）
老师：这种方法，使不同数的求和问题转化成了相同数的求和，从而简化了运算。
四．巩固练习
2020届高三复习经典教案：等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[最新考纲] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .[常用结论]1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的． ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项C [由题意知a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14，令－3n ＋14＝－49得n ＝21，故选C.] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6B [a 2，a 4，a 6成等差数列，则a 6＝0，故选B.] 4．小于20的所有正奇数的和为________．100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S 10＝10(1＋19)2＝100.] 5．(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. －1 [由S 2＝S 6得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，即a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，则a 5＝－1.]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是( ) A ．4 039 B ．4 038 C ．2 019 D ．2 038 A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知 ⎩⎨⎧ 2a 1＋22d ＝54，19a 1＋171d ＝437，解得⎩⎨⎧a 1＝5，d ＝2，所以a 2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A.] 2．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4C [由题意知⎩⎨⎧a 1＋a 7＝2a 1＋6d ＝－8，a 2＝a 1＋d ＝2.解得⎩⎨⎧d ＝－3，a 1＝5，故选C.]3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25 C [用a n 表示第n 天织布的尺数，由题意知， 数列{a n }是首项为5，项数为30的等差数列．所以30(a 1＋a 30)2＝390， 即30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，故选C.] 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. －72 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9， 解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×15×(－1)＝－72.]【例1】 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．[解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1 ＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1， 当n ＝4时，a n 取得最大值3.[拓展探究] 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． [解] 由已知可得 a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－2n .n 1n ＋1n (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得 na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .►考法1 等差数列项的性质的应用 【例2】 (1)(2019·长沙模拟)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 (2)(2019·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(1)D (2)A [(1)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.(2)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32得4a 8＝32，即a 8＝8.又d ≠0，所以等差数列{a n }是单调数列，由a m ＝8，知m ＝8，故选A.] ►考法2 等差数列前n 项和的性质【例3】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________. (1)B (2)8 076 [(1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，n n 102030(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m ＝________.(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.(1)60 (2)6 (3)3727[(1)由题意知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列．则2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)， 即40＝10＋(S 30－30)， 解得S 30＝60.(2)S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2(2m －1)a m2＝110，解得m ＝6.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.]【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8C [(1)法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．](2)已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8. ①求等差数列{a n }的通项公式；②若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n . [解] ①设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎨⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.②当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎨⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{3n －7}的前n 项和为S n ，则S n ＝n [(－4)＋(3n －7)]2＝32n 2－112n . 当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ，当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n )＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10，综上知：T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3.n 135246n n 则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.(1)B (2)130 [(1)因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n ≥0，解得n ≤412，所以当n ＝20时S n 达到最大值，故选B.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋…＋a 15)＝S 15－2S 5＝130.]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则 由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 故选C.] 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10 D ．12B [∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求Sn ，并求S n 的最小值．[解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.课后限时集训(二十九) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5C [法一：由题意得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5，故选C.法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝10(a 1＋a 10)2＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5，故选C.]2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104 D ．208 C [由a 2＋a 7＋a 12＝24得3a 7＝24， 即a 7＝8，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝13×8＝104，故选C.] 3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3nA [由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6C [∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0，∴a m ＝S m －S m －1＝2. 又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又 S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0， ∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5.] 5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤A [依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.]二、填空题6．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝________. 22 [a k ＝a 1＋(k －1)d ＝(k －1)d ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 4＝7a 1＋21d ＝21d ，所以k －1＝21，得k ＝22.]7．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 10 [a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋25，由S 100＝45得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝10.]8．(2019·青岛模拟)若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.43 [由题意得a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，所以a 1－a 2b 1－b 2＝43.] 三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . [解] (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(2019·长春模拟)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.[解] (1)设{a n }的公差为d .由题意，得 a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2) ＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n .B 组 能力提升1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列 C [a n ＝n ＋a 1－1，∴a 2n －1＝2n ＋a 1－2，a 2n ＝2n ＋a 1－1， ∴a 2n －1＋2a 2n ＝6n ＋3a 1－4.因此数列{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列，故选C.]2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a 1＝103，公差d 1＝13的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝na 1＋n (n －1)2d 1＝103n ＋132n (n －1)＝6.5n 2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b 1＝97，公差d 2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝nb 1＋n (n －1)2d 2＝97n －0.52n (n －1)＝－0.25n 2＋97.25n .两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n 2＋96.5n －0.25n 2＋97.25n ＝1 125×2，解得n ＝9，即它们第9天相遇，故选A.]3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________． 5 [由题意知a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，则公差d ＝a m ＋1－a m ＝1.由S m ＝0得m (a 1＋a m )2＝0，解得a 1＝－a m ＝－2， 则a m ＝－2＋(m －1)×1＝2，解得m ＝5.] 4．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .[解] (1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)，∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a nn ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－13＋2n －15)2＝n 2－14n . 令b n ＝2n －15≤0，n ∈N *，解得n ≤7.∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n .n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎨⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .[常用结论]1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n＝S 2n －1T 2n －1.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的． ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( )2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．64．小于20的所有正奇数的和为________．5．(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是( ) A ．4 039 B ．4 038 C ．2 019 D ．2 038 2．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．254．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【例1】 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．[拓展探究] 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．n 1n ＋1n (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．►考法1 等差数列项的性质的应用 【例2】 (1)(2019·长沙模拟)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 (2)(2019·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4►考法2 等差数列前n 项和的性质【例3】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.n n102030 (2)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m＝10，S2m－1＝110，则m＝________.(3)等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n和T n，若S nT n＝3n－22n＋1，则a7b7＝________.等差数列的前n项和及其最值【例4】(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是() A．5 B．6 C．7 D．8(2)已知等差数列{a n}的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{a n}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和T n.n135246n n则使S n达到最大值的n是()A．21 B．20 C．19 D．18(2)设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.1．(全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为() A．1B．2C．4D．82．·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10 D ．123．(全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．114．(全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．课后限时集训(二十九) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－52．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104 D ．2083．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤二、填空题6．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝________.7．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.8．(2019·青岛模拟)若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .10．(2019·长春模拟)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.B 组 能力提升1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列 C [a n ＝n ＋a 1－1，2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为________．4．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .。
等差数列及其前n项和教案
等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。
3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。
等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。
解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。
难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。
四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。
五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。
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数列通项公式与前n项和公式关系教案教学目标1．了解数列的通项公式a n与前n项和公式S n的关系．2．能通过前n项和公式S n求出数列的通项公式a n．3．培养学生辩证统一的观点．教学重点与难点重点：认清两者之间的关系．难点：通过S n求出a n的基本方法．教学过程设计(一)课题引入师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前n项和？生：如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．即a n=f(n)，数列的前n项和S n=a1＋a2＋…＋a n．师：那么S n是否也可以表示成关于项数n的函数式？(由前两个概念，学生不难得出正确答案，教师进一步指出这个函数式称为数列的前n项和公式)生：S n可以表示成关于项数n的函数式．师：现在研究一下a n与S n两者之间的关系，(板书)．需要考虑哪几种关系？(培养学生的辩证统一的观点，对今后的数学学习是有益的，掌握此观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题)生：应考虑已知a n是否可以求出S n；反之，已知S n是否可以求出a n．师：回答正确．两者之间的关系，应该是辩证统一的．这节课我们主要研究后一种，即已知S n是否可以求出a n．(二)提示S n与a n的关系师：(板书)例1 已知数列的前n项和S n=n2＋n．求：(1)a1，a2，a3，a4；(2)通项公式a n．(由形象思维到抽象思维，由特殊到一般，是研究数学问题的一般规律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用．给学生一个台阶，使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学)师：(板书)因为S n=a1＋a2＋…＋a n，则a1=S1=2，a2＝S2－a1＝4，a3＝S3－a1－a2＝6a4＝S4－a1－a2－a3＝8，……所以通项公式a n=2n．师：请问a n=2n是依据什么得出的？生：由前4项猜想得出的．师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法，因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论的正确性？生：没有．师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题．如果结果不是通过“归纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明．即是否能通过S n推导出a n？(“归纳—猜想—证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法，也是学生应熟练掌握的．而学生在运用“归纳—猜想—证明”时，往往容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳—猜想—证明”中最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法．)师：引导学生观察板书，可发现：a2=S2－a1中a1写成S1，即a2=S2－S1；a3=S3－a1－a2中，a1＋a2可写成S2，即a3=S3－S2；a4=S4－a1－a2－a3中，a1＋a2＋a3可写成S3，即a4=S4－S3，那么a n是否与S n也有以上关系？生：因S n=a1＋a2＋a3＋…＋a n，则a n=S n－(a1＋a2＋…＋a n-1)．又S n-1=a1＋a2＋…＋a n-1，则a n=S n－S n-1．师：现在大家一起来考虑这个关系式对于任意数列，任意自然数n 都能立？(设疑可以调动学生的思维，也为下一步教学作铺垫)师：带着这个问题，我们来讨论一道题．(板书)例2 已知数列的前n项和S n=n2＋n＋2，求数列的通项公式a n．生：(板书)a n=S n－S n-1=n2＋n＋2－[(n－1)2＋(n－1)＋2]=2n．(做完之后，部分学生就会提出疑问，这时教师应及时因势利导，指导学生讨论，顺理成章地引出本节课的难点；若没有学生提出质疑，教师也可设问引出)生：这个结果有问题．此题与例1得出的通项公式a n是一致的，说明两个数列应是同一个数列，而它们的前n项和S n又不相等，这不是矛盾吗？师：问题提的很好，大家想一想，开动脑筋，讨论一下，这其中的道理究竟是什么？(分组讨论，此时学生思维是非常活跃的，方法也很多，教师在巡视过程中，应注意发现积极有意义的成份)生：我用前面归纳a1，a2，a3，…的方法计算了一下，得出：a1=S1=4，a2=S2－S1=4，a3=S3－S2=6，a4=S4－a1－a2－a3=8，那么所谓通项公式a n=2n，是从第二项开始的，而不包括a1．师：那么问题出在哪儿？生：如果应用上述关系式a n=S n－S n-1，求a1，应为a1=S1－S0，但是S0又表示什么含义呢？师：这个问题提的在理，S0表示什么意义？(教师在教学过程中，一定要抓住学生在回答问题时积极有意义的因素，这样可以激发学生学习的兴趣，有利于培养学生良好的思维品质)师：我们在－开始已经指出前n项和公式S n是关于n的函数解析式，自变量n的范围是大于0的自然数，因此S0是没有意义的，即a1=S1－S0此关系式是无任何意义的．生：可见，a n=S n－S n-1这个关系式的缺憾就是不能表示首项a1，它成立的条件应该是n≥2．师：那么a1如何确定？生：a1可以由a1=S1确定．师：这样我们把a n=S n－S n-1这个关系式就找完备了．即(板书)那么例2的正确解法为：(板书)解：n=1时，a1=S1=4．n≥2时，a n=S n－S n-1=n2＋n＋2－[(n－1)2＋(n－1)＋2]=2n．生：我有一个想法，可以避免关系式中出现S0．师：说出来大家一起研究．(教师一定要保护学生思考的积极性，这样可以培养学生的发散性思维)生：(板书)a n+1=S n+1－S n=(n＋1)2＋(n＋1)＋2－n2－n－2=2n＋2．由于通项公式是关于项数n的函数解析式，所以a n+1=f(n＋1)=2n＋2．应用换元法求函数解析式：f(n)=2n．这样得到通项公式：a n =2n．这种做法避免了S0，但为什么还是错误的．师：这种想法有一定道理，但只要我们进一步探讨，就会发现其中的问题．a n+1=S n+1－S n=2n＋2，此式也只揭示了数列从第2项起，项与项数的函数关系，因此f(n＋1)与f(n)的定义域不同，这种做法，虽然表面上避免了S0的出现，但它与前一种方法本质上是同出一辙的．师：由上述两例中不难看出，由前n项和S n求通项公式a n时，n=1的情况有时可以统一，如例1，有时只能分类得到，如例2，那么如何区别呢？这里只要验证n=1时，a n(n≥2)的表达式是否可以表示a1即可．(三)举例巩固师：我们已经得到了前n项和S n与通项公式a n的关系，现在运用这一关系解决如下几个问题．例3 已知数列{a n}的前n项和S n，满足：log2(S n＋1)=n＋1．求此数列的通项公式a n．(例3的目的是巩固已学习过的知识，并且规范做题格式．学习数学其中一个很重要的目的是培养学生严谨的逻辑性，而这恰恰体现在学生做题的格式是否规范化上)师：由例1，例2可知，要求出通项公式a n，须求出S n，即应由log2(S n ＋1)=n＋1，求出S n，再利用数列前n项和S n与通项公式a n之间的关系，得到数列的通项公式a n．生：(板书)解：由log2(S n＋1)=n＋1，得S n=2n＋1－1当n=1时，a1=S1=22－1=3；当n≥2时，a n=S n－S n-1=2n+1－1－(2n－1)=2n．例4 在数列{a n}中，a1=0，a n+1＋S n=n2＋2n(n∈N+)．求数列{a n}的通项公式．师：现在我们的任务是如何求出数列前n项和S n．生：由已知a n+1＋S n=n2＋2n，得S n=n2＋2n－a n＋1．师：这样求出的S n，是否能利用数列的前n项和与通项公式的关系，求出通项公式呢？显然是不行的，因为数列的前n项和公式S n是关于项数n的函数关系式，而S n=n2＋2n－a n+1并不是关于项数n的函数关系式．生：不妨也利用数列前n项和S n与通项公式a n的关系，将a n+1表示为a n+1=S n+1－S n，那么a n+1＋S n=n2＋2n就转化为关于S n+1，S n的关系式，再求S n．师：(板书)由于a n+1=S n+1－S n，则a n+1＋S n=S n+1－S n＋S n=S n+1，即S n+1=n2＋2n．师：再如何通过S n+1求S n？生：可以利用函数知识，因为前n项和S n是关于项数n项的函数解析式，即已知S n+1=f(n＋1)=n2＋2n，可以求出S n=f(n)=S n．师：(板书) S n+1=n2＋2n=(n＋1)2－1，则S n=n2－1．(以下省略，得出结果)(四)课堂练习已知数列前n项和S n，求数列的通项公式a n．1．S n=n2－2n＋2；2．S n=n2＋2－1；答案：(五)课堂小结通过本节课，我们学习了已知数列前n项和S n，如何求出数列通项公式a n的方法．在运用上述关系时，一定要注意a n=S n－S n-1成立的条件：n≥2，a1应由S1确定．(六)布置作业已知数列{a n}的前n项和S n，求它的通项公式：(1)S n=an2＋bn(a，b为已知常数)；(2)S n=an2＋bn＋c(a，b，c为已知常数)；(3)S n=n3＋n－1．作业答案：(1)a n=2an－a＋b (n∈N+)．课堂教学设计说明1．本节课的内容教材中基本未涉及，但这类问题在各级各类考试中均有所涉及，因此在日常教学中，应适时补充，究其授课深度应视学生程度而定，因材施教．2．数列中，有三个基本问题．即关于数列的通项问题；关于数列的前n项和问题；关于数列的极限问题．一般说来，数列中的其他问题都是围绕这三个问题展开的．可见，研究这三个问题是十分有意义，也是十分必要的．数列{a n}的前n项和公式，实际上就是数列{S n}的通项公式，因此，S n与a n之间有着密切的联系．{S n}：S1，S2，S3，S4，…，S n-1，S n，…{a n}：a1，a2，a3，a4，…，a n，…不难看出：S k＋a k+1=S k+1 (k∈N+)，3．从辩证统一的观点看问题，S n与a n之间的关系，应包含两层关系．一类为知S n求a n；另一类为知a n求S n，本节课所授内容只是其中一类．至于另一类问题将是以后教学中的一个难点内容，即“数列求和”，辩证统一的观点在中学数学中处处可见，教师应注意对学生进行这方面的教育，有助于提高学生的数学素质，培养学生研究数学问题的能力．4．对于概念课的教学，切忌直接给出概念或公式，这样无助于学生思维品质的培养，无助于学生能力的训练．常此以往下去，学生解决问题能力无从谈起．在教学中应尽可能地再现公式推导的过程，探讨问题解决的过程比结论本身更具意义．在课堂教学中，鼓励学生进行想象的创造性思维．如果学生对问题有自己独特见解时，这可能是我们从数学活动中得到额外的有价值信息的机会，教师切莫认为学生是离谱的想象，要从中挖掘出有积极意义的部分，激发学生创造性智能，这才是我们数学教育的本质．正如爱因斯坦指出的：“发展独立思考和独立判断的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把获得专业知识放在首位．”。