正交矩阵的性质和应用

目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。

那么由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是什么样的，它有什么性质呢？我们由上面的问题引出了关于正交矩阵的定义。

正交矩阵是一种特殊的矩阵，因此对于正交矩阵的性质及分类的探讨具有非常重要的意义。

而这篇文章就是针对正交矩阵所具有的一系列性质，以及正交矩阵在数学领域，结构化学基础及力学领域的一系列应用。

2正交矩阵的性质本文在探讨正交矩阵的性质时除特殊强调外都是指数域P 上的矩阵，用n n P ⨯表示数域P 上n 阶方阵的集合，用E 表示单位矩阵，用A 、1-A 、*A 、'A 分别表示矩阵A 的行列式、逆矩阵（当A 可逆时）、伴随矩阵、转置矩阵. 定义2.1 n 阶实矩阵A ，若有 E A A =' ，则称A 为正交矩阵.等价定义1: n 阶实矩阵A ，若有 E A A ='，则称A 为正交矩阵；等价定义2: n 阶实矩阵A ，若有 1-='A A ，则称A 为正交矩阵；等价定义3: n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量 ，则称A 为正交矩阵.性质2.1 A 为正交矩阵，则其行列式的值为1或1-.证明： 由正交矩阵的定义知,E A A =' 两边同取行列式，得1=='E A A ，又由于A A ='，则12=A ， 即1±=A性质2.2 A 为正交矩阵，A 的任一行(列)乘以1-得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=，其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然()n j i ββββ,,,,,,1 -也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.3 A 为正交矩阵,A 的任两行(列)互换得到的矩阵仍为正交矩阵.证明： 设()n j i A ββββ ,,,,1=其中n j i ββββ,,,,,,1 是A 的单位正交向量组.显然n i j ββββ,,,,,,1 也是A 的单位正交矩阵，则由正交矩阵的等价定义3知成立.性质2.4 A 为正交矩阵，则1-A 、A '、*A 也是正交矩阵.证明： ()()()E E A A A A A A =='='='------111111 ∴1-A 为正交矩阵,()E A A A A ='='''∴A '为正交矩阵,()()()()E A A A A A A A A A A A A A ='='='='------**1121111,*∴A 为正交矩阵.性质2.5 A 为正交矩阵,则m A 也是正交矩阵.证明： A 为正交矩阵，则1-='A A ,()()()()11--=='='m m m m A A A A ,由正交矩阵的等价定义2知，A 为正交矩阵.性质2.6 A 、B 均为正交矩阵,则它们的积AB 也是正交矩阵.证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于()()111---==''='AB A B A B AB ,由正交矩阵的等价定义2知，AB 为正交矩阵.性质2.7 A 、B 均为正交矩阵,则B A '()B A '也是正交矩阵.证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B 由于()()()()1111----'='='''=''A B A B A B B A ()1-'=B A 所以B A '为正交矩阵.B A '证明同上.性质2.8 A 、B 均为正交矩阵,则B A 1-()1-AB 也是正交矩阵.证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于()()()111111------==''='A B A B A B B A ()11--=B A ,所以B A 1-为正交矩阵.1-AB 证明同上.性质2.9 A 、B 均为正交矩阵,则BA A 1-也是正交矩阵.证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B 由于()()11111-----=='''='A A B A A B A BA A ()()11111-----=BA A A B 所以BA A 1-为正交矩阵.性质2.10 A 、B 均为正交矩阵,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00也是正交矩阵. 证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,由于=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11000000B A B A B A100-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00为正交矩阵. 性质2.11 A 、B 均为正交矩阵,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A A A A 21也是正交矩阵. 证明：A 、B 为正交矩阵，1-='A A ,1-='B B ,则有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A A A A A A A A 2121 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-'=E A A A A A A A A A A A A A AA A 00E 002002212121，则有结论⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A A A A 21为正交矩阵成立.性质2.12 A 为正交矩阵，λ是A 的特征值，则λ1也是A 的特征值.证明：A 为正交矩阵，有1-='A A ,那么有()=-='-='-=--1A E A E A E A E λλλλA E A A E A E A A A A A n n --=--=-=------λλλλλλ1111111，则λ是A 的特征值，则λ1也是A 的特征值.性质2.13 A 为正交矩阵,它的特征值为1±，并且属于A 的不同特征值的特征向量两两相互正交.证明：设λ为A 的特征值，η是A 的属于特征值λ的特征向量，ληη=A ,两边同时取转置得，ηλη'=''A ,所以ηηλληηληηηη'='=''='2A A ,因为A 为正交矩阵，所以E A A =',而0≠'ηη，则12=λ，即1±=λ.另外，设ξ是A 的属于特征值μ的特征向量.由于ληη=A ，μξξ=A ,E A A ='可得()()()()()()ξηλμμξληξηξηξη'='='=''='A A A A ,所以()0-1='ξηλμ，又μλ≠，因此可 得λμλλλ≠==12，则0='ξη，即η与ξ正交.性质2.14 A 为上（下）三角的正交矩阵，那么矩阵A 必为对角矩阵，且对线上的元素值为1±.证明：设A 为上三角的正交矩阵，那么-1A 必为上三角矩阵且A A '=-1，因此A 为对角矩阵.又由于E A A ='，则矩阵A 的对角线上的元素为1±.性质2.15 A 为正交矩阵，那么矩阵A 的一切k 阶主子式之和与一切相应k n -阶主子式之和或者相等或互为相反数.性质2.16 A 为n 阶正交基础循环矩阵，那么矩阵A 的全部特征根为实根，并且是n 个n 次单根.证明：设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001100001000010 A 为基础循环矩阵可知A 的特征多项式为()1-=-=n x A xE x f ,那么它的特征根为()n k nk i n k x i ,,2,12sin 2cos =+=ππ,故n x 为n 次单根. 3 正交矩阵的相关命题命题3.1 A 、B 为正交矩阵，如果B A '+E 21为反对称矩阵，则B A +也是正交矩阵，且()111---+=+B A B A .证明：由于A 、B 为正交矩阵，则1-='A A ,1-='B B ，B A '+E 21为反对称矩阵，则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛'+A B E B A E 2121 ()()()()E A B E B A E E B B A B B A A A B A B A B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛'++⎪⎭⎫ ⎝⎛'++='+'+'+'=+'+'=+'+2121因此B A +为正交矩阵.且()()B A B A B A '+'='+=+-1.命题3.2 A 、B 为正交矩阵，且B A -=,则B A +不可逆.证明：由于A 、B 为正交矩阵，则E A A ='，E B B =',又因为A B A A B B A B A ='+'=+ ()()B A B A A B B A A B A B +-='+-='+='+'2，则B A B A +-=+,得0=+B A ,因此B A +不可逆.命题3.3 A 、B 为奇数阶的正交矩阵，且B A =,则B A -不可逆.证明：由于A 、B 为正交矩阵，则有E A A ='，E B B =',A B A A B B A B A ='-'=- ()B A A B A B A B A B n --=-='-'='-'12，由于 A 、B 为奇数阶，则B A B A --=-,即0=-B A ,因此B A -不可逆.命题3.4 A 、B 为奇数阶的正交矩阵，则()()B A B A -+必不可逆.证明：由于A 、B 为正交矩阵，则有E A A ='，E B B =',()()=+-=+-B A B A B A B A ()()()()()()()()()()n n n n n n B A B A B A B A B A B A B A A A B B A B B A A B A B B A B B A B B A A A B A B A B A B A 111111-=-+-=-'+'-=-'+'-='-'+'-'-='-'-='-'='-'-'+'=+'-'=+'-'()()B A B A -+,由于A 、B 为奇数阶的矩阵，则()()0=-+B A B A ,即()()B A B A -+必不可逆.命题3.5 A 为正交矩阵，且1-=A ，则E A +不可逆，且1-为A 特征值. 证明：因为1-=A 知，E A -=,由定理3.2.1知，0=+E A ,故E A +不可逆.又0=+E A ，故()01=+-=--A E A E n,所以1-为A 特征值. 命题3.6 A 为奇数阶正交矩阵，且1=A ，则E A -不可逆，且1为A 特征值. 证明：因为1=A 知，E A =,由定理 3.2.1知，0=-E A ,故E A -不可逆.又0=-E A ，故()01=--=-E A A E n,所以1为A 特征值. 命题 3.7 A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，A 、B 可交换，B A -可逆，则()()B A B A -+-1及()()1--+B A B A 都为正交矩阵.证明：由题意知BA AB =,则()()()()B A B A B BA AB A B A B A +-=-+-=-+22,因为B A -可逆，那么B A +也可逆.即()()11--+-B A B A ,()()[]()()[]B A B A B A B A -+'-+--11 ()()()()()()[]()()()()11111------+=-+'+''-'=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'-=B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A ()()()()()()E B A B A B A B A B A B A =--++=-+---111，则()()B A B A -+-1为正交矩阵.同理可证()()1--+B A B A 也为正交矩阵. 命题 3.8 B 为反对称矩阵，则()()B E B E -+-1及()()1--+B E B E 都为正交矩阵,并且其特征值不为1-.证明：E 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则由定理 3.3知()()B E B E -+-1及()()1--+B E B E 都为正交矩阵.由于反对称矩阵的特征值只为零或纯虚数，因此B 的特征值不是1±.则0≠-B E ,()01≠---=+B E B E n ,因此B E ±可逆 ，由于()()B E B E -+-1及()()1--+B E B E 都为正交矩阵，令()()B E B E A -+=-1，那么有=+A E()()()()()()111122-----=-=+-+--A E A E E B E B E B E B E ,可知A E +可逆，且=+A E ()01≠---A E n ,因此1-不是()()B E B E A -+=-1的特征值.同理1-不是()()1--+B E B E 的特征值.命题 3.9 矩阵()n n ij b B ⨯=,()n n ij c C ⨯=,矩阵A 为正交矩阵，且BA A C 1-=,则，∑∑∑∑=====n j n i ij n j n i ijc b 1111.证明：由于A 为正交矩阵，则1-='A A ，那么()BA B A BA A A B A C C ''='''='--11,知B B '与C C '相似，则有它们的迹相等.即()()B B tr A A tr '=',故∑∑∑∑=====n j ni ij n j n i ij c b 1111.命题3.10 矩阵A 为n 阶正交矩阵，并且A 的特征值不为1-，则一定存在反对称矩阵B 、C 使得()()()()11--+-=+-=C E C E B E E B A证明：由于A 的特征值不为1-，则()01-≠+-=-A E A E n,所以A E +可逆.矩阵A 为n 阶正交矩阵，取()()A E A E C -+=-1,由于()()()-+=-+±=±-A E A E A E E C E 1()()()()()()[]A E A E A E A E A E A E -±++=-+±+--11,那么可以得到()()12-+=+A E C E 和()()A A E C E 12-+=-，因此C E ±可逆，从而()()()()[]=++=+----111122-A E A A E C E C E()()A A E A A E =+⋅+-2121； 下证矩阵C 为反正交矩阵：()()()()()()11111-----+-+='+'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'-='A E A E A E A E A E A E C ，()()=-+=--E A A E C 1 ()()11--+-+A E A A E ，则有C C -=',则C 为反对称矩阵，则取()()1--+=A E A E B ，同理可证B 为反对称矩阵，且满足()()1-+-=B E E B A 4 正交矩阵的应用在对正交矩阵的性质有一定的了解之后，下面我们开始讨论正交矩阵在不同领域上的应用问题.4.1正交矩阵在解析几何上的应用在讨论正交矩阵在解析几何上的应用时，我们先从正交矩阵的性质出发，转化到转化到正交变换，进而研究正交矩阵在解析几何上的简单应用.由定义2.1[1]等价定义3知正交矩阵的行（列）向量组为标准正交向量组.引入n R 上的正交变换定义定义 4.1 n 阶正交矩阵A ，对于()n n R x x x x ∈'=,,2,1 ,称n R 到n R 的线性变换T :()Px x T =为n R 上的正交变换.对于2R 上的线性变换⎩⎨⎧+='-='ϕϕϕϕcos sin sin cos y x y y x x ，将2R 上的点⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 映射为2R 上的点⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ，现将变换⎩⎨⎧+='-='ϕϕϕϕcos sin sin cos y x y y x x 写成矩阵的形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x y x ϕϕϕϕcos sin sin cos ，由于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ϕϕϕϕcos sin sin cos A 是正交矩阵，因此上述变换是正交变换.下面我们看一下这个变换在平面直角坐标系下的几何意义，如图所示：在一个平面直角坐标系xoy 中,设点()y x ,的极坐标为()θ,r ,由极坐标变换知⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x由⎩⎨⎧+='-='ϕϕϕϕcos sin sin cos y x y y x x 得 ()()⎩⎨⎧+=+=+='+=-=-='θϕϕθθϕϕϕθϕθϕθϕϕϕsin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos r y r y x y r r r y x x ， 可知点()y x '',的极坐标是()ϕθ+,r ,这说明将向径⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 按逆时针方向旋转角度ϕ，即可得到向径⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''y x (如图所示)因此这个正交变换是平面2R 上将向径⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 绕坐标原点按逆时针方向旋转ϕ角的一个变换.因此同理，如果用1-P 左乘向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x ，那么可以表示成将这个向量按照逆时针的方向旋转角度ϕ.正交变换在解析几何里面有重要的性质：定理4.1 设A 为n 阶正交矩阵,21,x x 是n R 中的任意向量，则有⑴2121,,x x Ax Ax =,即正交变换保持向量的内积不变性.证明：由于()()212121,Ax A x Ax Ax Ax Ax ''='=,而正交矩阵A 满足E A A =',因此212121,,x x x x Ax Ax ='=⑵11x Ax =,即正交变换保持向量的范数不变.证明：在⑴中令21x x =,便得2121x Ax =,两边开平方，既得11x Ax =. 4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用将所有的n 阶正交矩阵做成的集合记作()n M ,在近似代数和拓扑的角度来说，它将构成一拓扑群，我们将进一步证明它也是一个不连通的紧致lie 群.首先我们证明()n M 构成拓扑群.在证明()n M 构成拓扑群之前，我们先介绍一下有关的概念.定义4.2 设P 是任意集合,Q 是P 的子集构成的子集族，并且满足下列条件： ⑴结合P 与空集φ属于Q ；⑵Q 中任意个集中的并集属于Q ；⑶Q 中任意有穷个集的交集属于Q .那么称Q 是P 上的一个拓扑，集合P 上定义了拓扑Q ，称P 是一个拓扑空间.定义4.3 如果P 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的在乘法运算 μ： P P P →⨯;求逆运算 ν： P P →.上是连续的映射，那么就称P 为拓扑群.根据定义4.3，我们将证明所有的n 阶正交矩阵做成的集合()n M 构成拓扑群的证明分成三步来实现：首先证明所有的n 阶正交矩阵做成的集合()n M 构成一个拓扑空间；其次证明所有的n 阶正交矩阵做成的集合()n M 构成一群；最后证明所有的n 阶正交矩阵做成的集合()n M 构成一个拓扑群.证明：⑴设N 表示全部具有实元素的n 阶矩阵所构成的集合，用()ij a A =表示N 的一个代表元素.我们把N 等同于2n 维欧氏空间2n E ,可以理解为将()ij a A =对应成2n E 的点()nn n a a a a a ,,,,,,2111211 ,Q 是点集2n E 的子集族，则2n E 和空集φ都属于Q ，Q 中任意一个集合的并集都属于Q ，Q 中有穷个集合的交集也属于Q ，可得2n E 构成一个拓扑空间.进而N 成为一拓扑空间.()n M 是所有实元素的n 阶正交矩，因此是N 的子集合，因此由N 的拓扑可以引出这个子集的拓扑，从而()n M 构成N 的一个子拓扑空间.⑵对于任意的()n M C B A ∈,,,因为矩阵的乘法满足结合率则有()()BC A C AB →存在()n n M E ∈对于任意()n M A ∈,有A AE A E n n ==任意()n M A ∈，存在A A '=-1,使得E A A AA A A A A ='=='=--11因此正交矩阵做成的集合()n M 对于乘法运算可构成群.⑶对于⑴中的拓扑空间N 的拓扑，定义矩阵的乘法运算ϕ：N N N →⨯,设对于任意()()ij ij b B a A ==,,乘积()B A ,ϕ的第ij 个元素是∑=n i ij ij ba 1,现在N 具有乘积空间111E E E ⨯⨯⨯ (2n 个因子)的拓扑，现在对于任意满足n j i ≤≤,1的j i ,,都通过投影映射 1:E N N N ij →→⨯ϕπ,将A 和B 的乘积()B A ,ϕ映射为它的第ij 个元素，则()∑==ni ij ij ij b a B A 1,ϕπ为A 和B 的元素的多项式，因此ϕπij 连续，投影映射ij π也是连续的.因此可以证明映射ϕ是连续的.由于()n M 具有N 的子空间拓扑，是N 的一个拓扑空间.由上面的讨论知，映射n n n M M M →⨯：ϕ也是连续的.()n M 中的可逆矩阵，定义求逆矩阵的映射n n M M g →:,对于任意的,n M A ∈()=A g 1-A ;合成映射k n n ij E M M g →→:π,可以理解为将任意映射为1-A 的第ij 个元素，由于矩阵A 为正交矩阵，由性质2.1知A 可逆，那么有A A A *-=1,因此A A a ij ij =,即()A A A g ij ij =π, 又因为A 的行列式和A 的代数余子式都是A 内的元素多项式，并且0≠A ,所以g 0π是连续的，因此求逆映射n n M M g →：为连续函数.因此，()n M 又是一个拓扑空间，并构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间上的连续映射，因此所有的n 阶正交矩阵做成的集合()n M 构成一个拓扑群.且称它为正交群.其次证明()n M 是一个紧致lie 群，证明之前给出有关的定义定理.定义 4.4 设P 为拓扑群，P 的拓扑为n 维实（或复）解析流行，且映射()12121,-→p p p p ,对于任意P p p ∈21,,为解析流行P P ⨯到P 上的解析映射，那么称P 为n 维lie 群.定理4.2 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明：设N 是所有具有实元素的n 阶矩阵做成的集合， 对于任意的N C ∈,C 对应的2n 维欧氏空间2n E 的点()nn n c c c c c c c ,,,,,,222111211 ,N 可作为2n 维欧氏空间.A 为元素nn n c c c c c c ,,,,,,222111211 的解析函数，{}0=∈C N C 为N 中的开子集，由诱导拓扑可知*N 为解析流形，并且对于矩阵的乘法和求逆运算都解析，故*N 为2n 维lie 群.()n M 为*N 的闭子集，根据诱导拓扑为子流行，()n M 为lie 群. 想要证明()n M 紧致，根据定理内容，只需要证明N 等同于2n E 时,()n M 相当于2n E 内的有界闭集.设任意的()n M C ∈,由于E C C =',有∑==n j ik kj ij c c 1δ n k i ≤≤,1对任意的k i ,,定义映射E N g ik →: N C ∈∀ ()∑==nj kj ij ik b a C g 1那么()n M 为系数各集合的交集()01-ik g n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ik g n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射，因此上述的集合都是闭集，则()n M 是N 的有界闭集，则()n M 的紧闭性得证.由于在拓扑结构上是紧闭的lie 群，我们称它为紧lie 群，因此()n M 是紧lie 群.最后证()n M 是不连通的证明：设()n RM 是全部行列式为1的正交矩阵所构成的集合，R 为所有行列式为1-的正交矩阵所构成的集合.由于()1:det E RM n →是连续映射，又由于单点集{}1是1E 的闭集,()n RM 为()n M 的闭集，同样可证R 为闭集.由于()()n n M R RM = , ()φ=R RM n ,而 ()n RM 和R 是闭集，根据不连通的定义可直接证明()n M 是不连通的，在这里我们就不做详细说明了.4.3正交矩阵在物理学中的应用物理学中每一个刚体运动都对应着一个正交矩阵，三维空间中的一条曲线经过刚体运动，它的曲率和挠率一直是不变的，在物理学中称它们为运动不变量.下面我们来考察曲线在做刚体运动时的量. 设曲线()()()(){}t z t y t x t r 1111,,= 与曲线()()()(){}t z t y t x t r ,,= 只差一个运动，从曲线()t r 1 到()t r 变换设为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111b b b z y x B z y x ， 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B 是三阶正交矩阵，且321,,b b b 为常数.对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111b b b z y x B z y x 两边分别求n 阶导数，可以得()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n z y x B z y x 111，从而有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m m m mm m m m m m m m m m m z b y b x b z b y b x b z b y b x b z y x A z y x 333231232221131211111,又B 是正交矩阵，则有 ()()t r t r =1成立.另一方面，由一阶到三阶导数可以构成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''±='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''z y x z y x z y x B z y x z y x z y x z y x z y x z y x 111111111， 现取()()()()()()()()t r t r t r t r t r t r,,,,111= 可类似的讨论.因为111111111111111111111111y x y x z x z x z y z y z y x z y x z y x z y x ''''''''+''''''''+''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111111111111111111y x y x z x z x z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''将⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m m m m m m m m m m m m m m m z b y b x b z b y b x b z b y b x b z y x A z y x 333231232221131211111 带入到111111111*********111111y x y x z x z x z y z y z y x z y x z y x z y x ''''''''+''''''''+''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''的右边，得到()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''+'''''''''+'''''''''+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''+'''''''''+'''''''''+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''+'''+'''+'''''''''+'''+'''+'''''''''+'''+'''111133111123111113111132111122111112111131111121111111111133323111112322211111131211y x y x z b x z x z z b z y z y z b y x y x y b x z x z y b z y z y y b y x y x x b x z x z x b z y z y x b y x y x z b y b x b x z x z z b y b x b z y z y z b y b x b对照以上三个式子可得：111133111123111113111132111122111112111131111121111111y x y x b x z x z b z y z y b y x y x y x y x bx z x z b z y z y b x z x z y x y x b x z x z b z y z y b z y z y ''''''+''''''+''''''=''''''''''''+''''''+''''''=''''''''''''+''''''+''''''='''''' 由于正交矩阵的性质，ij ij B b =,且jk n i kj ij B B σ∑==1()3,2,1,=k j 将上边三个式子左右两边分别平方之后相加得：()()()211112111121111211112332322312111122322222121111213212211322y x y x x z x z z y z y y x y x B B Bx z x z B B B z y z y B B B y x y x x z x z z y z y ''''''+''''''+''''''=''''''+++''''''+++''''''++=''''''+''''''+''''''将上式写成矢量函数形式记得：()()()()t r t r t r t r ''⨯'=''⨯'11 ()()()()()()131113K t r t r t r t r t r t r K ='''⨯'='''⨯'=()()()()()()()()()()()()()()12111112ττ=''⨯'''''''=''⨯'''''''=t r t r t r t r t r t r t r t r t r t r其中11,;,ττK K 分别为曲线()t r ' ,()t r 1'的曲率和挠率.5 后记以上就是本篇文章的全部内容，由于时间和能力有限，本文仅针对正交矩阵矩阵的性质以及正交矩阵在解析几何，近似代数和拓扑学以及物理化学的应用上做了粗略的研究，希望得到的结论能给日后这部分的研究提供帮助，也希望读者在阅读后能受到一些启示，从而得出更有价值的理论．事实上，正交矩阵的这部分值得研究的内容还有很多，例如正交矩阵在化学等方面也有很多的应用，但是本位并没有对其给予明确的说明。