福建省福州一中2019年高中招生综合素质测试数学试卷
福州一中2019年高中招生（面向福州以外地区）
综合素质测试数学试卷
（满分100分，考试时间60分钟）
学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的．）
1． 下列等式：①2
2532b a ab ab =+； ②32
6
(5)25a a -=；
③y x y x +=
+；
101
()( 3.14)|2|43
π----=其中正确的等式有（★★★）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示：
则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★) A ．
31, 152 B ．3115, 2 C ．15, 15 D ．3131, 22
3．右图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为
等边三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（★★★）
A
．
2
B ．
C ．24
D ．24+4．若关于x 的方程22x c x c +
=+的解是1x c =，2
2
x c
=，则关于x 的方程22
11
x a x a +
=+++的解12 x x ，
的值是（★★★） A ．2
, a a B ．21, 1a a ++ C . 2, 1a a + D ．1, 1a a a -+
12345678913
14
15
16
17
18
5．如图，边长为2的菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，将该纸片折叠，
EF 为折痕，点A D 、分别落在'A 、'D 处.若''A D 经过点B ，且
'D F CD ⊥，则DF 的长为（★★★）
A
．2
B
．4- C
D
6．有一个数阵排列如下：
1 2 4 7 11 16 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 24
10 14 19 25
15 20 26
21 27
28
则第20行从左至右第10个数为（★★★）
A ．425
B ．426
C ．427
D ．428
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
7．计算：22222
132(1)211
a a a a a
a a a a a +-+⋅-÷=----+★★★. 8．如图，BD CE 、分别是ABC ∆的AC AB 、边上的中线，且
BD CE ⊥.若4BD =，6CE =，则ABC ∆的面积等于★★★.
9．从2,1,1,2--这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数
y kx b =+的系数k b 、，则一次函数y kx b =+的图象不经过第三
象限的概率是★★★. 10. 有一列数a ，b ，c ，d ，
，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的
倒数的差．若第一个数a 等于2，则第2014个数等于★★★. 11．如图，已知直线y kx =与双曲线k
y x
=
相交于A B 、两点，过点A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，且1
2
AOC
S ∆=.过原点O 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，则ABD ∆的内切圆半径长等于★★★.
12．规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =， {}2 4.2-=-；
②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-. 若实数x 满足{}[]4 2=-x x ,则实数x 的取值范围是★★★．
E
D
C
B
A
D '
A '
F
E
D
C
B
A
三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）
13．（本小题满分12分）
如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中劣弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．
(1) 求证：ACE BCD ∠=∠；
(2) 若60ACB ∠=，试探究CD 与AD BD +长度的
大小关系，并证明你的结论． 14．（本小题满分12分）
如图，小明站在看台上的A 处，测得旗杆顶端D 的仰角为15，当旗杆顶端D 的影子刚好落在看台底部B 处时，太阳光与地面成60角.已知60ABC ∠=，4AB =米，求
旗杆的高度. （点A 与旗杆DE 及其影子在同一平面内，C B E 、、三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）
15．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，A B 、为x 轴上两点（点A 在点B 的左边），C D 、为y
轴上两点，经过A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过A D B 、、的抛物线的一部分
2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点D 的坐标为
(0 , 2)-，抛物线1C 的解析式为223 (0)y mx mx m m =--<. (1) 求A B 、两点的坐标；
(2) 若四边形ACBD 是梯形，求m 的值；
(3) 若点D 关于x 轴的对称点为1D ，试判断直线1AD 与该蛋线的公共点的个数，并证
明你的结论.
E。
福建省福州第一中学2019届高三上学期开学质检数学(理)试题
福州一中2019届高三理科数学期初调研试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝{x|x＞0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞0} D．A∩B＝∅3．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．4．已知a＝log3e，b＝ln3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a5．如图，八边形ABCDEFGH是一个正八边形，若在正八边形内任取一点，则该点恰好在四边形ACEG内的概率是（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，若此三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．32πB．50πC．72πD．98π7．某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（）（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）A．778 B．780 C．782 D．7848．已知函数f（x）＝cos（），把函数f（x）的图象向左平移个单位得函数g（x）的图象，则下面结论正确的是（）A．函数g（x）是偶函数B．函数g（x）的最小正周期是4πC．函数g（x）在区间[π，3π]上是增区数D．函数g（x）的图象关于直线x＝π对称9．中国古代数学名著《九章算术》中的“蒲莞生长”是一道名题根据该问题我们改编一题：今有蒲草第一天长为三尺，莞草第一天长为一尺，以后蒲草的生长长度遂天减半，莞草的生长长度逐天加倍，现问几天后莞草的长度是蒲草的长度的两倍，以下给出了问题的四个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A．2.6日B．3.0日C．3.6日D．4.0日10．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD 分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（）A．1 B．C．D．11．倾斜角为的直线经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）与g（x）＝3elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，）B．（0，）C．（﹣1，3）D．（0，3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．在（x）6的展开式中，x3的系数为．15．已知抛物线C1的顶点在坐标原点，准线为x＝﹣3，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，过圆心C2的直线l与抛物线C1交于点A，B，l与圆C2交于点M，N，且|AM|＜|AN|，则|AM||BM|的最小值为．16．已知数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝a n+6n+3，数列{b n}满足b n＝n．，则数列{b n}的最大项为第项三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若a，b，求边c的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的点，且EA＝EB ＝ED＝AB，延长CE交AD于点F．（1）若G为PD的中点，求证平面P AD⊥平面CGF；（2）若AD＝AP＝6，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．19．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），左、右顶点分别为M，N，点P是E 在第一象限上的任意一点，且满足k PM•k PN＝8．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线PN与双曲线E的渐近线在第四象限的交点为A，且△P AF的面积不小于3，求直线PN 的斜率k的取值范围．20．某水产养殖户在鱼成熟时，随机从网箱中捕捞100尾鱼，其质量分别在[4，4.5），[4.5.5），[5.5.5），[5.5，6），[6，6.5），[6.5，7]（单位：斤）中，经统计得频率分布直方图如图所示（1）现按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，再从这5尾中随机抽取2尾，记随机变量X表示质量在[4.5，5）内的鱼的尾数，求X的分布列及数学期望．（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，该养殖户还未捕捞的鱼大约还有1000尾，现有两个方案：方案一：所有剩余的鱼现在卖出，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤10元，质量高于5.5斤的鱼售价为每斤12元方案二：一周后所有剩余的鱼逢节日卖出，假设每尾鱼的质量不变，鱼的数目不变，质量低于5.5斤的鱼售价为每斤15元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾22元；质量高于5.5斤的鱼售价为每斤16元，这类鱼养殖一周的费用是平均每尾24元通过计算确定水产养殖户选择哪种方案获利更多？21．已知函数f（x）＝e x．（1）若f（x）的图象在x＝a处切线的斜率为e﹣1，求正数a的值；（2）对任意的a≥0，f（x）＞2lnx k恒成立，求整数k的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．（1）以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，分别写出直线l与曲线E的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，求△ABC面积的最大值，并求此时点C的直角坐标．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，求实数a的取值范围．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．C8．C9．C10．B11．D12．B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．由z＝3x+2y得y x，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y x由图象可知当直线y x经过点A时，直线y x的截距最小，此时z也最小，由，解得A（﹣1，﹣1）将A（﹣1，﹣1）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝﹣5．14．由题意T r+1•x6﹣r•••x6﹣r•••．∵6r＝3，解得r＝2．∴x3的系数为．15．设抛物线的方程：y2＝2px（p＞0），由准线方程x＝﹣3，可得3，即p＝6，抛物线的标准方程为y2＝12x，焦点坐标F（3，0），圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，由直线AB过抛物线的焦点，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），由ρ，可得，|AM||BM|＝|AF|﹣1（|BF|+1）＝|AF||BF|＝3（）（|AF||BF|）＝3（）3（2）6，当且仅当|BF|＝2|AF|＝9时取得等号，则|AM||BM|的最小值为6．16．数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝a n+6n+3，则a n+1﹣a n＝6n+3，整理得a n﹣a n﹣1＝6（n﹣1）+3，…a2﹣a1＝6×1+3，利用叠加法得到a n﹣a1＝6（1+2+…+n﹣1）+3（n﹣1），解得a n＝3（n﹣1）（n+1），故，所以足b n＝n．．＞即＞，整理得＞，即＜，当＞n≥1时，b n单调递增，当＞时，单调递减，n＝10时，b10＝110•（）9，n＝11时，b11＝132•（）10，＞1，即b11＞b10，故当n＝11时，数列{b n}存在最大项为第11项．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（1）∵，∴，∴可得cos A，由A∈（0，π），可得A．（2）∵a，b，A，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：21＝3+c2﹣2，即c2﹣3c﹣18＝0，∴解得c＝6，或﹣3（舍去）．18．（1）证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，∴∠BCD，∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，∴∠FED＝∠FEA＝∠AEB，EC＝EA，∴∠FED＝∠FEA，ED＝EA，∴EF⊥AD，AF＝DF，∵PG＝DG，∴FG∥P A，∵P A⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，∵GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CFG，∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面CGF．（2）解：由（1）知∠BCD，∵△DAB≌△DCB，∴AB⊥AD，∵AD＝AP＝6，，，∴AB＝2，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，6），B（0，2，0），C（3，3，0），D（6，0，0），（0，2，﹣6），（3，3，﹣6），（6，0，﹣6），设平面BCP的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，﹣1），设平面DCP的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，1），设平面BCP与平面DCP所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ．∴平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值为．19．（1）设P（x0，y0），则k PM，k PN，∴k PM•k PN8，即8x02﹣8a2，又P（x0，y0）是双曲线上的点，∴1，即y02x02﹣b2，∴8，又双曲线的右焦点为（3，0），∴a2+b2＝9．∴a2＝1，b2＝8，∴双曲线的方程为：x21．（2）由（1）可知N（1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为y＝﹣2x，设直线PN的方程为：x＝my+1，则直线PN的斜率为k，显然m＞0．联立方程组，可得y A，联立方程组，可得y P，∴S△P AF（y P﹣y A），令3，解得m，∴0＜，即0＜k．20．（1）质量在[4.5，5）和[5，5.5）的鱼尾数比为0.2：0.3，即2：3．故按分层抽样的方法，从质量为[4.5，5），[5，5.5）的鱼中随机抽取5尾，质量在[4.5，5）的鱼有2尾，质量在[5，5.5）的鱼有3尾，故X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），X的分布列为：EX＝012．（2）故按若按方案一，卖鱼所得收入为：4.25×10×1000×0.2×0.5+4.75×10×1000×0.2×0.5+5.25×10×1000×0.3×0.5+5.75×12×1000×0.8×0.5+6.25×12×1000×0.4×0.5+6.75×12×1000×0.1×0.5＝4250+4750+7875+27600+15000+4050＝63525（元），若按方案二，卖鱼所得收入为：4.25×15×1000×0.2×0.5+4.75×15×1000×0.2×0.5+5.25×15×1000×0.3×0.5+5.75×16×1000×0.8×0.5+6.25×16×1000×0.4×0.5+6.75×16×1000×0.1×0.5﹣24×1000＝6370+7125+11812.5+36800+20000+5400﹣24000＝63507（元）．∵63525＞63507，∴水产养殖户选择方案一获利更多．21．（1），∵在x＝a处切线的斜率为e﹣1，∴，又a＞0，∴a＝1；（2）由题意，＞，即＜，令，函数g（a）为一次函数，且为增函数，∴g（a）≥g（0）＝e x﹣2lnx，∴＜＞，令h（x）＝e x﹣2lnx，（x＞0），则，＞，∴函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，又x→0时，h′（x）→﹣∞，x＝1时，h′（1）＝e﹣2＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h′（x）＜0，h（x）为减函数，x∈（x0，+∞），使得h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴，令，，，易知，函数m（x）在（0，1）上单调递减，∴m（x）＞m（1）＝2，∴＜，即k＜4，故整数k的最大值为3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（1）直线的方程为2ρcosθ+5ρsinθ﹣8＝0，转换为直角坐标方程为2x+5y ﹣8＝0，曲线E的方程为ρ＝4cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4x，转换为标准式为（x﹣2）2+y2＝4．（2）直线l与曲线E交于A，B两点，点C在曲线E上，所以圆心（2，0）到直线2x+5y﹣8＝0的距离d，所以|AB|＝2，所以．所以经过圆心且垂直于直线2x+5y﹣8＝0的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0，所以交点C的坐标满足解得，所以点C坐标为（，）．23．[选修4-5：不等式选讲]（1）f（x）＝|3x﹣4|﹣|x+1|，＞，，＜．∵f（x）＞5，∴＞＞或＞或＞＜，∴x＞5或﹣1≤x＜或x＜﹣1，∴x＜或x＞5，∴不等式的解集为{x|x＜或x＞5}；（2）由（1）知，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增，且．在直角坐标系中画出函数y＝f（x）和y＝ax+a的图象，如图所示．由图象可知当直线y＝ax+a过A（，）时，a＝﹣1，当a＝﹣2时，直线y＝ax+a与直线y＝﹣2x+5平行．∵存在实数x满足ax+a≥f（x）成立，∴由图象可知a＜﹣2或a≥﹣1，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞）．。
2019年福建省初中毕业和高中招生考试数学试题
2019年福建省初中毕业和高中招生考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．计算22＋(－1)0的结果是（）A．5B．4C．3D．22．北京故宫的占地面积约为720000 m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105 C．7.2×106D．0.72×1063．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形4．右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）5．已知正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．66．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）第6题图A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳定7．下列运算正确的是（）A．a·a3＝a3B．(2a)3＝6a3C．a6÷a3＝a2D．(a2)3－(－a3)2＝08．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：“有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？”已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ）A ．x ＋2x ＋4x ＝34685B ．x ＋2x ＋3x ＝34685C ．x ＋2x ＋2x ＝34685D ．x ＋12x ＋14x ＝346859．如图，P A ，PB 是ⅠO 的两条切线，A ，B 为切点，点C 在ⅠO 上，且ⅠACB ＝55°，则ⅠAPB 等于（ ）第9题图A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°10．若二次函数y ＝|a |x 2＋bx ＋c 的图象过不同的五点A (m ，n )，B (0，y 1)，C (3－m ，n )，D (2，y 2)，E (2，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 1第Ⅰ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．因式分解：x 2－9＝________．12．如图，数轴上A ，B 两点所表示的数分别是－4和2，C 是线段AB 的中点，则点C 表示的数是________．第12题图13．某校征集校运会会徽图案，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100位学生，其中有60位学生喜欢甲图案．若该校共有学生2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有________人．14．在平面直角坐标系xOy 中，ⅠOABC 的三个顶点分别为O (0，0)，A (3，0)，B (4，2)，则其第四个顶点C 的坐标是________．15．如图，边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的ⅠO 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与ⅠO 的交点，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第15题图 第16题图16．如图，菱形ABCD 的顶点A 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，函数y ＝kx (k ＞3，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且过B ，D 两点．若AB ＝2，ⅠBAD ＝30°，则k ＝________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分8分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，2x ＋y ＝4.18．(本小题满分8分)如图，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD 上，且DF ＝BE . 求证：AF ＝CE .第18题图19．(本小题满分8分)先化简，再求值：(x －1)÷(x －2x －1x )，其中x ＝2＋1.20．(本小题满分8分)已知ⅠABC和点A′，如图．(1)以点A′为一个顶点作ⅠA′B′C′，使得ⅠA′B′C′ⅠⅠABC，且ⅠA′B′C′的面积等于ⅠABC面积的4倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设D，E，F分别是ⅠABC三边AB，BC，CA的中点，D′，E′，F′分别是你所作的ⅠA′B′C′三边A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：ⅠDEFⅠⅠD′E′F′.第20题图21．(本小题满分8分)在RtⅠABC中，ⅠABC＝90°，ⅠACB＝30°.将ⅠABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到ⅠDEC，点A，B 的对应点分别为D，E.(1)若点E恰好落在边AC上，如图Ⅰ，求ⅠADE的大小；(2)若α＝60°，F为AC的中点，如图Ⅰ，求证：四边形BEDF是平行四边形．第21题图22．(本小题满分10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．(1)求该车间的日废水处理量m；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．23．(本小题满分10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；(2)试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务？24．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD内接于ⅠO，AB＝AC，ACⅠBD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF.(1)求证：ⅠBAC＝2ⅠCAD；(2)若AF＝10，BC＝45，求tanⅠBAD的值．第24题图25．(本小题满分14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＜0)与x轴只有一个公共点．(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，求a，c满足的关系式；(2)设A为抛物线上的一个定点，直线l：y＝kx＋1－k与抛物线交于点B，C，直线BD垂直于直线y＝－1，垂足为D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ⅠABC是等腰直角三角形．Ⅰ求点A的坐标和抛物线的解析式；Ⅰ证明：对于每个给定的实数k，都有A，C，D三点共线．2019年福建省中考数学试题参考答案一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分． 1. A 【解析】原式＝4＋1＝5，故选A.2. B 【解析】用科学记数法将一个绝对值大于10的数表示为a ×10n 的形式，其中1≤||a ＜10，故a ＝7.2，n 为正整数，n 的值为原数整数位数减1，因此n ＝6－1＝5，故720000用科学记数法表示为7.2×105，故选B.3. D 【解析】等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A 选项错误；等腰直角三角形是轴对称图形，而一般直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故B 选项错误；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故C 选项错误；正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D 选项正确．4. C 【解析】主视图是物体从前向后看得到的视图，该几何体由一个长方体和一个球体组成，主视图的上部分是圆，下部分是长方形，如选项C 所示．5. B 【解析】Ⅰ正多边形的外角和为360°，一个外角是36°，Ⅰ360°36°＝10，则该正多边形的边数为10.6. D 【解析】由折线统计图可得，甲同学的5次数学成绩均高于班级平均分，且成绩波动不大，比较稳定；乙同学的5次数学成绩在班级平均分附近波动；丙同学的5次数学成绩均低于班级平均分，但波动较大，且一直呈上升状态．故应选D.7. D 【解析】逐项分析如下：8. A 【解析】设他第一天读x 页，Ⅰ每天阅读的字数是前一天的两倍，Ⅰ第二天阅读的字数是2x ，第三天阅读的字数是4x ，可列方程为x ＋2x ＋4x ＝34685，故选A.9. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，ⅠP A ，PB 是ⅠO 的两条切线，ⅠⅠOAP ＝ⅠOBP ＝90°.Ⅰ点C 在ⅠO 上，ⅠACB ＝55°，ⅠⅠAOB ＝2ⅠACB ＝110°.在四边形OAPB 中，ⅠⅠAOB ＋ⅠOAP ＋ⅠAPB ＋ⅠOBP ＝360°，ⅠⅠAPB ＝70°.第9题解图10. D 【解析】Ⅰ抛物线y ＝|a |x 2＋bx ＋c ，|a |＞0，Ⅰ抛物线的开口向上，ⅠA (m ，n )，C (3－m ，n )，Ⅰ对称轴是直线x ＝32，Ⅰ0＜2＜32＜2，|2－32|＜|2－32|＜|0－32|，Ⅰy 2＜y 3＜y 1，故选D.二、填空题：每小题4分，共24分． 11. (x ＋3)(x －3)12. －1 【解析】Ⅰ数轴上A ，B 两点所表示的数分别是－4，2，则线段AB 的长为6，ⅠC 是线段AB 的中点，故点C 表示的数是－1.13. 1 200 【解析】60100×100%×2000＝1200人，故该校喜欢甲图案的学生约有1200人．14. (1，2) 【解析】Ⅰ四边形OABC 为平行四边形，点O 为坐标原点，点A (3，0)在x 轴上，ⅠOA ＝3，BC ＝OA ，Ⅰ点B 坐标为(4，2)，Ⅰ点C 的纵坐标为2，横坐标为4－3＝1，则第四个顶点C 的坐标为(1，2)．15. π－1 【解析】如解图，延长OD 交ⅠO 于点M ，延长OA 交ⅠO 于点N ，Ⅰ边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的ⅠO 的圆心重合，ⅠⅠAOD ＝90°且OA ＝OD ，ⅠADO ＝45°，ⅠOA ＝OD ＝AD ·sin 45°＝2×22＝ 2.ⅠS 阴影＝S 扇形MON －S ⅠAOD ＝90π·22360－12×2×2＝π－1.第15题解图16. 6＋23 【解析】如解图，连接OC ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，过点A 作AF ⅠBE 于点F ，Ⅰ四边形ABCD 为菱形，函数y ＝kx (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B ，D 两点，Ⅰ直线AC的表达式是y ＝x ，ⅠCAF ＝45°，ⅠⅠBAD ＝30°，ⅠⅠBAC ＝12ⅠBAD ＝15°，ⅠⅠBAF ＝30°，ⅠAB ＝2，ⅠBF ＝AB ·sin 30°＝1，AF ＝AB ·cos 30°＝3，Ⅰ函数y ＝3x (x ＞0)与直线AC 有交点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3x ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ 3.ⅠA (3，3)，ⅠB (23，3＋1)，将点B 的坐标代入函数y ＝k x ，得3＋1＝k23，Ⅰk ＝23×(3＋1)＝6＋2 3.第16题解图三、解答题：共9小题，共86分．17. 解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5， Ⅰ2x ＋y ＝4. ⅠⅠ＋Ⅰ，得(x －y )＋(2x ＋y )＝5＋4，即3x ＝9， 解得x ＝3，将x ＝3代入Ⅰ，得2×3＋y ＝4， 解得y ＝－2.Ⅰ原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 18. 证明：Ⅰ四边形ABCD 是矩形， ⅠⅠD ＝ⅠB ＝90°，AD ＝C B. 在ⅠADF 和ⅠCBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CB ，ⅠD ＝ⅠB ，DF ＝BE ，ⅠⅠADF ⅠⅠCBE (SAS )， ⅠAF ＝CE .说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 19. 解：原式＝(x －1)÷x 2－（2x －1）x＝(x －1)÷x 2－2x ＋1x＝(x －1)÷（x －1）2x＝(x －1)·x（x －1）2＝x x －1. 当x ＝2＋1时，原式＝2＋1（2＋1）－1＝2＋12＝1＋22.20. (1)解：如解图Ⅰ，ⅠA ′B ′C ′为所求作的三角形；第20题解图Ⅰ【作法提示】可通过三边作三角形，也可通过两边及其夹角作三角形． (2)证明：如解图Ⅰ，ⅠD ，E ，F 分别是ⅠABC 三边AB ，BC ，CA 的中点， ⅠDE ＝12AC ，EF ＝12AB ，FD ＝12BC ，同理，D ′E ′＝12A ′C ′，E ′F ′＝12A ′B ′，F ′D ′＝12B ′C ′，ⅠⅠABC ⅠⅠA ′B ′C ′， ⅠAC A ′C ′＝AB A ′B ′＝BCB ′C ′， Ⅰ12AC 12A ′C ′＝12AB 12A ′B ′＝12BC 12B ′C ′，即DE D ′E ′＝EF E ′F ′＝FD F ′D ′， ⅠⅠDEF ⅠⅠD ′E ′F ′.第20题解图Ⅰ说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 21. 解：(1)在ⅠABC 中，ⅠABC ＝90°，ⅠACB ＝30°， ⅠⅠBAC ＝60°.由旋转性质得，DC ＝AC ，ⅠDCE ＝ⅠACB ＝30°. ⅠⅠADC ＝12(180°－ⅠDCE )＝75°.又ⅠⅠEDC ＝ⅠBAC ＝60°， ⅠⅠADE ＝ⅠADC －ⅠEDC ＝15°；(2)在ⅠABC 中，ⅠABC ＝90°，ⅠACB ＝30°， ⅠAB ＝12A C.ⅠF 是AC 的中点， ⅠBF ＝FC ＝12AC ，ⅠⅠFBC ＝ⅠACB ＝30°. 由旋转性质得AB ＝DE ，ⅠDEC ＝ⅠABC ＝90°，ⅠBCE ＝ⅠACD ＝60°， ⅠDE ＝BF .如解图，延长BF 交EC 于点G ，则ⅠBGE ＝ⅠGBC ＋ⅠGCB ＝90°，第21题解图ⅠⅠBGE ＝ⅠDEC ， ⅠDE ⅠBF ，Ⅰ四边形BEDF 是平行四边形．说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．22. 解：(1)Ⅰ工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元， 又Ⅰ370－3035＝687＞8，Ⅰm ＜35.依题意得，30＋8m ＋12(35－m )＝370， 解得m ＝20，答：该车间的日废水处理量为20吨； (2)设该厂一天产生的工业废水量为x 吨． Ⅰ当0＜x ≤20时，依题意得，8x ＋30≤10x ， 解得x ≥15，Ⅰ15≤x ≤20.Ⅰ当x ＞20时，依题意得，12(x －20)＋20×8＋30≤10x ， 解得x ≤25，Ⅰ20＜x ≤25. 综上所述，15≤x ≤25，答：该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间． 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．23. 解：(1)Ⅰ“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10＋20＋30＝60， ⅠP (100台机器在三年使用期内维修次数不大于10)＝60100＝0.6，答：可估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6； (2)若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器维修费用的平均数 y 1＝24000×10＋24500×20＋25000×30＋30000×30＋35000×10100＝27300，若每台都购买11次维修服务，则有下表：此时这100台机器维修费用的平均数 y 2＝26000×10＋26500×20＋27000×30＋27500×30＋32500×10100＝27500， Ⅰy 1＜y 2，Ⅰ购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务． 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 24. (1)证明：ⅠAC ⅠBD ， ⅠⅠAED ＝90°.在Rt ⅠAED 中，ⅠADE ＝90°－ⅠCA D. ⅠAB ＝AC ，ⅠAB ︵＝AC ︵，ⅠⅠACB ＝ⅠABC ＝ⅠADE ＝90°－ⅠCA D. 在ⅠABC 中，ⅠBAC ＋ⅠABC ＋ⅠACB ＝180°，ⅠⅠBAC ＝180°－(ⅠABC ＋ⅠACB )＝180°－2(90°－ⅠCAD )， 即ⅠBAC ＝2ⅠCAD ； (2)解：ⅠDF ＝DC ， ⅠⅠFCD ＝ⅠCF D.ⅠⅠBDC ＝ⅠFCD ＋ⅠCFD ， ⅠⅠBDC ＝2ⅠCF D.ⅠⅠBDC ＝ⅠBAC ，且由(1)知ⅠBAC ＝2ⅠCAD ， ⅠⅠCFD ＝ⅠCA D. ⅠⅠCAD ＝ⅠCBD ， ⅠⅠCFD ＝ⅠCBD ， ⅠCF ＝C B. ⅠAC ⅠBF ，ⅠBE ＝EF ，故CA 垂直平分BF . ⅠAC ＝AB ＝AF ＝10. 设AE ＝x ，则CE ＝10－x ， 在Rt ⅠABE 和Rt ⅠBCE 中， AB 2－AE 2＝BE 2＝BC 2－CE 2， 又ⅠBC ＝45，Ⅰ102－x 2＝(45)2－(10－x )2，解得x ＝6，ⅠAE ＝6，CE ＝4， ⅠBE ＝AB 2－AE 2＝8.ⅠⅠDAE ＝ⅠCBE ，ⅠADE ＝ⅠBCE ， ⅠⅠADE ⅠⅠBCE . ⅠAE BE ＝DE CE ＝AD BC ， Ⅰ68＝DE 4＝AD 45 . ⅠDE ＝3，AD ＝3 5.如解图，过点D 作DH ⅠAB ，垂足为H .第24题解图ⅠS ⅠABD ＝12AB ·DH ＝12BD ·AE ，BD ＝BE ＋DE ＝11，Ⅰ10DH ＝11×6，故DH ＝335，在Rt ⅠADH 中，AH ＝AD 2－DH 2＝65，Ⅰtan ⅠBAD ＝DH AH ＝112.说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 25. (1)解：依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＝0，－b 2a ＝2，Ⅰ(－4a )2－4ac ＝0， Ⅰa ≠0，Ⅰc ＝4a ，即a ，c 满足的关系式为c ＝4a ；(2)Ⅰ解：当k ＝0时，直线l 为y ＝1，它与y 轴的交点为(0，1)． Ⅰ直线y ＝1与x 轴平行，Ⅰ等腰直角ⅠABC 的直角顶点只能是点A ，且点A 是抛物线的顶点． 如解图Ⅰ，过A 作AM ⅠBC ，垂足为M ，则AM ＝1，ⅠBM ＝MC ＝AM ＝1， 故点A 坐标为(1，0)，Ⅰ抛物线的解析式可改写为y ＝a (x －1)2， Ⅰ抛物线过点(0，1)， Ⅰ1＝a (0－1)2，解得a ＝1. Ⅰ抛物线的解析式为y ＝(x －1)2；Ⅰ证明：如解图Ⅰ，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (x 1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，y ＝x 2－2x ＋1，得x 2－(k ＋2)x ＋k ＝0， ⅠΔ＝(k ＋2)2－4k ＝k 2＋4＞0， 由抛物线的对称性，不妨设x 1＜x 2，则 x 1＝k ＋2－k 2＋42，x 2＝k ＋2＋k 2＋42，Ⅰx 1＜1＜x 2.设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝m ＋n ，－1＝mx 1＋n ， 解得⎩⎨⎧m ＝－1x 1－1，n ＝1x 1－1.所以直线AD 的解析式为y ＝－1x 1－1x ＋1x 1－1. Ⅰy 2－(－1x 1－1x 2＋1x 1－1)＝(x 2－1)2＋x 2－1x 1－1＝（x 2－1）[（x 1－1）（x 2－1）＋1]x 1－1＝（x 2－1）（k －k 2＋42·k ＋k 2＋42＋1）x 1－1＝0.即y 2＝－1x 1－1x 2＋1x 1－1，Ⅰ点C (x 2，y 2)在直线AD 上．故对于每个给定的实数k ，都有A 、C 、D 三点共线．说明：本参考答案仅给出一种解法供参考。
2019年福州一中招生综合素质测试(一)
2019年福州一中招生综合素质测试（一）(测试时间:90分钟全卷总分值40分)毕业学校_________________姓名____________报考号__________考生注意：1、本卷共有70题，全部为单项选择题，其中第1—60题每题0.5分，第60—70题每题1分。
2、请将正确选项填涂在答题卡上，写在测试卷上不计分。
3、测试完毕，答题卡及测试卷不得带出考室。
1.假如在数轴上表示a,b 两个实数的点的位置如下图，那么|a –b|+|a+b|化简的结果为 A.2aB.–2aC.0D.2b2.右图是四棱柱和圆锥的组合体，它的主视图为A.B.C.D.3.在△ABC 中，∠C=90°，假如sinA=53,那么tanB 的值等于 A.53B.45C.43D.34 4.以下五个图形中，是中心对称的图形共有A.2个B.3个C.4个D.5个5.△ABC 中，AB=3，BC=4,AC=5,那么△ABC 的外心在A.△ABC 内B.△ABC 外C.BC 边中点D.AC 边中点6、某校为了了解学生的身体素质情况，对初三〔2〕班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目总分值为10分。
如图，是将该学生所得的三项成绩〔成绩均为整数〕之和进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图，从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46. 以下说法：① 学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5~26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5~26.5)范围内。
其中正确的说法有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个0ba 010.514.518.526.522.530.5分数学生人数7、3)()(33243=-÷ba b a ，那么39b a 等于A 、9- B.9C.27D.27-8.用圆心角为60°,半径为24cm 的扇形做成一个圆锥的侧面,那么那个圆锥底面的半径是A.4πcmB.8πcmC.4cmD.8cm9.当x=1时，代数式px 3+qx+1的值是2006，那么当x=–1时，代数式px 3+qx+1的值是A.–2004B.–2005C.–2006D.2006 10.以下给出三个结论①假设1–21(x –1)=x,那么2–x –1=2x ；②假设21-+x x =222-+x x ,那么21-x =22-x ； ③假设x –11-x =x-11,那么x –1=–1。
福建省福州第一中学2019届高三上学期开学质检数学(文)试题 Word版含答案
福州一中2018- -2019 学年第一学期高三开学初质量检查考试数学(文)一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共60分）1．已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．若集合A＝{x|x（x﹣1）＜2}，且A∪B＝A，则集合B可能是（）A．{﹣1，2} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{0，2}3．若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣44．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞4”是“a＞2，b＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q5．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．6．已知tanθ＝2，则（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm39．把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称10．定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f （2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a11．已知函数，若关于x的方程恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|P A|+|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量，的夹角是60°，||＝||，⊥（λ），则λ＝．14．已知双曲线Γ过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为．15．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1＝2，，则数列{a n}的通项公式a n＝．16．已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC，若三棱锥A﹣BCD的最大体积为，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本大题共5小题，共70分）17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝4c，B＝2C （Ⅰ）求cos B（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积18．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？合格优秀合计男生720女生1020合计4000 附：p（k2≥k0）0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形（1）求证：BC⊥平面P AC（2）若P A＝2BC，三棱锥P﹣ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|＝2|DM|，求的最小值．21．已知函数f（x）＝3e x+x2，g（x）＝9x﹣1．（1）求函数φ（x）＝xe x+4x﹣f（x）的单调区间；（2）求证：f（x）＞g（x）．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．点P是曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线θ，（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M（2，0），求△MAB的面积．23．已知函数f（x）＝|x+2a|+|x﹣1|．（1）若a＝1，解不等式f（x）≤5；（2）当a≠0时，，求满足g（a）≤4的a的取值范围．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共60分）1．2．B3．B4．D5．C6．D7．B8．A9．B10．C11．D12．A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．．14．．15．．16．解：设BD＝a，取BC中点O，连结AO、DO，∵三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC，∴OA＝OB＝OC＝OA＝a，CD，当三棱锥A﹣BCD体积最大时，面ABC⊥面BCD，∵三棱锥A﹣BCD的最大体积为，∴，∴，解得a，∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径r＝a，∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积S＝4πr2＝4π×3＝12π．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本大题共5小题，共70分）17．（Ⅰ）由题意B＝2C，则sin B＝sin2C＝2sin C cos C又，所以所以（6分）（Ⅱ）因为c＝5，，所以（7分）由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，则，化简得，a2﹣6a﹣55＝0，解得a＝11，或a＝﹣5（舍去），…（9分）由BD＝6得，CD＝5，由，得所以△ADC的面积18．（1）由题意，得：中间值45 55 65 75 85 95 概率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ∴85×0.15+95×0.1＝70.5．∴4000名考生的竞赛平均成绩为70．．（2）合格优秀合计男生720 1180 1900女生1080 1020 2100合计1800 2200 4000．故有99%的把握认为有关．19．（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，所以MD⊥AB．…（1分）因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MD∥P A，故P A⊥AB．…（2分）又P A⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，MCBP AD所以P A⊥平面ABC．…因为BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC．…又PC⊥BC，P A∩PC＝P，P A，PC⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC．…（6分）（2）设AB＝x，则三棱锥P﹣ABC的体积为，得x＝2…设点B到平面DCM的距离为h．因为△AMB为正三角形，所以AB＝MB＝2．因为，所以AC＝1．所以．因为，由（1）知MD∥P A，所以MD⊥DC．在△ABC中，，所以．因为V M﹣BCD＝V B﹣MCD，…所以，即．所以．故点B到平面DCM的距离为．…20．（Ⅰ）由题意可知抛物线开心向右，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），把A（2，2）代入抛物线方程可得：4＝4p，即p＝1，于是F．又直线OA的斜率为1，故而所求直线斜率为﹣1，∴所求直线方程为．（Ⅱ）设点D和E的坐标为（x1，y1）和（x2，y2），直线DE的方程是y＝k（x﹣m），k≠0．将代入y2＝2x，有ky2﹣2y﹣2km＝0，解得y1，y2．由|ME|＝2|DM|得：，化简得．∴|DE|2＝（1）[（y1+y2）2﹣4y1y2]．∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为12．21．（1）φ（x）＝（x﹣3）e x+4x﹣x2，φ'（x）＝（x﹣2）（e x﹣e ln2），令φ'（x）＞0有x＞2或x＜ln2，令φ'（x）＜0有ln2＜x＜2，因此φ（x）的单调递增区间为（﹣∞，ln2）和（2，+∞），φ（x）的单调递减区间为（ln2，2）．（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），则h'（x）＝3e x+x2﹣9x+1，h'（x）＝3e x+2x﹣9，h“（x）＝3e x+2，∵h“（（x）＞0，∴h'（x）单调递增，又h'（0）＝﹣6＜0，h'（1）＝3e﹣7＞0，因此存在m∈（0，1）使得h'（m）＝0，所以h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（m）＝3e m+m2﹣9m+1，又h'（m）＝0，∴3e m＝9﹣2m，所以h（x）≥h（m）＝m2﹣11m+10＝（m﹣1）（m﹣10）＞0，因此f（x）＞g（x）．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．（1）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4上，把互化公式代入可得：曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．设Q（ρ，θ），则，则有．所以，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（2）M到射线的距离为，，则．23．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，故f（x）表示数轴上的点x到﹣2和1对应点的距离之和，因为x＝﹣3或2时，f（x）＝5，依据绝对值的几何意义可得f（x）≤5的解集为{x|﹣3≤x≤2}．（Ⅱ）∵，∴，当a＜0时，，等号当且仅当a＝﹣1时成立，所以g（a）≤4无解；当0＜a≤1时，，由g（a）≤4得2a2﹣5a+2≤0，解得，又因为0＜a≤1，所以；当a＞1时，由g（a）＝2a+1≤4，解得，综上，a的取值范围是．。
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
试卷第1页，总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ，则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ，则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ，或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ，则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162，且2θπ0,，则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PAl ，A 为垂足．若直线AF的斜率为3，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数，h x 为奇函数，且满足2xg x h x．若存在11x，，使得不等式0m g x h x有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1AB x x =>-，故选D ．3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20，故选C ． 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ．5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯．故选B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3-， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =，所以23n =±，又因为24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω．0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141xy =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ．10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22c QF =．由双曲线定义知122cQF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ．11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124n n n n n a a a na n ++=++，则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
【福州市3月质检】福建省福州市2019届高三毕业班质检数学文试题扫描版
x2 ) 2t
0 ， ………… 10分
将 x1
x2
1
4k2 2k2
,
x1x 2
2k 2 2 1 2k 2 代入，解得 t＝ 2． ………… 11 分
综上，存在定点 E(2 ， 0)，
使得 x 轴上的任意一点 (异于点 E、F )到直线 EM 、 EN 的距离相等。 …………… 12 分
a 22. 解: （Ⅰ） f ' (x) , g' ( x) 2x ,依题意得 :a=2; …………2…分
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2019 年福州市高中毕业班质量检测 数学 ( 文科 ) 试卷参考答案及评分标准
1--12; BCDAB
CDDBC
BB
13. x R ,都有 f( x)≠ x
14.1/2
15.10
16.－ 1007
17. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 d，
由 a1 4, a2 10 得 log3 (4 1) 1,log3(10 1) 2 所以 d=1；………… 3 分
6
6
因为 x甲 x乙 ，所以甲市的空气质量较好 .
…… 4 分
（Ⅱ）由茎叶图知，甲市 6 天中有 2 天空气质量等级为一级，有 4 天空气质量等级为二级，空气质
量等级为二级的 4 天数据为 a, b, c, d ，空气质量等级为一级的两天数据为 m,n ，则 6 天中抽取两天
的所有情况为 ab,ac,ad,am,an, bc,bd, bm,bn,cd,cm, cn,dm,dn, mn ，基本事件总数为 15. … 9 分
21. 解：（Ⅰ）由题意得 ,
( x 1)2 y2 |x 2|
2019年福建省初中学生毕业和高中阶段学校招生考试数学试卷(三)
本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 １至 ２页，第Ⅱ卷 ３至 ５页．满分 １５０分． 注意事项：
１．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
２４．（本小题满分 １２分） 如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝９，点 Ｍ是 ＡＢ的中点，点 Ｐ是 ＢＣ边上的一点，连接 ＰＭ，以点 Ｐ为 圆心，ＰＭ长为半径作⊙Ｐ． （１）当⊙Ｐ经过点 Ｄ时，求证：△ＭＰＤ是等腰直角三角形； （２）当⊙Ｐ与矩形 ＡＢＣＤ的边相切时，求 ＰＢ的长．
２５．（本小题满分 １４分） 已知抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｔ经过点 Ｂ（－１，０），且抛物线上任意不同两点 Ｍ（ｍ，ｎ），Ｎ（ｐ，ｑ）都满足：当 ｍ＜ｐ＜－２时，（ｍ－ｐ）（ｎ－ｑ）＜０；当 －２＜ｍ＜ｐ时，（ｍ－ｐ）（ｎ－ｑ）＞０；抛物线与 ｘ轴另一个交点为 Ａ，与 ｙ轴交于 Ｃ点，对称轴与 ｘ轴交于 Ｅ点． （１）求抛物线的对称轴及点 Ａ的坐标； （２）过点 Ｃ作 ｘ轴的平行线交抛物线的对称轴于点 Ｍ，当四边形 ＯＣＭＥ是正方形时，求抛物线的解 析式； （３）在( ２) 的条件下，垂直于 ｙ轴的直线 ｌ与抛物线交于点 Ｐ（ｘ１，ｙ１）和 Ｑ（ｘ２，ｙ２），与直线 ＡＣ交于点 Ｎ（ｘ３，ｙ３），若 ｘ１＜ｘ３＜ｘ２，结合函数的图象，直接写出ｘ１＋ｘ２＋ｘ３的取值范围．
１５．已知等腰直角三角形 ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝２，点 Ｄ为 ＡＣ中点，以点 Ｂ为直角顶点， ＢＤ为直角边在 ＡＣ右侧构造等腰直角三角形 ＤＢＥ，则 ＤＦ＝ ．
１６．如图，点 Ａ，Ｂ为反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）图象上的两点，且满足∠ＡＯＢ＝４５°，若点 Ａ 的坐标为（３，５），则点 Ｂ的坐标是 ．
2019年福州市质检理科数学试卷
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 326.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。
福建省福州市2019届高三毕业班3月质检数学理
2019年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷(完卷时间：120分钟；满分：150分)第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题•每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1•已知集合A={( x,y)|y=lgx}, B={(x,y)|x=a},若A A B= 一，则实数a的取值范围是( ).A. a<1B. a< 1C. a<0D. a< 02•“实数a=1 ”是“复数(1 ai)i ( a€ R ,i为虚数单位)的模为2 ”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件3.4.5. C.充要条件执行如图所示的程序框图D.既不是充分条件又不是必要条件，输出的M的值是( )开始J 」—►M=2―►i=1A . 2B. -11c.—命题” x R,使得f (x )二xA. _X R，都有f (x)二XC. —x R,都有f (x) = x是i<5?否”的否定是B.不存在x -D. x R,使输出MR,使f (x) x已知等比数列{a n}的前n项积为二n,若a3 d a8A.512B.256C.81i=i+1M 二结束).D.166.如图,设向量OA = (3,1),OB =(13)，若OC =入OA +卩OB,且入》卩> 1,则用阴影表示C点所9.若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x), f(2- x)=f(x), 且当x € ［0,1］时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数A. f(x)=x+sinxB. f (x ) =cos x xC.f(x)=xcosx兀3兀D.f (x )= x(--)(-云)8.已知F i 、22x yF 2是双曲线—22 " (a>0,b>0)的左、右焦点a b，若双曲线左支上存在一点 P 与点F 2关于直线y =■ bx对称”则该双曲线的离心为().a、5A.-2B. 5C.2D.2H(x)= |xej —f(x)在区间［—3,1］上的零点个数为()3210.已知函数f （x ）=x +bx+cx+d （b 、c 、d 为常数），当x € （0,1）时取得极大值，当x € （1,2）时取极小值，则1 2 2（b -） （c- 3）的取值范围是（）.2nH x(-1) sin 2n,x [2n,2n 1)9f(x)二-2,(n N)n ' ：1z x(-1)n 1sin 2n 2,x [2 n 1,2 n 2)I. 2若数列｛a m ｝满足 a m = f (m )(m N )，且的前 m 项和为 S m ,则 S 2014 - S 2006 = _____________2三、解答题：本大题共六个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.A •(旦,5)B. .5,5)2C. (37,25)4D.(5,25)第H 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11.5名同学排成一列，某个同学不排排头的排法种数为（用数字作答）12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点 M ，则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 ____________ .2 213.若直线 x - y • 2 =0 与圆 C: (x -3) • (y -3) =4 相交于 A 、两点，则CA CB 的值14.已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的表面积为15.已知函数A.5B.4C.3D.216. （本小题满分13分）在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位:毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲地乙地8 01 2 4 7 8 8 92 0 0 1 2(优质品件数/总件数)；规定：当产品中的此种元素含量羽5毫克时为优质品(I )试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(n )从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数■的分布列及数学期望E().17. (本小题满分13分)已知函数f (x) = 2cos2x 2、3sin xcosx(x R)..(I)当［0,—］时，求函数f(x)的单调递增区间；2(n)设ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c = 3, f(C)=2,若向量m=(1,sinA)与向量n = (2,sinB)共线，求a,b 的值.18. (本小题满分13分)如图，直角梯形ABCD中，.ABC =90°AB = BC二2AD=4，点E、F分别是AB、CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF .(I)当AG+ GC最小时，求证：BD丄CG ;(n)当2V B- ADGE = V D-GBCF时，求二面角D- BG- C平面角的余弦值.19. (本小题满分13分)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x= —1相切.(I)求动圆圆心C的轨迹方程；(H)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为:-和一：，①当：；亠= _时，求证直线AB恒过一定点M;2②若很亠卩为定值v(0 ：：: v :::二)，直线AB是否仍恒过一定点若存在,试求出定点的坐标；若不存在请说明理由•20. (本小题满分14分)1已知函数f (x) = In (x+ ) -ax，其中a R且a = 0a(I)讨论f (x)的单调区间；(n)若直线y二ax的图像恒在函数f (x)图像的上方，求a的取值范围1(川)若存在为：：：0 , x2• 0 ,使得f (x1) = f (x2) = 0 ,求证：x1 x2 0.a21. 本题设有(1 )、(2)、( 3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做, 则按所做的前两题计分•作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中•(1) (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换.3 3^一£已知矩阵A= 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为S = ，属于特征值1的一个特征JC d丿<1丿曰一*3 \向量a = .1-2丿(I)求矩阵A的逆矩阵；(n)计算A3的值•<4丿(2) (本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为(I)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 I 的普通方程 (n)若 P( - 2,-4),求 |PM|+|PN| 的值.(3) (本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x — 4|+|x - 3|,(I)求f(x)的最小值 m(n)当 a+2b+3c=m(a,b,c € R)时,求 a 2+ b 2+c 2的最小值.2019年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 —10 DABCA DCBBD16.解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有乙厂抽取的样本中优等品有(II) 的取值为1, 2, 3. .......................... 5分v -4cosr ，直线I 的参数方程为(t 为参数),两曲线相交于M,N 两点.11.9612.1/313.014.18+ 2.3 cm 2 15.80427件,优等品率为—.10 左848件,优等品率为10 51 21 7 7 12故 的数学期望为(E ') 1 — 2 — 3 —二一 ........................... 13分15 15 15 517.解:(l) f (x) = 2cos 2 x . 3sin 2xA JIJ[ JI令-2k ?x z 2x2k 二，k Z ,26 22兀 n 兀 兀解得 2k … _2 x 岂 2k 二-即 k 二-一 一 x 一 k 二■一 ......... 4 分3 3 3 6JIJI■/[0,-]< f(x)的递增区间为[0,6】........... 6分 二二 1(n )由 f (C ) =2sin(2C —)1=2，得 sin(2C —)二—6 6 213二二 5二，’而C 0,二，所以2C,亘，所以2C 得C8分616 6 丿6P( =1)C8C2Cwi15P(C 1015 P ( =3)C83 10715= cos2x 、、3si n2x 1 =2sin2xsin A sin B1 26 3因为向量 m =(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，所以a 1由正弦定理得：一=—① ................ 10分b 2由余弦定理得：c 2 = a 2 - b -2abcos —，即 a 2+b 2— ab=9 ② ........ 1 2分 3k =1即 EG=1 .............................. 8 分 T设平面DBG 的法向量为m =(X, y, Z ), •/ G(0,1,0),由①②解得a = ... 3, b = 2』313分18•解:(I )证明：•••点E 、F 分别是AB 、CD 的中点J EF//BC 又/ABC=90 °J AE 丄 EF , ：•平面 AEFD 丄平面 EBCF ,J AE 丄平面 EBCF , AE 丄EF , AE 丄BE , 又 BE 丄 EF ,如图建立空间坐标系E - xyz. ........................... 2分 翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG+GC 最小.1EG= — BC=2,又•/ EA=EB =2 .2则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),J =( -2,2,2),CG=(-2,-2,BD 丄 CG ...................... 5 分(n )解法一：设 EG=k,:AD //平面EFCB ，.点D 到平面EFCB 的距离为即为点 A 到平面EFCBC1=1 一2 V=AE — (7 k )又V ADGES四形ADGE3?B E=3(2' 2V B- ADGE = V D- GBCF ,'4 23(2 k)=3(7 -k),的距离..BG =(—2,1,0), BD =(—2,2,2),…h BD =0 2x+2y + 2z = 0 则： ，即n 1 BG =0 -2x y =04取 x = 1,则 y = 2,z = — 1,A n =(1,2, -1)...................... 10 分由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角(n )解法二：由解法一得 EG=1,过点D 作DH _ EF,垂足H,过点H 作BG 延长线的垂线垂足 O ,连接 OD. T 平面 AEFD 丄平面 EBCF,. DH _平面EBCF , OD _ OB,所以三DOH 就是所求 的二面角D- BG- C 的平面角 ..... ........ 9分2由于HG=1,在也OHG 中OH =三匸5 ，DH 又 DH=2，在：DOH 中 tan . DOH 511分OH所以此二面角平面角的余弦值为 丄6. .................. 1：分619. 解：(I )设动圆圆心 M(x,y),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=— 1为准线的抛物线 ........ 2分 其方程为y 2=4x.- ................ 3分(n )设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2).2 2由题意得X 1枚2(否则■-二二)且X 1X 2丰(则X 1二丫1, X 2二匹44所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将 y=kx+b 与 y 2=4x 联立消去 x,得 ky 2— 4y+4 b=0面BCG 的一个"(0,0,1)则 cos<I m II r )2| 所以此二面角平面角的余弦值为13分mm >=4 4b由韦达定理得 Yi 亠y 2 =—, y 1 y 2 = ------------- ................ 6分k k① 当= _时,tan ： tan 1： =1所以上上二1,也 - ym = 0 , .................................. 7分2X i x 2—b 所以y i y 2=16,又由※知：y i y 2=—-所以b=4k;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+ 4k,所以直线AB 恒 k过定点(一4,0)............ 8分■J T② 当.：：■ 为定值”0 ：：: V :::二)时若二=—，由①知,2直线AB 恒过定点 M (— 4,0) ............... 9分 当'；_ 时，由「• - _ J ,得 tan J - tan (芒-1：,)=24所以直线AB 恒过定点(-4,) ............ 12分tan 6所以当二-2时，直线AB 恒过定点(—4,0).,「"兀4当时直线AB 恒过定点(-4,) . ........... 13分2tan 日120. 解:(I)f(x)的定义域为(-一，；).a1其导数f (x) = —- a =1 x +a1① 当a ：：： 0时，f '(x) • 0 ,函数在(-丄，；)上是增函数； 2分atan”：亠 tan : 1 - tan ： tan :4( % y 2) y i y 2 -16将※式代入上式整理化简可得此时，直线AB 的方程可表示为4b- 4 ky=kx + 4 k ，所以b= 4k11分2a xax+ 11②当a 0时,在区间(-,0) 上, f'(x) 0;在区间(0,+ m)上，f'(x)：：：0 .a1所以f(x)在(-一，0)是增函数，在(0,+ m )是减函数. ....... 4分a1(II)当a ：：：0时，取x = e -a1 1 1则f (e ) = 1 -a(e ) = 2 -ae 0 ae -1 = a(e ),不合题意.a a a2」1当 a . 0时令 h(x) = ax 一 f (x),则 h(x)=2ax_ln(x ) ...................... 6 分a问题化为求h(x) 0恒成立时a 的取值范围•1 .2a(x+p 由于h(x) =2a牛 ......... 7分1 1 xx -aa1 1 i.在区间(-，-)上，h '(x) 0 ;在区间(-一，•：：)上，h '(x ) 0 .a 2a 2a1 1-h(x)的最小值为h( )，所以只需h( ) 02a 2a1 1 1 1 e即 2a () -ln()0, ln1, a .................... 9 分2a2a a 2a21 (川)由于当a :: 0时函数在(-一，；)上是增函数，不满足题意，所以a 0a1 构造函数：g(x)二 f (-X )- f(x)( x ：： 0) a1 1.g (x)二 ln( x)「ln(x ) 2ax ........................... 11 分a a，/、1 1小2ax小则g(x ^^-^2^v^:：0贝 y x xx 2a aa、 11所以函数g(x)在区间(一一，0)上为减函数.T 一一 £捲£0,则g(xj > g(0) = 0，a a于是 f (- xj- f (x )> 0,又 f (xj = 0，f (- xj> 0= f(X 2)，由 f (x)在(0,址)上为减函数可知21. (1)(本小题满分7分)选修4-2 :矩阵与变换2 3 一 ~ 3-(3 d ) • 3d - 3c = 0的两个根为6和1,c+d = 6 1 = 2 3 3" ，.A =、3c — 2d = -2 d = 42 4解:(I )法一:依题意, x 2 -x 1.即 x x 2 014分所以A 4「3■'■■■ -'d丄3 3)故 d=4,c=2.- A =............. 2 分<2 4丿(2)(本小题满分7分)选修4-4 :坐标系与参数方程.解:(I )(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x,直线I 的普通方程x — y — 2=0. (4)x = _2+空 t| +42y _ _4 I. 2代入y 2=4x,得到t 2 -12J2t + 48 =0，设M,N 对应的参数分别为t i ,t 2则 11 ' 12 =12 \2,11t 2 - 48所以 |PM|+|PN|= |t i +t 2|= 12.2 ............. 7 分 (3))(本小题满分7分)选修4-5 :不等式选讲解:(I )法 1: f(x)=|x — 4|+|x — 3|> |(x — 4)— (x — 3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分A 3-1法二：A 2 -14=2 X633 A分*3、 |429〕.严丿= 1434丿152r— J 4 22」A3—13伦7 129 丫-1电6 130^4巾5 21 丫3 3) 〔87 129、14 22 人2 4 丿(86 130 y7分(n )直线I 的参数方程为(t 为参数),2x - 7, x _ 4法2: f (x ) = * 1,3 兰x< 4 . ----------------- 1分1-2 x, x v 3x> 4 时,f(x) > 1;x<3 时,f(x)>1,3 < x<4 时,f(x)=1, ----------------- 3 分故函数f(x)的最小值为1. m=1. ............. 4分2 2 2 2 2 2 2(n )由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )泊+2b+3c) =1 ------------------ 5 分1故a2+b2+c2> - ............... 6 分14113当且仅当a二一,b二-,c —时取等号........7分14 7 14。