数字图像的傅里叶变换(经典)
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1. 离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT）,是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT 0DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，女口：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2. 离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1. 离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT ）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹(Toeplitz )矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言 及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为：IT r-(2x+i )阳、F (u)C (u ) i .二“ f (x) cos V N "2N )式中：u =0,1, ............... ,N _1，式中的C(u)的满足：C (u)=其它其逆变换IDCT 为:由于DCT 的变换核是可分离的，为此，二维DCT 变换可通过两次一维变换由图知，该方法是先沿行(列)进行一维 DCT 变换计算，再沿列(行)进 行一次一维DCT 变换，共需做 M 次N 点的和N 次M 点的一维DCT 变换。
傅里叶变换在数字图像处理中的应用课件
• 由欧拉公 式
f (t)
F (n1 )e jn1t
• 其中 n
F (0) a0
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
引入了负频率
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
10
非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成 了非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
1
2
T1
0 d
n1
11
非周期函数傅立叶变换分析式
F (w) f (t )e jwt dt f(t) Nhomakorabea1
2
F ().e jtd
频谱演变的定性观察
1
2
T1
F (n1)
-T/2
T/2
F (n1) 1
F (n1 )
-T/2
T/2
1
2
2
13
三.从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高
傅里叶变换
连续时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期 性
离散时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期
性
连续函数的 傅立叶变换
一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
直流 分量
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
N 1
j 2 mn
X (m) x(n)e N , m 0,1, 2,3, 4,...N 1
数字像处理中的离散傅里叶变换
数字像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理是指利用计算机或其他数字设备对图像进行处理、分析和改良的过程。
而数字信号处理中的离散傅里叶变换是一种常用的图像处理工具，它能将图像从时域转换到频域，分析图像的频谱特征，从而实现一系列的图像处理操作。
本文将介绍数字图像处理中的离散傅里叶变换原理、应用以及一些常见的变换方法。
一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是对离散信号进行频域分析的一种数学工具。
离散傅里叶变换可以将一个长度为N的离散序列变换成一个长度为N的频谱序列。
其离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ(x(n)*e^(-j2πkn/N)) (n=0,1,...,N-1; k=0,1,...,N-1)其中，X(k)为频谱序列，x(n)为原始信号序列，e为自然对数的底，j为虚数单位。
离散傅里叶变换可以将时域上的图像转换为频域上的频谱图，进而分析图像的频谱特征。
二、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 图像滤波：通过离散傅里叶变换可以实现图像频域上的滤波操作，对图像进行降噪、增强边缘等处理。
例如，可以利用傅里叶变换将图像转换到频谱域，通过频谱的阈值处理去除高频噪声，然后再将图像转换回时域。
2. 图像压缩：离散傅里叶变换常被用于图像数据的压缩。
通过将图像转换到频域，可以利用频域的统计特性进行数据的压缩。
例如，可以通过选择合适的频率分量进行舍弃或者量化，以减少图像数据的存储空间。
3. 图像识别：离散傅里叶变换可以提取图像的频谱特征，用于图像识别和模式匹配。
例如，可以通过傅里叶变换得到图像的频谱图，并提取频谱的主要特征进行分类和识别。
4. 彩色图像处理：离散傅里叶变换可用于彩色图像处理。
可以将彩色图像的每个通道分别进行离散傅里叶变换，然后进行频域上的处理操作，最后再将变换后的通道合成为最终的彩色图像。
图像处理中的傅里叶变换
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。
数字像处理中的离散傅立叶变换
数字像处理中的离散傅立叶变换离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，被广泛应用于数字图像处理中。
数字图像的离散傅立叶变换可以提取图像的频域信息，用于图像增强、滤波、压缩等各种应用。
一、离散傅立叶变换的基本概念离散傅立叶变换是对离散信号进行频谱分析的数学工具。
它通过将时域离散信号转换为频域表示，得到信号的频率成分，从而更好地理解信号的特性。
离散傅立叶变换的基本公式如下：X(k) = Σx(n) * exp(-j2πkn/N)，其中0 ≤ n ≤ N-1，0 ≤ k ≤ N-1其中，x(n)为时域离散信号，X(k)为频域离散信号，N为信号的长度，j为虚数单位。
二、离散傅立叶变换的应用场景1. 图像增强离散傅立叶变换可以将图像从时域转换到频域，通过调整频域的幅度谱、相位谱来实现图像增强。
例如，可以通过增强高频成分来使图像更加锐利，或者通过滤除高频成分来实现去噪。
2. 图像滤波离散傅立叶变换可以在频域对图像进行滤波操作。
通过将频率域的幅度谱或相位谱进行滤波，可以实现图像模糊、锐化、边缘检测等处理操作。
3. 图像压缩离散傅立叶变换常被用于图像压缩。
通过对图像进行频域分解，将频率较低的成分保留，而舍弃高频成分，可以有效地减小图像的数据量，实现图像的压缩。
4. 图像重建离散傅立叶变换在图像重建中有着重要的应用。
通过将图像进行离散傅立叶变换，并去除部分频率成分，然后再进行逆变换，可以实现图像的重建。
三、离散傅立叶变换的算法优化离散傅立叶变换算法的计算复杂度较高，需要进行大量的复数运算。
为了提高计算效率，人们提出了一系列离散傅立叶变换的算法优化方法。
1. 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）快速傅立叶变换是一种高效计算离散傅立叶变换的算法。
它利用了离散傅立叶变换的对称性和周期性，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法数字图像处理是一门非常重要的学科，它主要关注如何对数字图像进行处理和分析。
在数字图像处理中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，在很多领域都有广泛的应用。
特别是在数字信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种重要的工具，它可以将时域信号转化成频域信号，进行频域分析和处理，帮助我们从中获取更多的信息。
在数字图像处理中，快速傅里叶变换算法是一种非常重要的算法，它拥有很高的计算效率和精度，被广泛应用于数字图像处理中。
一、傅里叶变换傅里叶变换是数学中的一种重要的工具，它可以将任意一个函数分解为一系列正弦波的加权和。
在数字图像处理中，傅里叶变换可以将图像表示为一个二维函数，其中每个分量代表着不同的频率。
通过傅里叶变换，我们可以了解图像中不同颜色和亮度的分布状况，从而帮助我们更好地进行图像处理和分析。
二、快速傅里叶变换算法快速傅里叶变换算法是对传统傅里叶变换进行优化得到的一种算法。
传统的傅里叶变换算法计算复杂度很高，需要进行许多乘法和加法运算，运算时间很长，难以满足实时处理的要求。
为了解决这个问题，人们开发出了快速傅里叶变换算法，它可以有效地缩短傅里叶变换的运算时间，提高计算效率。
快速傅里叶变换算法的基本思想是将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而实现快速计算。
这样就可以通过迭代的方式，逐步将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而获得更高的计算效率。
快速傅里叶变换算法一般采用分治的思想，将二维傅里叶变换分解为两个一维傅里叶变换，从而实现二维傅里叶变换的计算。
三、应用领域快速傅里叶变换算法被广泛应用于数字图像处理领域。
在图像去噪、图像压缩、图像增强、图像分割等领域，傅里叶变换都有着很广泛的应用。
特别是在数字信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频域分析和处理，帮助我们了解信号的频域特性和频谱分布状况，从而更好地进行信号处理和分析。
四、总结快速傅里叶变换算法是数字图像处理中非常重要的一种算法，它可以快速、高效地实现傅里叶变换的计算，提升计算效率，满足实时处理的要求。
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用王家硕 学号：1252015一、 Fourier 变换1. 一维连续傅里叶变换设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。
（2）具有有限个极点。
（3）绝对可积。
则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F f t f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，式中：1-=j ，ω 为频域变量。
f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。
由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1)式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。
公式1可表示为指数形式：式中：F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。
2. 二维连续傅里叶变换如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞<⎰⎰+∞∞-dxdy y x f |),(，且F (u , v )是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：dt e y x f v u F t j ⎰⎰+∞∞--+∞∞-=ω),(),(dt e v u F y x F t j ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=ω),(),(对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。
变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是对应于y 轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：3.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。
设共采样N个，则这个离散序列可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。
数字图像处理-傅里叶变换
(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) • 能量谱: E=|F(u,v)|2
11
e j 2 xu yv/ N
12
F ( x)
二维傅立叶变换
•傅立叶谱：
|F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
1
x N 1 y N 1
f ( x, y)e j 2 (uxvy ) / N
N x0 y0
f ( x, y)
1
u N 1 v N 1
F (u, v)e j 2 (uxvy ) / N
N u0 v0
• 变换对 f ( x, y ) F (u, v)
10
二维傅立叶变换
• 傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej(u,v) • 傅立叶谱：
f ( , 0 ) F (, 0 )
34
傅立叶变换性质 6 线性
• 如果f1(x,y)F1(u,v), f2(x,y)F2(u,v),则
af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v)
35
傅立叶变换性质 7 比例性
• 如果f(x,y)F(u,v),则
f (ax,by) 1 F (u , v ) | a || b | a b
30
傅立叶变换性质 4 共轭对称性
• 如果f(x,y)F(u,v), F*(-u,-v)是共轭复数，则 –F(u,v)= F*(-u,-v) –|F(u,v)|= |F*(-u,-v)|
31
傅立叶变换性质 5 旋转
32
33
• 设f(x,y)F(u,v),
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f
g
DFT(f)+DFT(g)
DFT(f+g)
可分离性
二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。
F u, v f x, y e
x 0 y 0
M 1 N 1
M 1 N 1
ux vy j 2 M N
vy ux j 2 j 2 f x, y e N e M x 0 y 0
单狭缝图像
幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）
幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）
以对数方式显示频谱
二维离散傅里叶变换的性质
线性性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
二维离散傅里叶变换
1） 定义
1 F (u, v) MN
M 1 N 1
x 0 y 0
f ( x, y)e j 2 (ux / M vy / N )
u 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1, M 1 v 0,1, N 1
x 0,1, M 1 y 0,1, N 1
2） 逆傅里叶变换
傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的 分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学 棱镜。 傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、 跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分 代表图像的低频分量
二维DFT傅里叶变换
c1 f1 x, y e
ux vy j 2 M N
c2 f 2 x, y e
x 0 y 0
M 1 N 1
ux vy j 2 M N
c1 F1 u , v c2 F2 u , v
F=fftshift(fft2(f)); G=fftshift(fft2(g)); subplot(223) imshow(log(abs(F+G)),[]) FG=fftshift(fft2(f+g)); title('DFT(f)+DFT(g)') subplot(224) imshow(log(abs(FG)),[]) title('DFT(f+g)')
%imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质
f=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.04(a).jpg'); g=imread('D:\chenpc\data\thry\chpt4\Fig4.30(a).jpg'); [m,n]=size(g); f(m,n)=0; f=im2double(f); g=im2double(g); subplot(221) imshow(f,[]) title('f') subplot(222) imshow(g,[]) title('g')
一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):
F (u, v ) f ( x, y )e
x 0 y 0
M 1 N 1
j 2 ( ux / M vy / N )
F(u,v)的反变换:
1 f ( x, y ) MN
M 1 N 1 u 0 v 0
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
F (u ) f ( x)[cos2ux / N j sin 2ux / N ]
x 0
N 1
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成； u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作 周期性变化的次数。
傅里叶变换的意义
傅里叶变换好比一个玻璃棱镜
棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪 器，每个成分的颜色由波长决定。
傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”， 将函数基于频率分成不同的成分。
一些图像的傅里叶变换
对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶 变换表示成：
ux vy
F x, v e
x 0
M 1
j 2
ux M
1 M
M 1 u 0
F u, y e
j 2
ux M
其中：
vy N 1 j 2 N ~ y方向的DFT F x, v f x , y e y 0 ux M 1 F u, v F x, v e j 2 M ~ x方向的DFT x 0 vy j 2 1 N 1 N ~ y方向的IDFT F u, y F u, v e N v 0 ux M 1 j 2 f x, y 1 F u , y e M ~ x方向的IDFT M u 0
I (u, v) R(u, v)
2
傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间 频率可以理解为等相位线在x,y坐标投影的截距的倒数。
y Y
0
x X
相应的空间频率分别为
u
1 cos 1 cos ,v X Y
思考：噪声、线、细节、 背景或平滑区域对应的空 间频率特性？
二维连续傅里叶变换
1） 定义
F (u )
f ( x)e j 2ux dx
F (u, v)
f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
2） 逆傅里叶变换
f ( x)
F (u)e
j 2ux
du
f ( x, y)
j 2 ( ux vy) F ( u , v ) e dudv
幅值
时域分析
频域分析
一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
F (u) f ( x)e
j 2ux
dx
傅立叶变换F(u)的反变换:
f ( x) F (u )e
j 2ux
du
一维DFT及其反变换
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:
证明：
DFT c1 f1 x, y c2 f 2 x, y
M 1 N 1 x 0 y 0
c f x, y c
1 1 M 1 N 1 x 0 y 0
2
f 2 x, y e
ux vy j 2 M N
Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,[]) ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:)) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显 示 title('幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）') S2=log(1+abs(Fc)); subplot(224) imshow(S2,[]) title('以对数方式显示频谱') 运行上面程序后，结果如下：
图像的傅里叶变换
Fourier Transformation For Image
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提 供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
j 2 ( ux / M vy / N ) F ( u , v ) e
二维DFT傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) f ( x, y) MN x 0 y 0
即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。
j 1 x
-1
-j
图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减
许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使 得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它 们时，其高频项变得越来越不清楚。
解决办法：
对数化
25
26
主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示
3） 傅里叶变换特征参数
F (u, v) R(u, v) jI (u, v)
频谱/幅度谱/模 能量谱/功率谱 相位谱
F (u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v)
P(u , v) F (u , v) R 2 (u , v) I 2 (u , v)
(u, v) arctan
j 2 1 M 1 N 1 M N f x, y F u , v e MN u 0 v0 vy ux j 2 j 2 1 M 1 1 N 1 F u, v e N e M M u 0 N v 0
例题：编程验证二维离散傅里叶变换可分离为两个一维离 散傅里叶变换。 解： %myseparable.m %该程序验证了二维DFT的可分离性质 %该程序产生了冈萨雷斯《数字图像处理》（第二版） %P125 图4.4