江苏专用2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第21课任意角蝗制及任意角的三角函数课件
[ 变式训练 3]
1 (1)设 α 是第二象限角， P(x,4)为其终边上的一点， 且 cos α＝5
x，则 tan 2α＝________. (2)函数 y＝ 2cos x－1的定义域为________．
24 (1) 7 x 2 2. x ＋4
π π (2) 2kπ－3，2kπ＋3 (k ∈ Z)
1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、
简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值 问题(如本例)或不等式问题来求解． 1 1 2 2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝2lR；(3)S＝2αR .其中 R 是扇形的半径，l 是 弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量．
பைடு நூலகம்
[ 变式训练 1] β＝________.
已知角 α＝45° ， 在区间[ －720° ， 0° ] 内与角 α 有相同终边的角
－675° 或－315° [由终边相同的角的关系知 β＝k· 360° ＋45° ，k∈Z， ∴取 k＝－2，－1，得 β＝－675° 或 β＝－315° .]
扇形的弧长、面积公式
(3)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关．( (4)若 α 为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( )
[ 答案]
(1)× (2)× (3)√ (4)√
1 2.(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 M2，y 则 sin ，
α＝________.
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)．]
[ 思想与方法] 1．在利用三角函数定义时，点 P(x，y)可 取终边上任意一点， 若点 P 在单位圆上， 则 sin y α＝y，cos α＝x，tan α＝x；若|OP|＝r，则 sin α y x y ＝r ，cos α＝r ，tan α＝x. 2．三角函数值在各象限的符号规律：一 全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用单位圆和三角函数线是解三角不 等式的常用方法．
3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 定义
y 叫作 α 的正弦，记 __ x 叫作 α 的余弦，记 __
作 sin α 作 cos α ＋ ＋ － － ＋ － － ＋
y x 叫作 α 的正切，记 __
作 tan α ＋ － ＋ －
正角 、_____ 负角 、_____ 零角 . 按旋转方向不同分为_____ (2)分类 象限角 和轴线角. 按终边位置不同分为_______
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个 集合 S＝{β|β＝α＋k· 360° ，k∈Z}．
2.弧度制的定义和公式
角的弧度数为________rad.
l 144 1.2 [由题意知 α＝r＝120＝1.2 rad.]
α (1)若角 α 是第二象限角，则2是第________象限角. 【导学号：62172118】 (2)已知角 α 的终边在如图 211 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)， 则角 α 用集合可表示为________．
(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角； (2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最 大？ 【导学号：62172119】
[ 解]
(1)设圆心角是 θ，半径是 r，则
2r＋rθ＝10， r＝4， r ＝ 1 ， 1 2 解得 (舍去)或 1 θ· r ＝4， θ＝2， θ＝8 2 1 ∴扇形的圆心角为2.
(2)设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝40. 1 2 1 又 S＝2θr ＝2r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 当且仅当 r＝10 时，Smax＝100，此时 2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当 r＝10， θ＝2 时，扇形的面积最大．
[ 规律方法]
[(1)∵α 是第二象限角，
π 5 (2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为4，6π， π 5 ∴所求角的集合为2kπ＋4，2kπ＋6π(k∈Z)．]
[ 规律方法]
1.与角 α 终边相同的角可以表示为 β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α
是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度 制不能混用． α α 2．由 α 所在象限，判定2所在象限，应先确定2的范围，并对整数 k 的奇、 偶情况进行讨论．
[ 易错与防范] 1．第一象限角、锐角、小于 90° 的角是三 个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间 角． 2． 角度制与弧度制可利用 180° ＝π rad 进 行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须 一致，不可混用． 3．已知三角函数值的符号确定角的终边 位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
[ 规律方法]
1.用定义法求三角函数值的两种情况．
(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后 用三角函数的定义求解； (2)已知角 α 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出 此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断．
3 ±2 3 ＝± 2 .]
[由题意知|r|
2
1 ＝22＋y2＝1，所以
3 y＝± 2 .由三角函数定义知 sin α＝y
3.若 cos θ＞0，且 sin 2θ＜0，则角 θ 的终边在第________象限．
四 [ 由 cos θ> 0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0 得 sin θ＜0，则角 θ 的终边在第 四象限．]
(1)若 tan α＞0，则下列说法正确的是________．(填序号) ①sin α＞0；②cos α＞0；③sin 2α＞0；④cos 2α＞0. 1 2 (2)已知角 α 的终边经过点 A(－ 3， a) ， 若点 A 在抛物线 y＝－4x 的准线上， 则 sin α＝________.
(1)③
半径长 的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，弧度记作 (1)定义：把长度等于_______
rad. (2)公式：①角度与弧度的换算：
180 π a.1° ＝180 rad；b.1 rad＝ π ° .
②弧长公式：l＝r|α|.
1 12 lr 2 ＝ r α. ③扇形面积公式：S＝____ 2
角的有关概念及其集合表示
图 211
(1)一或三
π ∴2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， π α π ∴4＋kπ＜2＜2＋kπ，k∈Z. α 当 k 为偶数时，2是第一象限角； α 当 k 为奇数时，2是第三象限角． α 综上，2是第一或第三象限角．
π 5 (2)2kπ＋4，2kπ＋6π(k∈Z)
4.在单位圆中，200° 的圆心角所对的弧长为________．
10 π 10 的弧度数是 200×180＝ 9 π， 由弧度数的定义 9 π [单位圆的半径 r＝1,200° 10 10 l 得 9 π＝r，所以 l＝ 9 π.] 5.已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧长是 144 mm，则该弧所对的圆心
1 (2)2
[(1)由 tan α＞0 知角 α 是第一或第三象限角，当 α 是第一象限角时，sin 2α ＝2sin αcos α＞0；当 α 是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有 sin 2α＝2sin αcos α＞0，故③正确． 1 2 (2)抛物线方程 y＝－4x 可化为 x2＝－4y， ∴抛物线的准线方程为 y＝1. 1 2 ∵点 A 在抛物线 y＝－4x 的准线上， 1 1 y ∴A(－ 3，1)，由三角函数的定义得 sin α＝r ＝ 2 2＝2.] － 3 ＋1
[ 变式训练 2] ________cm.
8 3 3 π
若扇形的圆心角 α＝120° ，弦长 AB＝12 cm，则弧长 l＝
[设扇形的半径为 r cm，如图．
6 由 sin 60° ＝ r ，得 r＝4 3 cm， 2π 8 3 ∴l＝|α|· r＝ 3 ×4 3＝ 3 π cm.]
三角函数的定义
各象 限符 号
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
三角 函数 线
MP 为正弦线 有向线段____ OM 为余弦线 有向线段____ AT 为正切线 有向线段____
1.(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于 90° 的角是锐角．( ) ) )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(
[(1) 由三角函数的定义可得 cos α ＝
1 1 x ∵cos α＝5x，∴ 2 2＝5x， x ＋4 又 α 是第二象限角，∴x＜0，故可解得 x＝－3，
3 4 2 ∴cos α＝－5，sin α＝ 1－cos α＝5， sin α 4 2tan α 24 ∴tan α＝cos α＝－3，∴tan 2α＝ ＝ . 1－tan2α 7 (2)∵2cos x－1≥0， 1 ∴cos x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
抓 基 础 · 自 主 学 习
第五章
第 21 课
三角函数、解三角形
任意角、弧度制及任意角的三角函数
明 考 向 · 题 型 突 破
课 时 分 层 训 练
[ 最新考纲] 内容 A 三角函数的概念 要求 B √ C
1.角的概念的推广 (1)定义： 角可以看成平面内一条射线绕着_____ 端点 从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形．
2018高考江苏专版大一轮数学文复习检测：第21课 弧度
第21课弧度制与任意角的三角函数A 应知应会1.下列说法,正确的是.(填序号)①终边落在第一象限内的角为锐角;②锐角是第一象限角;③第二象限角为钝角;④小于90°的角一定为锐角;⑤角α与角-α的终边关于x轴对称.2.已知α为第二象限角,那么-的值为.3.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α为第象限角.4.已知某扇形的周长是8 cm,面积为4 cm2,那么该扇形的圆心角的弧度是.5.已知sinα<0,tan α>0.(1)求角α的集合;(2)求角的终边所在的象限;(3)试判断tansincos的符号.6.已知角α的终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sinα,cosα,tanα.B 巩固提升1.已知cos x=,x是第二或第三象限角,那么实数a的取值范围为.2.已知角α的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),那么tanα的最小值为.3.(2016·合肥调研)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为.4.若点P从点(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为.5.已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0),且sinθ=m,试判断角θ的终边在第几象限,并求cosθ和tanθ的值.6.已知扇形AOB的周长为8 cm.(1)若此扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小;(2)当此扇形的面积取到最大值时,求圆心角的大小和弦长AB.第21课弧度制与任意角的三角函数A 应知应会1.②⑤【解析】命题①错,如:390°角的终边在第一象限内,但不是锐角;命题③错,如:480°角的终边在第二象限内,但不是钝角;命题④错,如:-30°小于90°,但不是锐角.2. 2【解析】由α为第二象限角,得|sin α|=sin α,|cos α|=-cos α,所以-=2.3.一或三【解析】当k=2n时,α=n·360°+45°,故α为第一象限角;当k=2n+1时,α=n·360°+225°,故α为第三象限角.因此α为第一或第三象限角.4. 2【解析】设扇形的半径为r,所对的弧长为l,则有解得故α==2.5.【解答】(1)由sin α<0,得角α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tan α>0,得角α的终边在第一、三象限.故角α的终边在第三象限,其集合为.(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,得kπ+<<kπ+,k∈Z,故角的终边在第二、四象限.(3)当角的终边在第二象限时,tan<0,sin>0,cos<0,所以tansin·cos>0;当角的终边在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,所以tansin cos>0.综上,tansincos的符号为正.6.【解答】由题意知r==5|a|.当a>0时,r=5a,所以sinα===,cosα===,tanα===;当a<0时,r=-5a,所以sinα=-,cosα=-,tanα=.综上可知,当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=.B 巩固提升1.【解析】由题知-1<cos x<0,即-1<<0⇒解得-1<a<.故实数a的取值范围为.2. 2【解析】由题意知tanα==t+≥2,当且仅当t=1时等号成立,故tanα的最小值为2.3.,k∈Z【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x<,所以-<sin x<,所以x∈kπ-,kπ+,k∈Z.4.【解析】由弧长公式l=|α|·r,l=,r=1,得点P按逆时针方向转过的角度α=,所以点Q的坐标为,即.5.【解答】由题意得r=,所以sinθ==m.因为m≠0,所以m=±,故θ是第二或第三象限角.当m=时,r=2,点P的坐标为(-,),所以cosθ===-,tanθ===-.当m=-时,r=2,点P的坐标为(-,-),所以cosθ===-,tanθ===.综上可知,cosθ=-,tanθ=-或cosθ=-,tanθ=.6.【解答】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题设可得解得或所以α==或α==6.(2)因为2r+l=2r+αr=8,所以r=,所以S扇=αr2=α·=≤4,当且仅当α=,即α=2时,此扇形的面积取到最大值4,此时r==2(cm),所以AB=2×2sin 1=4sin 1(cm).。
2018高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测第21课 弧度制与任意角的三角函数 Word版含答案
第课弧度制与任意角的三角函数应知应会.下列说法,正确的是.(填序号)①终边落在第一象限内的角为锐角;②锐角是第一象限角;③第二象限角为钝角;④小于°的角一定为锐角;⑤角α与角α的终边关于轴对称..已知α为第二象限角,那么的值为..若α·°°∈,则α为第象限角..已知某扇形的周长是,面积为,那么该扇形的圆心角的弧度是..已知α<α>.()求角α的集合;()求角的终边所在的象限;()试判断的符号..已知角α的终边上有一点(),其中≠,求ααα.巩固提升.已知是第二或第三象限角,那么实数的取值范围为..已知角α的终边上有一点()(>),那么α的最小值为..(·合肥调研)函数()的定义域为..若点从点()出发,沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点,则点的坐标为..已知角θ的终边经过点()(≠),且θ,试判断角θ的终边在第几象限,并求θ和θ的值. .已知扇形的周长为.()若此扇形的面积为,求圆心角的大小;()当此扇形的面积取到最大值时,求圆心角的大小和弦长.第课弧度制与任意角的三角函数应知应会.②⑤【解析】命题①错,如°角的终边在第一象限内,但不是锐角;命题③错,如°角的终边在第二象限内,但不是钝角;命题④错,如°小于°,但不是锐角..【解析】由α为第二象限角,得αααα,所以..一或三【解析】当时,α·°°,故α为第一象限角;当时,α·°°,故α为第三象限角.因此α为第一或第三象限角..【解析】设扇形的半径为,所对的弧长为,则有解得故α..【解答】()由α<,得角α的终边在第三、四象限或轴的负半轴上;由α>,得角α的终边在第一、三象限.故角α的终边在第三象限,其集合为.()由ππ<α<π∈,得π<<π∈,故角的终边在第二、四象限.()当角的终边在第二象限时<><,所以·>;当角的终边在第四象限时<<>,所以>.综上的符号为正..【解答】由题意知.当>时,所以ααα;当<时,所以ααα.综上可知,当>时ααα;当<时ααα.巩固提升.【解析】由题知<<,即<<⇒解得<<.故实数的取值范围为..【解析】由题意知α≥,当且仅当时等号成立,故α的最小值为.∈【解析】因为>,所以<,所以<<,所以∈ππ∈..【解析】由弧长公式α·,得点按逆时针方向转过的角度α,所以点的坐标为,即..【解答】由题意得,所以θ.。
高考数学复习知识点讲义课件34---任意角
知结构体系
(一)任意角 1．角的定义及分类 (1)角的概念：角可以看成平面内一条 射线绕着它的端点 旋转所成的图形 ． (2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”， 始边： OA ，终边： OB ，顶点 O .
(3)角的分类
名称 正角 负角 零角
定义 一条射线绕其端点按 逆时针 方 向旋转形成的角 一条射线绕其端点按 顺时针 方 向旋转形成的角 一条射线 没有 做任何旋转形成 的角
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
(2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是
A．－37°
B．143°
C．379°
D．－143°Biblioteka () ()[解析] (1)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝ 120°＋k·180°，k∈Z.
(二)象限角与终边相同的角 1. 象限角与终边相同的角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 原点 重合，角的始 象 边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说 限 这个角是第几 象限角 ；如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这
角 个角不属于任何一个象限
终边 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ 相同 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表 的角 示成角α与整数个周角的和
答案：D
3．2 020°是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°角的终边与220°角的终边相同，为 第三象限角．
江苏2018版高考数学复习三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书理苏教版
第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 理 苏教版1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0). 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ ) (5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1.(教材改编)在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________.答案 240°解析 与－120°终边相同的角α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k <43，又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改编)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________.答案 6π解析 扇形的面积为12×62×π3＝6π.3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 答案 －55解析 因为sin α＝y ＝－255，cos α＝x ＝55， 所以sin α＋cos α＝－255＋55＝－55.4.设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 答案 {－5π6，－π3，π6，2π3}解析 分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.故M ∩N ＝{－5π6，－π3，π6，2π3}.5.函数y ＝2cos x －1的定义域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在第________象限.(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________.答案 (1)一或三 (2)⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角. 所以α为第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ). 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限.(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________.(2)(2016·苏州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________.答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }.(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个.题型二 弧度制例2 (1)(2016·南京模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad).即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________.(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 答案 (1)－π3(2) 3解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB 垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ，∴l ＝3r ， 由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________.(2)点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为____________. 答案 (1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32).命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________. 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z ).思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是________.(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.答案 (1)(－2，3] (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }.6.数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C (2，1)时，OP →的坐标为________.(2)(2016·盐城模拟)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________.思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数不等式的解集. 解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2， 则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).(2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 答案 (1)(2－sin 2，1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.①2k π＋45°(k ∈Z )②k ·360°＋94π(k ∈Z )③k ·360°－315°(k ∈Z )④k π＋5π4(k ∈Z )答案 ③解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.2.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是________. ①sin α＋cos α＜0 ②tan α－sin α＜0 ③cos α－tan α＜0④tan αsin α＜0答案 ②解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除①、③、④. 3.(2016·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝________.答案 －153解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5. 又cos α＝24x ＝xr，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3. 由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限. 答案 二解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限.5.给出下列各函数值： ①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是________. 答案 ③解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 179π＝－sin7π10tan17π9>0.6.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________.答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________. 答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3).8.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.答案π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.9.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角. 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角. 10.在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.答案 (π4，5π4)解析 如图所示，找出在(0，2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4). 11.若－3π4<α<－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是______________. 答案 sin α＜cos α＜tan α解析 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线，余弦线，正切线.由图知，OM ＜MP ＜AT ，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT ，即sin α＜cos α＜tan α.12.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.13.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.*14.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
第5章+第1讲+任意角和弧度制及任意角的三角函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2．(多选)(2021·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
答案
解析 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于 B，钝角大于锐角，显然正确；对于 C，若三角形的内角为 90°，是终 边在 y 轴正半轴上的角，故错误；对于 D，因为 α 是第二象限角，所以 2kπ ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角， 故正确．故选 BD.
解
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个量．
3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
答案 2 解析 由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2 r 的弧所对的圆心角为 2.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 角的概念及表示
例 1 (1)(2021·赤峰模拟)若角 α 的终边与 240°角的终边相同，则α2的终
边所在象限是( )
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
半轴重合，终边经过点 P(－1，2)，则 sinα－cosα＋tanα＝________.
3 5－10
答案
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【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数
2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C 项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6. 3．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，那么sin α＝( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33答案 C解析 因为P (1，－3)，所以r ＝ 12＋－32＝2.所以sin α＝－32. 4．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3 答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D.6．[2017·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． 答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．[2017·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x，又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2sin1 D ．2sin1 答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1. 13．[2016·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，2 3π·4＝83π.Q点走过的弧长为。
【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数教
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的初步性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝yr，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )(5)若α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22D ．±22 答案 B解析 由题意知|r |2＝(12)2＋y 2＝1，所以y ＝±32. 由三角函数定义知sin α＝y ＝±32. 3．(2016·宁波二模)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示例1 (1)若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．答案 (1)A (2)(2k π＋π4，2k π＋56π)(k ∈Z )解析 (1)当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角． 所以α为第一或第三象限角．故选A.(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π (k ∈Z )． 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是__________________．(2)(2016·台州模拟)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ3角的终边相同的角的个数为________．答案 (1){α|α＝π3＋k π，k ∈Z } (2)3解析 (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角为π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 {α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )， 依题意0≤2π7＋2k π3≤2π，k ∈Z ，∴－37≤k ≤187，∴k ＝0,1,2，即在[0,2π]内与θ3角的终边相同的角为2π7，20π21，34π21共三个．题型二 弧度制例2 (1)(2016·舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 答案2解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . ①若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解 ①S ＝12lr ＝12αr 2＝12×59π×4＝109π.②由题意知l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，S ＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25.当r ＝5时，l ＝20－2×5＝10，α＝l r＝2(rad)．即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3答案 (1)C (2)D解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.(2)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt△AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ， 由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用例3 (1)(2016·杭州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 (1)－64(2)A 解析 (1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m3＋m2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)．命题点2 三角函数线例4 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为__________________． 答案 [2k π＋π3，2k π＋5π6)(k ∈Z )解析 要使原函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2k π＋π3，2k π＋5π6) (k ∈Z )．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．(1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3](2)满足cos α≤－12的角α的集合为________．答案 (1)A (2){α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }解析 (1)∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z }．6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．(2)(2016·合肥调研)函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．解析 (1)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． (2)∵3－4sin 2x ＞0，∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2) (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )1．设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析 方法一 由于M ＝{x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.方法二 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0 D ．tan αsin α＜0答案 B解析 α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ，故选B.3．(2016·杭州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155B.153 C ．－155 D ．－153 答案 D解析 ∵P (x ，5)，∴y ＝ 5.又cos α＝24x ＝x r ，∴r ＝22， ∴x 2＋(5)2＝(22)2，解得x ＝± 3.由α是第二象限的角，得x ＝－3，∴tan α＝y x ＝5－3＝－153. 4．(2016·杭州第二中学模拟)若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是( ) A. 3B ．3 3C ．－ 3D ．－3 3 答案 B解析 ∵tan 390°＝3a，又tan 390°＝tan(360°＋30°) ＝tan 30°＝33， ∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 5．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 答案 C 解析 ∵P (sin α－cos α，2)在第二象限，∴sin α<cos α，∴α的一个变化区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．答案 (－1，3)解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．8．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 答案 π3 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝π3，r ＝2.9．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角． 答案 二解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2， ∴cos θ2≤0， 综上知θ2为第二象限角． 10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．答案 (π4，5π4) 解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈(π4，5π4)．11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l r＝2(rad)．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2 rad ，弦长AB 为2sin 1 cm.12．已知角α终边上一点P ，P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值．解 设P (x ，y )，则根据题意，可得|y ||x |＝34. 又∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、第四象限．①若点P 位于第三象限，可设P (－4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝34，∴cos α＋2tan α＝710. ②若点P 位于第四象限，可设P (4k ，－3k )(k >0)，则r ＝x 2＋y 2＝5k ， 从而cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34， ∴cos α＋2tan α＝－710. 综上所述，若点P 位于第三象限，则cos α＋2tan α＝710； 若点P 位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－710. 13.已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限； (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号． 解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0， sin α2>0，cos α2<0， 所以tan α2sin α2cos α2取正号； 当α2在第四象限时，tan α2<0， sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．α2sinα2cosα2取正号．因此，tan。
高三数学一轮复习知识点讲解5-3三角函数的图象与性质
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.3 三角函数的图象与性质【考纲解读与核心素养】1. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）三角函数的性质；（3）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查. 4.备考重点：（1）掌握正弦、余弦、正切函数的图象；（2）掌握三角函数的周期性、单调性、对称性以及最值.【知识清单】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R知识点2．“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象 “五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.【典例剖析】高频考点一 三角函数的定义域和值域 【典例1】（2020·山东高一期末）函数tan2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z ππ≠+∈ 【解析】 解不等式()22x k k Z ππ≠+∈，可得()2x k k Z ππ≠+∈， 因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z ππ≠+∈. 故答案为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈.【典例2】（2017新课标2）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则，由可得，当时，函数取得最大值1．【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数sin y m x n =+的最大值为2，最小值为4-，则m =_________，n =_________.【答案】3± 1- 【解析】由已知得24m n m n ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得31m n =±⎧⎨=-⎩. 故答案为：3±；1-.2.（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域. （1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈；（2）|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ≥.由正弦的定义知，sin 0x ≥就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数. ∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域， ∴22,k x k k Z πππ≤≤+∈.∴函数y ={|22,}x k x k k Z πππ≤≤+∈.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ≠.∴,()2x k k Z x k πππ⎧≠+⎪∈⎨⎪≠⎩ ∴,2kx k Z π≠∈. ∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭.【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 高频考点二 三角函数的单调性【典例3】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【典例4】（2020·河南洛阳�高一期末（理））已知sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为cos55sin35sin33b a ==>=，且sin 35tan 35sin 35cos35c ==>，所以c b a >>. 故选：A .【典例5】（2020·浙江柯城�衢州二中高三其他）已知函数()()2sin 0f x x ωω=>，则()f x 的最大值为________，若()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是________. 【答案】2 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()()2sin 0f x x ωω=>， 所以()[]2sin 2,2ω=∈-f x x ， 所以()f x 的最大值为2， 因为()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以,,4322πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以4232πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：(1). 2 (2). 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【规律方法】1.求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.当0ω<时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解. 【变式探究】1.（2020·河北路北�开滦第一中学高一期末）在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan A C < B ．tan tan A C >C ．sin sin <A CD ．sin sin A C >【答案】D 【解析】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误. 若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D2.（2020·河南林州一中高一月考）π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是 ( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A 【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数. 因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤. 当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.3.（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．求()f x 的单调增区间； 【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】因为sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【总结提升】1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R 上均不是单调函数，但存在单调区间．(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2k π，(k ∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同． 2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x |≤1，|cos x |≤1．(2)函数y ＝sin x ，x ∈D ，(y ＝cos x ，x ∈D )的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D 来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝Z ，将函数转化为y ＝A sin Z 的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数．高频考点三 三角函数的周期性 【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 由已知得的最小正周期故选C. 【规律方法】1.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T πω=.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期. 【变式探究】已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）见解析；（2）是，2π. 【解析】(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈Z . 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π． 【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．. 高频考点四 三角函数的奇偶性【典例7】（2018届辽宁省丹东市测试（二））设，若，则函数A. 是奇函数B. 的图象关于点对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线对称【答案】C 【解析】 由题意得，∴．∴，∴函数为偶函数．故选C ． 【规律方法】1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【变式探究】（浙江省2019届高考模拟卷（二)）函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由题意得函数的定义域为，∵，∴函数为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称，故排除C,D ． 又当时，，因此可排除B ． 故选A ． 【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 高频考点五 三角函数的对称性 【典例8】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】 由题意可得，所以，因为，所以【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式，其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【变式探究】（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））关于函数()1cos cos f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称， 且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x=-=-++=-，所以()f x 的图象关于y 轴对称，命题①正确；对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于原点对称，命题②错误； 对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π=对称，命题③错误； 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题④正确. 故答案为：①④.【特别提醒】1.求y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx ＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x 的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．高频考点六 三角函数的图象和性质的应用 【典例9】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】 【解析】 因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.【典例10】（2020·上海高三专题练习）函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是____，最小值是_________.【答案】234- 【解析】3(sin 2)77()3sin 2sin 2x f x x x +-==-++ sin [1,1]x[]sin 21,3x ∴+∈11,1sin 23x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦777,sin 23x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥+⎣⎦7234,sin 23x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥+⎣⎦即max 2()3f x =，min ()4f x =- 故答案为：23；4- 【典例11】（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin()1(0)6f x x πωω=-->的周期是π.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x π=时，()max 1f x =.【解析】 （1）解：∵2T ππω==,∴2ω=,又∵0>ω,∴2ω=,∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∵222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴222233k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, ∴63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：∵02x π≤≤,∴02x ≤≤π,∴52666x πππ-≤-≤,∴1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴12sin 226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,∴22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭, 当0x =时,()min 2f x =-, 当226x ππ-=,即3x π=时,()max 1f x = 【规律方法】1．求形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．2．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (Aω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A |＋k ，|A |＋k ]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．4．求形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y ．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sin x 的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x 的值时，要考虑三角函数的周期性． 【变式探究】1.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭B ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭C ．(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭D ．(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题意，函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 可得w ππ=，解得1w =，即()tan()4f x x π=+，令,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈，即3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈， 当1k =时，544x ππ<<，即函数()f x 在5(,)44ππ上单调递增， 又由4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=， 又由425ππ>>，所以(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭. 故选：C.2.（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））设0a <，若不等式22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】2a ≤- 【解析】令cos [1,1]t x =∈- ，则不等式22()(1)0f t t a t a =---≤ 对[1,1]t ∈- 恒成立，因此22(1)00,02(1)020f a a a a f a a -≤⎧-≤⎧⇒<∴≤-⎨⎨≤--≤⎩⎩ 3.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最大值为，求的值【答案】(1) 最小正周期,为的单调递增区间；(2) .【解析】 （1）则的最小正周期当时，单调递增即的单调递增区间为：(2)当时，当，即时，所以【总结提升】比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．。
高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书 理
（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版1.角的概念（1)任意角：①定义:角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角。
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}.（3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边（除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
2.弧度制（1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度。
正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。
（2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝错误! rad,1 rad＝错误!°.(3)扇形的弧长公式：l＝｜α|·r，扇形的面积公式:S＝12lr＝错误!|α｜·r2。
[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数模
2018版高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0，∴选C 项．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 设扇形所在圆的半径为R ，则2＝12×4×R 2，∴R 2＝1，∴R ＝1，扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6. 3．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，那么sin α＝( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33答案 C解析 因为P (1，－3)，所以r ＝ 12＋－32＝2.所以sin α＝－32. 4．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0，∴选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3 答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D.6．[2017·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． 答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.7．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．[2017·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，所以cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75.9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. 解 ∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x，又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，S 扇形＝12R ·l ＝50π3. 又S △AOB ＝12OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边落在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上答案 D解析 因为|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0.因为|tan θ|＝－tan θ，所以tan θ≤0.所以2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，k ∈Z .所以k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .故选D.12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2sin1 D ．2sin1 答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1. 13．[2016·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8解析 若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，且y <0，解得y ＝－8. 14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为43π·4＝163π，2 3π·4＝83π.Q点走过的弧长为。