量子异或门的实现汇总
量子计算中的量子逻辑门设计与实现
量子计算中的量子逻辑门设计与实现随着科学技术的不断进步，量子计算作为一种全新的计算模型，引起了广泛的关注和研究。
与传统的经典计算不同，量子计算利用量子比特（qubit）的量子叠加和量子纠缠等特性，可以在某些问题上实现更高效的计算。
而量子逻辑门作为量子计算的基本操作单元，对于实现量子计算的可行性和有效性具有重要意义。
本文将介绍量子逻辑门的设计与实现。
一、量子逻辑门的基本概念量子逻辑门是在量子比特上进行操作的基本单元，类似于经典计算中的逻辑门。
量子逻辑门可以实现量子比特之间的相互作用和信息传递，从而实现量子计算中的各种运算和操作。
常见的量子逻辑门包括Hadamard门、Pauli门、CNOT门等。
二、量子逻辑门的设计原理量子逻辑门的设计原理基于量子比特的量子力学性质。
量子比特可以处于多个状态的叠加态，这些状态可以用复数表示，并且可以通过量子门操作进行变换。
量子逻辑门的设计就是通过适当的量子门操作，使得输入的量子比特按照预定的规则进行变换。
以Hadamard门为例，它是一种常用的单量子比特门，可以将一个量子比特从经典态（0或1）变换到量子态（0和1的叠加态）。
Hadamard门的矩阵表示为：H = 1/√2 * [[1, 1], [1, -1]]其中1/√2是归一化因子，[1, 1]和[1, -1]是矩阵的元素。
当一个量子比特经过Hadamard门操作后，其状态变为：|0⟩→ 1/√2 * (|0⟩ + |1⟩)|1⟩→ 1/√2 * (|0⟩ - |1⟩)这样，Hadamard门实现了将量子比特从经典态变换到量子态的功能。
三、量子逻辑门的实现方法量子逻辑门的实现方法主要有两种，一种是通过量子门电路实现，另一种是通过量子门操作实现。
量子门电路是一种将多个量子门按照一定顺序连接起来的电路结构。
通过适当的组合和连接，可以实现各种复杂的量子逻辑门。
量子门电路的设计需要考虑量子比特之间的相互作用和纠缠关系，以及量子比特的稳定性和噪声干扰等因素。
量子逻辑门的设计与实现方法
量子逻辑门的设计与实现方法引言量子逻辑门是量子计算的基本组成部分，它在量子计算中扮演着与经典计算中逻辑门类似的角色。
量子逻辑门的设计与实现方法一直是量子计算领域的焦点和挑战。
本文将探讨一些常见的量子逻辑门设计与实现方法。
I. 单量子比特门单量子比特门是量子计算中最基本的逻辑门之一。
它可以实现对单个量子比特的操作。
常见的单量子比特门包括位相门、哈达玛门和π/8门。
1. 位相门（Phase Gate）位相门是一种产生位相延迟的逻辑门。
它将一个量子比特的相位由|0⟩到|1⟩或由|1⟩到-|1⟩进行转换。
实现位相门的方法之一是利用单量子比特的量子态和量子测量的结果之间的耦合关系。
2. 哈达玛门（Hadamard Gate）哈达玛门是一种产生超导态的逻辑门。
它将一个量子比特的叠加态从|0⟩和|1⟩变为|+⟩和|-⟩。
实现哈达玛门的方法包括利用超导电路和量子光学等。
3. π/8门（π/8 Gate）π/8门是一个特殊的逻辑门，它将一个量子比特的相位进行π/8的旋转。
这个门在量子相位估计算法中起关键作用。
实现π/8门的方法包括基于线性光学的方法和超导电路等。
II. 多量子比特门除了单量子比特门外，多量子比特门在量子计算中也扮演着重要的角色。
常见的多量子比特门包括控制非门、Toffoli门和量子比特交换等。
1. 控制非门（CNOT Gate）控制非门是一种典型的两量子比特门。
它根据控制量子比特的值来决定是否对目标量子比特进行翻转操作。
实现控制非门的方法包括超导电路和离子阱等。
2. Toffoli门Toffoli门是一种三量子比特门，也被称为CCNOT门。
它只有当前两个控制量子比特同时为1时，才对目标量子比特进行翻转操作。
实现Toffoli门的方法包括量子点和超导量子比特等。
3. 量子比特交换量子比特交换是一种用于交换两个量子比特状态的逻辑门。
它在量子计算和量子通信中都具有重要的应用。
实现量子比特交换的方法包括控制非门和线性光学等。
量子信息处理中的量子门实现
量子信息处理中的量子门实现量子门是量子计算中的基本操作，用于对量子比特进行操作和控制。
在量子信息处理中，量子门的实现是一个关键问题，它直接影响到量子计算的性能和可行性。
本文将介绍一些常见的量子门实现方法，并讨论它们的特点和应用。
一、单比特量子门实现在量子计算中，单比特量子门可以将一个量子比特从一个状态变换到另一个状态。
常见的单比特量子门有Hadamard门、相位门和旋转门等。
1. Hadamard门Hadamard门是最基本的量子门之一，它可以将一个基态和一个激发态按照一定比例混合起来。
Hadamard门的矩阵表示为：H = 1/√2 * |0⟩⟨0| + 1/√2 * |1⟩⟨0| + 1/√2 * |0⟩⟨1| - 1/√2 * |1⟩⟨1|Hadamard门的实现可以通过使用一系列基本量子逻辑门来完成，例如使用CNOT门和相位门的组合。
2. 相位门相位门是一种改变量子比特相位的门，可以将一个量子比特的相位进行调整。
相位门的矩阵表示为：P(θ) = e^(iθ) * |0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|相位门的实现可以通过旋转门来实现，根据不同的参数θ，可以得到不同的相位门。
3. 旋转门旋转门是一种改变量子比特状态的门，可以将一个量子比特旋转到任意的状态。
旋转门的矩阵表示为：R(θ) = cos(θ/2) * |0⟩⟨0| + sin(θ/2) * |1⟩⟨0| + sin(θ/2) * |0⟩⟨1| - cos(θ/2) * |1⟩⟨1|旋转门的实现可以通过微调量子比特的能级结构来实现，比如调整外部磁场或者微调量子比特的能级间距。
二、多比特量子门实现在量子计算中，多比特量子门可以同时对多个量子比特进行操作和控制。
常见的多比特量子门有CNOT门、Toffoli门和SWAP门等。
1. CNOT门CNOT门是两个比特之间的控制门，可以实现对目标比特的量子态的改变，具有重要的逻辑功能。
CNOT门的矩阵表示为：CNOT = |0⟩⟨0|⊗I + |1⟩⟨1|⊗XCNOT门的实现可以通过使用基本的单比特量子门和比特之间的耦合来实现，例如使用相位门、Hadamard门和比特之间的相互作用。
量子计算机中的量子门操作原理与实现
量子计算机中的量子门操作原理与实现量子计算机是一种运用量子力学原理进行计算的新型计算机。
与传统计算机不同的是，量子计算机中的计算单元为量子比特（qubit），而非传统计算机中的经典比特（bit）。
量子计算机利用量子态的叠加性和纠缠性，能够在某些问题上实现指数级的加速，具有巨大的计算潜力。
在量子计算中，量子门是实现量子比特操作的基本元素。
量子门类似于传统计算机中的逻辑门，可以对量子比特进行一系列的变换，并控制它们之间的相互作用。
量子门操作的原理和实现方式是量子计算的核心内容。
1. 量子门操作的原理量子门操作的基本原理是利用量子力学的波函数叠加原理和量子纠缠原理来实现量子比特的控制和变换。
量子比特可以处于多个状态的叠加态，而量子门操作可以改变这些叠加态之间的相对相位和幅度。
在量子计算中，最基本的量子门是单比特量子门，包括了一系列的量子逻辑门，如X门、Y门、Z门和Hadamard门等。
这些门操作可以对量子比特进行不同的变换，实现量子比特的翻转、旋转、叠加等操作。
另外，多比特量子门是量子计算中常用的门操作。
多比特量子门可以对多个量子比特进行同时操作，并实现它们之间的纠缠态的生成和控制。
这种门操作可以实现并行计算和量子纠错等功能。
2. 量子门操作的实现实现量子门操作需要通过量子逻辑电路来搭建。
量子逻辑电路是一种由量子比特和量子门组成的逻辑电路，用于实现复杂的量子计算操作。
量子门的具体实现方式与量子计算机的物理系统相关。
目前，常用的量子计算机实现方案包括超导量子比特、离子阱量子比特和光子量子比特等。
超导量子比特是基于超导电路实现的量子比特，通过控制超导电路中的超导量子元件的状态实现量子门操作。
超导量子比特可以在极低的温度下实现长时间的相干性，具有较好的量子控制性能。
离子阱量子比特是基于离子阱中的离子实现的量子比特，通过激光控制离子的内部能级来实现量子门操作。
离子阱量子比特具有较长的相干时间和较高的计算精度，是目前实验中最成熟的量子比特实现方案之一。
量子计算机的逻辑操作与逻辑门实现(八)
量子计算机的逻辑操作与逻辑门实现引言：量子计算机作为一种新兴的计算模型，具有巨大的潜力和应用前景。
与传统的经典计算机相比，量子计算机的最大特点就在于它运用了量子力学的原理，能够以量子比特（qubit）作为信息的存储单位，从而具备了在特定场景下大幅度提高计算速度的能力。
实现量子计算机的关键就在于逻辑操作和逻辑门的设计与实现。
本文将详细论述量子计算机的逻辑操作和逻辑门实现的技术细节。
1. 量子比特的逻辑操作在量子计算中，量子比特是信息存储的最基本单位。
与传统计算中的二进制位不同，量子比特不仅能代表0和1两个状态，还能处于叠加态和纠缠态。
量子比特的逻辑操作包括测量、叠加态和纠缠态的产生和操作等。
测量测量是量子计算中最常见且最关键的操作之一。
通过测量操作，我们可以获取量子比特的状态信息。
在测量前，量子比特一般处于叠加态或纠缠态。
而在测量时，量子比特会坍缩成确定的状态，即0或1。
测量操作是量子计算中实现逻辑操作的基础。
叠加态和纠缠态叠加态是量子比特的一种特殊状态，它能够同时表示0和1。
例如，一个量子比特可以处于(|0⟩+|1⟩)/√2的叠加态，表示既有0也有1的可能性。
纠缠态是多个量子比特之间相互关联的状态，这种关联关系是非经典的。
例如，两个量子比特处于纠缠态时，它们的状态将无法独立描述，而是需要通过纠缠态的描述来表示。
叠加态和纠缠态是实现量子计算的基础。
2. 量子门的实现在量子计算中，量子门被用于对量子比特进行逻辑操作。
它是量子比特状态的变换矩阵，能改变量子比特的状态，并实现逻辑运算。
量子门的设计和实现需要考虑两个主要因素：实现精度和可扩展性。
实现精度由于量子计算的敏感性，量子门的实现需要非常高的精度。
微小的误差会导致量子比特的状态发生巨大变化，从而不可预测的结果。
因此，量子门的实现需要使用高精度的量子逻辑门，通过精确控制量子比特的操作来确保计算的正确性。
可扩展性量子计算机需要能够处理大规模的量子比特和复杂的计算任务。
量子计算机的逻辑操作与逻辑门实现(二)
量子计算机的逻辑操作与逻辑门实现随着科技的不断进步，人们对于计算机的要求也有着日益增加的需求。
而量子计算机作为一种全新的计算技术，正逐渐引起人们的关注。
量子计算机有着强大的计算能力，可以完成一些传统计算机无法解决的复杂问题。
在量子计算机中，逻辑操作和逻辑门的实现是至关重要的一环。
量子计算机中的逻辑操作与传统计算机有所不同。
在传统计算机中，逻辑操作是基于经典比特的，即0和1。
而在量子计算机中，逻辑操作是基于量子比特（Qubit）的。
量子比特是量子计算的基本单位，它可以同时处于0和1的叠加态，以及两种态之间的干涉态。
这意味着，一个量子比特可以同时处理多种计算。
这种特性使得量子计算机在某些情况下具有比传统计算机更高效的计算能力。
在量子计算机中，逻辑操作通过量子门（Quantum Gate）来实现。
量子门是一种能够对量子比特进行操作的门电路。
最基本的量子门是Hadamard门，它可以将一个量子比特从0或1的状态转变为叠加态。
除了Hadamard门之外，量子计算机还有其他常见的逻辑门，如控制非门（Controlled-Not Gate）和控制相位门（Controlled-Phase Gate）等。
这些逻辑门可以实现不同的逻辑操作，从而完成复杂的计算任务。
例如，控制非门可以根据控制比特的状态来对目标比特进行非门操作，实现布尔运算。
而控制相位门可以根据控制比特的状态来对目标比特进行相位调整，实现量子相干控制等操作。
值得注意的是，量子计算机的逻辑操作和逻辑门实现需要克服一些挑战。
首先，量子计算中的量子比特容易受到环境干扰的影响，这可能导致量子比特的失真和错误。
为了减少这种干扰，科学家们需要通过量子纠错和量子隐形编码等技术来保护量子比特的信息。
其次，量子计算中的量子门操作需要高精度的控制和测量。
传统计算机中，逻辑门操作是确定性的，而在量子计算中，由于量子比特的叠加态和干涉态，逻辑门操作变得更加复杂。
因此，科学家们需要设计和实现精确的量子门操作，以确保计算的准确性和可靠性。
光量子计算 逻辑门
光量子计算逻辑门光量子计算是一种基于光子的计算理论，利用光子的量子特性来进行信息处理和计算运算。
逻辑门是光量子计算中的重要组成部分，用于实现不同的逻辑操作。
本文将介绍光量子计算中的几种常见的逻辑门，包括非门、与门、或门、异或门和控制非门，并阐述它们的原理和应用。
非门是光量子计算中最基本的逻辑门之一，也是实现量子计算的基础。
非门的作用是将输入的量子比特进行取反操作。
在光量子计算中，非门可以通过线性光学元件如波片和分束器来实现。
当输入为0时，非门将其变为1；当输入为1时，非门将其变为0。
非门的实现过程是通过将输入的光子与控制光子进行干涉，进而改变光子的相位，从而实现取反操作。
与门是光量子计算中常用的逻辑门之一，用于实现两个输入量子比特的与操作。
与门的输出结果只有在两个输入量子比特均为1时才为1，否则为0。
在光量子计算中，与门可以通过使用波导、光栅等光学元件来实现。
当输入的两个光子均为1时，它们会在波导中的相互作用下发生相位调制，从而实现与操作。
或门是另一种常见的光量子计算逻辑门，用于实现两个输入量子比特的或操作。
或门的输出结果只有在两个输入量子比特中至少一个为1时才为1，否则为0。
在光量子计算中，或门可以通过使用光栅、分束器等光学元件来实现。
当输入的两个光子中至少一个为1时，它们会在光栅的作用下发生干涉和衍射，从而实现或操作。
异或门是光量子计算中较为复杂的逻辑门，用于实现两个输入量子比特的异或操作。
异或门的输出结果只有在两个输入量子比特不同时才为1，否则为0。
在光量子计算中，异或门可以通过使用光栅、分束器和探测器等光学元件来实现。
当输入的两个光子相位差为奇数倍π时，它们会在光栅的作用下发生干涉和衍射，从而实现异或操作。
控制非门是一种特殊的逻辑门，用于实现对输入量子比特进行控制的取反操作。
控制非门的输出结果只有在控制量子比特为1时，才对目标量子比特进行取反操作；当控制量子比特为0时，目标量子比特不发生变化。
利用两硬币量子博弈实现量子异或门
１ ４
１
１
１ １
１ １
１ １
（４）
１ １ １ １
３）对于 Ｇ２×２而言，Ａ 所采用的经典摇动不会将 其改４变）ρ进２ ＝而ρ，１ Ｂ＝ 采用；式 Ｇ２×２ （３）所示合适幺正矩阵的共
轭 想
矩 要
阵 的
状态、，从、而 Ｓ
＋ ３
Ｓ
＋ ２
Ｓ
＋ １
或 实
现Ｓ ＋０对作整用个到博Ｇ弈２×结２ 上果即的可控获制得．
然而，如果游戏参与者 Ｂ 在 Ａ 的策略没有发生 变化的前提下，采用量子策略来代替经典策略，他就 完全可以根据自己的需要得到最终想要的硬币状 态，从而控制博弈的最终结果．这里我们规定单个硬 币头部朝上的态记为 ｜ １〉，尾部朝上的态记为 ｜ ０〉， 于是对于两硬币体系而言，共有 ４ 种可能的 态， 记为： 〉 〉 〉， 〉 〉 〉， 〉 〉 〉， 〉 〉 〉 ｜３ ＝ ｜１ ｜１ ｜２ ＝ ｜１ ｜０ ｜１ ＝ ｜０ ｜１ ｜０ ＝ ｜０ ｜０
辑关系及真值表为基础，结合量子力学基本理论，定义出量子逻辑异或门；最后，利用两硬币量子博弈模型对如何实现量子异
或门提出了一套可行的理论方案．
关键词：量子博弈；经典异或门；量子异或门
（ ） 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： Ｏ ４１３．１
Ａ
１０００ ０７１２ ２０１８ ０４ ０００５ ０３
（１） ）１ Ａ 最初在箱子中所放置的硬币状态为式（１） 所示 ４ 种状态之一，该状态的密度矩阵可以表示为 ρ ＝ ｜ ｎ〉〈ｎ ｜ ． 对应于上述 ４ 种状态，密度矩阵 ρ０ 分 别为：
１ ０ ０ ０
０ ０ ０ ０
， ， ０ ０ ０ ０
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目录引言 (1)1量子博弈基本理论 (1)1.1单硬币量子博弈 (1)1.2 两硬币量子博弈 (2)2经典异或门 (6)3 量子异或门的实现 (7)3.1 量子异或门的定义 (7)3.2量子异或门的实现过程 (7)3.2.1 方案（一） (7)3.2.2方案（二） (7)结论 (10)参考文献 (11)英文摘要 (11)致谢 (12)量子异或门的实现物理系1003班学生关茹林指导教师王清亮摘要：首先,介绍单硬币及两硬币量子博弈理论基本知识,引入博弈游戏中量子策略比经典策略更具优越性这一特点;其次,在准确掌握了经典异或关系的真值表后,结合量子力学本征值问题的求解及么正变换的基本理论,定义出量子逻辑异或门;最后,利用量子博弈对如何实现量子异或门提出了两套方案,具体分析两套方案的量子实现过程并进行比较得出那种方案更为方便。
关键词：量子博弈；经典异或门；量子异或门；量子么正操作引言早在六七十年代,人们就发现能耗会导致传统计算机的芯片发热,从而影响芯片的集成度,进而限制了计算机的运行速度。
为了克服计算机中的能耗问题,提出了研究可逆计算机,量子计算机概念的提出即是源于对可逆计算机的研究[1-3]。
由于量子计算机概念的提出,实现量子计算机的理论便应运而生,量子计算机最重要的优越性体现在量子并行计算上[4-8],由于具有量子并行处理功能,使一些利用经典计算机只能进行指数算法的问题,当利用量子计算机时能够进行多项式算法,而多项式算法是指运算时间与输入二进制数据的长度即比特的位数之间存在多项式关系[6-10]。
这说明量子并行计算的方法大大提高了量子计算机的效率,使得其可以完成经典计算机无法完成的工作。
在本篇论文中,我们将结合量子博弈中量子硬币博弈和量子逻辑门领域的相关理论,力求提供一套从量子博弈角度实现量子异或门的方案。
1量子博弈基本理论1.1单硬币量子博弈在介绍量子博弈基本理论之前,我们先回顾一下有关经典博弈游戏的过程[1-5]。
采用经典博弈A、B两人做一个经典的硬币游戏:A将一枚硬币放进一个不可透视的黑盒子中,此时两人都知道硬币状态（头朝上或尾朝上）;密封好后将盒子交给B,此后直到盒子打开之前，他们两人都不知道硬币的状态;B摇晃盒子后交给A;A接到盒子后也将其晃动;再次交给B,B晃动后将盒子打开。
他们起初约定好,假如人头向上则A获胜,否则B胜出。
根据概率理论知识可以知道,他们两人都有百分之五十的获胜概率。
采用量子博弈进行以上游戏,A 在盒子中投入硬币后,B 之后的晃动都采取量子操作,但A 仍采取经典晃动,那么B 就完全可以根据自己的意愿采用量子策略来控制此游戏的胜负。
(1)假设A 起初向盒子中投入的硬币为人头面朝上,即其初态可表示为1；则其态密度可表示为：1ρ=11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 (1.1)(2)B 从A 手中接到密封完好的盒子后,采用量子操作1U (对头面向上,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==11112111S U )对其作用,则有： 2ρ=+S S 11ρ =2G =⎪⎪⎭⎫⎝⎛111121 (1.2) (3)A 此后的经典晃动,硬币的态密度不会发生改变其态密度为：3ρ=2ρ=2G (1.3)(4)此后,B 可以采用量子操作U 2得到任意想要的态:若要得到1,可令⎪⎪⎭⎫⎝⎛===++0001;112112ρS G S S U (1.4)若要得到0,可令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====+10000022222ρS G S U ,这里⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111212S 。
(5)假设A 在最初投入的硬币其初态是尾面朝上的,即其初态可表示为0，那么B 在首次接到盒子后,仅使得量子操作1U =0S ,仍可以使得初态密度矩阵=1ρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000变为2G 。
(6)通过以上的过程我们可以得出,B 进行首次量子操作后其态密度矩阵变成了2G ,之后由于A 采用的是经典操作此操作并不会使2G 发生改变,那么B 就可以采用合适的量子操作（或+1S 或+0S ）来控制游戏的胜负。
1.2两硬币量子博弈将两硬币的量子博弈游戏在一个密封完好的黑盒子中进行,并且所采用的两枚硬币可以完全区分开，由此可以将这个游戏看作是对每个硬币采取单硬币的量子博弈,那么结果直接可以表示为两个结果的叠加[3-5]。
在数学上可构造成密度矩阵G 22⨯,即可以直接构造成单枚硬币的密度矩阵，22⨯G =2G 2G ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111111111141111121111121 (1.3) 此对应的久期方程为：0414141414141414141414141414141414=----=-λλλλλE G (1.4)求解此密度矩阵的本征问题可得其本征值为:1,03210====λλλλ。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111213V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111212V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111211V ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111210V (1.5)于是可以得到22⨯G 的对角化矩阵和对角矩阵分别为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111211S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111212S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111213S ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111214S (1.6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000001211A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000100000212A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010000000000213A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100000000000000214A (1.7) 这里j j j S G S A 22⨯+=,+⨯=j j j S A S G 22（j=0,1,2,3）。
在讨论两枚可以区分开的单硬币的量子博弈时,我们仍规定对于每个硬币头部朝上的态记为1,尾部朝上的态记为0,于是两枚硬币就共有四种可能的态(可以看作是N=4的量子赌盘的博弈游戏)。
首先我们作出下面的规定:o9999987113=，012=，101=，000= (1.8)那么其列矩阵就可以表示为:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0001311,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0010201,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100110,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==1000000 (1.9)经典的采用两枚硬币的以上四个态其对应的变换可表示为!4个矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000010000100001022F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0100100000100001122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000001001000001222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯0010100001000001322F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0010010010000001422F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0100001010000001522F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯1000010000010010622F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯010100000010010722F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯100000101000010822F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0001100001000010922F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010100100000101122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯01001000000100101022F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯10000010000101001222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00101000000101001322F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯10000001001001001422F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00011000001001001522F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100001100001001622F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010010100001001722F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯01000010000110001822F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100100000110001922F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯01000001001010002022F⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯0010100001010002122F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00100001010010002222F ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯00010010010010002322F(1.10)在每一行每一列中都只有一个非零值1。
显然,这里任意的经典操作算符jF 22⨯和22⨯G 是对易的,即[]0,222222222222=-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯G F F G F G j j j j 。
因此可得到122222214102222022141221-⨯⨯⨯-=+⨯⨯⨯-=⨯∑∑+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=j j j j j j j j F G F P F G F P G (1.11) 即22⨯G 不依赖于经典操作中相应于该态的概率。
(1.8)式中四个可能态的密度矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000000000000111ρ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000001000010ρ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000001000000000001ρ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000000000000000ρ (1.12) 显然，311A =ρ,210A =ρ,101A =ρ,000A =ρ。
现在A 和B 来做一个两枚硬币的晃动游戏。
此与单枚硬币的游戏相类似,开始A 在一个完全不可透视的黑盒子中投入两枚硬币,采用的这两枚硬币其初态二人都知道,将盒子密封好后交给B ,B 晃动之后再将盒子交给A ,A 晃动之后再次将其交给B ,B 再次晃动盒子后将盒子打开。
同理,A 、B 两人也事先做了一个胜负的规定,比如说,规定两枚硬币相同面朝上（头部同时朝上或尾部同时朝上）那么A 获胜,否则B 获胜。
对于经典的这种游戏,他们二人获胜的概率相同,都是百分之五十,但在采取量子策略时,B 采用量子的晃动来代替此前的经典操作,而A 仍然采取经典的操作,现在假设这两枚可以完全区分开的量子硬币的初态是0χ,那么整个量子博弈的具体过程就可以用表1.1来体现。
表1.1两硬币量子博弈游戏从表 1.1中可以看出:态为0χ的两枚量子硬币的态密度矩阵可以表示为:000χχρ=。
所以,量子策略采用者可以从3S ,2S ,1S 和0S 中选取合适的幺正矩阵作为对角化矩阵1U ,将0ρ变为22⨯G ,即+=1011U U ρρ;（1）对于22⨯G ,由式（1.10）可知A 采取任意的经典晃动其均无法使密度矩阵发生改变;（2）这样,B 就可从幺正矩阵+3S ,+2S ,+1S 和+0S 中选取合适的矩阵作为其量子操作2U ,从而获得他所需要的任意态,从而实现其对该游戏的控制,按照前面的胜负规定,只要在这一步B 使得他的量子操作+=22S U 或+1S ,他就总可以获取该游戏的胜利。