人教版九年级上册数学习题课件-垂直于弦的直径
A. 7 C．6
B．2 7 D．8
6．(2018·张家界)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE＝( A )
A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm
7．(2018·黑龙江)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD＝6，EB＝1，则⊙O 的半径为____5____．
(1)求证 AC＝BD； 证明：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 CE＝DE，AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即 AC＝BD.
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．
解：连接 OA，OC，由(1)可知 OE⊥AB 且 OE⊥CD， ∴OE＝6. ∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
(2)经过线段 OM 的弦是过 M 点的所有弦中最长的弦．
证明：由(1)得 CD＝2CN＝2 R2－ON2，则 ON 越小，CD 越 长，且当 ON＝0 时，CD＝2R，此时 CD 经过线段 OM. ∴经过线段 OM 的弦是过 M 点的所有弦中最长的弦．
13．(中考·湖州)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦 AB 交小圆于点 C，D.
11．(2018·临安区)如图，⊙O 的半径 OA＝6，以 A 为圆心， OA 为半径的弧交⊙O 于 B，C 点，则 BC＝( A )
A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 2
【点拨】易知点
O
︵ 为BC的中点，
∴OA 垂直平分 BC.
设 OA 与 BC 交于 D，连接 AB，OB，
∴OA＝OB＝AB＝6.
∴AC＝CD. ∴AC＝AD＝CD. 即△ACD 是等边三角形， ∴∠FCD＝30°. ∴在 Rt△COE 中，OE＝12OC. ∴OE＝21OB，即点 E 为 OB 的中点．
(2)若 AB＝8，求 CD 的长． 解：∵AB＝8，∴OC＝OB＝21AB＝4， 又∵BE＝OE，∴OE＝2. ∴在 Rt△ OCE 中，CE＝ OC2－OE2＝ 16－4＝2 3. ∴CD＝2CE＝4 3.
(1)试说明台风是否会影响 B 市； 解：如图，过 B 作 BH⊥PQ 于 H，在 Rt△ BHP 中，由条件 易知 BP＝320 km，∠BPQ＝30°. ∴BH＝12BP＝160 km<200 km. ∴台风会影响 B 市．
(2)若 B 市受台风的影响，求台风影响 B 市的时间． 解：如图，以 B 为圆心，200 km 为半径作圆，交 PQ 于 P1， P2 两点，连接 BP1，由垂径定理知 P1P2＝2P1H. 在 Rt△ BHP1 中，BP1＝200 km，BH＝160 km， ∴P1H＝ 2002－1602＝120(km)． ∴P1P2＝2P1H＝240 km. ∴台风影响 B 市的时间为23400＝8(h)．
A．CE＝DE B．AE＝OE
︵︵ C．BC＝BD D．△OCE≌△ODE
4．垂直于弦的直径___平__分___弦，并且___平__分___弦所对的两条 弧，其依据是圆的___轴__对__称___性质．
5．(2017·泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E， 若 AB＝8，AE＝1，则弦 CD 的长是( B )
14．如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CF⊥AD.
(1)求证：E 是 OB 的中点； 证明：连接 AC，如图所示．
∵直径 AB 垂直弦 CD 于点 E， ∴CE＝DE，∠AEC＝∠AED＝90°， 又∵AE＝AE， ∴△AEC≌△AED(SAS)． ∴AC＝AD. ∵过圆心 O 的线段 CF⊥AD， ∴AF＝DF，即 CF 是 AD 的中垂线，
14 (1)见习题 (2) 15 (1)台风会影响B市．(2) 8(h)．
答案显示
1．圆是轴对称图形，过圆心的任意一条__直__线____都是它的 __对__称__轴__．圆是旋转对称图形，__圆__心____是它的旋转对称 中心．
2．(2018·盘锦)下列图形中是中心对称图形的是( C )
3．(中考·广元)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下 列结论中错．误．的是( B )
由垂径定理可知 AB＝2BM， CD＝2CN. 设 OB＝OC＝R，在 Rt△BOM 中， BM＝ OB2－OM2＝ R2－OM2； 在 Rt△CON 中，CN＝ OC2－ON2＝ R2－ON2.
∵OM，ON 分别是 Rt△MON 的斜边、直角边，∴OM>ON. ∴R2－OM2<R2－ON2，则 BM＜CN. ∴AB＜CD，即 AB 是过 M 点的所有弦中最短的弦．
人教版 九年级上
第二十四章 圆
第1节 圆的有关性质 第2课时 垂直于弦的直径
提示：点击 进入习题
1 直线；对称轴；圆心 2C 3B 4 平分；平分；轴对称 5B
6A
答案显示
75 垂直；平分；垂直平分；
8 轴对称 9C
10 C
提示：点击 进入习题
11 A 12 (1)见习题
(2)见习题 13 (1) 见习题 (2)
∴△OAB 是等边三角形．
∴∠ABD＝12∠ABO＝30°. ∴AD＝21AB＝3. ∴BD＝ AB2－AD2＝3 3. ∴BC＝2BD＝6 3.
12．如图，M 为⊙O 内任意一点，AB 为过点 M 的一条弦， 且 AB⊥OM.求证：
(1)AB 是过 M 点的所有弦中最短的弦； 证明：设 CD 为过 M 点的任意一条不与 AB 重合的弦，作 ON⊥CD，垂足为点 N，连接 OB，OC，如图所示．
9．如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠AOB＝60°，AB＝ AC＝2，则弦 BC 的长为( C )
A． 3 C．2 3
B．3 D．4
10．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，CE＝ DE，则下列结论： ①∠COE＝∠DOE； ︵︵ ②BC＝BD； ③OE＝BE； ④△CBE≌△DBE. 其中一定正确的有( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
15．如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已 知台风移动的速度为 30 km/h，受影响区域的半径为 200 km，B 市位于点 P 北偏东 75°的方向上，距离 P 点 320 km 处．
【思路点拨】(1)台风是否会影响 B 市，由 B 到 PQ 的距离与 200 km 的大小关系来确定；(2)台风影响 B 市的时间为台风 影响 B 市时，台风中心 P 移动的距离除以它的移动速度，即 以点 B 为圆心，200 km 长为半径的圆与直线 PQ 相交的弦长 除以台风的移动速度．
பைடு நூலகம்点拨】连接 OC. ∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE＝DE＝21CD＝12×6＝3. 设⊙O 的半径为 x，则 OC＝x， OE＝OB－BE＝x－1. 在 Rt△OCE 中，OC2＝OE2＋CE2， ∴x2＝(x－1)2＋32，解得 x＝5. ∴⊙O 的半径为 5.
8．平分弦(不是直径)的直径___垂__直___于弦，并且__平__分____弦 所对的两条弧； 平 分 弧 的 直 径 _垂__直__平__分_ 弧 所 对 的 弦 ， 其 依 据 是 圆 的 __轴__对__称__性质．
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人教版九年级数学上册第二十四章圆24.垂直于弦的直径教学课件
复习备用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
O
∵ ① CD是直径 ② CD⊥AB
A
③AM=BM， ∴ ④AC=BC，
⑤AD=BD.
B D
1
复习备用
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
2
复习备用
垂径定理在基本图形中的应用：
A
O
D
B
C
① 设CD=h，AD=a，半径为 r， 则OD=r﹣h.在Rt∆AOD中，由 勾股定理得:r2﹣(r﹣h)2=a2
B x
17
知识点二：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
新知探究
y
解析:如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，
作PE⊥AB于点E，连接PB
B
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.
A
把x＝3代人y＝x，得y＝3 ∴CD＝3，
O
x
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形.
11
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
学以致用
3、如图，一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB＝ 1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了 0.2m，则此时排水管中水面宽为（ B ） A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m
O
C
D
A
B
12
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
4
复习备用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
O
∵ ① CD是直径 ② CD⊥AB
A
③AM=BM， ∴ ④AC=BC，
⑤AD=BD.
B D
1
复习备用
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
2
复习备用
垂径定理在基本图形中的应用：
A
O
D
B
C
① 设CD=h，AD=a，半径为 r， 则OD=r﹣h.在Rt∆AOD中，由 勾股定理得:r2﹣(r﹣h)2=a2
B x
17
知识点二：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
新知探究
y
解析:如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，
作PE⊥AB于点E，连接PB
B
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.
A
把x＝3代人y＝x，得y＝3 ∴CD＝3，
O
x
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形.
11
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
学以致用
3、如图，一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB＝ 1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了 0.2m，则此时排水管中水面宽为（ B ） A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m
O
C
D
A
B
12
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
4
复习备用
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径优质精选PPT
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
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1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径ppt课件
股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以
AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
O.
求证：AC＝BD.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
【解析】提示作OM 垂直 B
MA
于PB ，连接OA.
P
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个 条件适当互换，情况会怎样？
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5、已知：如图，在以O为圆
心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
O.
求证：AC＝BD.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有 什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC， 弧AD＝弧BD， AE＝BE
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧 AC＝弧BD
【解析】提示作OM 垂直 B
MA
于PB ，连接OA.
P
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个 条件适当互换，情况会怎样？
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱．
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
【人教版】数学九年级全一册24.垂直于弦的直径——垂径定理的推论及应用随堂练习(课件版)
用垂径定理及其推论解决实际问题
【例 3】如图，实线为一条公路，公路有一段是圆弧 (弧 AB)，已知 AB＝12 米，CD＝2 米，半径 OC⊥AB， 求 OA 的长．
解：∵半径 OC⊥AB，∴AD＝A2B ＝6. 在 Rt△AOD 中， OA2＝OD2＋AD2＝(OC－DC)2＋AD2＝(OA－2)2＋62. ∴OA2－(OA－2)2＝62. 解得 OA＝10. 答：OA 的长为 10 米．
AD＝12 AB＝5.
∴OA2＝(OA－1)2＋52. 解得 OA＝13. ∴⊙O 的半径为 13.
3.如图，M 是⊙O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交⊙O 于点 E，并且 CD＝6，EM＝9，求⊙O 的半径．
解：如图，连接 OC. ∵M 是弦 CD 的中点，EM 过圆心 O， ∴CM＝MD，EM⊥CD. ∵CD＝6，∴CM＝3. 设 OC＝x，则 OM＝9－x. 在 Rt△COM 中，根据勾股定理，得 32＋(9－x)2＝x2. 解得 x＝5. ∴⊙O 的半径为 5.
垂径定理的推论
【例 1】如图，在⊙O 中，点 A 是圆上一点，OA 与 弦 CD 交 于 点 B ， 且 BC ＝ BD ， 则 ∠OBD ＝
_______9_0__°_______，A⌒C ＝____A⌒_D______．
2.如图，CD 是直径，AB 是弦，CD 平分 AB，则下列
结论正确的有_①___②__③__④__．(填序号)
(2)求证，AB∥CD， ∴EF⊥CD. ∵EF 过圆心 O，∴CF＝DF. ∴EC＝ED.
8.如图是一块残破轮片的示意图，点 O 是这块轮片
的圆心，AB＝120 mm，C 是A⌒B 上一点，OC⊥AB，
垂足为 D，CD＝20 mm，求原轮片的半径 r.
人教版九年级数学上册24.-垂径定理的应用(用)1课件(共39张)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B2的3,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 3.62 (R 2.4)2.
中点，EF过圆心O，CDAB为什么？
C F D 分析： CD AB
.O
CFE= BEF
A
E
B CFE=90
BEF=90
OFCD
OE AB
OF过圆心
OE过圆心
点F是CD中点 点E是AB中点
2. 在我们生活中处处存在数学问题，比如：
某村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱 的圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆 高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通 过这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用 圆的有关知识，
你是第一 个告知同 学们解题 方法和结 果的吗？
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
圆的线段问题转化
O
为直角三角形问题
变式1：如上图，若以O为圆心再画一 个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可 能存在什么关系?
A C E DB O
（1）
AC
DB
O
（2）
九年级数学上册人教版(课件)：24.1.2 垂直于弦的直径
二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB， 垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什 么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D，即直径 CD 平分
弦 AB，并且平分A︵B及A︵DB. 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB，且 CD⊥AB 垂足为 M. 求证：AM＝BM，A︵C＝B︵C，A︵D＝B︵D. 分析：要证 AM＝BM，只要证 AM，BM 构成的两个三角形全等．因 此，只要连接 OA，OB 或 AC，BC 即可．
24．1 圆的有关性质
24．1.2 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问 题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加 予理解．
重点 垂径定理及其运用． 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
一、复习引入 ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． ②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
进一步，我们还可以得到结论： 平分 Nhomakorabea(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
24.1.2++垂直于弦的直径+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，如果 CD＝20，BE＝4，
求⊙O 的半径． 解：连接 OC，∵CD⊥AB，
∴CE＝12 CD＝10. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－4， 在 Rt△OEC 中，
由勾股定理，得 OE2＋CE2＝OC2，
∴(r－4)2＋102＝r2，
10．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径 几何”，用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦 AB 垂直 CD 于点 E， CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为__2_6_寸．
11．⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB⊥CD，且 AB＝8， 则弦 AC 的长为 2 5 或 4 5 .
∴Rt△AON≌Rt△DOM，
∴OM＝ON， 又∠ONE＝∠OME＝∠MEN＝90°，
∴四边形 OMEN 是正方形；
(2)若 CE＝1，DE＝3，求⊙O 的半径．
(2)∵CE＝1，DE＝3， ∴CD＝4， ∴DM＝2， ∴EM＝OM＝1， ∴OD＝ OM2＋DM2 ＝ 5 ， 即⊙O 的半径为 5 .
5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 OD，若 AB＝6，BE ＝1，则弦 CD 的长是_2__5_.
6．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A＝15°，半径为 2， 则弦 CD 的长为_2___.
7．(教材第 90 页第 9 题改)如图，两个圆都以 O 为圆心．
解得 r＝229 ，∴⊙O 的半径是229 .
13．(教材第 83 页第 2 题改)如图，⊙O 的两条弦 AB，CD 互相垂直于点 E， AB＝CD，过点 O 作 OM⊥CD 于点 M，ON⊥AB 于点 N. (1)求证：四边形 OMEN 是正方形；
人教版九年级数学上册课件 24.1.2垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径
习题1、如图，已知CD 是⊙O的直径，AB⊥CD 于E， CE=8cm,DE=2cCm,AB= .
O
A
B
E
D
例题解析
２、如图，⊙O的弦 AB=8 ㎝，直径CD⊥AB 于E，DE=2 ㎝，求半径 OD的长. C
O
A
B
E
例题1.如图是一个隧道的横截 面,若它的形状是以O为圆心的 圆的一部分,路面AB=10米,净 高CD=7米,则此圆的半径OA ＝
A．CE=DE C．∠BAC=∠BAD
B．BC=BD D．AC>AD
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E， 连接OC，若OC=5，AE=2，则CD等于（ D）
A．3
B．4
A
C．6
C
D．8
O
C
ED
B
A EO B
D
（4 题图）
例检题测解题析
3．如图，在直径为52 cm的圆柱形油槽内，装入 一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD 为16 cm，那么油面宽度AB是多少？
米.
例题2.如图是圆弧形的蔬
菜大棚的剖面,AB=8 m,如
果大棚的高度CD=2 m,那
么弧AB所在的圆的半径长
为
m．
课堂小结
2.在圆中解决有关弦的问题时,经常是作弦心距, 连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
A
E
B
.O
检测题
Hale Waihona Puke 1．如图，如果AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E， 那么下列结论中，错误的是（ D ）
课后作业
1.教科书P82练习第2题，P87第1题,P88第8、9题.
习题1、如图，已知CD 是⊙O的直径，AB⊥CD 于E， CE=8cm,DE=2cCm,AB= .
O
A
B
E
D
例题解析
２、如图，⊙O的弦 AB=8 ㎝，直径CD⊥AB 于E，DE=2 ㎝，求半径 OD的长. C
O
A
B
E
例题1.如图是一个隧道的横截 面,若它的形状是以O为圆心的 圆的一部分,路面AB=10米,净 高CD=7米,则此圆的半径OA ＝
A．CE=DE C．∠BAC=∠BAD
B．BC=BD D．AC>AD
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E， 连接OC，若OC=5，AE=2，则CD等于（ D）
A．3
B．4
A
C．6
C
D．8
O
C
ED
B
A EO B
D
（4 题图）
例检题测解题析
3．如图，在直径为52 cm的圆柱形油槽内，装入 一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD 为16 cm，那么油面宽度AB是多少？
米.
例题2.如图是圆弧形的蔬
菜大棚的剖面,AB=8 m,如
果大棚的高度CD=2 m,那
么弧AB所在的圆的半径长
为
m．
课堂小结
2.在圆中解决有关弦的问题时,经常是作弦心距, 连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
A
E
B
.O
检测题
Hale Waihona Puke 1．如图，如果AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E， 那么下列结论中，错误的是（ D ）
课后作业
1.教科书P82练习第2题，P87第1题,P88第8、9题.