正多边形与圆
正多边形与圆的关系
03
内切圆半径与正多边形边数关系
正多边形的内切圆半径与其边数成反比，即边数越多，内切圆半径越小。
正多边形与圆的切线关系
正多边形外接于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的垂直距离相等。
外接圆半径与正多边形边长关系
外接圆的半径等于正多边形边长，即R=s。
外接圆半径与正多边形边数关系
建筑结构中的应用
建筑设计
正多边形在建筑设计中有广泛的应用，如正方形的窗户、正三角形的屋顶等。
结构稳定性
正多边形可以用于建筑结构的稳定性设计，如正三角形结构可以提供更好的稳 定性。
05
正多边形与圆的未来发展
数学理论的发展
深入研究正多边形与圆的几何性质
随着数学理论的不断深入，未来将有更多关于正多边形与圆几何性质的发现和证明，为 数学领域的发展做出贡献。
等腰直角三角形
03
有一个直角且两腰相等的三角形。与圆的内切关系
01
正多边形内切于圆
正多边形的每个顶点都位于同一个圆上，且从圆心到正多边形的边的距
离相等。
02
内切圆半径与正多边形边长关系
内切圆的半径等于正多边形边长的一半，即r=s/2，其中r为内切圆半径，
s为正多边形边长。
优化设计
正多边形与圆在建筑设计、机械设计等领域有着广泛的应用， 未来将有更多研究致力于优化设计，以提高产品的性能和美观
度。
计算机图形学应用
随着计算机技术的不断发展，正多边形与圆在计算机图形 学领域的应用将更加广泛，如游戏设计、虚拟现实等。
物理学中的模拟实验
正多边形与圆在物理学中有重要的应用，如粒子加速器、磁场 等，未来将有更多研究利用正多边形与圆进行模拟实验，以更
03圆专题之正多边形与圆
第三节正多边形与圆知识清单重难点难度系数构造垂径定理模型★★★圆与有关线段和角度的计算★★★正多边形的计算★★知识概述：一、正多边形与圆的相关概念⑴正多边形：各边、各角都相等的多边形注：正多边形必须同时满足2个条件：①每一条边都相等；②每一个角都相等⑵正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心正多边形的半径：正多边形外接圆的半径正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角⑶正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。
二、正多边形中各元素间的关系1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为a则有关系：2）正多边形的一些关系：①正n边形的中心角a=；②正n边形的周长；③正n边形的面积经典例题1.下列多边形中，是正多边形的是（）A.菱形B.矩形C.等腰梯形D.正六边形2.如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论正确的有。
①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形3.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为多少cm？4.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．综合检测时间：40分钟，分值：60分一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.正六边形的边长为4，则它的面积为（）A．B．24C．60 D．2. 已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2 C．D．3. 如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°4.若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a3，a6，则a3：a6等于（）A．1：B．1：3 C．3：1 D．：15.如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）第5题图第6题图第7题图第8题图A．8 B．10 C．12 D．166.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠AOB的度数是（）A．65°B．70° C．72° D．78°7.如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．128.如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）9. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．11．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝．12. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙O的内接正三角形ACE的边长为．三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）10.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．11.如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．12.如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，AP．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP，求DP的长．。
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
正多边形和圆
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
．
14．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，若 AB＝5，AC＝4，则 BD
的长为
．
15．如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AB
＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
．
三．解答题
-5-
16．已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为弦作⊙O，交 BC 的延长线于点 D，且 DC
（） A．60°
B．65°
C．72°
D．75°
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG=CH，AG 交 BH 于点 P．（1） 求证：△ABG≌△BCH； （2）求∠APH 的度数．
4． 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作 a3，a4，a6，则 a3：a4：
C．3
D．4
10．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 A，OB 交⊙O 于点 C，点 D 在⊙O 上，且 OD∥
AC，若∠B＝38°，则∠ODC 的度数为（ ）
A．46°
B．48°
C．52°
D．58°
二．填空题
11．如图，已知圆 O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，且∠C＝90°，AB
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形、正五边形等等。
正多边形具有对称性，对称轴的条数与边数相同。
比如正六边形有6 条对称轴。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条直径和半径，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段。
圆的周长 C ＝2πr （其中 r 是半径，π是圆周率，通常取 314），圆的面积 S ＝πr² 。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆以正多边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的外接圆。
例如，对于正三角形，我们可以找到它的外接圆。
通过三角形的三个顶点作圆，圆心到三个顶点的距离相等。
2、正多边形的内切圆以正多边形的中心为圆心，以中心到边的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的内切圆。
比如正六边形，我们可以作出它的内切圆。
内切圆与正六边形的各边都相切。
3、正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正 n 边形的中心角为 360°／n 。
以正五边形为例，其中心角为 360°÷5 ＝ 72°。
4、正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
5、正多边形的边心距正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
四、正多边形的计算1、边长计算对于正 n 边形，如果已知半径 R ，我们可以通过三角函数求出边长a 。
以正六边形为例，连接圆心与一个顶点，形成一个等腰三角形，其顶角为 60°，底角为 60°，则边长等于半径，即 a ＝ R 。
对于正 n 边形，边长 a ＝ 2Rsin(180°／n) 。
2、面积计算正 n 边形的面积可以通过分割成多个三角形来计算。
设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2 × n × a × r 。
正多边形与圆ppt课件
∠BAE-∠COD=
A.60°
B.54°
( D)
C.48°
D.36°
【举一反三】
1.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是
的中点,
则∠CPQ的度数为
A.30°
B.45°
(B)
C.36°
D.60°
2.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40 3 mm,则边长
当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形.
对点小练
1.(1)已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是_______cm.
6
(2)如果一个正多边形的中心角等于60°,那么这个正多边形的边数是_______.
新知要点
°
(−)×°
;
;
(1)正n边形的中心角为________正n边形的每一个内角的度数为____________
A. 2
B.2 2
C.4 2
D.2
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为2,则
边心距OM的长为_______.
3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且
CM=DN,AM与BN交于点Q.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
°
.
正n边形的每一个外角的度数为_____
等腰
(2)每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的______三角形;被它的半径和边心
直角
距分成2n个全等的______三角形.
2
2
r +( ) =R2
正多边形和圆
知识点1：正多边形的性质及其有关概念正多边形：各条边都相等，各个角也相等的多边形是正多边形。
圆和正多边形的关系：（1）把圆分成n （n ＞2）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正n 边形。
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆有公共的圆心。
相关概念：正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆的公共圆心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
如图所示，OA 为正n 边形的半径，OC 为边心距，AB 为边，∠AOB 为中心角。
提醒：（1）结合图形认识相关概念，增强直观性，有利于理解和记忆。
（2）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形一共有n 条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如果一个正多边形由偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
（3）正多边形的对称轴是其各边的垂直平分线，也是其各角的平分线所在的直线。
因此，任何多边形的外接圆与它的内切圆有公共的圆心。
知识点2：正多边形的相关计算正n 边形相关计算的方法：（1）正n 边形的内角和是（n-2）∙180°，它有n 个相等的内角，因此正n 边形每一个内角的度数都是nn 0180)2(∙-。
（2）正n 边形有n 个相等的中心角，而这些中心角的总和是360°，因此，正n 边形每个中心角的度数都是n360。
（3）正n 边形的外角：正n 边形的每个外角都等于n360。
（4）正n 边形的周长l n =n n a ∙（n a 为边长）。
（5）正多边形的面积n n n l r S ∙=21（为周长为边心距，n l n r ）。
（6）正n 边形的n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形（如上图所示）。
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知识点1 正多边形的相关概念
（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边
形的中心。
（3）正多边形是对称图形。
当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4）与正多边形有关的概念：
a正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；
b正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；
c正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n边形的每个
中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.
d正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1
圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化
例题2
正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
例题3
正n边形是对称图形，它的对称轴有条。
例题4
正n边形的每个内角是，每个中心角是。
知识点2 正多边形的计算
1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。
2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。
3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；
底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。
注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式
.
提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5
【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
例题6
1、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，若∠C ＝900，AD ＝4，BD ＝6，求图中阴影部分的面积。
2
2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=a r R 2
O 1O ••例1图
B A
自我检测
一、选择题
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3 3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A.
26 B.43 C.36 D.3
4 4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )
A.S 3>S 4>S 6
B.S 6>S 4>S 3
C.S 6>S 3>S 4
D.S 4>S 6>S 3 5.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
第1题图
A.
63 B.43 C.332 D.3
3
6.已知正多边形的边心距与边长的比为
2
1
，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
二、填空题
7.若正n 边形的一个外角是一个内角的
3
2
时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 8.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 9.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
10.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
11.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
三、计算题
13.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图24-3-1
14.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图24-3-2
15.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
16.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图24-3-3
17.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图24-3-4
18.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).。