201X版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案 (新版)沪科版
2019版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案（新版）沪科版
课题24.6.1正多边形与圆
教学
目标
1．使学生理解正多边形概念
2．使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的
切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．
3．通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；
4．通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．
教
材
分
析
重点n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
难点对正n边形中泛指“n”的理解．
教具电脑、投影仪
教
学
过
程
（一）、新课引入
1.同学们还记得怎样画五角星吗？（让一学生回答）这节课我们就来研究这样画的道理。
2.思考以下问题：1．等边三角形、正方形的边、角各有什么性质？等边三角形与正方形的边、角
性质有什么共同点？．
各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．正多边形与圆有什么样的关系？这就是我们今天学习的内容（板书课题）
（二）、新课讲解：
1.多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
我们以n=5的情况进行证明．
已知：⊙O中，AB =BC =CD =DE =EA ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
（1）思路分析:要证五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，就要证明这五边形的五条边相等五个角相等，利用在同圆中，弧等弦再证角相等。
证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？
因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．
（2）思路分析：由弧等推得弦等、弦切角等说明五边形PQRST的各角都相等各边都相等？前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形．”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形．
证明：（见课本）
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？
2.等分圆周的方法画正多边形
（1）用量角器等分圆：
依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等
便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．（2）用尺规等分圆：
对于一些特殊的正多边形还可以用用尺规等分圆
①作正四边形、正八边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
②作正六、三、十二边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．
（三）、巩固练习课本第49页练习、2、3.
（四）、课堂小结：
1．学习了正多边形的定义．
2．n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
3.用量角器等分圆周作正n边形；
4.用尺规作正方形由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12变形、正三角形。
布
置
作
《练习册》习题
业
教
后
记本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。
感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
北师大版九年级数学下册《圆——圆内接正多边形》教学PPT课件(2篇)
⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边
形ABCDEF.
E
D
O
F
A
C
B
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
作法：
你能简单说明下如
何用尺规做出两条
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E
B
O
Q
S
C
D
R
新知探究
⌒ ⌒
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
P
A
T
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
解:设这个正三角形的中心为点O，
A
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
O
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，
BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH= ， =
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫
做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分
点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
九年级学生在学习本章节之前，已经掌握了多边形的性质、三角形和四边形的分类、圆的基本概念等基础知识。在此基础上，学生对正多边形与圆的关系已有一定的了解，但可能对正多边形的性质和计算方法掌握不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力。因此，在教学过程中，应注重以下方面：
4.鼓励学生相互交流、讨论，共同解决练习中的问题，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生对本节课的内容进行总结，分享学习收获。
2.教师强调本节课的重点知识，对难点进行梳理，帮助学生巩固记忆。
3.提问学生，检查他们对正多边形与圆的性质、计算方法的掌握情况。
4.布置课后作业，要求学生在课后独立完成，巩固所学知识。
设计意图：激发学生的自主学习兴趣，为下一节课的学习做好铺垫。
4.分层次作业设计：
-对于基础薄弱的学生，设计一些简单易懂的题目，帮助他们巩固基本概念；
-对于中等水平的学生，设计一些稍有难度的题目，提高他们的解题能力；
-对于优秀生，设计一些拓展题，鼓励他们深入探究正多边形与圆的性质。
设计意图：关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中找到适合自己的难度，提高作业的实效性。
设计意图：通过练习题，使学生巩固正多边形的性质、计算方法以及与圆的关系。
2.请学生选择一个生活中的正多边形实例，分析其性质，并运用所学知识解决相关问题。
设计意图：培养学生观察生活、发现数学问题的能力，提高学生将数学知识应用于实际问题的水平。
3.请学生预习下一节课的内容，提前了解正多边形的内切圆和外接圆的性质。
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆教案新版沪科版
24.6 正多边形与圆二、师生互动，探究新知师：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论•如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论•将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形•[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结•]师：以五边形为例，引导学生证明•已知：如图，点A B、C、D E在o O上，且A B =Be = C D = DE = E A.求证：五边形ABCD是O O的内接正五边形•证明：（1）由A B = Be = C D = D E = ?A，得________ = _________ = _________ =•••B CE = C DA = 3A B，AZ i = z 2.让学生通过等分圆后，观察得出结论，体现一种研究方法一一由特殊推广到一般•同理可得/ 2=Z 3=Z 4=Z 5.又因为顶点A、B CD E都在O O上，所以五边形ABCD是O 0的内接正五边形.生：思考完成填空•师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.已知：如图，点A B、C D E在O 0上,且A B=Be = C D = D E = E A,TP PQ QR RSST分别是以点A B、C、D E为切点的O 0 的切线•求证：五边形PQRS是O 0的外接正五边形.证明：连接OA OB OC则/ OAB=Z OB= / OB=Z OCB•/ TP PQ QF分别是以点A、B、C为切点的O0的切线，•••/ 0AP=Z 0BP=Z 0B(=Z 0CQ•••/ PAB=Z PBA=Z QBC=Z QCB又••• A B = Be , ••• AB= BC• △ PAB 也厶QBC•••/ P=Z Q PQ= 2PA同理可得/ Q=Z R=Z S=Z T,QF= RS= ST= TP= 2PA•••五边形PQRS的各边都与O 0相切，•••五边形PQRS是O 0的外切正五边形.生：观察理解证明过程，得出结论.将一个圆分成n等份，经过各分点作圆的切线，以相邻I教学小结I【板书设计】正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质生：思考回答师：（1）正方形有外接圆吗？若有，外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点.）⑵ 根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答•接OA OB OC OD 0E•/ OB= OC •••/ 1 = Z 2.又•••/ ABC=Z BCD•/ 3=Z 4.•/ AB= DC ODC• OA= OD 即点D在O O上.同理，点E在O O上.所以正五边形ABCD有一个外接圆O O. 因为正五边形ABCD的各边是O O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距（OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCD还有一个以O为圆心的内切圆.师：引导学生归纳.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线采用开展活动，小组讨论的方法，培养学生互助，协作的精神，通过引导学生自主合作，探究验证，培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径•其他两个顶点到圆心的距离都等于半径•正五边形的各顶点共圆•正五边形有外接圆•圆心到各边的距离相等•正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离•照此法证明，正六边形、正七边形、…、正n 边形都有一个外接圆和内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆• 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距•正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等•正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角•正n边形的每个中心角都等于---------- •n师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心•边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心• 师：讲解例题•例求边长为a的正六边形的周长和面积•五、布置作业，巩固提升 教材习题24.6第4〜8题.I 教学小结I正多边形的性质巩固认识，提高应用水平【板书设计】 ,并且这两个圆是同心。
24.3_正多边形和圆(2课时)
A A A A A A A . A2 3 n A3 4 1 A4 5 2 A1 A2 n 1
先说A1
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角.
F E
若正多边形的周长为l， 边心距为r，则：
A
O
D
lr S=_________。 2
1
B
C
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
360 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 60， 6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
B
D
小结：画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 画正多边形的方法 2.尺规作图等分圆
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（ ×） 2、证明题。
A
D.24m
B C
D
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°． ②用量角器或30°角 的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30° ．
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
第24章圆-正多边形与圆的总结拓展课件 22--23学年沪科版九年级下册数学
∴∠ADF＝90°
∴ ∠BDF＝∠ADF-∠BDA＝90°- 36°=54°
C
F
D
例3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，
54° ．
则∠BDF的度数是________
小结：
1.正n边形的每一个内角等于
A
n 2 180
n
B
E
O
；
2.直径所对的圆周角等于90°；
图形.
正三角形
120°
3条
正四边形
90°
4条
正五边形
72°
5条
正n边形有多少条对称轴？ n条
正n边形至少旋转多少度与自身重合？
360
n
正六边形
60°
6条
正七边形
360
7条
7
正八边形
45°
8条
如何画正多边形
3. 如何画正多边形
①用圆规和量角器画正多边形.
360
先任意画出一个圆和一条半径，再计算出该正多边形的中心角的度数，即
1
∴BA= ,
2
2
1
3
根据勾股定理可得：r=a= b 2 b
b
2
2
∴r:b＝ 3：2
1
B 2 bA
T2
3
b
2 r
T1
O
a
b
例5.如图，有一个圆O和两个正六边形1、 2，其中1的六个顶点都在圆周上，2的六条边都
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
九年级数学正多边形和圆
A
求证： 正五边形的对角线相等
B D
E
C
类比联想
怎样找圆的内接正三角 形？怎样找圆的外切正 三角形？ •怎样找圆的内接正方 形？怎样找圆的外切正 方形？
A
D
B
H
A D
C
E B F CG来自•怎样找圆的内接正n边 形？怎样找圆的外切正 n边形？
把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这 个圆的内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形。
有没有外接圆和内切圆？ 怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个 内切圆，并且这两个圆是同心圆。
正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫 做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正 多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边 形的边心距。正多边形各边所对的外接圆 的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边 形的每个中心角都等于360°/n。
P B
A
T E O S
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
Q
C R D
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
⌒ ⌒ 又∵AB=BC
∴AB=BC
∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA 又∵五边形PQRST的各边都与 ⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五 边形。
1、判断题。
×） ②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） P A F
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ 2、证明题。
人教版数学九年级上册24.3.1《正多边形和圆》说课稿
人教版数学九年级上册24.3.1《正多边形和圆》说课稿一. 教材分析《正多边形和圆》是人教版数学九年级上册第24章第3节的内容。
本节课主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习，使学生能够理解正多边形的概念，掌握正多边形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，引发学生的兴趣，引导学生探究正多边形与圆的内在联系，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及与圆的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从已有的知识出发，探究新知识，激发学生的学习兴趣，帮助学生建立知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解正多边形的定义，掌握正多边形的性质，了解正多边形与圆的关系。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探究正多边形的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学的美。
四. 说教学重难点1.教学重点：正多边形的定义，正多边形的性质。
2.教学难点：正多边形与圆的关系，正多边形的性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等，直观展示正多边形的性质和与圆的关系，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的正多边形图片，如足球、骰子等，引导学生关注正多边形，激发学生的学习兴趣。
2.探究正多边形的定义和性质：学生分组讨论，每组找出正多边形的定义和性质，最后进行汇报和交流。
3.揭示正多边形与圆的关系：引导学生观察正多边形的特点，引导学生发现正多边形可以看作圆的内接多边形，从而得出正多边形与圆的关系。
正多边形和圆(解析版)九年级数学-下册
27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程212200x x -+=的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出OD 的长即可得到答案．【详解】解：212200x x -+=，()()2100x x --=，10x ∴=或2，当2x =时，268+=，不能组成三角形，不符合题意；10x ∴=，当第三边为10时，2226810+= ，此三角形是直角三角形，如图所示，在Rt ABC △中，点O 是Rt ABC △的内接圆，分别与,,AB BC AC 相切于D 、E 、F ，,,OD OE OF OD AB OE ∴==⊥ABC ABO ACO BCO S S S S ∴=++ 111222AB BC AB OD BC ∴⋅=⋅+1683452OD OE OF ∴⨯⨯=++2OD ∴=，∴圆O 的半径为2，【答案】()5,1()8093,1【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得点A的坐标为()3,0，0,4，点B的坐标为()OA=，∴=，43OB2222∴=+=+=，AB OA OB435点P是Rt OAB内切圆的圆心，PD OA⊥⊥，PF OB【答案】3cm【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出1()2CD CF AC BC AB ==+-是解题关键．设易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：在Rt ABC △，90C ∠=︒，9cm BC =根据勾股定理2215(cm)AB AC BC =+=四边形OECF 中，OD OF =，ODC ∠∴四边形OFCD 是正方形，题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆．若70AOB ∠=︒，则COD ∠=（）A ．110︒B ．125︒C ．140︒D ．145︒【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OAB OAD ∠=∠，ODA ODC ∠=∠，OCD OCB ∠=∠，OBC OBA ∠=∠，∵360OAB OAD ODA ODC OCD OCB OBC OBA ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180OAB OBA ODC OCD OAD ODA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，∵70AOB ∠=︒，180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒，180ODC OCD DOC ∠+∠+∠=︒，∴18070110COD ∠=︒-︒=︒，故选：A ；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到180OAB OBA ODC OCD ∠+∠+∠+∠=︒．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI ，正方形MFCG 和正方形HLGD 都在正方形ABCD 内，且=BF HD ．O 分别与AE ，EI ，HL ，AH 相切，点M 恰好落在【答案】1682-【分析】连接AC ，由题意可知【详解】解：如图所示，连接∵正方形EBFI ，正方形MFCG ∴45ACD MCD DAC ∠=∠=∠=∵O 分别与AE ，EI ，HL ，∴四边形AQOP 是正方形，∴AC 过点O ，M ，四边形ABCD 为正方形，题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆A ．12B ．【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，【详解】解：过O 点作OD ∵O 是正ABC 的内切圆，A．100︒B．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出1【答案】52-/2-+【分析】在AB 的下方作等腰直角三角形过点K 作KT DB ⊥交DB ∵点P 是ACB △的内心，∠∴12PAB CAB ∠=∠，PBA ∠=∴(12PAB PBA CAB ∠+∠=∠∴18045135APB ∠=︒-︒=︒，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵2AB =，AK BK =，AKB ∠设这个三角形内切圆的半径为r ，则11145222S ar br cr =++=，即()1452r a b c ++=，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，∴()1763452r ++=，则：DAC DBC ∠=∠，∵I 是ABC 内心，∴,ABD DBC CAI ∠=∠∠=∴DAC DBA ∠=∠，∴DAC CAI DBA ∠+∠=∠+则：222CH AC AH =-=即：(222141315x -=--解得：425x =，∴22CH AC AH =-=设AD x =，则2BD =-由勾股定理得：2CD AC =222243(2)x x ∴-=--．解得： 2.75x =．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接OD 、在Rt ABC △中，AC AB =设内切圆半径为r ，AB 、BC ∴OD AB ⊥，OE BC ⊥，∵AB BC ⊥，OD OE =，∴四边形ODBE 为正方形，∴OD OE BD BE r ====，由切线长定理得，8AF AD r ==-，6CE CF r ==-，MD MP =，NE NP =，∴8610AC AF CF r r =+=-+-=，解得2r =，则的周长为BM BN MN++BM BN MP NP=+++BM BN MD NE=+++BD BE=+2BD=2r=4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形ODBE 为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知O 是ABC 的内心，70BAC ∠=︒，P 为平面上一点，点O 恰好又是BCP 的外心，则BPC ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．62.5︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得OB OC 、分别是ABC ACB ∠∠、的角平分线，进而求出BOC ∠的大小，再利用三角形外心的性质得出BPC ∠等于BOC ∠的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．∵O是ABC的内心，，∴12OBC ABC ∠=∠，∴12 OBC OCB∠+∠=∠【答案】65︒/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接OB、OC，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得BOC∠，再根据圆周角定理得到∵80BAC ∠=︒，∴180ABC ACB ∠+∠=︒-∵O 是ABC 的内心，∴12OBC ABC ∠=∠，OCB ∠【答案】58【分析】作AD BC ⊥于点D ，作PF 且AD 垂直平分BC ，及BD CD ==得BQ 、PF 和DQ ，由PCF ≌ R R t 答案．则90ADB ADC ∠=∠=︒，∵5AB AC ==，∴AD 平分BAC ∠，且AD 垂直平分∵6BC =，∴1=32BD CD BC ==，【答案】40︒/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出COB ∠的度数和OGE ∠【详解】解：连接,OD OE【答案】5【分析】连接OA 、OB 、OC 、33BE BD OE ===，进而得出【详解】解：如图，连接OA 、OB ∵ABC 的内切圆半径3r =，30ABO CBO ∴∠=∠=︒，33BE BD OE ∴===，8BC = ，A．72°【答案】A【分析】根据正n边形的中心角的度数为【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、形的中心角36060AOB︒∠==︒，进而证明由题意，360 AOB∠=∴AOB为等边三角形，【答案】72︒/72度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得解．【详解】∵五边形ABCDE1【答案】72︒/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴3605AOB BOC ︒∠=∠=∴7272144AOC ∠=︒+︒=∴1722AFC AOC ∠=∠=A．4B【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出60BOC ∠=︒，OB OC =∴BOC 是等边三角形，∴6OB BC ==，OM BC ⊥，1A ．2B ．确定，所以CMP S △的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出1S S =则2MN OM =，∵12COD S CD OM = ，PCM S ∴COD PCM S S = ，∵16COD ABCDEF S S = 正六边形，34．（2023上·浙江温州记ACE △的周长为1C ，正六边形为【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含长为a ，利用含30︒角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；∠为顶角的等腰三角形（2）解：以GFE22AG=+=．5334【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知的内接正方形ABCD法，作出O【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙【详解】解：如图，正方形ABCD的直径，∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，的内接正方形．∴四边形ABCD是O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．38．（2022上·江西景德镇·九年级统考期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．39．（2023上·江苏盐城【答案】（1）3；（2）21316AN≤≤；（3）9373222r-≤≤【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；（2）当MNA'的外接圆与线段DC相交，且点N与D重合时，此时AN外接圆与线段DC相切时，此时AN最小，利用勾股定理构建方程求解即可；由折叠的性质得：A D AD'=，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相交，且点N 与D 重合时，此时AN 最大，即3AN =，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相切时，设半径为r ，则3,OF r AO r =-=，则1924AF AM ==，∴()222934r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当N 与D 重合时r 最大，3,6,6A F r MF r MA ''∴=-=-=，Rt FA M ' 中，()()222366r r -+-=，1r =9372+（舍），29372r -=，故答案为：93732r -≤≤．。
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。
2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.圆的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。
3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。
4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。
2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。
提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。
展示圆的性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。