上海交通大学2013-2末 高数试卷(A类)
2013下八校联考上海高考二模数学试题及详解
1 b
1 c
1 a
1 Q( , b) 和 l 的关系是 c （A）P 和 Q 都在 l 上
（C）P 在 l 上，Q 不在 l 上
（B）P 和 Q 都不在 l 上 （D）P 不在 l 上，Q 在 l 上
18．受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响，某公 司 2012 年一年内每天的利润 Q(t ) (万元)与时间 t (天)的关系如 图所示，已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元，令
△ ABC 中， 三内角 A 、B 、 已知 B 60 ， 不等式 x 6 x 8 0 C 所对边 的长分别为 a 、b 、c ， 9． 的解集为 {x | a x c} ，则 b ______。 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这 10 个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数 10 ． 是连续整数的概率是 。
22.（本题满分 16 分；第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分） 已知下表为函数 f ( x) ax cx d 部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究, 相关函数值取非
3
整数值时,取值精确到 0.01。
x y
-0.61 0.07
-0.59 0.02
-0.56 -0.03
23． （本题满分 18 分；第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分） 对于数列 A : a1 , a2 , a3 ( ai N, i 1, 2,3) ，定义 “ T 变换 ” ： T 将数列 A 变换成数列 B : b1 , b2 , b3 ，其中 且 b3 | a3 a1 | 。 这种“ T 变换” 记作 B T ( A) 。 继续对数列 B 进行“ T 变换”， bi | ai ai 1 | (i 1, 2) ， 得到数列 C : c1 , c2 , c3 ，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换结束。 （1）试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ T 变换”得到的各数列；若 不能，说明理由； （2）设 A : a1 , a2 , a3 ， B T ( A) 。若 B : b, 2, a ( a b) ，且 B 的各项之和为 2012 。求 a ， b ； （3）在（2）的条件下，若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小，求 k 的最小值，并说 明理由。
(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答
1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解 对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛， 得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦， 即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。
【数学】上海市交大学附中2013-2014学年高二下学期期末考试.docx
OA B中，AB＝
3
．
又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，
ACB
30 , BC
3, AC 2 3,
VA BOC
1
AB SBOC
1
AB
OB BC
3
3
6
2
20.如图,已知正三棱柱
ABC－A1B1C1的底面边长为
8，侧棱长为
6，D为AC中点。
（1）求证：直线
1∥平面
1；
A1
C1
AB
C DB
（2）求异面直线
2
2
Cnn 1。
2n 1
时 ，x2nxn10， 当3 | n时 ，
x2 n
xn
1
3，
记t0
Cn0
Cn3
Cnn，t1
Cn1
Cn4
Cnn 2，t2
Cn2
Cn5
Cnn 1
f (1) 2n
Cn0
Cn1
Cnn，
f ( ) (1 )n
Cn0
Cn1
nCnn
Cn0
Cn1
2Cn2
Cn3
Cn4
2Cn5
Cnn
，
f (2) (1
（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1.
设复数z满足(1 i )z 2i
,则
z______
1
i______。
2.
三个平面最多把空间分割成
8
个部分。
3.
若圆锥的侧面展开图是半径为
2、圆心角为
180的扇形，则这个圆锥的体积是
3
2013年上海卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）不等式＜0的解为．2．（4分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．4．（4分）已知，，则y=．5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．（4分）设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．8．（4分）方程的实数解为．9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．13．（4分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（）A．B．C．1+D．1﹣16．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）17．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0B．C．2D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．22．（16分）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．23．（18分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学(参考答案)一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：原不等式化为或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜2．【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30，则a2+a3=15．故答案为：15．3．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．4．【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可．【解答】解：由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．故答案为：1．5．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=．故答案为：6．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．7．【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r【解答】解：的展开式的通项为T r+1令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．8．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3x（t＞0）则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0）∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为log34．故答案为：log34．9．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．10．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为11．【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从7个球中任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=．故答案为：．12．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．13．【分析】由题设数a＞0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）14．【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算的值，从而得出的最小值．【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．如图建立坐标系．（1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；（2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；（3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；（4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=﹣5，﹣4，或﹣3．则的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）．【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0），解得x=所以f﹣1（2）=．故选A．16．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．17．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A18．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积==；设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D．则AD=，O′D=，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=，∴三棱锥的侧面积为×=2，∴该三棱锥的表面积为．20．【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元．（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+），1≤x≤10．设f（x）=，1≤x≤10．则f（x）=，当且仅当x=6取得最大值．故获得最大利润为=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．21．【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（﹣），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：（1）f（x）=2sinx，F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），F（）=2，F（﹣）=0，F（﹣）≠F（），F（﹣）≠﹣F（），所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（x）=2sin2x，将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．22．【分析】（1）由题意代入式子计算即可；（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，所以，得a1=1；②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，所以，得（舍去）或．综合①②得a 1=1或．（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），以下分情况讨论：①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而a n=1（n=1，2，…），所以{a n}是一个等差数列；③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，因此存在m≥2使得a m=a1+2（m﹣1）＞2，﹣a m=2﹣|a m|﹣a m＜0，矛盾．此时d=a m+1综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，a n，…成等差数列．23．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．。
上海交大附中2012-2013学年高二第二学期期末数学试卷及答案
上海交通大学附属中学2012-2013学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 若复数3a ii+-（R a ∈）是纯虚数，则a = . 【答案】31 2. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同的排法。
【答案】2403. 在5(32)x y -的展开式中，若各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b += ． 【答案】334.若在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n = 。
【答案】85. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 。
【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。
则共有11234333216C C C P =6. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】5117. 若复数z 满足61()31i z i i-+-+≤（i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为 . 【答案】3π8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______. 【答案】3:29. 已知1321===z z z，则122331123z z z z z z z z z ++=++ 。
【答案】110 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．（结果用最简分数表示） 【答案】1311. 不等式31416151----+<+n n n n C C C C 的解集为 。
2013年高考新课标ii卷理科数学试卷与答案
2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）一.选择题：本大题共 10 小题。
每小题 5 分，共 50 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1)2（ 1）已知集合 M = { x | ( < 4, x ∈ R } ， N =｛ 1, 0, 1, 2, 3｝，则 M ∩N= x（ A ） {0, 1, 2 ｝ （ B ） { 1, 0, 1, 2} （ C ）{ 1, 0, 2, 3} （D ） {0, 1, 2, 3 } 答案： A1)2【解】将 N 中的元素代入不等式：(x <4 进行检验即可 . （ 2）设复数 z 满足 (1i )z =2 i ，则 z = （ A ） 1+ i （ B ） 1 i （ C ） 1+ i （D ）1i 答案： A【解法一】将原式化为 z = 2i i ,再分母实数化即可 . 【解法二】将各选项一一检验即可.1 （ 3）等比数列 { a n } 的的前 n 项和为 Sn ，已知 S 3 = a2 +10a 1 ， a 5 =9 ，则 a 1 =1 1 1 1（ A ） 3 错误！未找到引用源。
（ B ） 3 （C ）9 （ D ） 9 答案： C【解】由 S 3 = a 2+10a 1? a 3 = 9a 1 ? 2 = 9 ? a 1 a5 = 1 q = 4 9q （ 4）已知 m, n 为异面直线， m ⊥平面 ， n ⊥平面 . 直线 l 满足 l ⊥ m ，l ⊥n ， l / ， l / 则：（ A ） ∥ 且 l∥ （ B ） ⊥ 且 l ⊥（ C ） 与 相交，且交线垂直于l （ D ） 与 相交，且交线平行于 l 答案： D【解】显然 与 相交，不然 ∥ 时 ? m ∥ n 与 m, n 为异面矛盾 . 与相交时，易知交线平行于 l .（ 5）已知 (1+ax)(1+ x)5 的展开式中 x 2的系数为 5，则 a = （ A ） 4 （ B ） 3 （ C ） 2 （ D ） 1答案： D 【解】 x 2 的系数为 5 ?2 1 ? a = 1 C 5 + aC 5 = 5 （ 6）执行右面的程序框图，如果输入的 N =S =（ A ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23 + , 10 （ B ） 1+1 1 1 2! + 3! + , +10! （ C ） 1+1 + 1 + 1 错误！未找23+ ,11开始输入 Nk=1, S = 0,T =1T T= kS= S+Tk= k +1否k > N是输出 S结束（ D ） 1+1+ 1 + 12! 3! + ,11!答案： B【解】变量 T, S, k 的赋值关系分别是：T n Tn +1 = kn, S n +1 = S n + T n +1, k n +1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 =1, S 0 = 0)第 1 页 共 19 页? k n = n + 1, T n = T n Tn 1T1 1× 1 ×, × 1 = 1 ,×× , × × T 0 = Tn 1 Tn 2 T0 kn 1 kn2k0 n!111S n =(S n Sn 1) + ( Sn 1 Sn 2) + , + (S1 S0 ) + S0 = Tn+ Tn 1 + , + T0= 1+ 2! + 3! + , + n! 满足 k n > N 的最小值为 k 10 = 11，此时输出的 S 为 S 10（ 7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 (1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)答案： A【解】 （ 8）设 a = log 36， b = log 5 10， c = log 714，则（ A ） c > b > a （ B ） b > c > a （ C ） a > c > b （D ） a >b > c答案： D【解】 a = 1 + log 2， b = 1 + log 5 2， c = 1 +log7 2 3log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log72? a > b > cx ≥1（ 9）已知 a ， x , y 满足约束条件 x +y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1，则 a = > 0 y ≥ a(x 3)（ A ） 11 y A(1, 2) 4 错误！未找到引用源。
(完整版)2013年上海高考理科数学试题及答案(2),推荐文档
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)一、填空题&盒子中装有编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是 ________________________ (结果用最简分数表示) 9.设AB 是椭圆的长轴，点C 在 上，且 CBA，若AB=4 , BC 「2，贝U 的4两个焦点之间的距离为 __________10 .设非零常数d 是等差数列X 1,X 2,X 3丄，心的公差，随机变量 等可能地取值 X 1,X 2,X 3丄，x i9，则方差 D _________11.若 cos x cos y 1 2 冲sin xsiny —,sin 2x sin 2y —,贝U sin( x y).2 312.设a 为实常数，2y f (x)是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 9x7若f (x) a 1对一切x 0成立，则a 的取值范围为2 213.在xOy 平面上，将两个半圆弧(x 1) y 1(x 1)和(x 3) y 1(x3)、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分.记 D 绕y 轴旋转一周而成 的几何体为 ，过(0, y)(| y| 1)作的水平截面，所得截面面积为41 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为 ___________1.计算： limn2.设 m R ,2 23.若X y1 14.已知△ AB C n 203n 2m13 -m 2 2 (m 1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则 m 的内角2 2 2C 所对应边分别为 a 、b 、c ,若3a 2ab 3b 3c 0, —(结果用反三角函数值表示)5 •设常数a R ，若5x2a的二项展开式中x 7项的系数为 10，则a 6方程£37.在极坐标系中，曲线3x1 的实数解为 cos 1 与 cos1的公共点到极点的距离为1f (X)有反函数y f (x), 0有解X 0，则X 0________则角C 的大小是14 .对区间I上有定义的函数g(x),记g(I) {y | y g(x),x I}，已知定义域为[0,3]的函数y 且f [1,2), f 1((2,4]) [0,1)，若方程f(x) x二、选择题15.设常数a R，集合A {x|(x 1)(x a) 0}, B {x|x a 1}，若A B R，则a 的取值范围为((A) ( ,2) (B) ( ,2］ (C) (2, )(D)［2,)16•钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17 •在数列｛a n ｝中，a n2n 1，若一个7行12列的矩阵的第 i 行第j 列的元素a i,j a i a j a i a 」,(i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为() (A)18(B)28(C)48(D)631总.在边边长为比！的正六边形 ABCDEF 中，记以A 为起点, a 1, a 2,a 3 ,a 4, a 5 ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 iruu uu uu uu rn别为(aa j a k ) (d r d s d t )的最小值{i,j,k} {1,2,3,4,5} ,{r,s,t} {1,2,3,4,5},则 m,M 满足( (A) m 0,M 0(B) m 0,M(C) m 0, M三、解答题19. (本题满分 12分)如图，在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A BC 1平行于平面 DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.20.( 6分+8分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品 (生产条3件要求1 x 10)，每小时可获得利润是100(5x 1 -)元.x(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3000元，求x 的取值范围；(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大 利润.21. (6分+8分)已知函数f(x) 2si n( x)，其中常数 0 ； 2 (1 )若y f (x)在［,］上单调递增，求 的取值范围；4 3(2)令 2，将函数y f (x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函6数y g(x)的图像，区间［a,b ］ ( a,b R 且a b )满足：y g(x)在［a,b ］上至少含有 30个零点，在所有满足上述条件的 ［a,b ］中，求b a 的最小值.其余顶点为终点的向量分别为 d 1,d 2,d 3,d 4,d s .若 m, M 分 、最大值，其中).0 (D) m 0,M 01A=1，证明直线X 2222 . ( 3分+5分+8分)如图，已知曲线C i :y 1 ,曲线2C 2 :| y | |x| 1 , P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与G ,C 2都有公 共点，则称P 为“ C i — C 2型点” •(1)在正确证明C i 的左焦点是“ C i — C 2型点”时，要使用一条过该焦点的 直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ；⑵设直线y kx 与C 2有公共点，求证|k| 1，进而证明原点不是“ C i—C 2型点”；2 21⑶求证：圆x y —内的点都不是“ C 1—C 2型点” •223• (3分+6分+9分)给定常数 C 0 ,定义函数 f (x) 2 | x c 4 | | x c|，数列 a 1,a 2,a 3丄 满足 a . 1 f (a n ),n N *.(1 )若 a 1c 2，求 a 2及 a 3 ； (2)求证：对任意 n N*© 1 a . c ,；(3)是否存在a 1，使得a 1,a 2,L a .,L 成等差数列？若存在，求出所有这样的 印，若不存在，说明理由.2013年 上海 高考理科数学(参考答案)填空题4.62829.10. 30d2 11.—12. a-13. 21614.3 3 7选择题题号 15 16 17 18 代号BBAD三. 解答题19.【解答】因为 ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故 AB//C 1D 1, AB C 1D 1 ,故ABC 1D 1为平行四边形，故 BC 1//AD 1，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直 线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点 B 到平面D 1AC 的距离设为h1 1 111,,1 V51.-2. - 23. 04.arccos —5. - 26. log 3 47.33213188.考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC为底面，可得V - (- 1 2) 1 -3 2 320 . 【解答】21 . 【解答】23. 【解答】而AD1C中, AC DC 丿5,AD1 X2，故SAD1Ch -，即直线BC1到平面3D1AC的距离为-.3200(5x 1 -)3000 x10，可解得3 x 10一900(1)根据题意, 5x 14⑵设利润为y元，则y 100(5xxy max 457500 元.故x 6时，(1)因为⑵ f(x)104[ 3(丄x1)20，根据题意有2sin(2 x) , g(x) 2sin(2( x6))2si n(2x1x2一2即g (x)的零点相离间隔依次为和-,3 3故若y g(x)在［a,b］上至少含有30214 —3g(x) 0 si n(2x —)4315 -3 3个零点，3)k , k Z，12则b a的最小值为:(1)C1的左焦点为F( .3,0)，过F的直线x '、3与C1交于(2 与C2交于(• 3, (；3 1))，故C1的左焦点为“ C1-C2型点”，且直线可以为x \ 3 ；(2)直线y kx与C2有交点，则y kx (|k| 1)|x||y| |x| 1直线y kx与C2有交点，则y kx2 2x2 2y2 2(1 2k )x故直线y kx至多与曲线1(3)显然过圆x2 y2-2根据对称性，不妨设直线I : y (t 1) k(x t)1，若方程组有解，则必须|k|12C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。
上海交通大学_高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
高等数学研究
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试题照登
上海交通大学·高等数学期末试题（! 卷）（附参考答案）
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一、选择题（每题#分，共$%分，每题选项仅有一项符合要求，把所选项前的字母填入括号内）
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三、计算下列积分（$4分）
2013年高考全国二卷文科数学试卷与答案2013年高考全国二卷文科数学试卷与答案
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( )（A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π2013年高考全国新课标文科数学试题由长春工业大学继续教育学院第一时间整理发布，转载请注明。
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13. 计算积分
xdydz xydzdx ( z 1) 2 dxdy x y z
2 2 2
，其中 为上半球面 z 1 x 2 y 2 ，
并取上侧。 14. 已知曲线积分
L
xdy ydx I ( I 0 为常数)，其中非负函数 f ( x) 可微，且 f ( x) y 2
n 1
1 nn n
； (B)
(1) n n n ； (C) (1) n ； (D) ne n 。 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 6. 设 z x 2 f ( x 2 y 2 ) ，其中函数 f (u ) 可微，则 y 7. 设向量场 ( x, 2 xy, z 2 ) ，则散度 div
2 2 3 3 ； (B) arccos ； (C) arccos ； (D) arccos 。 22 22 22 22
3. 设 是 xOy 平面上的单位圆域 x 2 y 2 1 ,则曲面积分 ( x 2 y 2 z 2 )dS 等于( ) (A) 0 ； (B)
π ； 4 π (C) ； 2
(A) 必是 f ( x, y) 的极大值点； (C) 一定不是 f ( x, y) 的极值点；
(
)
(B)必是 f ( x, y) 的极小值点； (D)以上结论(A, B, C)都不正确。 )
2. 椭球面 x2 3 y 2 z 2 16 在点 (3, 1, 2) 处的切平面与平面 z 1 的夹角为( (A) arccos
六、(本大题共 10 分)
( x 1) 2 n 1 16. 求幂级数 n 的收敛域及和函数。 n 0 3 ( n 1)
七、证明题(本大题共 16 分，每小题 8 分) 17. 设 f ( x)
f ( n ) (0) 1 a ，记 ( n 0,1, 2, )。 n n! 1 x x2
f (1) 4 ， L 为任意包围原点的正向分段光滑闭曲线。
(1)证明：在不含原点的单连通区域内，曲线积分
C
xdy ydx 与路径无关； f ( x) y 2
(2)求函数 f ( x) 的表达式和积分值 I 。 五、(本大题共 8 分) 15. 讨论级数
(1) n 的敛散性(含绝对收敛和条件收敛性)，其中 a 0 。 n n 1 na
(1, 1,3)
z z x x y
。 。
。
x 2 y 2 z 2 25 8. 设曲线 C 为 ，则曲线积分 x ds C x y z 3 3
9. 设 f ( x)
x ，则 f (101) (0) 4 1 2x
1
。
10. 微分方程 xdy ydx 2 y 3dy 的通解为 三、(本大题共 8 分) 11. 设方程 e x z 5xy 2 ln z 1 确定了隐函数 z z ( x, y) ( x 0 )，求
2013 级高等数学第二学期期末试卷(A 类)
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1. 若函数 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 f xx ( x0 , y0 ) 0 ，
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) [ f xy ( x0 , y0 )]2 0 ，则 ( x0 , y0 )
(1)证明： a0 a1 1 ， an2 an1 an ， n 0,1,2, ； (2)求级数
an 1 的和。 n 0 an an 2
1 1 1 18. 设 Sn 1 ， an Sn [Sn ] ，其中 n 为正整数，这里 [ x] 表示不超过 2 3 n
x 的最大整数。对满足 0 a b 1 的任意实数 a 和 b ，证明：
(1)若 an a ， an1 a ，那么当 n
1 时，有 a an 1 b ； ba
(2)区间 (a, b) 内含有数列 an 中无穷多项。
2
n 0
③ 若幂级数 an x n 和 bn x n 的收敛半径都为 R ( 0 R )，
n 0 n 0
则 (an bn ) x n 的收敛半径必为 R 。
n 0
(A) 0 ；
(B) 1 ；
(C) 2 ；
n
(D) 3 。 ( )
5. 下列无穷级数中，收敛的是 (A)
(D) π 。 (
n
4. 下列命题中，正确命题的个数为 ① 若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ( 0 R )，则必有 lim
n 0
)
| an 1 | 1 ； | an | R
② 若幂级数 an x n 在 x R ( R 0 )处条件收敛，则其收敛半径必为 R ；
2
。
z 。 x
四、(本大题共 28 分，其中第 12 题 8 分，第 13、14 题各 10 分) 12. 已知 S 是椭球面 z 1 x 2 3 y 2 的上半部分( z 0 )， 是 S 在 Px, y, z 处的 切平面， x, y, z 是原点到切平面 的距离，计算 z 2 x, y, z dS 。