北京四中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)

北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．北京四中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=＞1，b=＜0，0＜c=＜1，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数相等的充要条件；充要条件．专题：简易逻辑．分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解答：解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：∵函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），∴将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，1）C．[0，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k 的范围．解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）①f（）=0；②既不是奇函数也不是偶函数；③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．A．①②B．①③C．②③D．②④考点：两角和与差的正弦函数；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由题意知，f（）是f（x）的最大值或最小值，且f（x）的周期为π；①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0可得θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④由﹣≤a≤，﹣≤b≤，结合三角函数的图象可得，不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，∴f（）是f（x）的最大值或最小值，f（x）的周期为π，①∵﹣=为个周期，∴f（）=0；②由f（）=sin（+θ）=0，则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；④∵﹣≤a≤，﹣≤b≤，∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．故选A．点评：本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质，用到了数形结合的思想，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．解答：解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是2．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．解答：解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．点评：本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解解答：解：∵a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，∴sinB===∵a＞b∴A＞B∴B为锐角∴cosB==故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用，属于基础试题12．（5分）已知实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是﹣2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：实数x，y满足2x+2y=1，利用基本不等式可得，化简即可得出．解答：解：∵实数x，y满足2x+2y=1，∴=2，化为x+y≤﹣2．当且仅当x=y=﹣1时取等号．则x+y的最大值是﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．13．（5分）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．解答：解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题．14．（5分）设集X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x ﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整数集Z其中以0为聚点的集合的序号有②③（写出所有正确集合的序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：新定义．分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解答：解：①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故答案为：②③．点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2（cosx﹣sinx）sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f（x），（Ⅰ）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（Ⅱ）由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．解答：解：由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x===，（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=，令得，，所以函数f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以，所以，即，所以0≤f（x）≤1，当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0，当且仅当时，即时最大值．点评：本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．16．（13分）已知数列{a n}满足：a1=1，2a n+1=2a n+1，n∈N+．数列{b n}的前n项和为S n，S n=9﹣，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N+．求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由2a n+1=2a n+1得a n+1﹣a n=，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，于是a n=a1+（n﹣1）d=，当n=1时，b1=S1=9﹣=9﹣3=6，当n≥2时，S n﹣1=，则b n=S n﹣S n﹣1=9﹣﹣[]=，又n=1时，=6=b1，所以b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=，b n=，所以c n=a n•b n=（n+1），所以T n=2×（）﹣1+3×（）0+4×（）1+...+（n+1）×（）n﹣2 (1)等式两边同乘以得T n=2×（）0+3×（）1+4×（）2+...+（n+1）×（）n﹣1 (2)（1）﹣（2）得T n=2×（）﹣1+（）0+（）1+…+×（）n﹣2﹣（n+1）×（）n﹣1=6+﹣（n+1）×（）n﹣1，所以T n=﹣（）n﹣2．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键．17．（13分）已知函数f（x）=（1+x）2﹣2aln（1+x）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，x∈[0，1]，求函数y=f（x）图象上任意一点处切线斜率k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）求切线斜率的取值范围即先求h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），的取值范围，可利用导数研究h（x）的范围，即可求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=2（x+1）﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，于是f（x）在定义域内单调递增．当a＞0时，f′（x）=0得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣＜﹣1（舍），当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下x （﹣1，﹣1+）﹣1+（﹣1+，+∞）f′（x）﹣+f（x）递减极小值递增所以f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．综上，当a≤0时，f（x）单调递增区间是（﹣1，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（﹣1+，+∞），单调递减区间是（﹣1，﹣1+）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（，令h（x）=f′（x）=2（1+x）﹣（x≠﹣1），则h′（x）=2+＞0，故h（x）为区间[0，1）上增函数，所以h（x）=f′（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知k∈[0，3]．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．18．（13分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．解答：解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙不行的速度应控制在[]范围内．点评：此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．19．（14分）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．解答：解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，∴．综上所述，a的取值范围为．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．20．（14分）已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．考点：计数原理的应用．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义．分析：（Ⅰ）根据d（U，V）可知m=C52；（Ⅱ）根据a i=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|；当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|；当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0，可证，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|，再相加即可证明结论；（Ⅲ）易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可．解答：解：（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，∴C52=10，即m=10；（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…a n），V=（b1，b2，b3，…b n）∵a i=0或1，b i=0或1；当a i=0，b i=0时，|a i|+|b i|=0=|a i﹣b i|当a i=0，b i=1时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=0时，|a i|+|b i|=1=|a i﹣b i|当a i=1，b i=1时，|a i|+|b i|=2≥|a i﹣b i|=0故，|a i|+|b i|≥|a i﹣b i|∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+a n）+（b1+b2+b3+…+b n）=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|）≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|a n﹣b n|=d（U，V）；（Ⅲ）解：易知S n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|=n2n﹣1∴d（U，V）=n2n﹣1．点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．。