两两独立一定相互独立吗？

概率与统计口诀

概率论与数理统计1.题干中出现“当”、'‘己知”、“如果”的，是条件概率。

2.时间上分两个阶段的，用“全概公式”或“贝叶斯公式”。

3.先后放回取：“只知次数，不知位豊”是二项分布，4.“先后不放回取”二“任取”是超几何分布。

5・先后放回取：“直到……才”是几何分布。

6•求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。

7.二维随机变量的概率分布从两个变量相交的木质入手。

8•二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定枳分的上下限。

9.求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分(正概率密度区间和所求区域的交集)的枳分。

10.均匀分布用“几何概型”计算。

11.关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变最，密度*1数町分离变量并且正概率密度区间为矩形。

12.二维随机变最的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求。

23.ft!关系数中的E(XY),对于离散型随机变量，根据XY的-•维分布來求：対于连续型随机变量，按照函数的期望來求：|-+00 广+00E(XY)= I I xyf(x,y)dxdyJ—00 丿—824.应用题：设Y为题中要求期里的随机变量，a为题目赧后所求，然后找Y和X的函数关系,再求E(Y) o15.切比雪夫人数定理要求“方差有界”，辛钦人数定理要求“同分布”。

16.似然函数是联介密度或联介分布律。

nt=in厶(8,2，・“,8m)=「|p(X…2,…，九)1/. “无偏”求期匹“何效”求方差，“一尬不管它。

概念网络图随机事件P⑷---------- > 一维随机变量X(s) t分布函数F(x) = P(X<x)t八人分布(04,二项，泊松，超儿何，几何•均匀，指数，正态)T数字特征(期望、方差)泊字化随机事件PQ4B) ----------- —>二维随机变量(X,y)T联合分布F(x,y) =P(X<x,y <y)t两大分布(均匀、正态)t数字特征(期望、方差、协方差、相关系数)/人数定理和中心极限定理T J 四大统计分布(正态、*、t、F)：多维随机变量的函数分布数理统计.参数估计(区间估计，数一)假设检验(数一)六个基本概念1.占典概型(由比例引入概率)2.随机变量和随机事件的等价(将事件数字化)P(4) = P(X = x)P(AB) = P{X = x t Y = y)3.分布函数(将概率与函数联系起來)F(x) = P{X < x)F(x,y) =P(X<x,V <y)4.离散和连续的关系P(X = %) = /(%)dx表示从x到x + dx的范|韦1内的概率值P(X = x t Y = y) = f(x, y) dxdy5.简单随机样本(将概率和统计联系在-起)6.函数1)随机变量的分布函数：描述连续型随机变量的区间概率2)二维随机变量的函数：Z = G(X,y)3)似然函数：來自样本的联合分布L = L(8)绘人似然估计：样本值越大，8越合适选择题常考的五个混淆概念1.乘法公式和条件概率2.独立和互斥：设AH0, B工0，则“A和B互斥”与“A和B独立”，两者相互矛盾。

随机事件相互独立性和两两独立性的探究

随机事件相互独立性和两两独立性的探究作者：刘淑环来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2019年第04期【摘要】通过实例分析事件相互独立与两两独立的本质，展现事件相互独立与两两独立的关系，对学生正确理解并适用事件相互独立具有重要指导作用。

【Abstract】By analyzing the essence of mutual independence and pairwise independence of event through examples， this paper shows the relationship between the mutual independence and the pairwise independence of event， which plays an important guiding role for students to correctly understand and apply the independence of events.【关键词】随机事件；相互独立；两两独立【Keywords】 random events； mutual independence； pairwise independence【中图分类号】O211 【文献标志码】A 【文章编号】1673-1069（2019）04-0181-021 引言随机事件相互独立与两两独立是概率论中非常重要的概念。

对这两个概念的理解，容易出现一些困惑。

例如，事件相互独立是不是事件之间发生没有影响？事件相互独立的本质是什么？多个事件相互独立与两两独立有区别吗？等等。

本文将通过具体实例对这些问题进行探究。

2 事件相互独立的本质定义1：设A和B是任意两个随机事件，如果有P（AB）= P（A） P（B），则称事件A 和B相互独立，简称独立。

否则就称不独立或相依[1]。

关于事件独立性判断，一般都以直觉判断为先导。

概率论与数理统计智慧树知到课后章节答案2023年下安阳工学院

概率论与数理统计智慧树知到课后章节答案2023年下安阳工学院安阳工学院第一章测试1.当事件与同时发生时，事件必发生，则下列结论正确的是（）A: B: C: D:答案:2.已知=（）A:0.1 B:0.5 C:0.2 D:0.3答案:0.53.设事件与满足，则（）A: B: C:是必然事件 D:答案:4.设是两个互斥事件，且则结论正确的是（）A: B: C: D:答案:5.设三个事件两两独立，则相互独立的充要条件是（）A: B: C: D:答案:6.关于独立性，下列说法错误的是（）A:若相互独立，则相互独立 B:若相互独立，相互独立，相互独立，则相互独立C:若相互独立，则其中的任意事件仍然相互独立 D:若相互独立，则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立答案:若相互独立，相互独立，相互独立，则相互独立7.已知则下列结论正确的是（）A:事件互斥 B:事件相互独立 C: D:答案:事件相互独立8.某人投篮命中率为，直到投中为止，则投篮次数为4的概率为（）A: B: C: D:答案:9.从0—9中任意选取三个数字，能“组成只有两位数字相同的三位数”的个数是243个。

（）A:错 B:对答案:对10.若事件满足相互独立关系，则。

（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.设随机变量服从参数为50和的二项分布，则近似服从参数为（）的泊松分布。

A:10 B:1 C: D:50答案:12.设随机变量，则的概率密度（）。

A: B: C: D:答案:3.设随机变量的概率密度为是的分布函数，则对任意实数，有（）A: B: C: D:答案:4.设随机变量，则随着的增大，概率将会（）A:单调增 B:不变 C:不能确定 D:单调减答案:不变5.,则（）A:相互独立 B:对立 C: D:答案:6.设为连续随机变量，则 0。

（）A:对 B:错答案:对7.A:对 B:错答案:错8.设为连续随机变量，则（其中为一实数）。

（）A:错 B:对答案:对9.随机变量，且相互独立，则随机变量～。

概率与统计口诀

�� +∞ �� +∞
�� =
�� =1
�� =
��(��)�� , E Y = E g X
−∞
=
�� =1
g(�� )�� =
→ 两大分布（均匀、正态） → 数字特征（期望、方差、协方差、相关系数）
大数定理和中心极限定理 → 数理统计四大统计分布（正态、χ2 、t、F）：多维随机变量的函数分布参数估计（区间估计，数一）假设检验（数一）
六个基本概念
1. 古典概型（由比例引入概率） 2. 随机变量和随机事件的等价（将事件数字化） �� = ��(�� = ��) �� = ��(�� = ��, �� = ��) 3. 分布函数（将概率与函数联系起来） �� = ��(�� ≤ ��) �� , �� = ��(�� ≤ ��, �� ≤ ��) 4. 离散和连续的关系 �� = �� = ��(��)�� 表示从 x 到 x + dx 的范围内的概率值 �� = ��, �� = �� = �� (��, ��)�� 5. 简单随机样本（将概率和统计联系在一起） 6. 函数 1）随机变量的分布函数：描述连续型随机变量的区间概率 2）二维随机变量的函数：�� = �� (��, ��) 3）似然函数：来自样本的联合分布 �� = �� 最大似然估计：样本值越大，�� 越合适

事件的相互独立性

解记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝45×12＝25， P(B)＝34×23＝12， P(C)＝23×56＝59. 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
PA·[1－PB]＝14，由题设知PB·[1－PC]＝112，
PA·PC＝29，解方程组并舍去不合题意的根，得 P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝23.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.
√D.不是相互独立事件
解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错. 而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
12345
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，
甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
二、相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
解记 A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得 A 与 B，A 与 B ， A 与 B， B 与 A 都是相互独立事件，且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. 记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.

概率论作业

概率论作业本姓名：任课教师：专业：班级：学号：黑龙江八一农垦大学文理学院数学系第一章随机事件与概率1、设C B A 、、为已知事件，用C B A 、、表示以下事件:(1) 不发生发生，、C B A (2) C B A 、、都不发生(3)C B A 、、至少有一个发生 (4) C B A 、、恰有一个发生(5) C B A 、、至多有一个发生（6）C B A 、、至少有两个发生2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。

从中任取10件，试求：（1）样本空间所含基本事件个数n 。

（2）设"10"1件全是合格品所取=A 所含基本事件个数1m 。

（3）设"10"2件恰有两件次品所取=A 所含基本事件个数2m 。

3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。

4、一盒中装有60个零件。

其中甲厂生产的占31，乙厂生产的占32。

现随机地从盒中取3 个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。

5、一份试卷上有6道试题。

某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。

试求：（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。

（2）这4处错误发生在不同题上的概率。

（3）至少有3道题全对的概率。

6、将数字54321、、、、写在5张卡片上。

任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概率。

7、将4个小球随机地投入3个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。

8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？9、,B A ⊂5.0)(,1.0)(==B P A P ，试求)(),(),(B A P B A P AB P ⋃⋃。

10、6.0)(,3.0)(==B P A P ，7.0)(=⋃B A P 。

求)()(B A P B A P 和。

11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为875.0，试求该射手在一次射击中命中的概率。

12、五名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是8.0。

三个事件两两独立和相互独立的式子

三个事件两两独立和相互独立的式子概念解析在概率论中，三个事件两两独立和相互独立的式子是指在给定任意两个事件发生时，第三个事件的发生与之前两个事件的发生无关。

这个概念非常关键，能够帮助我们更好地理解事件之间的关联性和独立性。

在本文中，我将从深度和广度两个方面对这个概念进行全面探讨，希望能够帮助读者对此有更清晰的认识。

一、从简到繁：深度探讨三个事件两两独立和相互独立的式子1. 三个事件两两独立和相互独立的式子的定义对于三个事件A、B、C，如果任意两个事件A和B、A和C、B和C都是独立事件，那么称事件A、B、C三者相互独立。

2. 三个事件两两独立和相互独立的式子的性质在独立事件的情况下，事件A与事件B的乘积与另外两个事件的乘积相等，即P(AB) = P(A) * P(B) = P(AC) = P(A) * P(C) = P(BC) = P(B) * P(C)。

3. 三个事件两两独立和相互独立的式子的应用这样的性质在实际问题中有着广泛的应用，比如在概率统计、风险管理、工程决策等方面都有着重要的作用。

二、由浅入深：广度探讨三个事件两两独立和相互独立的式子1. 三个事件两两独立和相互独立的式子的数学推导假设事件A、B、C有三重独立性，即P(AB) = P(A) * P(B)，P(AC) = P(A) * P(C)，P(BC) = P(B) * P(C)，我们可以通过概率的基本公式进行推导，得出三个事件两两独立和相互独立的式子的数学表达式。

2. 三个事件两两独立和相互独立的式子的案例分析举一个简单的例子来帮助读者更好地理解这个概念：假设A表示抛硬币正面朝上的事件，B表示掷骰子点数为偶数的事件，C表示摸牌抽到红桃的事件，那么这三个事件是否都是两两独立事件呢？3. 三个事件两两独立和相互独立的式子的实际意义在现实生活中，我们经常会遇到多个事件同时发生或者相互影响的情况，了解三个事件两两独立和相互独立的式子对我们正确理解和分析这些事件至关重要。

事件的相互独立性

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(3)解法一记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件 E 包括 A B， A B ，AB，且它们彼此为互斥事件． ∴ P(E) ＝ P( A B ∪ A B ∪ AB) ＝ P( A B) ＋ P(A B ) ＋ P(AB) ＝ 0.5×0.6 ＋ 0.5×0.4 ＋ 0.5×0.6＝0.8. 解法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． ∴P(E)＝1－P( A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
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判断事件是否相互独立的方法： (1)定义法：事件 A，B 相互独立⇔P(AB)＝P(A)· P(B)． (2)利用性质：A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
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1．判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N：“出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点”；事件 B：“出现 3 点或 6 点”．
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求相互独立事件同时发生的概率： (1)求相互独立事件同时发生的概率，运用公式 P(AB)＝P(A)P(B)．在解决问题时，要搞清事件是否相互独立，同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理，并注意运用对立事件把问题简化． (2)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件发生的概率，再求其积．

事件的独立性讲义

例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1+A2+A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1+A2+A3)
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,
……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是 RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)n
Ⅲ 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。 n>1时，2-rn<(2-r)n，
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。（1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷得奇数点”，问A,B是否独立？独立。（2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷得奇数点”，问A,B是否独立？不独立。
P(AB)= P(A)P(B)
四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C)
成立,则称事件
P(BA)P(B)P(C) 独立。
其中，前三个等式成立时，称A、B、C两两
独立。
如: 将一枚骰子掷两次,设
A：“第一次掷得偶数点”，
B：“第二次掷得奇数点”， C：“两次都掷得奇数或偶数点”。容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 于是

两两独立一定相互独立吗？

概率与统计口诀

随机事件相互独立性和两两独立性的探究

概率论与数理统计智慧树知到课后章节答案2023年下安阳工学院

概率与统计口诀

事件的相互独立性

概率论作业

三个事件两两独立和相互独立的式子

最新人教B版高中数学必修第二册第五章5.3.5 随机事件的独立性

事件的相互独立性

事件的独立性讲义