求解Helmholtz方程和Maxwell方程组 的平面波最小二乘方法
16平面电磁波
2. 理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量 亥姆霍兹方程
∇ 2 E (r ) + k 2 E (r ) = 0 2 ∇ H (r ) + k 2 H (r ) = 0
若电场强度E 有关， 无关， 若电场强度 仅与坐标变量 z 有关，与 x , y 无关，则电场强度不可 分量。 能存在 z 分量。 方向， 令电场强度方向为 x方向，即 E = e x E x ，则磁场强度 H 为 方向
∂E x ∂E y ∂E z ∂E z ∇⋅E = + + = ∂x ∂y ∂z ∂z ∇ ⋅ H = ∂H x + ∂H y + ∂H z = ∂H z ∂x ∂y ∂z ∂z
因在给定的区域中， 因在给定的区域中， ⋅ E = 0, ∇ ⋅ H = 0 ，由上两式得 ∇ 考虑到
图 6-1 均匀平面电磁波的传播
时间相位变化 所经历的时间称为电磁波的周期 周期， 表示， 时间相位变化 2π 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而 的次数称为频率 频率， 表示。 一秒内相位变化 2π 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 ωT = 2π的关系 式，得 2π 1 T= = ω f 所经过的距离称为波长 波长， 表示。 空间相位 kz 变化 2π 所经过的距离称为波长，以 λ 表示。那么由关 系式 kλ = 2π，得 2π λ= k 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性， 波长描述相 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 频率是描述相位随时间的变化特性 位随空间的变化特性。 空间的变化特性 位随空间的变化特性。 由上式又可得
H= =
j
ωµ
j
Helmholtz方程的一类最小二乘混合有限元解法
维普资讯
第 １ 期
柏 自强 ： ｌ ｏｔ 方程 的一 类最 小二 乘混 合有 限元 解法 Ｈｅｍｈ ｌ ｚ
Ｊ（ ，声 Ｈ ）一 （ ｉ ｄｖ 是 声 ｆ，ｄｖ 一 是 声＋厂） （ ｇａ ￣ ＋ ｇａ ￣ ｕ一 。 ＋ ｉｕ 。 ＋ Ｈ＋ ｒｄ ，Ｕ ｒｄ ）
ｌ ｒ ０ ｉ ｌ ａ 一 ｎ ＋ｇ ｄ ｎ｝
ｏ ｒｊ ｎ
（） ２
ｎ八 ｕ— ｎｕ ～ ｎ ｕ — ０ ｏ ｒＪ １２ ２１ ｎ
． ） ／
２ 问题 的最 小 二 乘 逼 近
收 稿 日期 ： ０ ６ ９ ４ ２ ０ —０ —０
作者简介 ： 自强 （９ １ ）男 ， 柏 １ ８ 一 ， 山东章丘人 ， 硕士 ， 研究方 向为微分方程数值解法 。
ｊ ｕ ） （ｕｌ， ｕｌ） （ｉ 一是声 （ ， 一 ｃｒ ｃｒ ＋ ｄ ｕ 。 ＋ｆ ｄ ｕ 。 ＋－ ＋ （ ＋ｇａｅ Ｕ ｒ ） ｕ ｕ ｖ ， ｉ 一忌乒 厂 ｖ ） Ｈ ｒｄ ， ＋ｇＭ￣
对应 口 ・ ；・ ）的双 线性 形式 可做 修改 如下 ： （ ，・ ，・
ａ Ｈ， ； ， ）一 （ ｕ ｌ （ ｃ ｒｕ，ｃ ｒｖ ＋ ａ（ ； ， ） ｕ ｌ） Ｈ，
Ｗ — Ｗ ｛ ！ｌ八 一 ０ ｏｌ 工 ｎ Ｗ１ｎ ， ｒ １ ｝
对 应模 定义 如下
ｌ（ 一 ｌ㈤ ｌ， （ ｌｌ ｌ １
。 ｌ ｉ 。 ＋ ｌｖ ｖ ｄ ，
Ｉ ｌ （ ） ｌ ｌ， ＋ ｌ ｕｌ ｌ， ， ｌ ｌ 一 ｌ ｌ ｎ ｌ ｒ ３ ３ ｖｌ ｎ ｃ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
） ｌ ， ＋ ｌ ｉ ３ ＋ ｌ ｕｌ ｌ， ： Ｉ ｖ ｎ ｌ ｖ ｌ， ｖｌ ｎ ｌ ｒ ３ ｄ ｙｌ ｎ ｃ
Helmholtz方程的微分容积解法
u（0，y）= u（1，y）= u（ x，0）= u（ x，1）= 0 （12）
该问题的精确解为 u（ x，y）= sin!xsin!y，今将其 数值解与精确解的最大绝对误差随配点增加而减 小的情况绘于表 2。可以看到，当配点数等于 85 时 数值解的精度就已很好，再增加配点数时精度改善 不太明显，最大绝对误差的量级并没有改变。文［4］ 曾用最小二乘有限元法求解该问题，该文中当采用 11 X 11 网格时最大绝对误差为 0 . 6223 X 10-2，可见 本文方法具有很好的效率。
"U "I
=
Ix
"U "x
+
Iy
"U "y
（6c）
其中 Ix 和 Iy 为边界外法线的方向余弦。令
!l
=
"2 "x2
+
"2 "y2
+
I2
（7a）
!2
=
Ix
" "x
+
Iy
" "y
（7b）
利用前面所述的 DC 方法，在域内每个点上将控制 方程离散，式（4）可写为
I
# c（il）U = （f xi，yi）； i = l，2，…，m （8） =l
I=3 …… …… …… …… …… 0.261745 X 10 - 1 0.363223 X 10 - 2 0.365371 X 10 - 3 0.367155 X 10 - 4 0.135777 X 10 - 4
I=4 …… …… …… …… …… …… …… 0.139331 X 100 0.215117 X 10 - 1 0.873958 X 10 - 2
基于Matlab求解时谐复系数弹性波方程的平面波最小二乘法
袁 龙，等：基于 Matlab 求解时谐复系数弹性波方程的平面波最小二乘法
89
数值结果。为了克服传统有限元求解弹性波方程固有 的缺点，人们提出了很多改进方法[10-12]。目前，一类 用来求解中高频弹性波方程的平面波方法在工业界和 数学界比较流行。平面波方法的核心思想是利用满足 无约束弹性波方程的精确解作为方程的逼近基函数， 比如平面波函数、贝塞尔函数、格林函数。大量的数 值实验表明，与其他离散化方法相比，在达到相同精 度的条件下，平面波方法使用了相对较少的自由度； 等价地，在使用相同自由度的条件下，平面波离散化 方法具有较高的精度。
YUAN Long, ZHAO Maoxian
(College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)
Abstract: Engineering problems, such as elastic wave transmission, can be described by the elastic wave equation. Research on efficient numerical algorithms for solving elastic wave equations is an important topic. A discontinuous Galerkin least-squares method based on plane wave discretization is proposed. First, by the minimization of the energy functional, the equivalent Trefftz variational formulation is obtained, and the two-dimensional vector plane wave discretized space is defined in order to discretize the proposed continuous variational formulation. Finally, the elastic wave is divided into the compressional wave and shear wave, and error estimates of the approximate solutions generated by this method is derived by the plane wave approximation theory. Numerical results based on Matlab verify the validity of the theoretical results and indicate that the convergence order of the approximations with respect to p turns out to be exponential. Key words: elastic wave equations; least-squares method; plane wave
基于Helmholtz方程最小二乘法声全息复杂结构振动噪声响应分析
基于Helmholtz方程最小二乘法声全息复杂结构振动噪声响应分析Sean F.Wu;Logesh Kumar Natarajan【期刊名称】《汽车工程学报》【年(卷),期】2011(001)004【摘要】论述了以车身模型为例的复杂结构声振响应的分析方法.分析的目的是为了识别对车内声场的声压有关键贡献的板件.为此,本文采用基于Helmholtz方程最小二乘法的近场声全息(NAH)技术,利用对任意形状的表面进行近场的声压测量结果对结构表面的振动噪声响应进行重构.首先,对部件表面法向振动速度和表面的声压分布进行了重构,其次计算了部件表面声强分布以及每个部件的声功率流与车内任意一点声压的相关程度.每个部件对车内一点声压的相对贡献取决于板件到该点的声功率流.利用基于HELS近场声全息只需要进行一组声压测量就可以对板件的结构噪声进行分析,并且能够进行板件相对贡献量的研究.本文的分析结果得到了试验结果的证明,验证试验是在全消声室内进行的.【总页数】11页(P237-247)【作者】Sean F.Wu;Logesh Kumar Natarajan【作者单位】韦恩州立大学机械工程系密歇根底特律48202 美国;韦恩州立大学机械工程系密歇根底特律48202 美国【正文语种】中文【中图分类】O422.2【相关文献】1.复杂结构全频段声振综合响应分析 [J], 秦朝红;任方;王英诚;原凯;刘振皓;张忠2.再入飞行器复杂结构随机振动响应分析研究 [J], 徐孝诚;王成华;韩增尧3.阻尼模型对复杂结构水管桥地震响应分析的影响 [J], 毕继红;王云蕾;关健4.复杂结构随机动力响应分析 [J],5.基于Helmholtz方程最小二乘法的声场重构 [J], 雷宣扬;陈进;张桂才;陈少林因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
二维helmholtz方程的边界点解法
二维helmholtz方程的边界点解法
边界点解法可以用来解决二维Helmholtz方程。
它的工作原理是，首先，在Helmholtz方程定义的边界上，确定方程的边界条件。
比如，如果边界是一个矩形，我们可以确定四个角点的边界条件。
然后，使用有限差分或有限元方法来解决Helmholtz方程，并使用边界条件来约束解。
有时，还可以使用积分方法来解决这个问题，但效率通常不高。
边界点解法可以用来解决复杂的物理系统，比如电磁场、声学场和热力学场。
它的优势在于可以解决复杂的边界条件，比如不规则形状或多孔介质。
另外，它还可以用来计算多种物质场的耦合，比如电磁场和热力学场。
边界点解法主要有两个缺点：一是它的计算效率较低，二是它的精度不高。
在复杂的物理系统中，边界点解法的精度往往不够高，所以在实际应用中，往往需要结合其他方法，比如有限元法或谱方法，来提高解的精度。
总的来说，边界点解法是一种用来解决二维Helmholtz方程的有效方法，它可以解决复杂的边界条件，但是它的计算效率和精度都不高，因此，在实际应用中，还需要结合其他方法来提高解的精度。
Helmholtz方程的一类最小二乘混合有限元解法
Helmholtz方程的一类最小二乘混合有限元解法
柏自强
【期刊名称】《青岛大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(020)001
【摘要】通过将Helmholtz方程变化为一阶线性系统,并考虑此线性系统余量与真解的关系,给出了对方程的一类最小二乘混合有限元方法.最小二乘混合元方法可以避免标准混合元格式中的限制条件,从而可以在更广泛的范围内选择有限元空空间.文章提出了解决问题的有限元格式,证明了离散解的存在性唯一性,并给出了误差的H(div),H1模估计.
【总页数】5页(P26-30)
【作者】柏自强
【作者单位】青岛大学,数学科学学院,青岛,266071
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.基于Helmholtz方程最小二乘法声全息复杂结构振动噪声响应分析 [J], Sean
F.Wu;Logesh Kumar Natarajan
2.基于核重构的最小二乘配点法求解Helmholtz方程 [J], 史宝军;袁明武;舒东伟
3.移动最小二乘微分求积法解Helmholtz方程 [J], 周敏娟;宋振水
4.一类非线性最小二乘问题的一种解法 [J], 任德伦;杜文瑞
5.基于Helmholtz方程最小二乘法的声场重构 [J], 雷宣扬;陈进;张桂才;陈少林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第15讲 用有限元法解亥姆赫兹方程
%对称点的标号(m+1)*(2*Nh-1)+(Nh-n-1)
对上述代数方程的求解要用到求解广义特征值 的方法，求解广义特征值的方法是将正定的对称 实矩阵H分解为
H L • LT
则上述矩阵方程可以化为
[L1K (L1)T I ]• (LT ) 0
该方程与原矩阵方程具有相同的特征值，且转化成为 求普通的矩阵特征值问题。
2.强加边界条件的处理
当遇到强加边界条件时，上面的代数方程中Φ 的某些分量是已知的，这时对方程的求解可以采 用两种处理方法。
m
J () J e ()
1
则泛函到达极值时，应该有
J e 0
i i
采用简单的三角形单元分割定义域，则有
J e
i
J e
i
J e
kii k ji
kmi
kij k jj kmj
kim k jm
hii h ji
kmm hmi
hij h jj hmj
him h jm
%对称区水平方向节点数
Nv1=ceil((Nh2-1)*ar1/ar3+1); %1、2区垂直方向节点数
Nv3=ceil((Nh1-1)*ar5/ar3+1); %5、6区垂直方向节点数
Nv=Nv1+Nv2+Nv3-2;
%垂直方向的总节点数
x1=linspace(0,a,Nh1)/a;
y2=linspace(h,0,Nv2)/a;
nw=3.38;
%waveguide refractive index
ns=3.17;
%substrate refractive index
w=1.55;
%wavelength:um
Helmholtz方程的一类最小二乘混合有限元解法
@>
问题的最小二乘逼近
考虑如下最小二乘函数，这是由考虑系统余量得到的，
$ $ $ 收稿日期： !""/
$ $ $ 作者简介：柏自强 （ #13# ） ， 男， 山东章丘人， 硕士， 研究方向为微分方程数值解法。
万方数据
"1
"2
第! 期
柏自强："#$%&’$() 方程的一类最小二乘混合有限元解法
万方数据 亦即剖分参数。 表示最大剖分半径， 假设为逼近 " 和 % 所做的有限元剖分是相同的。
第! 期
柏自强："#$%&’$() 方程的一类最小二乘混合有限元解法
! 令 0 % 1（ ， 问题式 （ 4 ）存在唯一解 " % %，% % &。 #） ! 令 0 % 1（ ， 问题式 （ && ）存在唯一解。 #）
（ !& ）
()
误差估计
现在定义逼近空间 & 及 % 的有限元空间。 用 * 2 表示对区域 # 进行的有限元剖分， 亦即 # ’ ( #。 令2
3% 4 2
45)67()89 方程的一类最小二乘混合有限元解法
柏自强
（ 青岛大学 数学科学学院，青岛 !//"%# ） 并考虑此线性系统余量与真解的关 摘要：通过将 45)67()89 方程变化为一阶线性系统， 系， 给出了对方程的一类最小二乘混合有限元方法。最小二乘混合元方法可以避免标准 混合元格式中的限制条件， 从而可以在更广泛的范围内选择有限元空空间。文章提出了 （ :;< ） ，!# 模 解决问题的有限元格式， 证明了离散解的存在性唯一性，并给出了误差的 ! 估计。 关键词：最小二乘；有限元；混合元；45)67()89 方程 中图分类号：=!2#* 3!$ $ $ $ 文献标识码：>
第八章 平面电磁波
k 称为传播常数
2、亥姆霍兹方程的解
直角坐标系中，电磁场复矢量各分量满足标量齐次亥姆霍兹方程
2Ei k 2Ei 0 2Hi k2Hi 0
以 x 分量为例，利用分离变量法求解，令
Ex f (x) g( y) h(z)
则有
( ) 2 2 2
x2 y2 z2
Ex k 2Ex 0
定于媒质的电磁参数。
真空中 ④结论：
0
0 120 377 ( ) 0
x
Ex Emx cos( t kz x )
a. 振幅与场点位置无关
b.在时间上 E, H 同相
c.在空间上 E H
y
z H y H my cos( t kz x )
图8.2 理想电介质中的均匀平面电磁波
4、电磁波的基本参数
k
t
k
所以波峰的平移速度为
vz 1 t k
★真空光速
c 1 3 108 (m / s)
0 0
5、波矢量
当选择 k
zˆk 时，其电场的瞬时表达式为 Em
cos( t
kz)
，表示
一个向 zˆ方向传播的正弦电磁波；而当 k xˆk 和 k yˆk 时，
则分别表示向 xˆ 和 yˆ方向传播的正弦电磁波。
nˆ
k
(xˆ
yˆ
1 2
zˆ)
2
xˆ
2
yˆ
1
zˆ
k
3 / 2
333
②求波长、频率和角频率
2 4 (m)
k3 f c 3108 2.25108 (Hz)
4/3
2 f 4.5 108
③求电场瞬时值
(rad/s)
电场的复矢量为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求解Helmholtz方程和Maxwell方程组的平面波最小二乘方法
袁龙
摘要
众所周知，工程应用问题，比如声波传输、电磁波传输，都可以用Helmholtz方程或Maxwell方程组来描述。
研究求解Helmholtz方程和Maxwell方程组的高效数值算法是一个重要的课题。
本论文主要研究求解Helmholtz方程和Maxwell方程组的平面波最小二乘方法和求解相应离散系统的快速算法，主要包括以下三个方面的工作：
首先，针对UWVF方法，构造了其离散系统的区域分解预条件子。
数值结果验证了该预条件子在2维和3维情形下都是有效的。
其次，提出了求解Helmholtz方程和Maxwell方程组的平面波最小二乘方法，方法的优点是对实波数和复波数情形是一致有效的。
具体内容包括：
（1）针对有界区域情形证明了逼近解的误差估计，该误差不受p污染；
（2）构造了求解非齐次方程的有限元-平面波算法并证明了逼近解的误差估计；
（3）与完全匹配层结合，将新方法推广到求解无界区域问题；
（4）构造了求解离散系统的区域分解预条件子；
（5）做了大量数值试验验证了理论结果的正确性和算法的高精度。
最后，在JASMIN框架下并行实现了平面波最小二乘方法。
数值结果表明本文所构造的区域分解预条件子对大波数情形是很有效的。
1。