人教版八年级下册数学(新)-第十七章-勾股定理第1节《勾股定理(1)》参考教案
人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理17.1.1勾股定理(教案)
至于学生小组讨论环节，我发现学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有很多自己的想法，这是一个很好的现象。但同时，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖别人，缺乏独立思考的能力。针对这一点，我计划在接下来的课程中，多设计一些开放性问题，鼓励学生发表自己的观点，提高他们的独立思考能力。
最后，在总结回顾环节，我觉得学生对勾股定理的基本概念和应用的掌握程度还是不错的。但我也意识到，仅仅依靠课堂上的学习是远远不够的，还需要学生在课后进行巩固。因此，我打算在课后布置一些与勾股定理相关的练习题，让学生在实践中进一步巩固所学知识。
5.培养学生团队合作和交流表达的能力，通过小组讨论、分享证明勾股定理的方法，提升数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-勾股定理的概念及其表述：使学生明确勾股定理是直角三角形三条边长度关系的表达，理解其数学表达式a²+b²=c²。
-勾股定理的证明方法：通过拼贴法和代数法，让学生掌握证明勾股定理的过程，理解其逻辑推理。
-勾股数的识别与应用：使学生能够判断并运用勾股数解决实际问题。
-实际问题的解决：培养学生将勾股定理应用于解决生活中的直角三角形问题。
举例：在讲解勾股定理的应用时，重点强调如何将实际问题抽象为直角三角形问题，并运用勾股定理求解。
2.教学难点
-勾股定理的理解：学生可能对a²+b²=c²这一表达式中的平方概念理解不深，需要通过具体实例和图形进行讲解。
人教版八年级数学《勾股定理》教学设计
人教版八年级数学《17.1勾股定理》教学设计一、教材内容人教版八年级下册第十七章第一节《17.1勾股定理》。
二、教材分析勾股定理被誉为“几何的基石”，作为初中阶段的重要定理之一，有着及其广泛的应用。
它将数与形巧妙的结合到了一起，既是论证几何的基础，又是度量几何的入门。
本节课在教材中有着承上启下的作用，学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，也为以后学习四边形、解直角三角形等知识奠定基础。
新课程标准强调“数学课程应帮助学生了解数学在人类发展史中的作用”，通过学习，让学生能够了解勾股定理的发展史，进一步了解勾股定理的数学价值和东西方数学文化。
三、教学目标依据新课程标准，教材的内容及学生的实际，确定本节课的教学目标为：1.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单实际问题。
2.经历探索及验证勾股定理的过程中，了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯感受数形结合和从特殊到一般的思想方法。
3.通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生爱国热情，让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满探索和创造，体验数学的美感，从而了解数学，喜欢数学。
四、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
五、教学重点、难点【教学重点】经历探索及验证勾股定理的过程，并能用它来解决一些简单的实际问题。
【教学难点】用拼图方法证明勾股定理。
【突出重点、突破难点的方法】发挥学生的主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索、在探索中领悟、在领悟中理解。
六、教学过程教学环节教学内容活动和意图课前预学1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？2.由上图，你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？（如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c）通过课前预学中包含的对以往知识的回顾，提高学生对新课内容的熟悉度和接受度。
2023-2024学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理 勾股定理的应用(1) 课件
知识点❷ 勾股定理之风吹荷花模型
典例2 (教材P29习题T10·改编)如图，有一个水池，水面是一
个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水
面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到
达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意，得x2＋
∵BO＝0.7 m，BC＝0.8 m，
∴CO＝1.5 m．
在Rt△DOC中，DO＝ － ＝ . －. ＝2(m)．
∴AD＝AO－DO＝2.4－2＝0.4(m)．
答：梯子的顶端沿墙下滑了0某社区要在如图所示AB所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处，
∴AB＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ≈43.4．
答：两孔中心的距离约为43.4 mm．
3．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从
C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB
是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
解：由题意知CB＋AC＝8，∠CBA＝90°，
△ABC恰好为直角三角形(∠ABC＝90°)．通过测量，得到AC
＝130 m，BC＝120 m，则A，B之间的距离是多少？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AB2＝AC2－BC2＝1302－1202＝2 500．
∴AB＝50 m．
答：A，B之间的距离是50 m．
3．小刚欲从点A出发划船横渡一条河，由于水流的影响，
课堂检测
1．(教材P25例1·改编)如图所示的是一个长为2
m，宽为1.5 m的长方形门框，光头强有一些薄
木板要通过门框搬进屋内．在不能破坏门框，
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
精品课件：人教版八年级下册数学第十七章17.1勾股定理(1)
用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归 纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验 证自己的发现。
达标测试
１、如图,一个高3 米,宽4 米 的大门,需在相对角的顶点间
加为一( C个)加固木条,则木条的长３
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
2、已知：Rt△ＡBC中，AC＝４，
解： ACB 90
AB2 AC2 BC2
AB AC2 BC2 42 32
25 5
A 4米
C 3米
B
AB AC 5 4 9
3、国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明 妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85 厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为 什么吗？~
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
Aa
C c b B
SA+SB=SC 探
SA=a2 SB=b2
索 勾
SC=c2
股
a2+b2=c2
定 理
如果直角三角形的两条直角边长分
探 别为a,b，斜边长为c，那么c2=a2+b2.
索
弦
勾
勾a
c股
定
b股
理
试一试?
请利用此图象，证明勾股定理：
a2+b2=c2
AC2 BC2 AB2
AC BC2 AB2
62 82 100
10
B
C
BC 8
课堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C=900 .
（1）若a=5，b=12， 则c =__1__3__.
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理 (第1课时)》公开课课件.ppt
第十八章勾股定理
zxxkw
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18.1勾股定理（第1课时）
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读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
相传在2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系，我们一起来观察 图中的地面，看看能发现什么。
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毕达哥拉斯 (公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
C A
B
图1—2
（2）观察图1—2：
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积；
人教版八年级数学课件《勾股定理》
仍成立?说明理由.
解: (1) 成立.理由如下:
1
2
1
2
8
1
2
1
2
8
1
2
1
2
8
S1= ×π( a)2= a2, S2= ×π( b)2= b2
S3= ×π( c)2= c2
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3
即(1)中的结论仍然成立.
纸片，把它们按图②放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无
4
缝隙)，则图②中阴影部分面积为______.
达标检测
人教版数学八年级下册
11.设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
2
2
2
a 2 b2 c2
知识精讲
人教版数学八年级下册
命题1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么
a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
这样我们就证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理.(我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，
24
△ABC的周长是_____.
达标检测
人教版数学八年级下册
8.如图(3)，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1, EC=2,则正方形
ABCD的面积为_____.
3
-4
9.点P(a,3)在第二象限，且到原点的距离是5，则a=____.
17.1利用勾股定理作图或计算(教案)2023-2024学年八年级下册数学人教版(安徽)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的作图实验。学生将利用尺子和直角三角板，在纸上按照勾股定理作出直角三角形，并验证定理的正确性。
2.利用勾股定理进行作图：教授学生如何利用勾股定理在平面直角坐标系中作出直角三角形，以及如何根据给定的一条直角边和斜边求出另一条直角边的长度。
3.利用勾股定理进行计算：通过典型例题，让学生掌握如何运用勾股定理进行计算，包括求斜边长度、直角边长度等。
4.实际问题中的应用：结合生活实例，让学生学会将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生问题解决和数学应用能力：结合实际问题，引导学生运用勾股定理解决生活问题，提高学生的问题解决能力和数学应用意识。
4.培养学生合作交流与反思总结能力：在学习过程中，鼓励学生分组讨论、交流心得，培养学生合作交流能力，并在练习过程中学会反思总结，不断提高自身数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论并不充分，部分学生参与度不高。针对这个问题，我想在下次课中尝试采用更多样的教学方法，如小组竞赛、角色扮演等，以提高学生的参与度和积极性。
此外，在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有关勾股定理在实际生活中的应用，但有些观点较为局限。为了拓宽学生的思路，我计划在今后的教学中，引入更多实际案例，让学生了解到勾股定理在各个领域的广泛应用。
17.1利用勾股定理作图或计算（教案）2023-2024学年八年级下册数学人教版（安徽）
2021年人教版八年级数学下册第17章《勾股定理(1)》公开课课件.ppt
理 的
（3）已知c=25，c=b1=315，求a.
解：由勾股定理
b
探
得
究
a2+152=252
a=20
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课件制作：徐志才
三、研读课文
知 识
1、赵爽弦图利用了__面__积___关系
点 进行勾股定理的证明.
二
勾 2、剪4个全等的直角三角形，拼
股 成如图图形，其中直角三角形的
探
究
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三、研读课文
知 2、设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜
识 边长为c.
点 （1）已知a=6，c=10，求b；
一
解：由勾股定理，得 62+b2=102
勾 股
b=8
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得
a
c
定
52+122=102
b
a
a
ab
a2
b
b2
ab
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二、学习目标
1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾 股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理；
2、介绍我国古代在勾股定理研究方面 所取得的成就，激发爱国热情，勤奋 学习.
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新课引入 学习目标 研读课文 归纳小结 强化训练
引导学生读懂数学书课题 历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细.
研究成果配套课件
--培根
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理（1）
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17.1勾股定理（1）
教学目标
知识与技能：
体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.
过程与方法：
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.。
通过数学活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果．
情感态度与价值观：
（1）在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
（2）使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣.
（3）在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情．（4）通过介绍勾股定理在中国古代的历史，激发学生的民族自豪感.
教学重点：
（1）探索和验证勾股定理.；（2）通过数学活动体验获取数学知识的感受。
教学难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．。
教学流程安排
创设情境活动1：
章节引入
欣赏图片
引入课题
探
索
研
讨
活动2、3、：
探索勾股定理
活动4：
证明勾股定理
定
理
应
用
活动5：
练习1、2
小
结
第十七章-勾股定理第1节《勾股定理(1)》
教学过程设计
一、创设情境，引入课题
活动1:
欣赏图片：2002年国际数学家大会的会标
师生互动：教师提出问题，同学听说过勾股定理吗？
板书课题：17.1勾股定理（1）
二、探索研讨
1、探索勾股定理
活动2：
问题（3）相传2500年前，古希腊数学家毕达
哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形
三边之间的某种数值关系
（1）我们也来观察一下你有什么发现？
（2）是不是所有的等腰直角三形三边都有这样的关系呢？请同学们看探究材料，观察图一、图二你得出什么结论？
（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点?
师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。
活动3：
类比上述方法运用探究材料在图三、图四的网格上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。
若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，
那么正方形A、B、C的面积为多少？你能从中发现什么结论呢？
师生互动：教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。
1、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上结论呢？
命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，
斜边为c ，那么222c b a =+
师生互动：教师提问，学生概括回答，教师板写结论。
2、证明勾股定理
活动4：
看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．
c 2 = b 2 -2ab+ a 2+2ab
化简得： c 2 =a 2+ b 2．
请同学们拿出探究材料中的四个全等的直角三角形图五，以小组为单位，类比以上方法用另一种拼图的方法验证这个命题。
师生互动：教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。
播放视频，了解勾股定理的有关历史。
三、应用
活动5：
2.求下列图中表示边的未知数x 、y 、z 的值.
3.求下列直角三角形中未知边的长:
练习1、如图，在在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
①若a=12,b=5,则c等于多少？
②若a=6,c=10,则b等于多少？
③若b=7，c=8则a等于多少
2.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4 ,
求：S5 、S6 、S7的值.
3.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为( )
A.3 米
B.4 米
C.5米
D.6米
师生互动：学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。
练习4、如图，大风将一根24米高的木制旗杆,在离地面9米处吹裂，随时都可能倒下，十分危急。
接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。
现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？
师生互动：教师引导学生分析题意，思考，帮助学生数学建型，并提问学生用什么办法来判断？学生思考、回答、动手操作解决问题；教师巡视引导，展示学生解答结果，师生共同评价。
四、课堂小结
请同学畅所欲言谈谈本节课的收获
师生互动：教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。
五、布置作业
课本P28，习题17.1第1、2题。