2015-2016学年高中数学必修一(北师大版) 实际问题的函数建模 作业Word版含答案
高考数学一轮复习 29实际问题的函数建模课时作业 文 北师大版
第9讲实际问题的函数建模基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1)A．一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.答案 A3．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11 C．13 D．21解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥ 2 x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号，所以选A.答案 A4．(2014·孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.答案 B5. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元B．20元C．30元 D.40 3元解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k2t ，当t ＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15，t ＝150时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.答案 A 二、填空题 6.(2014·江西六校联考)A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________小时，AB 间的距离最短． 解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.答案2587．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b)3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.答案 168.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，Smax ＝400. 答案 20三、解答题 9．(2014·郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元． 则R(x)＝40x －y ＝40x －x25＋48x －8 000＝－x25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x ＝210时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元， 则由题设得L ＝Q(P －14)×100－3 600－2 000， 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P≤20），－32P ＋40 （20＜P≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P≤20），⎝⎛⎭⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P≤26）， (1)当14≤P≤20时，Lmax ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P≤26时，Lmax ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫， 依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为 y ＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( )A.12B.14C ．2D.18解析 由题目可知加密密钥y ＝kx3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x3，显然令y ＝1256，则1256＝132x3，即x3＝18，解得x ＝12.答案 A12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为 ( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14 解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y)，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A 13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N ＋)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x －x2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)． 解析 当0＜x≤20时，y ＝(33x －x2)－x －100＝－x2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋)．当0＜x≤20时，y ＝－x2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，ymax ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋32x －100，0＜x≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N ＋) 1614．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t ＋21－t(t≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x≥1，则x ＋1x ＝52，即2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0＜x≤1，∴m ≥2(x －x2)， 由于x －x2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
【学案导学设计】高中数学 第四章 第2节 实际问题的函数建模课时作业 北师大版必修1
§2实际问题的函数建模课时目标 1.掌握几种初等函数的应用.2.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法.3.了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)描点；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解决实际问题．一、选择题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：A．75 B．100C．150 D．2002．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．290元 D．280元3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A．减少7.84% B．增加7.84%C．减少9.5% D．不增不减4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )5．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.332cm 2 B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 26．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝14二、填空题7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y (头)与时间x (年)的关系可以近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 三、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位为：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：y ＝ax ＋b 或y ＝a x ＋b (a ，b 为常数，且a >0)来模拟这种电脑元件的月产量y 千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2 实际问题的函数建模作业设计1．A [由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的关系式为y ＝300·2x(x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75.]2．B [由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b ，将(1,800)，(2,1 300)代入得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300.] 3．A [设某商品价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，即减少7.84%.] 4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画， 故选A.]5．D [设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm.∴S ＝34(x 3)2＋34(4－x 3)2＝318(x －6)2＋23≥2 3.]6．A [由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180.∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.] 7．2 250 [设每台彩电的原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8－x ＝270，解得x ＝2 250(元)．] 8．400解析 由题意，x ＝1时y ＝100，代入求得a ＝100,2000年年底时， x ＝15，代入得y ＝400. 9．2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12k e ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.10．解 设每床每夜租金为10＋2n (n ∈N )，则租出的床位为 100－10n (n ∈N 且n <10)租金f (n )＝(10＋2n )(100－10n )＝20[－(n －52)2＋2254]，其中n ∈N 且n <10.所以，当n ＝2或n ＝3时，租金最多， 若n ＝2，则租出床位100－20＝80(张)； 若n ＝3，则租出床位100－30＝70(张)； 综合考虑，n 应当取3，即每床每夜租金选择 10＋2×3＝16(元)．11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得： ⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b 或⎩⎪⎨⎪⎧50＝a ＋b ，52＝a 2＋b .(a >0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x＋48. 当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x＋48有y ＝56. 由于56与53.9的误差较大， ∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，101 2n⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．。
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模练习北师大版必修1
2 实际问题的函数建模时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )A ．0点到3点只进水不出水B ．3点到4点不进水只出水C ．4点到6点不进水不出水D ．以上都不正确 答案：A解析：设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙，知0点到3点蓄水量由0变成6，说明0点到3点时2个进水口均打开进水但不出水，故A 正确；3点到4点蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3点到4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B 不正确；4点到6点为水平线说明水量不发生转变，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C 不正确．2．某人2010年1月1日到银行存入a 元，年利率为x ，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )4元C ．[a ＋(1＋x )5]元D ．a (1＋x 5)元 答案：A解析：2010年1月1日到银行存入a 元，到2011年1月1日本息共a (1＋x )元，作为本金转入下一个周期，到2012年1月1日本息共a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2(元)，因此，到2015年1月1日可取款a (1＋x )5元，故选A.3．某公司营销人员的月收入与其每一个月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元，销售3万件时收入为1600元，那么没有销售时其收入为( )A ．200元B ．400元C ．600元D ．800元 答案：B解析：设月收入y 元与销售量x 万件之间的函数关系式为 y ＝kx ＋b (k ≠0)，将已知条件代入得⎩⎪⎨⎪⎧800＝k ·1＋b1600＝k ·3＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝400b ＝400，∴y ＝400x ＋400，当x ＝0时，y ＝400.因此，营销人员在没有销售时的收入是400元．4．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m ＞n ＞0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ解析：设每一个涨价x元，则实际销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x＜10)．因此x＝4，即售价定为每一个14元时，利润最大．9．如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的极点A动身，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P运动的路程为x，点P到极点A的距离为y，则A，P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式是________．答案：y＝⎩⎪⎨⎪⎧x，0≤x≤1x2－2x＋2，1<x≤2x2－6x＋10，2<x≤34－x，3<x≤4解析：①当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.②当点P在BC上，即1<x≤2时，AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，按照勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2，所以y＝AP＝1＋x－12＝x2－2x＋2.③当点P在DC上，即2<x≤3时，AD＝1，DP＝3－x，按照勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，所以y＝AP＝1＋3－x2＝x2－6x＋10.④当点P在AD上，即3<x≤4时，有y＝AP＝4－x.所以所求的函数关系式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧x，0≤x≤1x2－2x＋2，1<x≤2x2－6x＋10，2<x≤34－x，3<x≤4三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．A，B两城市相距100 km，在两地之间距A城市x km的D处建一垃圾处置厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处置厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处置费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为.若A城市天天产生的垃圾量为20 t，B城市天天产生的垃圾量为10 t.(1)求x的取值范围；(2)把天天的垃圾处置费用y表示成x的函数；(3)垃圾处置厂建在距A城市多远处，才能使天天的垃圾处置费用最小？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)由题意，得y＝[20x2＋10(100－x)2]，即y＝152x2－500x＋25000(10≤x<90)．(3)由y＝152x2－500x＋25000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋500003(10≤x≤90)，则当x＝1003时，y最小．即当垃圾处置厂建在距A 城市1003km 时，才能使垃圾处置费用最小．11．某食物厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的本钱为20元，而且每千克蘑菇的加工费为t (t 为常数，且2≤t ≤5)元，设该食物厂每千克蘑菇的出厂价为x (25≤x ≤40)元．按照市场调查，日销售量q (单位：千克)与e x成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．(1)求该工厂的日销售利润y 元与每千克蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的日销售利润为100e 4元？解：(1)设日销量q ＝k e x (25≤x ≤40)，则ke30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e30e x (25≤x ≤40)，∴y ＝100e 30x －20－t ex(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30x －25e x＝100e 4，则x －25＝e x －26， 按照函数y ＝x －25与y ＝e x －26的图象(如图所示)，可求得方程x －25＝e x －26的解为x ＝26，∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销量利润为100e 4.12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(一)的一条折线表示；西红柿的种植本钱与上市时间的关系用图(二)的抛物线段表示．(1)写出图(一)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图(二)表示的种植本钱与时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植本钱的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)由题图(一)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.由题图(二)可得种植本钱与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )。
高中数学 课时分层作业23 实际问题的函数建模 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题
课时分层作业(二十三) 实际问题的函数建模(建议用时：60分钟)一、选择题1．甲乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑得路程更多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲先到达终点D [由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.] 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元B [令y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300，所以y ＝500x ＋300，令x ＝0，y ＝300. 故营销人员没有销售量时的收入是300元．]3．某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )A ．30B ．40C ．50D ．60C [设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．故选C.]4．某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P 1，P 2，P 3，则这三年的年平均增长率为( )A.13(P 1＋P 2＋P 3) B.3P 1P 2P 3 C.31＋P 11＋P 21＋P 3－1D ．1＋13(P 1＋P 2＋P 3)C [设这三年的年平均增长率为x ，企业产值的基数为a ，则a (1＋x )3＝a (1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)．所以x ＝31＋P 11＋P 21＋P 3－1.]5.如图所示，开始时桶(1)中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶(2)中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过多少分钟桶(1)中的水只有a8( )A ．7分钟B ．8分钟C ．9分钟D ．10分钟D [由题意得a e －5n ＝a －a e －5n ，e －n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1215.设再经过t 分钟，桶(1)中的水只有a 8，得a e－n (t ＋5)＝a 8，则t ＋55＝3，解得t ＝10.] 二、填空题6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.2t 2＋108t ＋400 [日销售额S ＝f (t )·g (t )＝(2t ＋100)·(t ＋4)＝2t 2＋108t ＋400.] 7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧115x 0≤x ≤30，230＜x ＜40，110x －240≤x ≤60 [由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x 0≤x ≤30，230＜x ＜40，110x －240≤x ≤60.]8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 分别为________．15,12 [由三角形相似，即24－y 24－8＝x20， 得x ＝54×(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，故当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.] 三、解答题9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一X 高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ [解] (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11.(2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．1．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40B [由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t，整理得e－0.25t＝12，即－0.25t ＝ln 12＝－ln 2≈－0.693，解得t ≈2.77.]2．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量(1 000 kg)506070758090单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.4 2 需求量(1 000 kg)506065707580区间内( )A ．(2.3,2.4)B ．(2.4,2.6)C ．(2.6,2.8)D ．(2.8,2.9)C [当供给量与需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6，2.8)时最有可能达到供需平衡，故选C.]3．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．2 500 [∵每生产一单位成品，成本增加10万元， ∴单位产品数Q 时的总成本为2 000＋10Q 万元． ∵K (Q )＝40Q －120Q 2，∴利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．]4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月本地网内打出的时间t (分钟)与打出费s (元)之间的函数关系如图所示，当打出150分钟时，这两种方式话费相差______元．10 [设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t . 当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，所以k 2－k 1＝15.当t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.即当打出150分钟时，这两种方式费相差10元．]5．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y 1，y 2万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为y 1＝a x ＋1＋m ，y 2＝bx ，(其中m ，a ，b 都为常数)，函数y 1，y 2对应的曲线C 1，C 2如图所示．(1)求函数y 1，y 2的解析式；(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．[解] (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＋a ＝0，3a ＋m ＝85，解得a ＝45，m ＝－45，y 1＝45x ＋1－45(x ≥0)．又由题意8b ＝85得b ＝15，y 2＝15x (x ≥0)．(2)设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入(4－x )万元．令所获利润为y 万元． 由(1)得y ＝45x ＋1－45＋15(4－x ) ＝45x ＋1－15x (0≤x ≤4)． 令x ＋1＝t (1≤t ≤5)，则有y ＝－15t 2＋45t ＋15＝－15(t －2)2＋1(1≤t ≤5)．当t ＝2即x ＝3时，y max ＝1.综上，该商场所获利润的最大值为1万元．。
北师大版数学高一必修1课后训练 4.2实际问题的函数建模 (1)
课后训练1．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）．A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点2．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝a log2（x＋1），设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到（）．A．300只B．400只C．500只D．600只3．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）．A．3 B．4 C．6 D．124．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中，甲商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后两种电脑均以9801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利情况是（）．A．前后相同B．少赚598元C．多赚980.1元D．多赚490.05元5．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次．（已知lg2≈0.3010）6．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为1()16r ay-=（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．7．某市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车的数量相同，为保护环境，要求该城市汽车保有量不得超过60万辆，那么每年新增汽车的数量不应超过多少辆？8．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t5110250种植成本Q150108150（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b（a≠0），Q＝at2＋bt＋c（a≠0），Q＝a·b t（a≠0，b＞0且b≠1），Q＝a·log b t （a≠0，b＞0且b≠1，t＞0）．（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．某商品在近100天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的函数关系式如下：22,040,,4()52,40100,.2tt tf ttt t⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩ZZ销售量g（t）（件）与时间t（天）的函数关系式是112()33tg t=-+（0≤t≤100，t ∈Z）．问这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？答案与解析1. 答案：D解析：A 错，因为甲、乙同时出发；B 错，因为甲、乙跑的路程相同；C 错，因为甲的速度快．2. 答案：A解析：由题意知，当x ＝1时，y ＝100，即100＝a log 22， ∴a ＝100.∴y ＝100log 2（x ＋1）．∴当x ＝7时，y ＝100log 28＝300. 3. 答案：A解析：如右图所示．设隔墙的长为x （0＜x ＜6），矩形面积为y ，2442(6)2xy x x x -=⨯=-， ∴当x ＝3时，y 最大． 4. 答案：B解析：设甲、乙两种电脑原来的价格分别是x 元、y 元，则x （1＋10%）2＝9801，y （1－10%）2＝9801，解得x ＝8100，y ＝12100，x ＋y －2×9801＝598.5. 答案：8解析：设至少抽x 次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则（1－60%）x ＜0.1%，即0.4x ＜0.001，x lg0.4＜－3，337.5lg 0.42lg 21x -->=≈-. 6. 答案：（1）110,0,10111(),161010t t y t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（2）0.6解析：（1）由图可得110,0,10111(),.161010t t y t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（2）由函数图像知，当t ＞0.1时，令y ＝0.25，即111()16104t -=，解得t ＝0.6（小时）． 7. 解：设每年新增汽车x 万辆，汽车某年末的保有量为t ，则对于（0,60]内的任意t ，均有（1－6%）t ＋x ≤60，即x ≤60－0.94t 恒成立．而0＜t ≤60，∴f （t ）＝60－0.94t ≥60－0.94×60＝3.6.∴x ≤3.6，即每年新增汽车不超过3.6万辆．8. 解：（1）由表中数据，知当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c （a ≠0），即2221505050,108110110,150250250,a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩解得21342520022Q t t =-+. （2）2214252251(150)(150)10020022200Q t t =-+-=-+，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.百尺竿头更进一步解：依题意知该商品在近100天内日销售额F （t ）（元）与时间t （天）的函数关系式为112(22)(),040,,433()()()112(52)(),40100,.233tt t t F t f t g t t t t t ⎧+-+≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+-+<≤∈⎪⎩Z Z（1）若0≤t ≤40，t ∈Z ，则211212500()(22)()(12)433123t t F t t =+-+=--+，当t ＝12时，F （t ）max ＝25003. （2）若40＜t ≤100，t ∈Z ，则211218()(52)()(108)23363t t F t t =-+-+=--，因为t ＝108＞100，所以F （t ）在（40,100]上递减，所以当t ＝41时，F （t ）max ＝745.5.因为2500745.53>，所以这种商品在这100天内的第12天的销售额最高．。
高中数学北师大版必修1 4.2 实际问题的函数建模
∴y1<y2<y3<…<y9=y10.
令yn+1-yn+2≥0, 即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,
解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19, ∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.指数函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞 分裂等问题都可以建立指数函数模型来解决问题,建立函数解析式 时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的 规律.
减去没有人员分流时创造的产值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D
地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离
不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成
正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量
较大?并说明理由. 解:(1)将 x=8 100 代入函数关系式,得 y=12log381=12×4=2, 所以一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时,它的游速是 2 m/s. (2)令 y=0,得12log310������0=0,即10������0=1,则 x=100, 所以一条鲑鱼静止时耗氧量为 100 个单位. (3)由 yA>yB,得12log31������0A0 > 12log31���0���B0, 即 log3xA>log3xB,则 xA>xB,
北师大版数学高一必修1课时作业 4.2.1-3实际问题的函数建模
课时作业24实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为()【解析】设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知，ax＝a(1＋9.5%)y，所以y＝log1.095x.【答案】 D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)【解析】因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x)辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.【答案】 D3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为()A ．p ＝96VB ．p ＝－96VC ．p ＝69VD ．p ＝96V【解析】 设p ＝k V ，则64＝k 1.5，解得k ＝96，故p ＝96V .故选D.【答案】 D4．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴当k ＝9时，获得利润最大．【答案】 C5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 【解析】 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15得A ＝16. 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)6．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．【解析】 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.【答案】 47．某电脑公司2015年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2017年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，2016年预计经营总收入为________万元．【解析】 设年增长率为x ，则有 40040%×(1＋x )2＝1 690，1＋x ＝1310，因此2016年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．【答案】 1 3008．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．【解析】 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．【答案】 (4) (1) (3) (2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明，假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套 第二套椅子高度x (cm)40 37 桌子高度y (cm)75 70.2 (1)请你确定y 与x 的函数解析式(不必写出x 的取值范围)；(2)现有一把高42 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？【解析】 (1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．得⎩⎨⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎨⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11. (2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．10．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，(0≤x ≤400)80 000，(x >400) 其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【解析】 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400. (2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．|能力提升|(20分钟，40分)11．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )【解析】 从题图中看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t 1]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选A.【答案】 A12．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年共8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．【解析】 设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313， ∴9年后的价格大约为y ＝8 100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－19 ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． 【答案】 30013．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．14．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)可养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．【解析】 (1)由题意得当 0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4,20]内是减函数，由已知得⎩⎨⎧ 20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20. (2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20， 当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2。
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课时作业5北师大版必修1
4.2 实际问题的函数建模一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次 ，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x 辆次，存车总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) [答案] D[解析] 因为自行车x 辆，∴电动车4 000－x 辆，y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x )＝－0.1x ＋1 200，故选D.2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[答案] A[解析] 如图所示，设隔墙长为x m ，则矩形长为24－4x 2＝12－2x (m)．∴S 矩形＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18. ∴当x ＝3m 时，矩形的面积最大．3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 ，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.95x50·mB ．y ＝(1－0.05x50)·mC ．y ＝0.9550－x·mD ．y ＝(1－0.0550－x)·m[答案] A[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q ，则(q )50＝0.95，∴q ＝0.95150，即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x50·m .4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20 ，则第四年造林( )A ．14 400亩B ．172 800亩C ．17 280亩D ．20 736亩[答案] C[解析] 因为年增长率为20 ，所以第四年造林为10 000×(1＋20 )3＝17 280(亩)，故选C.5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A ．y ＝log 2(x ＋1)B ．y ＝2x－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝(x －1)2＋1[答案] D[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意．6．某种动物繁殖数量y (只)与繁殖时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只[答案] A[解析] ∵由题意知，当x ＝1时，y ＝100， 即100＝a log 22， ∴a ＝100.∴y ＝100log 2(x ＋1)．∴当x ＝7时，y ＝100log 28＝300(只)． 二、填空题7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密函数为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案] 4[解析] 依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3－2，解得a ＝2， 所以加密函数为y ＝2x－2， 因此当y ＝14时，由14＝2x－2， 解得x ＝4.8．某汽车在同一时间内速度v ( m/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q ＝0.0025v 2－0.175v ＋4.27，则车速为________ m/h 时，汽车的耗油量最少．[答案] 35[解析] 由Q ＝0.0025v 2－0.175v ＋4.27 ＝0.0025(v 2－70v )＋4.27 ＝0.0025[(v －35)2－352]＋4.27 ＝0.0025(v －35)2＋1.2075. ∴v ＝35 m/h 时，耗油量最少． 三、解答题9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)[解析] (1)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 62－x50x(x ∈N ＋)．(2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x x 22x －x 250x(x ∈N ＋)．当x ＝450时，L ＝5 850，因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2 ，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282187>120，⎝ ⎛⎭⎪⎫238＝2566561<120，∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.一、选择题1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2； ③浮萍从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m 2、4m 2、8m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤ D ．①②⑤[答案] D[解析] 设此指数函数为y ＝a x(a >0且a ≠1)， 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：a ＝2，∴y ＝2x ，故①正确．当x ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确．当y ＝4时，x ＝2，当y ＝12时，x ＝log 212>log 2272，从而可知浮萍从4m 2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．把y ＝2,4,8代入y ＝2t分别得t 1＝1，t 2＝2，t 3＝3，故⑤正确．因此选D.2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ex ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数， ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．21小时[答案] C[解析] 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e22k ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，12＝e 11k，于是当x ＝33时，y ＝e 33 ＋b＝(e 11 )3·e b＝(12)3×192＝24(小时)．二、填空题3．里约热内卢为成功举办2016年奥运会，决定从2012年底到2015年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10 ，则2013年底已更新现有总车辆数的百分比约为________(保留3位有效数字)．[答案] 30.2[解析] 设现有车辆总数为a,2013年底更新了现有总车辆数的百分比为x ，则a ·x ＋a ·x (1＋10 )＋ax (1＋10 )2＝a .∴x (1＋1.1＋1.12)＝1.∴x ≈30.2 .4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．[答案] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t <110⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥110；(2)0.6.[解析] 由图像可知，当0≤t <0.1时，y ＝10t ；当t ＜0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，得a ＝0.1，∴当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t t <110116t －110t ≥110，由题意可知(116)t －110＜0.25，得t ＞0.6(小时)．三、解答题5．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p 作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．[解析] 由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p 时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p (万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧－10p p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6. (2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p ＝－8(p －4)2＋128. ∴当p ＝4时，f (p )max ＝128.即当p ＝4时，开发金额最多，可达到128万元．6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解析] 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，则窗框总长l ＝πx2＋x ＋2y ，y ＝2l －＋πx4，由y >0，得x ∈(0，2lπ＋2)．S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋2l －＋πx4·x＝－4＋π8(x －2l 4＋π)2＋l 2＋π，x ∈(0，2lπ＋2)．当x ＝2l 4＋π时，S max ＝l 2＋π，此时，y ＝l 4＋π＝x2. 答：窗户中的矩形高为l4＋π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．7．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y ＝a ·b x＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由． [解析] 设两个函数y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)； y 2＝g (x )＝a ·b x ＋c . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝p ＋q ＋r ＝1，f＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f ＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝1.3(万件)，依题意，也有⎩⎪⎨⎪⎧g ＝ab ＋c ＝1，g＝ab 2＋c ＝1.2，g＝ab 3＋c ＝1.3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.∴y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x＋1.4，g (4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．经比较可知，g (4)＝1.35(万件)，比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．∴选用y 2＝g (x )＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．。
高中数学北师大必修1学案：第四章 2 实际问题的函数建模 ---精校解析 Word版
§2实际问题的函数建模预习课本P120～128，思考并完成以下问题1．正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的模型各是什么？2．函数建模的过程是什么？[新知初探]1．几种常见函数模型(1)正比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；(4)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(5)指数函数模型：y＝m·a x＋b(a>0，且a≠1，m≠0)；(6)对数函数模型：y＝m log a x＋c(m≠0，a>0，且a≠1)；(7)幂函数模型：y＝k·x n＋b(k≠0)．2．函数建模用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．[小试身手]1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()答案：B2．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：选D 依题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x .又y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10.又2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，∴x ＞5，∴5＜x ＜10.3．某人从A 地出发，开汽车以60 km/h 的速度，经2 h 到达B 地，在B 地停留1 h ，则汽车离开A 地的距离y (单位：km)是时间t (单位：h)的函数，该函数的解析式是____________．解析：当0≤t ≤2时，y ＝60t ；当2＜t ≤3时，y ＝120.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2，120，2＜t ≤3 4．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k .∴k ＝2ln 2. ∴y ＝e 2t ln 2.∴当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.答案：2ln 2 1 024[典例] 2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)[解] (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)，将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)． (2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200(t －150)2＋100 ＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100. 当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100.当200<t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－1200(t －150)2＋100 ＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100. 当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．[活学活用]某地预计明年从年初开始的前x 个月内，某种商品的需求总量f (x )(万件)与月份x 的近似关系为f (x )＝1150x (x ＋1)(35－2x )(x ∈N ，且x ≤12)．(1)写出明年第x 个月的需求量g (x )(万件)与月份x 的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解：(1)由题意知：g (x )＝f (x )－f (x －1)＝1150·x (x ＋1)(35－2x )－1150(x －1)x [35－2(x －1)] ＝1150x [(x ＋1)(35－2x )－(x －1)(37－2x )] ＝1150x (72－6x )＝125x (12－x )． ∴g (x )＝125x (12－x )(x ∈N 且x ≤12)．(2)g (x )＝x 25(12－x )＝－125(x 2－12x ＋36－36) ＝－125(x －6)2＋3625，∴当x ＝6时，g (x )有最大值3625. 即第六个月需求量最大，为3625万件． 指数(对数)函数模型[典例] 口平均增长率控制在1%，经过x 年后， 我国人口为y (亿)．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义． [解] (1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)(亿)．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3(亿)．……∴经过年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数：13×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间．∴x ∈N ＋是此函数的定义域．(3)y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13>0，∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．(1)指数函数模型：能用指数函数表示的函数模型叫作指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a >1)，常形象地称之为指数爆炸．(2)对数函数模型：能用对数函数表示的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a >1)，函数值增大的速度越来越慢．注意：(1)增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型．(2)平均增长(或减少)率问题的表示：y ＝a (1＋p %)x (或y ＝a (1－p %)x )．[活学活用]我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，可得0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10， 即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入所给公式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 15 m/s.建立模拟函数解应用题[典例] 投资A 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51A 、B 两种商品各多少才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)[解] 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示．观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a >0)；一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a >0)，得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12.则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)． 则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值， 0．15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8万元． 即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．建立模拟函数解应用题的一般步骤为：(1)作图：根据已知数据作出散点图；(2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；(3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；(4)利用所求得的函数模型解决问题．[活学活用]某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，(见下表)：x … 30 40 45 50 …y … 60 30 15 0 …(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线为：y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－3，b ＝150. ∴y ＝－3x ＋150(x ∈N)．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N)．(2)依题意有P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．层级一 学业水平达标1．则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存了x 辆，存车费总收入为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：选C 由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.3．某厂日产手套的总成本y (元)与日产量x (双)之间的关系为y ＝5x ＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A ．2 000双B ．4 000双C ．6 000双D ．8 000双解析：选D 由5x ＋40 000≤10x ，得x ≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本．4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．此人可在7秒内追上汽车B ．此人可在10秒内追上汽车C ．此人追不上汽车，其间距最少为5米D ．此人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．18万件B ．20万件C ．16万件D ．8万件解析：选A 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．6．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0＜x ＜10，且x ∈N *)∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元．答案：147．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃烧质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m ＝e 6－1. 答案：e 6－18．某合资企业2011年的产值达200万美元，2016年的产值达6 400万美元，则平均每年增长的百分率为________．解析：设增长的百分率为x ，∵200(1＋x )5＝6 400，∴(1＋x )5＝32，∴x ＝1.答案：100%9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)由题意知，y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x ，0≤x ≤10，4 200x ＋18 000，x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N)．(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x＋18 000＞5 100x ，解得x ＜20.所以当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y (μg )与时间t (h )之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y ＝⎩⎨⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4， 因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9小时， 故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5小时， 故第四次服药应在20：30.层级二 应试能力达标1．某工厂一年中12月份的产量是1月份产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.m 11B.m 12C.12m －1D.11m －1解析：选D 设该厂1月份产量为a ，这一年中月平均增长率为x ，则a (1＋x )11＝ma ，解得x ＝11m －1.2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：选C 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x .当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606 万元B ．45.6 万元C ．45.56 万元D ．45.51 万元解析：选B 设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)．因为原价为a ，所以进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简，得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ， 即y ＝a 4x (x ∈N ＋)． 答案：y ＝a 4x (x ∈N ＋) 6．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t ＞0.1.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：由题意可得y ≤0.25＝14， 即得⎩⎨⎧ 10t ≤14，0≤t ≤0.1或⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤14，t ＞0.1，得0≤t ≤140，或t ≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．答案：0.67．2014年第17届亚运会在韩国仁川举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400(20－x )](x －7)，0＜x ≤20，[2 000－100(x －20)](x －7)，20＜x ＜40. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400(25－x )(x －7)，0＜x ≤20，100(40－x )(x －7)，20＜x ＜40. 此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎨⎧400[－(x －16)2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20＜x ＜40.当0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20＜x ＜40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元) 综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．8．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P (x )(百元)与时间x (天)的函数关系近似满足P (x )＝1＋k x (k 为正常数)，日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的部分数据如下表所示：已知第10(1)求k 的值．(2)给出以下四种函数模型：①Q (x )＝ax ＋b ，②Q (x )＝a |x －25|＋b ，③Q (x )＝a ·b x ，④Q (x )＝a ·log b x .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的变化关系，并求出该函数的解析式．(3)求该服装的日销售收入f (x )(1≤x ≤30，x ∈N *)(百元)的最小值．解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P (10)·Q (10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 10×110＝121，解得k ＝1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q (x )＝a |x －25|＋b .从表中任意取两组值代入可求得Q (x )＝125－|x －25|(1≤x ≤30，x ∈N *)．(3)由(2)知Q (x )＝125－|x －25|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋x (1≤x ＜25，x ∈N *)，150－x (25≤x ≤30，x ∈N *)，∴f (x )＝P (x )·Q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋100x ＋101(1≤x ＜25，x ∈N *)，150x －x ＋149(25≤x ≤30，x ∈N *).当1≤x ＜25时，y ＝x ＋100x 在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121；当25≤x≤30时，y ＝150x －x 为减函数，所以当x ＝30时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝124.综上所述，当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( )A ．1,2,3B ．1，－1,3C ．1，－1，－3D ．1，－1,2解析：选B 由(x －1)(x 2－2x －3)＝(x －1)(x ＋1)(x －3)＝0，得x ＝－1，或x ＝1，或x ＝3.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f －12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根解析：选C 由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有唯一零点，即方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实根．故选C.3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 显然f (x )在R 上是增函数，又f (－2)<0，f (－1)<0，f (0)>0，f (1)>0，f (2)>0，∴f (－1)·f (0)<0，∴函数f (x )在(－1,0)上有零点，故选B.4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图像是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：选C 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部，故f (－1)·f (1)的值无法判断．5．在物价飞速上涨的今天，某商品2016年零售价比2015年上涨25%，欲控制2017年比2015年只上涨10%，则2017年应比2016年降价( )A ．15%B ．12%C ．10%D ．8%解析：选B 设2017年应比2016年降价x %，则(1＋25%)(1－x %)＝1＋10%，解得x ＝12.6若函数f (x )唯一的变号零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 解析：选C 由函数零点的判断方法可知，f (2)，f (4)与f (0)符号相反，f (1)与f (2)符号相反，故f (1)与f (0)符号相同，故选C.7则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t －2C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2 解析：选C 把t ＝1.99，t ＝3.0代入A 、B 、C 、D 验证易知，C 最近似．8．储油30 m 3的油桶，每分钟流出34m 3的油，则桶内剩余油量Q (m 3)以流出时间t (min)为自变量的函数的定义域为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，452 C ．(－∞，40] D ．[0,40]解析：选D 由题意知Q ＝30－34t ，又0≤Q ≤30， 即0≤30－34t ≤30，∴0≤t ≤40. 9．设函数f (x )的零点为x 1，函数g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|＞14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x －12B ．f (x )＝－x 2＋x －14C ．f (x )＝1－10xD ．f (x )＝ln(8x －2)解析：选C 依题意得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2＜0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＞0，∴x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.若f (x )＝1－10x ，则有x 1＝0，此时|x 1－x 2|＞14，验证其它三项，均不符合题意，因此选C.10．函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x ＋1的图像的交点个数，作出函数图像可得到交点有2个．11．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )A ．1.00元B ．0.90元C ．1.20元D ．0.80元解析：选B y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)，([x ]是大于x 的最小整数，x >0)，令x ＝55060，故[x ]＝10，则y ＝0.9. 12．设方程3x ＝|lg(－x )|的两个根为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 函数y ＝3x 与函数y ＝|lg(－x )|的图像如图所示，由图示可设x 1＜－1＜x 2＜0，则0＜3x 1＜3x 2＜1，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝lg (－x 1)，3x 2＝－lg (－x 2)，可得 3x 1－3x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg x 1x 2，∵3x 1－3x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)·f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．函数f (x )＝e x ＋2x －6(e ≈2.718)的零点属于区间(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.解析：因为f (1)＝e －4＜0，f (2)＝e 2－2＞0，所以函数f (x )的零点属于区间(1,2)，故n ＝1. 答案：115．已知m ∈R 时，函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 恒有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当m ＝0时，由f (x )＝x －a ＝0，得x ＝a ，此时a ∈R.(2)当m ≠0时，令f (x )＝0，即mx 2＋x －m －a ＝0恒有解，Δ1＝1－4m (－m －a )≥0恒成立，即4m 2＋4am ＋1≥0恒成立，则Δ2＝(4a )2－4×4×1≤0，即－1≤a ≤1.所以对m ∈R ，函数f (x )恒有零点，有a ∈[－1,1]．答案：[－1,1]16.一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意知实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 是关于b 的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l 关于b 的函数单调递减，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l min ＝(2π－8)×32＋12＝3π. 答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1.(1)m 为何值时，函数的图像与x 轴有两个交点？(2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值．解：(1)∵函数的图像与x 轴有两个交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≠0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－1，(4m )2－4×2(m ＋1)·(2m －1)＞0. 整理得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＜1，即当m ＜1，且m ≠－1时，函数的图像与x 轴有两个交点．(2)∵函数的一个零点在原点，即点(0,0)在函数f (x )的图像上，∴f (0)＝0，即2m －1＝0.∴m ＝12. 18．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是二次函数，其图像与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)，与y 轴交于C (0,6)．(1)求y ＝f (x )，(x ∈R)的解析式；(2)若方程f (x )－2a ＋2＝0有四个不同的实数根，试求a 的取值范围．解：(1)依题意可设，当x ≥0时，f (x )＝a (x －1)(x －3)．由f (0)＝6得3a ＝6，∴a ＝2，此时f (x )＝2(x －1)(x －3)＝2x 2－8x ＋6(x ≥0)．当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝2x 2＋8x ＋6.又∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝2x 2＋8x ＋6(x ＜0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8x ＋6，x ≥0，2x 2＋8x ＋6，x ＜0. (2)依题意f (x )＝2a －2有四个不同实数根，即y ＝f (x )与y ＝2a －2在同一坐标系中的图像有四个不同的交点．如图可知只需满足条件－2＜2a －2＜6，∴0＜a ＜4，即实数a 的取值范围是(0,4)．19．(本小题满分12分)判断方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？解：令f (x )＝2ln x ＋x －4.因为f (1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f (e)＝2ln e ＋e －4＝e －2>0，所以f (1)·f (e)<0.又函数f (x )在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，所以函数f (x )在(1，e)内存在零点，即方程f (x )＝0在(1，e)内存在实数解．由于函数f (x )＝2ln x ＋x －4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )在(1，e)内只存在唯一的一个零点．故方程2ln x ＋x －4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．20．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M 万元和N 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：M ＝14x ，N ＝34x －1(x ≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为(8－x )万元，共获得利润y ＝M ＋N ＝14(8－x )＋34x －1(1≤x ≤8)． 令x －1＝t (0≤t ≤7)，则x ＝t 2＋1， ∴y ＝14(7－t 2)＋34t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋3716. 故当t ＝32时，可获最大利润3716万元． 此时，投入乙种商品的资金为134万元，甲种商品的资金为194万元． 21.(本小题满分12分)如图所示，A ，B 两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D 给A ，B 两城供气．已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y (万元)与A ，B 两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D 距A 城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D 地距B 地(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧10≤100－x ，x ≥10，∴10≤x ≤90. 设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)．又x ＝40，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14， 所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x2－100x＋5 000)(10≤x≤90)．(2)由于y＝12(x2－100x＋5 000)＝12(x－50)2＋1 250，所以当x＝50时，y有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A城50 km，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元．22.(本小题满分12分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图像可知：当0≤t≤10时，v＝3t，则当t＝4时，v＝3×4＝12，故s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12·t·3t＝32t2，当10＜t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上，可知s＝错误!(3)∵t∈[0,10]时，s max＝32×102＝150＜650，t∈(10,20]时，s max＝30×20－150＝450＜650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20＜t≤35，∴t＝30.即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．。
_学年高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1
2 实际问题的函数建模点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )点只进水不出水点不进水只出水点不进水不出水元时，利润最大．的正方形ABCD的顶点运动的路程为x，点P到顶点之间的函数关系式是________＋x－2＝上，即2<x≤3AP2＝AD2＋DP＋－x2＝上，即3<x≤4时，有所以所求的函数关系式为则当x ＝1003时，y 最小．即当垃圾处理厂建在距A 城市1003km 时，才能使垃圾处理费用最小．11．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t (t 为常数，且2≤t ≤5)元，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x (25≤x ≤40)元．根据市场调查，日销售量q (单位：千克)与e x成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100千克．(1)求该工厂的日销售利润y 元与每千克蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的日销售利润为100e 4元？解：(1)设日销量q ＝k e x (25≤x ≤40)，则ke30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e30e x (25≤x ≤40)，∴y ＝100e 30x －20－t ex(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30x －e x＝100e 4，则x －25＝e x －26， 根据函数y ＝x －25与y ＝e x －26的图象(如图所示)，可求得方程x －25＝e x －26的解为x ＝26，∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销量利润为100e 4.12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(一)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(二)的抛物线段表示．(1)写出图(一)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图(二)表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)由题图(一)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.由题图(二)可得种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300.。
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第四章 §2实际问题的函数建模
一、选择题
1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次 ，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x 辆次，存车总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)
B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)
C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)
D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) [答案] D
[解析] 因为自行车x 辆，∴电动车4 000－x 辆，y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x )＝－0.1x ＋1 200，故选D.
2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A ．3m
B ．4m
C ．6m
D ．12m
[答案] A
[解析] 如图所示，设隔墙长为x m ，则矩形长为24－4x 2＝12－2x (m)．
∴S 矩形＝x (12－2x )＝－2x 2
＋12x ＝－2(x －3)2
＋18. ∴当x ＝3m 时，矩形的面积最大．
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.95x
50·m
B ．y ＝(1－0.05x
50)·m
C ．y ＝0.95
50－x
·m
D ．y ＝(1－0.0550－x
)·m
[答案] A
[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q %，则(q %)50
＝0.95，∴q %＝
0.95150
，
即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y ＝0.95x
50
·m .
4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A ．14 400亩
B ．172 800亩
C ．17 280亩
D ．20 736亩
[答案] C
[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3
＝17 280(亩)，故选C.
5．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：
A ．y ＝log 2(x ＋1)
B ．y ＝2x
－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝(x －1)2
＋1
[答案] D
[解析] 代入数值检验，把x ＝2代入可排除A 、B 、C ，把x ＝1,2,3 代入D 选项，符合题意．
6．某种动物繁殖数量y (只)与繁殖时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到( )
A ．300只
B ．400只
C ．500只
D ．600只
[答案] A
[解析] ∵由题意知，当x ＝1时，y ＝100， 即100＝a log 22， ∴a ＝100.
∴y ＝100log 2(x ＋1)．
∴当x ＝7时，y ＝100log 28＝300(只)． 二、填空题
7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密函数为y ＝a x
－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为
“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
[答案] 4
[解析] 依题意y ＝a x
－2中，当x ＝3时，y ＝6， 故6＝a 3
－2，解得a ＝2， 所以加密函数为y ＝2x
－2， 因此当y ＝14时，由14＝2x
－2， 解得x ＝4.
8．某汽车在同一时间内速度v (km/h)与耗油量之间有近似的函数关系Q ＝0.0025v 2
－0.175v ＋4.27，则车速为________km/h 时，汽车的耗油量最少．
[答案] 35
[解析] 由Q ＝0.0025v 2
－0.175v ＋4.27 ＝0.0025(v 2
－70v )＋4.27 ＝0.0025[(v －35)2
－352
]＋4.27 ＝0.0025(v －35)2＋1.2075. ∴v ＝35km/h 时，耗油量最少． 三、解答题
9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)
[解析] (1)当0<x ≤100时，P ＝60；
当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x
50
.
所以P ＝f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 62－x
50x
(x ∈N ＋)．
(2)设销售商一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，
则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
20x x 22x －x 2
50x
(x ∈N ＋)．
当x ＝450时，L ＝5 850，
因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．
10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1
3，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2
＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n
.
依题意，得2100·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤1
20
，
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫237＝1282187>120，⎝ ⎛⎭⎪
⎫238＝2566561<120
，
∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤1
20，
则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n ≥
1＋lg2
lg3－lg2
≈7.4，又n ∈N ＋，
∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
一、选择题
1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2
)与时间t (月)的关系：y ＝a t
，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2
； ③浮萍从4m 2
蔓延到12m 2
只需1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m 2
、4m 2
、8m 2
所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③④ C ．②③④⑤ D ．①②⑤
[答案] D
[解析] 设此指数函数为y ＝a x
(a >0且a ≠1)， 由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：
a ＝2，∴y ＝2x ，故①正确．
当x ＝5时，y ＝25
＝32>30，②正确．。