广东省广州市天河中学高考数学一轮复习函数的奇偶性和周期性01基础知识检测文

函数的奇偶性与周期性01基础热身1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－122．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．13．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－3)<f (－1)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)4．若函数f (x )＝x x ＋x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．1能力提升5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋x ，－x 2－x －x ，则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性6． 设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f x，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( )A ．10 B.110 C ．－10 D ．－1107．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 2x )>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．若x ∈R ，n ∈N ＋，规定：H n x ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如：H 3－3＝(－3)·(－2)·(－1)＝－6，则函数f (x )＝x ·H 7x －3( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.10．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2012)＝________________________________________________________________________.11．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x )＋f (x －1)＝1，当x ∈[0,1]时，有f (x )＝x 2，现有三个命题：①f (x )是以2为周期的函数；②当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x 2＋2x ；③f (x )是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．(13分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．难点突破13．(12分)对任意实数x ，给定区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )，设函数f (x )表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝对值．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，求出函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，写出用绝对值符号表示的f (x )的解析式，并说明理由；(3)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．答案解析【基础热身】1．B [解析] ∵函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1,2a ]上为偶函数，∴b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.∴a ＋b ＝13.2．D [解析] f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 3．D [解析] 函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，因此f (x )＝f (|x |)，于是f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，则f (3)<f (1)．又f (x )在[0,5]上是单调函数，从而函数f (x )在[0,5]上是单调减函数，观察选项，只有D 正确．4．A [解析] 法一：由已知得f (x )＝x x ＋x －a的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a，知a ＝12，故选A.法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x2x 2＋－2a x －a ，则－x 2x 2－1－2a x －a ＝－x 2x 2＋－2a x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12. 【能力提升】5．A [解析] 若x <0，则－x >0，∴f ()－x ＝()－x 2－()－x ＋1＝x 2＋x ＋1＝－f ()x .若x >0，则－x <0，∴f ()－x ＝－()－x 2－()－x －1＝－x 2＋x －1＝－f ()x .∴f ()x 为奇函数．6．B [解析] 由f (x ＋6)＝－1f x ＋＝f (x )知该函数为周期函数，周期为6，所以f (107.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6×18－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又f (x )为偶函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1－10＝110. 7．A [解析] 作出函数f (x )图像的示意图，则原不等式等价于log 2x ＞12或log 2x <－12，解得x >2或0<x <22.8．B [解析] f (x )＝x (x －3)(x －2)(x －1)x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 2(x 2－1)(x 2－4)(x 2－9)，∴f (x )是偶函数．9．－3 [解析] 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x (x >0)，∴f (1)＝－2×12－1＝－3. 10.12[解析] 依题意得4f (1)f (0)＝f (1)＋f (1)， f (0)＝2f (1)＝12；4f (1)f (1)＝f (2)＋f (0)，∴f (2)＝14－12＝－14，f (n ＋1)＋f (n －1)＝4f (n )f (1)＝f (n )， 所以f (n ＋1)＝f (n )－f (n －1)，记a n ＝f (n )(其中n ∈N *)，则有a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)， a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }的项以6为周期重复出现．注意到2012＝6×335＋2，因此有a 2012＝f (2)＝－14，即f (2012)＝－14.11．①② [解析] ①正确．∵f (x )＋f (x －1)＝1(*)， ∴f (x ＋1)＋f (x )＝1(**)，(**)－(*)得f (x ＋1)－f (x －1)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数． ②正确．当x ∈[1,2]时，x －1∈[0,1]，∴f (x )＝1－f (x －1)＝1－(x －1)2＝2x －x 2(x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2)③错误．当x ∈[－1,0]时，x ＋1∈[0,1]．∴f (x )＝1－f (x ＋1)＝1－(x ＋1)2，∴f (x )＝－x 2－2x .又∵－x ∈[0,1]，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2， ∴f (x )≠f (－x )，f (x )不是偶函数． 12．[解答] (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．【难点突破】13．[解答] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f (x )＝|x |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，k 为给定区间内的整数，故f (x )＝|x －k |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )． (3)对任意x ∈R ，函数f (x )都存在，且存在k ∈Z ，满足k －12≤x ≤k ＋12，f (x )＝|x －k |，由k －12≤x ≤k ＋12，得－k －12≤－x ≤－k ＋12，此时－k 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k －12，－k ＋12内的整数，因此f (－x )＝|－x －(－k )|＝|－x ＋k |＝|x －k |＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．。