2021-2022学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1] 2．命题“∀n∈N*，f（n）＜n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＝n B．∀n∈N*，f（n）≥nC．，f（n0）＜n0D．，f（n0）≥n03．“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝f（x）的图象如图所示．观察图象可知函数y＝f（x）的定义域、值域分别是（）A．[﹣5，0]∪[2，6），[0，5]B．[﹣5，6），[0，+∞）C．[﹣5，0]∪[2，6），[0，+∞）D．[﹣5，+∞），[2，5]5．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数6．已知f（x）＝g（x）﹣3x3﹣5x+3，g（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，若f（a）+f（a﹣4）＜6，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜2C．a＞1D．a＞27．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，则t的取值范围是（）A．（0，4]B．[﹣2，4]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，4]8．若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分。
9．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a＞b＞0，则a﹣＞bC．若a＞b＞0，c＜d＜0，则D．若a＞b＞0，则10．下列命题正确的是（）A．若函数f（x）定义域为[1，5]，则函数f（2x+1）的定义域为[0，2]B．f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1不是同一函数C．函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的公共点的数目是0个或1个D．存在函数f（x），g（x）满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同11．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则（）A．xy的最大值是B．+的最小值是8C．4x2+y2的最小值为D．的最小值是412．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，函数y＝f（x）图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f （x+c）为偶函数，则（）A．函数f（x）＝有对称轴B．函数f（x）＝无对称轴C．函数f（x）＝x3﹣3x2的对称中心是P（1，﹣2）D．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则f（﹣2018）+f（﹣2019）+f（2020）+f（2021）＝﹣8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题两空分别是2分与3分．13．若幂函数在（0，+∞）上是增函数，则m＝．14．已知1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a+2b的取值范围为．15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合B＝{x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}，若A∩B中恰含有一个整数﹣2，则实数k的取值范围是．16．定义[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣1.6]＝﹣2，设函数f（x）＝[x﹣1]+[x+2]，则f（﹣）＝，方程[]＝[]的解集是．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余每道题12分，共计70分．17．设A＝{x|x2﹣8x+a＝0}，B＝{x|x2+bx﹣10＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，﹣3，﹣5}．（1）求a，b的值；（2）求（A∪B）∩C．18．已知函数f（x）＝++1的定义域为集合A，又集合B＝{y|y＝﹣x2+1，x∈R}，C＝{x|（x﹣m）（x﹣m﹣1）＜0}．（1）若B∪C＝B，求实数m的取值范围；（2）若x∈C是x∈A的充分不必要条件，求m实数的取值范围．19．已知函数f（x）＝ax2+3x+2（a∈R）．（1）当a＜0时，若f（x）＞0的解集为{x|b＜x＜1}，求关于x的不等式≤0的解集；（2）当a＞0时，求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞ax﹣1的解集．20．已知函数f（x）＝是定义域为（﹣2，2）上的奇函数，且a＞0．（1）用定义证明：函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数；（2）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．21．合肥一中即将举办一年一度的秋季运动会，高一某班级计划为班级入场式方队定制一张矩形宣传牌，该宣传牌含有大小相等的左、右两个矩形板块（如图中阴影部分），这两个板块上分别印制“奋”“斗”两字，这两个板块的面积之和为18000m2，四周空白的宽度为10cm，两个板块之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定宣传牌的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形宣传牌面积最小？22．已知a≥3，函数F（x）＝min{2|x﹣2|，x2﹣2ax+6a﹣2}，其中min（p，q）＝．（1）当0≤x＜1时，F（x）≥ax2﹣2ax+a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（2）求F（x）的最小值m（a）．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【分析】先利用一元二次不等式的解法以及分式不等式的解法求出集合A，B，再由集合交集的定义求解即可．解：集合M＝{x|}＝{x|}＝{x|x＜0}，N＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1或x ＞2}，则M∩N＝（﹣∞，﹣1）．故选：B．2．命题“∀n∈N*，f（n）＜n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＝n B．∀n∈N*，f（n）≥nC．，f（n0）＜n0D．，f（n0）≥n0【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可得，命题“∀n∈N*，f（n）＜n”的否定形式是：，f（n0）≥n0．故选：D．3．“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．解：若a＞b，取a＝2，b＝﹣3，推不出a＞|b|，若a＞|b|，则必有a＞b．所以a＞b是a＞|b|的必要非充分条件．故选：B．4．函数y＝f（x）的图象如图所示．观察图象可知函数y＝f（x）的定义域、值域分别是（）A．[﹣5，0]∪[2，6），[0，5]B．[﹣5，6），[0，+∞）C．[﹣5，0]∪[2，6），[0，+∞）D．[﹣5，+∞），[2，5]【分析】函数的定义域即自变量x的取值范围，即函数图象的横向分布；函数的值域即为函数值的取值范围，即为函数图象的纵向分布，由图可直观的读出函数的定义域和值域解：函数的定义域即自变量x的取值范围，由图可知此函数的自变量x∈[﹣5，0]∪[2，6），函数的值域即为函数值的取值范围，由图可知此函数的值域为y∈[0，+∞）故选：C．5．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数【分析】对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，∴令x1＝x2＝0，得f（0）＝﹣1∴令x1＝x，x2＝﹣x，得f（0）＝f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1＝﹣f（﹣x）﹣1＝﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选：C．6．已知f（x）＝g（x）﹣3x3﹣5x+3，g（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，若f（a）+f（a﹣4）＜6，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜2C．a＞1D．a＞2【分析】令F（x）＝f（x）﹣3＝g（x）﹣3x3﹣5x，由题意可得F（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，将不等式合理转化即可求解．解：令F（x）＝f（x）﹣3＝g（x）﹣3x3﹣5x，因为g（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，所以F（﹣x）＝g（﹣x）+3x3+5x＝﹣g（x）+3x3+5x＝﹣F（x），所以F（x）为定义在R上的奇函数且单调递减，由f（a）+f（a﹣4）＜6可得f（a）﹣3+f（a﹣4）﹣3＜0，即F（a）+F（a﹣4）＜0，所以F（a）＜﹣F（a﹣4）＝F（4﹣a），所以a＞4﹣a，解得a＞2．故选：D．7．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，则t的取值范围是（）A．（0，4]B．[﹣2，4]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，4]【分析】利用二次函数和双勾函数的性质解答．解：∵当x≤2时，f（x）＝﹣x2+4x﹣3，开口向下，对称轴为：x＝2，f（2）＝1；∴函数在（﹣∞，2]上单增，又∵f（x）在R上单增，∴f（x）在（2，+∞）上单增，又∵当x＞2时，f（x）＝，当t≤0时满足f（x）在（2，+∞）上单增，只需2+，即t≥﹣2，∴﹣2≤t≤0；当t＞0时要满足f（x）在（2，+∞）上单增，只需，解得0＜t≤4，综上所述t的范围为[﹣2，4]，故选：B．8．若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【分析】根据基本不等式的性质求得2x+y≥1，进而求解结论．解：∵正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，∴8xy＝2﹣（2x+y）≤4•（）2⇒（2x+y）2+（2x+y）﹣2≥0⇒2x+y≥1，（2x+y≤﹣2舍去）∵存在实数x，y使不等式3m2﹣2m≥2x+y成立，∴3m2﹣2m≥1⇒m≥1或m≤，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题+解析
安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一上学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}*N 12A x x =Î-££，集合{}1,2,3B =，则A B U 等于（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}1,22．若a b >，则下列各选项正确的是（ ）A ．11a b>B ．||||a b >C ．33a b >D ．33a b-->3．已知102m =，104n =，则3210m n -的值为（ ）A ．2B C D ．4．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：e ()rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天5．命题“R x $Î，20x x m ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4æù-¥çúèûB ．1,4æ⎫-¥ç⎪è⎭C ．1,4æ⎫+¥ç⎪è⎭D ．1,4é⎫+¥⎪êë⎭6．已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数a ，b 满足()()260f a f b +-=，则12a b +的最小值是（ ）A ．8B ．2C ．32D ．437．幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，则()()11x mg x a a -=+>的图象过定点（ ）A ．()1,1-B ．()1,2-C ．()3,1D ．()3,28．()y f x =满足()()2=f x f x -，且当1x ³时，()243f x x x =-+，则方程()12f f x =-éùëû的所有根之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）A ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î表示同一函数B ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C ．2()21f x x x =-+与2()21g t t t =-+是同一函数D ．若()1f x x x =--，则102f f æ⎫æ⎫=ç⎪ç⎪è⎭è⎭10．关于函数()22x f x e-=，(),x Î-¥+¥．下列说法正确的有（ ）A ．()f x 的图像关于y 轴对称B ．()f x 在(),0-¥上单调递增，在()0,¥+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,¥¥--È+11．已知221x y +=，则下列说法正确的是（ ）A ．0x <且0y <B ．+x y 的最小值是2-C ．22x y --+的最小值是4D ．44x y +的最小值是1212．已知()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû恒成立，则（ ）A ．()y f x =在(),0-¥上单调递增B ．()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->三、填空题13．设3log 42a =，则4a -的值为．14．设奇函数()f x 在()0,¥+上严格递增，且()10f =，则不等式()()0f x f x x-->的解集为.15．已知函数()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则2a b += ．16．已知19a <<，函数9()f x x x=+，存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ׳，则a 的取值范围是．四、解答题17．设全集U R =，集合{12}A xx =-<£∣，{21}B x m x =<<∣．(1)若1m =-，求U B A Çð；(2)若U B A Çð中只有一个整数，求实数m 的取值范围．18．计算：(1)1012233122(0.064)284-æ⎫æ⎫+×--ç⎪ç⎪è⎭è⎭(2)()()(239483log 2log 2log 3log 3log lg100++++.(3)已知14a a -+=，求22a a --的值.19．已知关于x 的一元二次函数21y ax bx =-+.(1)若0y <的解集为{1|2x x <-或1}x >，求实数a 、b 的值；(2)若实数a 、b 满足1b a =+，求关于x 的不等式0y <的解集.20．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t 天(130,)t t N *££Î的旅游人数()f t (万人)近似地满足()f t =4+1t,而人均消费()g t (元)近似地满足()12020g t t =--.(Ⅰ)求该城市的旅游日收益()w t （万元）与时间t (130,)t t N *££Î的函数关系式；(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值.21．已知函数()f x 的定义域是(0,)+¥，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()(f x f x=-；(2)试判断()f x 在(0,)+¥的单调性并用定义证明你的结论；(3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<-22．已知函数13()3x x bf x a ++=+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断()f x 在(,)-¥+¥上的单调性，并证明；(3)若112((42)423)340x x x x f a f a a -+-++×++×+->在x ÎR 上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：题号12345678910答案C C B B D D D D BC ABC 题号1112 答案ACDBC1．C【分析】根据题意，用列举法写出集合A ，对集合,A B 取并集即可得到答案.【详解】集合{}{}*N 121,2A x x =Î-££=，又集合{}1,2,3B =，所以{}1,2,3A B =U .故选：C.2．C【分析】用特值法可判断AB ；用幂函数的性质可判断C ；用指数函数的性质可判断D 【详解】对于A ：取1,2a b =-=-，则1111,2a b =-=-，故A 错误；对于B ：取1,2a b =-=-，则1,2ab ==，故B 错误；对于C ： 函数3y x =在R 上单调递增，又a b >，所以33a b >，故C 正确；对于D ：函数3x y =在R 上单调递增，又a b >，所以a b -<-，所以33a b --<，故D 错误；故选：C 3．B【分析】根据指数幂运算性质，将目标式化为含10m 、10n 的表达式，即可求值.【详解】()()3332322211222101021010104m m m nn n -====故选：B 4．B【分析】根据题意可得()0.38rt tI t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，解得1t 即可得结果.【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则e 0.38(t +t 1)=2e 0.38t ，所以10.382t e =，所以0.38t 1=ln2，所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.5．D【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数m 的取值范围.【详解】由题意，原命题的否定“x "ÎR ，20x x m ++³”为真命题，令()221124f x x x m x m æ⎫=++=++-ç⎪è⎭，则当12x =-时，()min 14f x m =-，故104m -³，解得14m ³.所以实数m 的取值范围是1,4é⎫+¥⎪êë⎭.故选：D 6．D【分析】利用奇函数的性质以及基本不等式，即可计算求解.【详解】()()260f a f b +-=，∴()()()266f a f b f b =--=-，26a b =-，∴26a b +=，即136a b +=，1212121363633a b b a a b a b a b æ⎫æ⎫+=++=+++ç⎪ç⎪è⎭è⎭2433³+=，当且仅当23b a ==时等号成立.故选：D ．7．D【分析】由题知22210m m m ì--=í>î，进而得()()311x g x a a -=+>，再根据指数函数性质求解即可.【详解】解：因为幂函数()()222mf x m m x =--在()0,¥+上单调递增，所以22210m m m ì--=í>î，解得3m =，所以()()311x g x a a -=+>，故令30x -=得3x =，所以()()33121x g a a -=+=>所以()()11x mg x aa -=+>的图象过定点()3,2故选：D 8．D【分析】画出函数图象，求出()12f t =-的解对照图象求得根之和.【详解】由题意得，则y =f (x )关于1x =对称，其图像如下令()t f x =，则关于t 的方程()12f t =-由4个解1234,,,t t t t ，其中()()()()12341,0,0,1,1,2,2,3t t t t Î-ÎÎÎ，关于x 的方程()1f x t =有四个解，由对称性可知，其和为4，同理：关于x 的方程()2f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()3f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，关于x 的方程()4f x t =有两个解，由对称性可知，其和为2，所以方程()12f f x éù=-ëû的所有根之和为10.故选:D 9．BC【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC ；根据函数的概念，可判定B ；根据函数的解析式，求得12f æ⎫ç⎪è⎭，进而求得12f f æ⎫æ⎫ç⎪ç⎪è⎭è⎭的值，可判定D.【详解】对于A ，函数||()x f x x =的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，函数1,0()1,0x g x x ³ì=í-<î定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；对于B ，若函数()y f x =在1x =处有定义，则()f x 的图象与直线1x =的交点有1个；若函数()y f x =在1x =处没有定义，则()f x 的图象与直线1x =没有交点，故B 正确；对于C ，函数()221f x x x =-+与2()21g t t t =-+的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C 正确；对于D ，由()1f x x x =--，可得102f æ⎫=ç⎪è⎭，所以1(0)12f f f æ⎫æ⎫==ç⎪ç⎪è⎭è⎭，故D 错误；故选：BC 10．ABC【分析】根据函数()()22,,x f x ex -=Î-¥+¥，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x ex -=Î-¥+¥，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，又t y e =在(,0]-¥单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-¥单调递增，(0,)+¥单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t Î-¥可得(0,1]y Î，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<< 故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对于A ，利用2x y =的值域及单调性即可判断得0x <且0y <，故A 正确；对于B ，利用基本不等式可得22x y ³+，再进行化简即可得到2x y +£-，故B 错误；对于C ，利用基本不等式中“1”的妙用可得224x y --+³，故C 正确；对于D ，由()24422222x y x y x y +=+-××结合基本不等式可判断得D 正确.【详解】对于A ，因为20x >，20y >，所以2120y x =->，即0212x <=，由于2x y =在R 上单调递增，所以0x <，同理可得0y <，故A 正确；对于B ，因为20x >，20y >，所以22x y ³+1³12£，即()11222x y +-£，由于2x y =在R 上单调递增，所以()112x y +£-，即2x y +£-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故+x y 的最大值是2-，故B 错误；对于C ，因为221xy+=，()()222222xyxyxy----+=++221122422y xx y =+++³+=，当且仅当2222y xx y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故C 正确；对于D ，()244222221222x y x y x y x y+=+-××=-××22122122x y æ⎫+=ç⎪³è⎭-，当且仅当22x y =且221x y +=，即1x y ==-时，等号成立，故D 正确.故选：ACD.12．BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除21x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，即可判断()1f x 与()2f x 两者的大小，从而判断选项A ，选项B 由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定()1112f x x -与()2212f x x -的大小，从而确定函数的单调性，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x éù-+->ëû，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，因为210x x >>，所以210x x --＜＜，因为()f x 是定义在{}0xx ¹∣上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()()121212110f x f x f x f x x x -=--+->->，所以()()21f x f x ->-，因为210x x --＜＜，所以()y f x =在(),0-¥上单调递增，故选项A 错误；因为()()121211f x f x x x ->-，12110x x >>，所以1201122x x >>，所以()()()()()11121222112221111111122222f x f x f x f x f x x x x x x x x x -->->=+-++=-，即()()12122112f x f x x x ->-，又因为210x x >>，所以()12y f x x=-在()0,¥+上单调递减，选项B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0x x ¹∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.13．19【分析】根据对数运算性质化简求值即可.【详解】44322log 3log l g 49o a ===，441log log 9914449a --===.故答案为：19.14．(,1)(1,)-¥-+¥U 【分析】由函数的奇偶性化简不等式，结合单调性求解【详解】由题意得()f x 是奇函数，则()()0f x f x x-->等价于2()0f x x >，即()0f x x>，而()f x 在()0,¥+上严格递增，()10f =，故01x <<时，()0f x <，1x >时，()0f x >，由()f x 为奇函数，得1x <-时，()0f x <，10x -<<时，()0f x >，综上，()0f x x>的解集为(,1)(1,)-¥-+¥U 故答案为：(,1)(1,)-¥-+¥U15．2-【分析】首先图像过原点，把原点带入解析式当中，得到0a b +=，又图像无限接近2y =，可得b .即可求出答案.【详解】()()102xf x a b a æ⎫=×+¹ç⎪è⎭Q 的图象过原点0a b ∴+=，又()f x 图像无限接近直线2y =但又不与该直线相交2b ∴=，则222a a b =-∴+=-.故答案为：-2.16．49a +£<【分析】将题意转化为()()12max min 80f x f x ³，结合()()1max 110f x f ==可得()2min 8f x ³，再根据函数的单调性，分13a <£和39a <<两种情况讨论求解即可.【详解】根据对勾函数的性质，函数()9f x x x=+在(]0,3上单调递减，在[)3,+¥上单调递增.且()()1910f f ==.又()9f x x x=+在[]1,9上恒为正，且存在1[1,]x a Î，使得对任意的[]2,9x a Î，都有()()1280f x f x ׳，故()()12max min 80f x f x ³，因为()()1max 110f x f ==，故只需()2min 8f x ³即可.（1）当13a <£时，()()2min 368f x f ==<不成立； （2）当39a <<时，()()2min 9f x f a a a==+，故98a a +³，即2890a a -+³，()247a -³，解得49a +£<.综上有49a £<.故答案为：49a £<.17．(1){21}xx -<£-∣(2)11,2é⎫--⎪êë⎭【分析】（1）求出B ，利用交集与补集运算得到结果；（2）根据条件确定集合中的唯一整数为1-，列不等式求解．【详解】（1）{12}A xx =-<£∣，当1m =-时，{21}B x x =-<<∣，{ 1 2}U A x x x =£->∣或ð，{21}U B A x x =-<£-I ∣ð；（2）因为(U A =-¥ð，1](2,)-+¥U ，又U B A I ð中只有一个整数，所以这个整数必定是1-，故2[2m Î-，1)-，所以[1m Î-，12-．18．(1)35-；(2)0；(3)±【分析】（1）利用指数幂的运算化简求值；（2） 利用对数式的运算规则化简求值；（3）由14a a -+=，两边同时平方，求出22a a -+，由 1222()2a a a a ---=+-，求出1a a --，再由()()2211a a a a a a ----=+-求值即可.【详解】（1）10122331123322(0.064)21844525-æ⎫æ⎫+×--=-´-=-ç⎪ç⎪è⎭è.（2）()()(394833322log 2log 2log 3log 3log lg100111log 2log 2log 3log 223+++æ⎫æ=++ç⎪çè⎭è32355log 2log 30264=´×-=.（3）1124,()16a a a a --+=∴+=Q ，即2222216,14a a a a --++=∴+=， 1222()212a a a a --∴-=+-=，1a a -∴-=±.2211()()a a a a a a ---∴-=+-=±.19．(1)2a =-，1b =-；(2)答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；（2）化简可得()2110ax a x -++<，再以0，1为分界点讨论a 的范围，求解不等式即可【详解】（1）∵0y <的解集为1{|2x x <或1}x >，∴12-与1是方程210ax bx -+=的两个实数根，由韦达定理可知：1+1=211×1=2b aa --ìïïíïïî，解得2a =-，1b =-.（2）∵1b a =+，则不等式0y <化为：()2110ax a x -++<，因式分解为：()()110axx --<&，(0a ¹).当=1a 时，化为()210x -<，则解集为Æ；当1a >时，11a <，解得11x a <<，不等式的解集为1<<1x x a ìüíýîþ；当01a <<时，11a >，解得11x a <<，不等式的解集为11<<x x a ìüíýîþ；当0a <时，10a <，解得1x >或1x a<，不等式的解集为1{|x x a <或1}x >.20．(Ⅰ)()w t =；(Ⅱ) 441万元．【详解】试题分析：（Ⅰ）解：=（Ⅱ）当，（t=5时取最小值）当，因为递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=，所以时，W(t)的最小值为441万元考点：分段函数的实际应用．点评：本题考查的是分段函数应用问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．21．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)(2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解.【详解】（1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =再令121,x x x x ==，则1()((1)0f x f f x+==所以1()()f x f x=-（2）()f x 在(0,)+¥上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x >所以11221()()(0x f x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =-所以1221()(()f x f f x x >-=所以()f x 在(0,)+¥上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =，又因为11(2)()22f f =-=，所以11()22f =-，所以1(1)(1)2f x f x -++<-Û21(1)()21010f x f x x ì-<ïï->íï+>ïî由上可知，()f x 是定义在(0,)+¥上为增函数所以，原不等式Û21121010x x x ì-<ïï->íï+>ïî，解得1x <<.22．(1)1a =，3b =-；(2)(3)72a <<.【分析】（1）由(0)0f =、()()f x f x -=-列方程求参数即可；（2）由（1）写出解析式，再应用单调性定义求证单调性即可；（3）根据（1）（2）结论有1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×恒成立，令20x t =>化为2211()2()4310t a t a t t +++-+>，再令12u t t =+³化为22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，结合二次函数性质求参数范围.【详解】（1）由题设3(0)01bf a+==+，可得3b =-，又()()f x f x -=-，则11333333x x x xa a -+---=-++，可得1a =.所以1a =，3b =-.（2）()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，证明如下：由（1）：133()31x x f x +-=+，令12x x >，则1212211212111233333[(31)(31)(31)(31)]()()3131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ++---+--+-=-=++++12126(33(31)(3)1)x x x x -+=+，由1233x x >，12(31)(31)0x x ++>，即12()()0f x f x ->，故12()()f x f x >，所以()f x 在(,)-¥+¥上递增.（3）由题设及（1）知：121142334(42)(42)()x x x x x x f a a f a f a -+-+-++×+->-+×=--×，由（2）知：1214233442x x x x a a a -+-++×+->--×，令20x t =>，则222224133a a t at t t++->--，整理得：2211(2()4310t a t a t t +++-+>，若12u t t=+³且1t =时等号成立，则22()24310g u u au a =+-+>在[2,)+¥上恒成立，由()g u 开口向上，对称轴为u a =-，22244(314)20124a a a D =--=-，所以0D <，即a <<时，()0g u >在[2,)+¥上恒成立；0D ³，即a £或a ³22(2)44350a g a a -<ìí=-+>î，则2244350a a a >-ìí--<î，可得2a -<<72a £<；综上，72a <。
合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题+解析
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题四、解答题(1)若运动场面积为3200m(2)若运动场与通道占地总面积为22．已知函数()2xf xx +=+ (1)判断并根据定义证明函数参考答案：函数()y f x m =-的图象与个交点，由图可知，134m ≤，故实数m 的最大值为故答案为：134.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解17．(1){}15A B x x ⋂=-<<因为A B ，则有323m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得3m ≥；综上所述，实数m 的取值范围是[)3,+∞．19．(1)()3f x x=(2)()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，解出m 值，再检验即可；（2）根据奇函数的性质求解解析式即可.【详解】（1）因为()f x 为幂函数，所以2571m m -+=，解得2m =或3m =．当2m =时，()2f x x =是偶函数，不是奇函数﹔当3m =时，()3f x x =是奇函数，所以3m =．故()f x 的解析式()3f x x =．（2）由（1）得，当0x ≥时，()()232g x f x x x x =-=-，对于0x <，则0x ->，()()()3232g x x x x x -=---=--，又因为函数()g x 是定义在R 上的偶函数，所以()()g x g x -=，所以()()320g x x x x =--<，所以函数()g x 的解析式()3232,0,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩．20．(1)答案见解析(2)[)2,+∞【分析】（1）选①为不等式有解问题，选②为不等式恒成立问题，都可以转化化二次函数在闭区间上的最值问题处理；（2）将函数()F x 分段化简函数解析式.分为0,0x x ≥<两段转化为二次函数求解单调区间即可.【详解】（1）由()0f x >，得240x x a -+>，即24a x x >-+，。
安徽省合肥市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
2024级高一上学期数学1119期中考试试卷（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∀>，22x>”的否定是（）A.0x ∃>，22x >B.0x ∃>，22x ≤C.0x ∃≤，22x >D.0x ∃≤，22x ≤【答案】B 【解析】【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果.【详解】修改量词否定结论，可得“0x ∃>，22x ≤”，故选：B.2.已知集合{2,2}A =-，{2,1,3}B a =--+，且A B ⊆，则实数a 的值为（）A.－5 B.－4C.－1D.1【答案】C 【解析】【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数a 的值即可.【详解】已知集合{2,2}A =-，{2,1,3}B a =--+，且A B ⊆，所以32a +=，所以1a =-.故选：C .3.函数()3f x x =-的定义域是（）A.[0,)+∞B.[0,3)(3,)+∞C.(,3)(3,)-∞⋃+∞D.(3,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0、分式分母不为0求得结果.【详解】因为030x x ≥⎧⎨-≠⎩，所以[)()0,33,x ∈+∞ ，所以定义域为[)()0,33,⋃+∞，故选：B.4.已知,a b 为实数，则“2a b +>”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据“2a b +>”与“()()110a b -->”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】当2a b +>时，取3,0a b ==，32a b +=>，但()()1120a b --=-<，所以2a b +>不能推出()()110a b -->；当()()110a b -->时，取0a b ==，()()()()111110a b --=-⨯-=>，但02a b +=<，所以()()110a b -->不能推出2a b +>，所以2a b +>是()()110a b -->的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(16,4)，函数()()g x mf x =，则（）A.()g x 为偶函数B.()g x 为奇函数C.()g x 为增函数D.()g x 为减函数【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数的定义与求解,m n ，从而可得()f x 的单调性，于是可得()g x 的单调性与奇偶性.【详解】因为()(2)n f x m x =+是幂函数，所以21+=m ，即1m =-，又()f x 的图象经过点(16,4)，所以164n =，解得12n =，所以12()f x x =，则()f x 为[)0,+∞上的增函数，则12()()g x mf x x ==-，则函数()g x 的定义域为[)0,+∞，所以()g x 非奇非偶函数，且()g x 为[)0,+∞上的减函数.故选：D.6.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(3,)+∞上单调递增，则（）A.(4)(5)0f f -+<B.(4)(5)0f f -+>C.(4)(5)0f f --<D.(4)(5)0f f -->【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 为偶函数可得()f x 在(,3)-∞-上单调递减，则可得(4)(5)f f -<-，于是可得(4),(5)f f -的大小关系，分析选项可得答案.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(3,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减，所以(4)(5)f f -<-，因为()f x 为偶函数，所以(5)(5)f f -=，则(4)(5)f f -<，即(4)(5)0f f --<.故选：C.7.已知函数2()41f x x x =-++在区间[0,]m 上的值域为[1,5]，则m 的取值范围是（）A.(0,2]B.(0,4]C.[2,4]D.[4,)+∞【答案】C 【解析】【分析】分析()f x 的函数值，结合图象确定出值域为[]1,5时m 的范围.【详解】因为()()225f x x =--+，且()()()max 01,25f f x f ===，令()1f x =，解得0x =或4，作出()f x 图象如下图所示，由图象可知，当[]0,x m ∈时，若()f x 的值域为[]1,5，则[]2,4m ∈，故选：C.8.若正数,x y 满足230x y +-=，则26x yxy+的最小值为（）A.133B.5C.193D.7【答案】A 【解析】【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值.【详解】因为230x y +-=，所以()1213x y +=，所以()212616626126113333333x y x y y y x y x y xy y x y x y x y x ++=+=+=++≥⨯+，当且仅当263x y y x =，即9737x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以最小值为133，故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0a >，则下列运算正确的是（）A.2133a a a= B.133aa a=C.()2643a a= D.543a a a=【答案】ACD【解析】【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断.【详解】A ：21213333a a a a ==，故正确；B ：2133aa a a--==，故错误；C ：()4226633a a a⨯==，故正确；D 451522a a⨯====，故正确；故选：ACD.10.下列各组中的函数()f x 与()g x 是同一个函数的是（）A.()||f x x =，2()g x =B.1()1f x x =+，2()1x g x x=+C.2()2f x x x =-，()(2)g t t t =-D.()2,0,1,0,x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩()2,01,0x x g x x x ⎧≤=⎨+>⎩【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[)0,+∞，定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误；对于B ，()f x 与()g x 的定义域都是{}0x x ≠，且21()11x g x x x=+=+，两个函数的对应法则也相同，所以是同一函数，故B 正确；对于C ，两个函数的定义域都是R ，且对应法则也相同，所以是同一函数，故C 正确；对于D ，因为()01f =，()00g =，所以不是同一函数，故D 错误；故选：BC11.对任意实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，如[]22=，[]1.11=，[]2.53-=-．设函数()[]221f x x x =-+，则（）A.x ∀∈R ，()(2)f x f x =-B.x ∀∈R ，()0f x ≥C.12x ∀>，()(1)f x f x <+ D.0x ∀<，1()2f x f x ⎛⎫<-⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】A ：取13x =计算并判断；B ：根据0x ≤和0x >分类讨论即可；C ：先证明[][]11x x +-=，然后计算出()()1f x f x +-在给定范围下的正负即可判断；D ：直接根据不等式性质进行比较.【详解】对于A ：取13x =，则211110213339f ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，215551622133339f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以11233f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当0x ≤时，[]0x ≤，所以[]2210x x -+>一定成立，当0x >时，[]0x x ≤≤，所以()[]()222212110f x x x x x x =-+≥-+=-≥，所以x ∀∈R ，()0f x ≥成立，故B 正确；对于C ：不妨设x ∀∈R ，[),1x k k ∈+，k ∈Z ，则[]=x k ，又()[)11,2x k k +∈++，则[]11x k +=+，所以[][]11x x +-=；当12x >时，()()()[][]221121121f x f x x x x x +-=+-++-+-，所以()()[][]()12121f x f x x x x +-=+-+-，所以()()121221f x f x x x +-=+-=-，又因为12x >，所以()()10f x f x +->，所以()()1f x f x +>，故C 正确；对于D ：当0x <时，102x x -<<，所以2212x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭且[]102x x ⎡⎤-≤<⎢⎥⎣⎦，所以[]1222x x ⎡⎤-≤--⎢⎥⎣⎦，所以[][]221212112x x x x ⎛⎫-+<--++ ⎪⎝⎭，所以1()2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中[][]11x x +-=应用在C 项的证明中会更方便.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若111,,0,,b a b a a -⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则b a -=______．【答案】2【解析】【分析】由a 为分母可得0a ≠，再利用集合相等的性质计算即可得解.【详解】由题意可得0a ≠，则10b a-=，即1b =，则1a a=，解得1a =或1a =-，若1a =，则违背集合互异性，舍去；若1a =-，则有{}{}1,1,00,1,1-=-，符合要求；综上所述，1a =-，则()112b a -=--=.故答案为：2.13.若函数2(),0,(),01x a x f x a x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩的图象是一条连续不断的曲线，且0a ≠，则((2))f f -=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据连续可得1a =，即可代入求解.【详解】由于()f x 的图象是一条连续不断的曲线，故2a a =，由于0a ≠，故1a =，所以2(1),0,()1,01x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩故()()21(2)211,((2))12f f f f -=-+=-==，故答案为：1214.若对任意的[1,2]t ∈-，总存在唯一的[1,0)x ∈-，使得2220x x mt ---=成立，则m 的取值范围是______．【答案】11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】将问题转化为“22,2y x x y mt =-=+的图象在[)1,0-上有唯一交点”，然后对m 进行分类讨论，根据值域间的关系求解出m 的取值范围.【详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，总存在唯一的[)1,0x ∈-，使得2220x x mt ---=成立，即对任意的[1,2]t ∈-，方程222x x mt -=+在[)1,0-上有唯一解，即对任意的[1,2]t ∈-，22,2y x x y mt =-=+的图象在[)1,0-上有唯一交点；在同一平面直角坐标系中作出22,2y x x y mt =-=+的函数图象如下图，因为()22f x x x =-的对称轴为1x =且开口向上，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，所以()()1123,00f f -=+==，所以()(]0,3f x ∈，当0m =时，22y mt y =+⇔=，此时与()f x 在[)1,0-上有唯一交点，符合条件；当0m >时，[]22,22y mt m m =+∈-+，若满足条件只需20223m m ->⎧⎨+≤⎩，解得102m <≤；当0m <时，[]222,2y mt m m =+∈+-，若满足条件只需23220m m -≤⎧⎨+>⎩，解得10m -<<；综上所述，m 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知命题:p x ∀∈R ，2240x x a -+>，设p 为假命题时实数a 的取值范围为集合A ．（1）求集合A ；（2）设非空集合{}212B a m a m =-≤≤+，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}22A a a =-≤≤（2）102m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据判别式0∆<求解出p 为真命题时a 的范围，再根据补集思想求得结果；（2）分析条件得到B ⫋A ，列出不等式组求解出结果.【小问1详解】当p 为真命题时，即“x ∀∈R ，2240x x a -+>”为真命题，所以21640a ∆=-<，所以2a <-或2a >，所以若p 为假命题，则a 的范围是{}22a a -≤≤，所以{}22A a a =-≤≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B ⫋A ，因为B ≠∅时，若B ⫋A ，只需22121222m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得102m -≤≤，经检验，12m =-和0m =时满足条件，综上所述，m 的取值范围是102m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.16.（1）计算：0253322⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）计算：11429144-⎛⎫⎛⎫+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）已知01x <<，且1122x x -+=，求11221x x x x ---+的值．【答案】（1）1；（2）4；（3）4-.【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果.【详解】（1）原式()255212341=--+=-+=；（2）原式(2224=+⨯；（3）由题意可知21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以14x x -+=，21112222x x x x --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，因为01x <<，所以1122x x -<，所以1122x x --=所以1122124x xx x ---=-+.17.已知关于x 的函数231y tx x t =+-+．（1）若1t =，求0y >时x 的取值范围．（2）是否存在实数t ，满足当41x -≤≤时，y 的最大值为3?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),21,-∞-+∞ （2）存在，613t =或12t =-【解析】【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决.（2）分情况讨论函数在[]4,1-上最大值，令最大值为3求t 的值.【小问1详解】当1t =时，0y >可转化为：220x x +->.所以()()210x x +->⇒2x <-或1x >.所以x 的取值范围是：()(),21,-∞-+∞ .【小问2详解】函数()231f x tx x t =+-+在41x -≤≤的最大值，可能是在行4x =-或1x =或12x t=-时取得.若()43f -=⇒164313t t --+=⇒613t =.此时()2651313f x x x =+-为开口向上的抛物线，且()43f -=，()141313f =<，所以613t =满足题意.若()13f =⇒1313t t +-+=⇒12t =-.此时()21522f x x x =-++为开口向下的抛物线，且()13f =，()31f =，对称轴为1x =，所以12t =-满足题意；若132f t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇒21131322t t t t⎛⎫⋅---+= ⎪⎝⎭，解得16t =-或12t =-.当16t =-时，()21362f x x x =-++，对称轴为[]34,1x =∉-，故16t =-不合题意.综上可知：存在实数613t =或12t =-，使得满足当41x -≤≤时，y 的最大值为3.18.已知函数2()2,m f x x m x =--∈R ．（1）若()f x 为偶函数，求m 的值；（2）若2m =-，用定义证明()f x 在(1,)+∞上单调递增；（3）若存在正数x 满足1()f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求m 的取值范围．【答案】（1）0m =（2）证明见解析（3）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）根据()()f x f x -=化简计算出m 的值；（2）先设变量，然后表示出()()12f x f x -并对其进行因式分解，根据条件判断出()()12f x f x -的正负，由此可证明出单调性；（3）将问题转化为“21160x m x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解”，通过换元法以及参变分离求解出m 的取值范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}0x x ≠且关于原点对称，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()2222m m x x x x ---=---，所以20m x=，所以0m =.【小问2详解】当2m =-时，()222f x x x=+-；()12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()22221212121212222222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪⎝⎭()()()1212121212121222x x x x x x x x x x x x x x -+-⎡⎤⎛⎫⎣⎦=-+-= ⎪⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，121x x >，122x x +>，所以()121222120x x x x +->⨯-=，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.【小问3详解】因为()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有正数解，所以()01f f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=有正数解，所以221220m mx x x x --+--=有正数解，所以21160x m x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解；令1t x x =+，因为0x >，由对勾函数的性质可知[)12,x x ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，所以260t mt --=在[)2,+∞上有解，所以6m t t =-在[)2,+∞上有解，令()6g t t t =-，且6,y t y t ==-均在[)2,+∞上单调递增，所以()6g t t t=-在[)2,+∞上单调递增，所以()()min 2231g t g ==-=-，所以()[)1,g t ∈-+∞，所以[)1,m ∈-+∞.19.对于非空的有限整数集X ，定义{}22|X x x X =∈，{|},X n x n x X n ⊕=+∈∈Z ．（1）若集合{3,2,0,2}A =--，求2A 和2A ⊕．（2）已知A ，B 为非空的有限整数集，1A B ⊕⊆且2(1)B A ⊕-⊆．（ⅰ）若{1,0}A =-，求集合B ；（ⅱ）证明：{2,1,0}A ⊆--．【答案】（1）{}29,4,0A =；{}21,0,2,4A ⊕=-.（2）（ⅰ）{}0,1B =或{}1,0,1-；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得21B A ∈⊕，从而可得{}20,1B B ⊆⊆，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得x A ∈，则22x x A +∈，然后分别考虑0,1,2--属于A 时的情况，再考虑1A ∈，3A -∈时，由A 是有限集即可舍去，从而证明.【小问1详解】由题意可得{}29,4,0A =，{}21,0,2,4A ⊕=-.【小问2详解】（ⅰ）设2x B ∈，则()211x B -∈⊕-，因为()21B A ⊕-⊆，所以1x A -∈，所以()111x A -+∈⊕，即1x A ∈⊕，因此2B ⊆1A ⊕，因为{}1,0A =-，所以{}10,1A ⊕=，所以{}20,1B B ⊆⊆，由此可知B 中至少有0和1两个元素，所以{}20,1B =，故{}0,1B =或{}1,0,1-.（ⅱ）设x A ∈，因为1A B ⊕⊆，所以1x B +∈，又因为()21B A ⊕-⊆，所以()211x A +-∈，即22x x A +∈，若0A ∈，则20200A +⨯=∈，故A 可以是{}0；若1A -∈，则()()21211A -+⨯-=-∈，故A 可以是{}1-，{}1,0-；若2A -∈，则()()22220A -+⨯-=∈，故A 可以是{}2,0-，{}2,1,0--；若1A ∈，则21213A +⨯=∈，232315,,A +⨯=∈ 像这样可以得到无限个A 中的元素，不符合A 是有限集；若3A -∈，则()()23233A -+⨯-=∈，232315,,A +⨯=∈ 同样不符合A 是有限集；同理可得，当1x >或()3Z x x <-∈时，也不符合A 是有限集；综上，A 可以是{}0，{}1-，{}1,0-，{}2,0-，{}2,1,0--，均满足{}2,1,0A ⊆--.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解.。
安徽省合肥市2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题含解析
合肥六校联盟2022-2023学年第一学期期中联考高一年级数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1.已知集合{P x y ==∣，集合{Q yy ==∣，则P 与Q 的关系是（）A.P Q =B.P Q ⊆C.Q P ⊆D.P Q =∅【答案】C 【解析】【分析】化简集合,P Q ，根据集合的相等、交集、子集判断即可.【详解】因为{[1,)P xy ===-+∞∣，{[0,)Q y y ===+∞∣，所以P Q =，P Q ⊆，P Q =∅ 错误，Q P ⊆正确.故选：C2.已知集合{|0A x x =<或2}x >，B =N ，则集合()A B R ð中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合补集、交集运算，即可求解.【详解】根据题意，可知{}R 02A x x =≤≤ð，由B =N ，得(){}R 0,1,2A B = ð，集合中有3个元素.故选：B.3.如果0a b >>，且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是（）①22a b >；②11a b<；③32a ab >；④23a b b <.A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】由0a b >>知，0b <．又0a b +>，∴0a b >->，∴()22a b >-，即22a b >．又0a >，∴32a ab >，0b < ，∴23a b b <，故①正确，③正确，④也正确，又10a >，10b<，故②错误．故选：C ．4.若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（）A.22k -≤≤B.2k ≤-，或2k ≥C.2<<2k -D.2k <-，或2k >【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得240k ∆=-≤，从而即可求出k 的取值范围.【详解】∵不等式210x kx ++<的解集为空集，∴240k ∆=-≤，∴22k -≤≤.故选：A.5.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.6.函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A.153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.[]3,4 C.153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设1x t +=，1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，得到函数的单调区间，计算函数值得到值域.【详解】设1x t +=，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()2f x x x =+，若不等式()()22f t f m mt >+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()(),11,-∞-+∞U B.()()1,00,1-U C.(),1-∞- D.()1,0-【答案】C 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性求出函数在0x <时的解析式，即可得到()f x 在定义域上的解析式，画出函数图象，即可得到函数在定义域上单调递增，则原不等式等价于22t m mt >+对任意实数t 恒成立，对m 分两种情况讨论，当0m ≠时，则00m <⎧⎨∆<⎩，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()2f x x x =+，设0x <，则0x ->，所以()()2f x f x x x =--=-+，即()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，函数图象如下所示：由函数图象可知函数()f x 在定义域R 上单调递增，若不等式()()22f t f m mt >+对任意实数t 恒成立，即22t m mt >+对任意实数t 恒成立，即220mt t m -+<恒成立，当0m =时，20t -<不恒成立，当0m ≠时，则()22240m m <⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得1m <-；综上可得(),1m ∈-∞-故选：C8.已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R 的值域为[)0,∞+，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(),6m m +，则实数c 的值为（）A.2B.3C.6D.9【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为函数()()2,f x x ax b a b =++∈R 的值域为[)0,∞+，所以函数()()2,f x x ax b a b =++∈R 的的图象与x 轴有且仅有一个交点，所以240a b ∆=-=，即24a b =，不等式()f x c <的解集为(),6m m +，即2204a x ax c ++-<的解集为(),6m m +，所以方程2204a c x ax ++-=的两个根为12,6x m x m ==+，所以1221226(6)4x x m a a x x m m c +=+=-⎧⎪⎨=+=-⎪⎩，消去m 可得，22944a a c -=-，解得9c =.故选：D.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.下列说法正确的是（）A.a b >的一个必要不充分条件是1a b->B .若集合2{|10}A x ax x =++=中只有一个元素，则14a =C.若命题“x ∃∈R ，210x ax -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是{|22}a a -<<D.已知集合{}0,1M =，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为4【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：直接利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件分析判断；对于B ：分0a =和0a ≠两种情况，结合二次方程分析判断；对于C ：根据命题真假的判定，结合恒成立问题分析求解；对于D ：由M N M ⋃=可得N M ⊆，结合包含关系分析求解．【详解】对于选项A ：当1a b ->，即1a b >+时，则a b >，即充分性成立；当a b >时，例如1,0a b ==，则10a b -==，即必要性不成立；所以a b >的充分不必要条件为1a b ->，故A 错误；对于选项B ：若集合2{|10}A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，集合{}{}|101+===-A x x ，只有一个元素，符合题意；当0a ≠时，由140a ∆=-=，解得14a =；综上所述：0a =或14a =，故B 错误；对于选项C ：命题“x ∃∈R ，210x ax -+≤”是假命题，则命题“x ∀∈R ，210x ax -+>”是真命题，所以240a ∆=-<，解得22a -<<，故C 正确；对于选项D ：因为M N M ⋃=，则N M ⊆，且集合{}0,1M =，则满足条件的集合N 为：{}0或{}1或{}0,1或∅，故集合N 的个数为4，故D 正确．故选：CD ．10.下列选项中正确的是（）A.不等式a b +≥恒成立B.存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立C.若a ，b 为正实数，则2b a a b+≥D.若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当0,0a b <<时不成立，故错误；对于B 选项，当a<0时，()112a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1a =-等号成立，故正确；对于C 选项，若a ，b 为正实数，则0,0b a a b >>，所以2b a a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，故正确；对于D 选项，由基本不等式“1”的用法得()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，故正确.故选：BCD11.下列命题中，正确的有（）A.函数y =与函数y =B.已知函数(21)46f x x +=-，若()10f a =，则9a =C.若函数1)-=-f x ，则()()221f x x x x =--- D.若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4【答案】BC 【解析】【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A 错误；解方程组21446109x a x x a +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故B 正确；求出()()221f x x x x =--- ，故C 正确；函数()2f x 的定义域为[]0,1，故D 错误.【详解】解：()f x =的定义域是10{|}{|1}10x x x x x +⎧=⎨-⎩，()g x =的定义域是2{|10}x x - {|1x x = 或1}x - ，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A 错误;函数(21)46f x x +=-，若()10f a =，则214610x a x +=⎧⎨-=⎩，所以49x a =⎧⎨=⎩，故B 正确；若函数)211)1)2fx -=-=--，则()()221f x x x x =--- ，故C 正确；若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 中，022x ≤≤，所以01x ≤≤，即函数()2f x 的定义域为[]0,1，故D 错误.故选：BC12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4,+∞上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则以下错误的有（）A.()()23f f >B.()()25f f >C.()()36f f >D.()()35f f >【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解.【详解】因为函数()4y f x =+为偶函数,所以()4(4)f x f x +=-+,所以函数()f x 关于直线4x =对称，又因为函数()f x 在区间()4,+∞上为减函数，所以函数()f x 在区间(),4-∞上为增函数，因为234<<，所以()()23f f <，A 错误；因为()5(3)f f =，()()23f f <，所以()()25f f <，B 错误；因为()6(2)f f =，()()23f f <，所以()()36f f >，C 正确；()()35f f =,D 错误；故选:ABD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.幂函数()234()33m f x m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为______；【答案】1【解析】【分析】由题意可得m 2﹣3m +3＝1，求得m 值，再满足3m ﹣4＜0即可．【详解】∵函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4是幂函数，∴m 2﹣3m +3＝1，即m 2﹣3m +2＝0，解得m ＝1或m ＝2．又幂函数f （x ）＝（m 2﹣3m +3）x 3m ﹣4在（0，+∞）上为减函数，∴3m ﹣4＜0，即m 43＜，故m ＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查幂函数的性质，明确m 2﹣3m +3＝1是关键，是基础题．14.已知函数22,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则不等式()2f x <的解集是______.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分0x >，0x ≤求出对应的解集，再求并集即可得到不等式的解集.【详解】由题意，()22,01,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，不等式()2f x <，当0x >时，由22x <，解得1x <，所以01x <<；当0x ≤时，由212x +<，解得11x -<<，所以10-<≤x ；综上，不等式()2f x <的解集为()1,1-.故答案为：()1,1-.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，分段函数，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想.15.计算：02163278(2)8⎛⎫⎡⎤--+-= ⎪⎣⎦⎝⎭__________.【答案】π8+##8π+【解析】【分析】由分数指数幂和根式互化、幂的乘方计算即可求解.【详解】由题意()()122633233782213π28⎛⎫⎡⎤---=-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()221π38π8=-+-+=+.故答案为：π8+.16.若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，则2x y +的最小值是_______.【答案】12【解析】【分析】首先右边边是xy 的形式,左边是2x y +和常数的和的形式,考虑把左边也转化成似xy 的形式,使形式统一.可以猜想到应用基本不等式a b +≥转化后变成关于xy 的方程,可把xy 看成整体换元后求最小值.【详解】解析:解法一：0x >,0y >,()21122222x y xy x y +⎛⎫∴=⋅⋅≤⋅ ⎪⎝⎭,()()21262628x y x y xy x y ∴++=++=≤+,()()2282480x y x y ∴+-+-≥,令2x y t +=,则0t >,且28480t t --≥,()()1240t t ∴-+≥,12t ∴≥,即212x y +≥,当且仅当2x y =,即3x =,6y =时取等号.2x y ∴+的最小值是12.解法二：由0x >,0y >,26x y xy ++=得6xy ≥,（当且仅当2x y =时取等号）,即260-≥,0∴≥,又0>,≥即18xy ≥（当且仅当3x =,6y =时取等号）,∴xy 的最小值是18,26x y xy +=-,∴2x y +的最小值是12.故答案为12.【点睛】本题主要考查了用基本不等式a b +≥解决最值问题的能力,以及换元思想和简单一元二次不等式的解法,属基础题.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分，第17题10分，其余5题分别12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合{}1327xA x =≤≤，()1,B =+∞.（1）求()R A B ⋃ð；（2）若{}4C x a x a =-≤≤，且A C A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(],3R A B ⋃=-∞ð；（2）34a ≤≤.【解析】【分析】（1）首先解指数不等式得到集合A ，再根据补集、并集的定义计算可得；（2）由A C A = ，得A C ⊆，则403a a -⎧⎨⎩ ，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）由1327x ≤≤，得03333x ≤≤，所以03x ≤≤，所以[]0,3A =，由()1,B =+∞，得(],1R B =-∞ð，所以()(],3R A B ⋃=-∞ð（2）由A C A = ，得A C ⊆，所以403a a -≤⎧⎨≥⎩，解得43a a ≤⎧⎨≥⎩，所以34a ≤≤.18.设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足23x <≤.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围.【答案】(]1,2【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的概念求解.【详解】由22430x ax a -+<，可得()(3)0x a x a --<，因为0a >，所以3a a >，所以不等式的解为3a x a <<，即p ：3a x a <<，则p ⌝：x a ≤或3x a ≥，q ⌝：2x ≤或3x >，因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以233a a ≤⎧⎨>⎩，解得12a <≤，经检验，2a =时，满足题意，所以正实数a 的取值范围是(]1,2.19.已知函数()151x m f x =-+是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）判断并证明函数()f x 在R 上的单调性，并求出()f x 在区间[]2,3-上的最小值.【答案】（1）2m =（2）1213-【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义求解；（2）利用函数单调性的定义证明，并根据单调性与最值的关系求最小值.【小问1详解】因为函数()151x m f x =-+的定义域为R ，且为奇函数，所以()01011m f =-=+，解得2m =，所以()2151x f x =-+，经检验，2m =时，()225115151xx x f x -⋅-=-=-++，所以()2522(51)()1120515151x x x x x f x f x ⋅+-+=-+-=-=+++，即()()f x f x -=-，满足函数()f x 为奇函数，所以2m =.【小问2详解】判断：函数()f x 在R 上单调递增，证明如下：任意1212,,x x x x ∈<R ，()()()()()121212*********(51)2(51)2(55)()11515151515151x x x x x x x x x x f x f x +-+--=--+==++++++，因为1212,,x x x x ∈<R ，所以1212510,510,55x x x x +>+><，所以()()12122(55)05151x x x x -<++，即()12()f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以min 2212()(2)15113f x f -=-=-=-+.20.已知函数()24313ax x f x -+⎛⎫⎪⎝⎭=．（1）若1a =-，求()f x 的单调区间（2）若()f x 有最大值3，求a 的值（3）若()f x 的值域是()0,∞+，求a 的值【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是()2,-+∞，单调递减区间是(),2-∞-；（2）1；（3）0.【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断()f x 单调区间；（2）由（1）及题设知02(1a g a>⎧⎪⎨=-⎪⎩，即可求参数值；（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.【小问1详解】当1a =-时，()24313x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()243g x x x =--+，由()g x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减，而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，即()f x 的单调递增区间是()2,-+∞，单调递减区间是(),2-∞-．【小问2详解】令()243g x ax x =-+，()()13g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于()f x 有最大值3，所以()g x 应有最小值1-，因此必有0234()1a a g aa >⎧⎪-⎨==-⎪⎩．解得1a =，即()f x 有最大值3时，a 为1．【小问3详解】由指数函数的性质知，要使()13g x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，应使()243g x ax x =-+的值域为R ，因此只能0a =（因为若0a ≠，则()g x 为二次函数，其值域不可能为R ），故a 的值为0．21.已知函数()()2||210f x ax x a a =-+->.（1）请在如图所示的直角坐标系中作出12a =时()f x 的图像，并根据图像写出函数的单调区间；（2）设函数()f x 在[]1,2x ∈上的最小值为()g a .①求()g a 的表达式；②若11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g a 的最大值.【答案】（1）图象见解析，增区间()()1,0,1,-+∞，减区间()(),1,0,1-∞-；（2）①()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩；②12-.【解析】【分析】（1）12a =时，()21||2f x x x =-，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；（2）①[]1,2x ∈时，()()2210f x ax x a a =-+->，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a=--，根据单调性即可求出.【详解】（1）12a =时，()21||2f x x x =-，函数图象如图:增区间()()1,0,1,-+∞；减区间()(),1,0,1-∞-.（2）①因为[]1,2x ∈，所以()()2210f x ax x a a =-+->.若112a <，即12a >时，()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min 132f x f a ==-；若1122a≤≤，即1142a ≤≤时，()f x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()min 112124f x f a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭=-；若122a>，即10a 4<<时，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()()min 263f f x a ==-，综上()132,211121,442163,04a a g a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩；②11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1214g a a a=--，因为12,4y a y a ==-在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()1214g a a a =--在11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()g a 的最大值为1122g ⎛⎫=-⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数最值的求解以及函数最值问题，解题的关键是讨论二次函数对称轴的位置，再结合二次函数的单调性求解，对于函数最值问题，解题的关键是求出函数的单调性，利用单调性求出最值.22.习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为[)[)3221805040,120,144,3120080000,144,500,2x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（1）当[200,300]x ∈时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损（2）400吨【解析】【分析】（1）当[200,300]x ∈时，由项目获利为221120020080000(400)22S x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭求解；（2）由生活垃圾每吨的平均处理成本[)[)21805040120,1443180000200144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩求解.【小问1详解】解：当[200,300]x ∈时，该项目获利为S ，则221120020080000(400)22S x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭，∴当[200,300]x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利，当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；【小问2详解】由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040120,1443180000200144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，当[120,144)x ∈时，2211805040(120)24033y x x x x =-+=-+，所以当120x =时，y x 取得最小值240；当[144,500)x ∈时，1800002002y x x x =-+200400200200≥-=-=，当且仅当800002x x =，即400x =时，y x 取得最小值200，因为240200>，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
2023-2024学年安徽省合肥一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。
2020-2021合肥中高中必修一数学上期中试卷(带答案)
2020-2021合肥中高中必修一数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．函数232x x --的定义域是 .15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．若4log 3a =，则22a a -+= ．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．23．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.24．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.11．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．A解析：A【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--， 2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-， 所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433 【解析】 【分析】【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴214223333a -+=+=. 考点：对数的计算 19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数 解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面， 命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点． 画出函数的图象如图所示， 结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（Ⅰ）()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析【解析】【分析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段.【详解】（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则()()2110802f x x =--+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50，得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩，即90y x =-+，则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()211080622x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.22．（1）3(0,1)(1,)2； （2）不存在. 【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数，则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2． （2）不存在，理由如下： 假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．23．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．24．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈，，()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x < 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>()()32793x x x x f k f ∴⋅>--+()f x 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
A．{x|﹣4≤x＜﹣2 或 3＜x≤7}
B．{x|﹣4＜x≤﹣2 或 3≤x＜7}
C．{x|x≤﹣2 或 x＞3}
D．{x|x＜﹣2 或 x≥3}
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
故选：A．
3．（5 分）设 M＝3x2﹣x+1，N＝2x2+x，则（ ）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M≤N
【解答】解：M﹣N＝3x2﹣x+1﹣2x2﹣x＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0．
பைடு நூலகம்
∴M≥N．
故选：A．
4．（5 分）已知实数 x，“x≥2”是“x≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
对于 B，0＜x＜1⇒x2＜1，故 B 正确；
对于 C，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故 C 正确；
对于 D，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故 D 错误．
故选：BC．
11．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 M＝{2，3，4}，则 M 的子集个数是 8
B．函数 y
与 y＝（ ）2 是同一函数
t C．不等式
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）不等式 x2＞8 的解集是（ ）
A．（﹣2 ，2 ）
B．（﹣∞，﹣2 ）∪（2 ，+∞）
C．（﹣4 ，4 ） 6．（5 分）下列函数中，最小值为 2 的是（
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，2，3}，B＝{x|2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2}C．{﹣1，2}D．{2，3}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）＞0的解集是（）A．{x|x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x＞2}3．已知a＝0.3﹣0.3，b＝0.3﹣0.2，c＝2﹣0.01，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．已知函数f（x）={x+1，x≤0−2x，x＞0，则“x0＝﹣2”是“f（x0）＝﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）6．若函数f(x)={x2−ax+32，x≥1(a−1)x+1，x＜1在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[54，2]C．(54，2]D．(1，54]7．若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4＜m2−3m有解，则实数m的取值范围是（）A．{m|﹣1＜m＜4}B．{m|m＜0或m＞3} C．{m|﹣4＜m＜1}D．{m|m＜﹣1或m＞4}8．已知函数f(x)=3x−13x+1+3x+3，且f（a2）+f（3a﹣4）＞6，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，1）B．（﹣3，2）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f(x)=|x|，g(x)=√x2B．f（x）＝x0，g（x）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =010．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 11．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= ．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝ ．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x=m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，3}B ．{﹣2，2}C ．{﹣1，2}D ．{2，3}解：A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x |2﹣x ≤0}＝{x |x ≥2}，则A ∩B ＝{2，3}． 故选：D ．2．不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是（ ） A ．{x |x ＜1}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |x ＞2}解：由不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0，则（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，解得1＜x ＜2， 所以不等式（x ﹣1）（2﹣x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜2}． 故选：B ． 3．已知a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，c ＝2﹣0.01，则下列正确的是（ ）A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b解：因为y ＝0.3x 在R 上单调递减，a ＝0.3﹣0.3，b ＝0.3﹣0.2，所以a ＞b ，且b ＝0.3﹣0.2＞0.30＝1，而y ＝2x 在R 上单调递增，所以c ＝2﹣0.01＜20＝1，所以a ＞b ＞c ．故选：A ．4．已知函数f （x ）={x +1，x ≤0−2x，x ＞0，则“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵f （﹣2）＝﹣2+1＝﹣1，∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分条件， ∵f （x 0）＝﹣1，∴当x 0≤0时，则x 0+1＝﹣1，解得x 0＝﹣2，当x 0＞0时，则−2x 0=−1，解得x 0＝2，故“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的不必要条件， ∴“x 0＝﹣2”是“f （x 0）＝﹣1”的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣2）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）解：由f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 可得f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增， 由f （﹣2）＝0，可得f （2）＝0， 当2＞x ＞0时，f （x ）＞0， 当﹣2＜x ＜0时，f （x ）＞0，∴xf （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A ． 6．若函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．[54，2]C ．(54，2] D ．(1，54]解：根据题意，函数f(x)={x 2−ax +32，x ≥1(a −1)x +1，x ＜1在R 上是增函数，则有{ a2≤1a −1＞01−a +32≥(a −1)+1，解可得1＜a ≤54，即a 的取值范围为（1，54]．故选：D ．7．若两个正实数x ，y 满足1x +4y=1，且不等式x +y4＜m 2−3m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{m |﹣1＜m ＜4}B ．{m |m ＜0或m ＞3}C ．{m |﹣4＜m ＜1}D ．{m |m ＜﹣1或m ＞4}解：∵x ＞0，y ＞0，且1x +4y=1，∴x +y 4=（x +y 4）（1x +4y ）＝2+4x y +y 4x ≥2+2√4x y ⋅y4x =4，当且仅当4x y =y 4x，即x ＝2，y ＝8时，等号成立，∴x +y4的最小值为4，∵不等式x +y4＜m 2−3m 有解，∴m 2﹣3m ＞4，解得m ＜﹣1或m ＞4， 即实数m 的取值范围是{m |m ＜﹣1或m ＞4}，故选：D ．8．已知函数f(x)=3x−13x +1+3x +3，且f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣4，1）B ．（﹣3，2）C ．（0，5）D ．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）解：令g(x)=3x−13x +1+3x ，则g （x ）＝f （x ）﹣3，因为x ∈R ，g(x)+g(−x)=3x−13x +1+3x +3−x−13−x +1−3x =3x−13x +1+1−3x3x +1=0，∴g （x ）为奇函数， 又因为g(x)=1−23x+1+3x ，由复合函数单调性知g （x ）为x ∈R 的增函数， ∵f （a 2）+f （3a ﹣4）＞6，则f （a 2）﹣3+f （3a ﹣4）﹣3＞0， ∴g （a 2）+g （3a ﹣4）＞0，g （a 2）＞﹣g （3a ﹣4）＝g （4﹣3a ）， ∴a 2＞4﹣3a ，解得a ＜﹣4或a ＞1，故a ∈（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．f(x)=|x|，g(x)=√x 2B ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝1C ．f(x)=x(x−2)x 2，g(x)=1−2xD ．f(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，g(x)={x|x|，x ≠01，x =0解：对于A ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且f （x ）＝|x |，g （x ）＝|x |，A 正确； 对于B ，函数f （x ）＝x 0的定义域为{x ∈R |x ≠0}，而g （x ）＝1的定义域为R ，B 错误； 对于C ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为{x ∈R |x ≠0}，而x(x−2)x 2=1−2x，C 正确；对于D ，函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，而当x ＜0时，x|x|=−1，当x ＞0时，x |x|=1，因此g(x)={1，x ≥0−1，x ＜0，D 正确．故选：ACD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1＜0”B ．若集合A ={⬚}中只有一个元素，则a =14C ．关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)D ．若函数y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2] 解：对于A ，命题“∀x ∈R ，x 2+1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2+1≥0”，故错误； 对于B ，当a ＝0时，集合A ={⬚}={x |x +1＝0}＝{﹣1}也只有一个元素，故错误； 对于C ，不等式ax 2+bx +c ＞0的解集（﹣2，3），则﹣2，3是ax 2+bx +c ＝0的两个根， 所以{−ba=1c a =−6a ＜0，c ＝﹣6a ，b ＝﹣a ，所以cx 2﹣bx +a ＜0⇔﹣6ax 2+ax +a ＜0⇔6x 2﹣x ﹣1＜0⇔（3x +1）（2x ﹣1）＜0，解得−13＜x ＜12， 所以不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为(−13，12)，故正确；对于D ，y ＝f （x ）的定义域是[﹣2，3]，则函数y ＝f （2x ﹣1）满足﹣2≤2x ﹣1≤3，解得−12≤x ≤2， 所以函数y ＝f （2x ﹣1）的定义域是[−12，2]，D 正确． 故选：CD ．11．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+41√x 2+4的最小值为2B ．函数y =(12)x2−2x的值域为（﹣∞，2]C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2xD ．若幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数，则 m ＝1． 解：对于A ，由于√x 2+4≥2，所以√x 2+4√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=√x 2+4，即x 2+4＝1时等号成立，但x 2+4＝1无实根，故等号取不到，故A 错误； 对于B ，由于t ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1≥﹣1， 所以y =(12)x2−2x≤(12)−1=2，又y =(12)x2−2x＞0，故函数y =(12)x2−2x的值域为（0，2]，故B 错误；对于C ，当x ＜0时，则﹣x ＞0，f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 由于f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x 2﹣2x ，故x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ，C 正确；对于D ，幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m +1在（0，+∞）上是增函数， 则{m 2+m −1=1m +1＞0，解得m ＝1，故D 正确． 故选：CD ．12．若函数f （x ）同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x B ．f(x)=−√x 3C ．f （x ）＝x 3+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x解：对于①②可知：“理想函数”f （x ）在定义域内为奇函数且单调递减． 对于选项A ：f （x ）＝﹣x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故A 正确； 对于选项B ：f(x)=−√x 3定义域R 内为奇函数且单调递减，故B 正确； 对于选项C ：因为y ＝x 3，y ＝x 定义域R 内均为奇函数且单调递增， 所以f （x ）＝x 3+x 定义域R 内为奇函数且单调递增，故C 错误；对于选项D ：因为f （x ）+f （﹣x ）＝（e ﹣x ﹣e x ）+（e x ﹣e ﹣x ）＝0，故f （x ）为R 上的奇函数．而y ＝e ﹣x ，y ＝﹣e x 定义域R 内均为单调递减，所以f （x ）＝e ﹣x ﹣e x 定义域R 内为奇函数且单调递减，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23= 16 ．解：原式=√614−（π﹣1）0﹣（338）13+（164）−23=52−1−32+16＝16故答案为：16．14．若f(x)=2x−2−x(x+4)(2x+a)为奇函数，则a ＝ ﹣8 ．解：由（x +4）（2x +a ）≠0得x ≠﹣4或x ≠−a2，因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）的定义域关于原点对称，所以−a2=4，即a ＝﹣8．当a ＝﹣8时，f(−x)=2−x−2x(−x+4)(−2x−8)=−(2x−2−x)(x−4)(2x+8)=−(2x−2−x)(x+4)(2x−8)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数． 故答案为：﹣8．15．不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 （﹣2，2] ． 解：∵不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立， ∴当a ＝2时，﹣4＜0对一切x ∈R 恒成立，满足题意； 当a ≠2时，则{a −2＜0[2(a −2)]2−4(a −2)×(−4)＜0，即{a ＜2a 2−4＜0，解得﹣2＜a ＜2；综上所述，实数a 的取值范围是﹣2＜a ≤2，即a ∈（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]．16．已知a ＞0，b ＞0．若a +2b ﹣2ab ＝0，求a +3b 的最小值是 5+2√62． 解：a +2b ﹣2ab ＝0，则2a+1b=2，故a +3b =12(a +3b)(2a +1b )=12(5+ab +6ba )≥12(5+2√a b ⋅6ba )=5+2√62，当且仅当a b =6b a，即a =√6b =1+√62时，等号成立，故a +3b 的最小值是5+2√62．故答案为：5+2√62．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合U ＝R ，A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）m ＝3，求A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝3时，B ＝{x |2≤x ≤6}，故∁U B ＝{x |x ＜2或x ＞6}， 而A ＝{x |0≤x ≤3}，故A ∩（∁U B ）＝[0，2）；（2）由“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，可得B ⫋A ， 故当B ＝∅时，m ﹣1＞2m ，可得m ＜﹣1，符合题意；当B ≠∅时，需满足{0≤m −12m ≤3m −1≤2m ，且等号不能同时成立，解得1≤m ≤32，综合以上，m 的取值范围为m ＜﹣1或1≤m ≤32．18．（12分）已知m ∈R ，命题p ：∀x ∈[0，2]，m ≤x 2﹣2x ，命题q ：∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立．（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．解：（1）若p 是真命题，则m ≤x 2﹣2x 在[0，2]上恒成立， 当x ∈[0，2]时，则（x 2﹣2x ）min ＝﹣1， 故m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]； （2）对于q ，当x ＞0时，x +4x ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x ＝2时，等号成立， ∃x ∈（0，+∞），使得方程x +4x =m 成立，则m ≥4， 若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，{m ≤−1m ＜4，解得m ≤﹣1，当p 假q 真时，{m ＞−1m ≥4，解得m ≥4，综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．19．（12分）已知指数函数f （x ）＝（3a 2﹣10a +4）a x 在其定义域内单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝f （2x ）﹣4f （x ）﹣3，当x ∈[0，2]时，求函数g （x ）的值域． 解：（1）∵f （x ）是指数函数， ∴3a 2﹣10a +4＝1，解得a ＝3或a =13， 又∵f （x ）在其定义域内单调递增，所以a ＝3， ∴f （x ）＝3x ；（2）g （x ）＝32x ﹣4•3x ﹣3＝（3x ）2﹣4（3x ）﹣3， ∵x ∈[0，2]，∴3x ∈[1，9]，令t ＝3x ，t ∈[1，9]， ∴g （t ）＝t 2﹣4t ﹣3，t ∈[1，9]， ∴g （t ）min ＝g （2）＝﹣7，g(t)max =g(9)=92−4×9−3=42， ∴g （x ）的值域为[﹣7，42]．20．（12分）已知定义域为R 的函数f(x)=a−2xb+2x 是奇函数． （1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）若存在t ∈[0，4]，使f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0成立，求k 的取值范围．（1）解：由题意知，f （0）＝0=a−1b+1，所以a ＝1，所以f （x ）=1−2xb+2x ， 因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以1−2−xb+2−x =−1−2xb+2x ，化简得2x −1b⋅2x +1=2x −1b+2x ，所以b •2x +1＝b +2x ，即b （2x ﹣1）＝（2x ﹣1），所以b ＝1．（2）证明：f （x ）在R 上单调递减，证明过程如下：由（1）知，f （x ）=1−2x 1+2x =2−(1+2x)1+2x =21+2x −1， 任取x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=21+2x 1−1−21+2x 2+1=2(2x 2−2x1)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，1+2x 2＞0，1+2x 1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．（3）解：因为f （x ）是奇函数，所以不等式f （k +t 2）+f （4t ﹣2t 2）＜0可化为f （k +t 2）＜﹣f （4t ﹣2t 2）＝f （2t 2﹣4t ），又f （x ）在R 上单调递减，所以k +t 2＞2t 2﹣4t ，即k ＞t 2﹣4t ，原问题等价于存在t ∈[0，4]，使k ＞t 2﹣4t ，设g （t ）＝t 2﹣4t ，是开口向上，对称轴为t ＝2的二次函数，所以g （t ）在[0，2）上递减，在（2，4]上递增，所以g （t ）min ＝g （2）＝4﹣8＝﹣4，所以k ＞﹣4，故k 的取值范围为（﹣4，+∞）．21．（12分）漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”．经调研发现：某水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5，且单株施用肥料及其它成本总投入为20x +10元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f （x ）（单位：元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）由已知f （x ）＝10W （x ）﹣（20x +10），又W(x)={2(x 2+17)，0≤x ≤250−8x−1，2＜x ≤5， ∴f （x ）={20(x 2+17)−(20x +10)，0≤x ≤2500−80x−1−(20x +10)，2＜x ≤5， 整理得：f （x ）={20x 2−20x +330，0≤x ≤2490−80x−1−20x ，2＜x ≤5； （2）当0≤x ≤2时，f （x ）=20x 2−20x +330=20(x −12)2+325， ∴当0≤x ≤2时，f （x ）≤f （2）＝370；当2＜x ≤5时，f （x ）＝490−80x−1−20x =490﹣[80x−1+20(x −1)+20] ＝470﹣[80x−1+20(x −1)]≤470−2√80x−1⋅20(x −1)=390． 当且仅当80x−1=20(x −1)，即x ＝3时，f （x ）max ＝390． ∵370＜390，∴f （x ）的最大值为390．故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元．22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝|x 2+ax |．（1）当a ＝﹣1时，求f （x ）在[0，1]的单调区间；（2）记M （a ）为f （x ）在[0，1]上的最大值，求M （a ）的最小值．解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x ²﹣x |={x 2−x ，x ∈(−∞，0)∪(1，+∞)x −x 2，x ∈[0，1]， 所以当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ﹣x ²，则对于抛物线开口向下，对称轴为x =12， 所以f （x ）在x ∈（0，12）单调递增，在（12，1）上单调递减， 即函数在x ∈[0，1]上的单调递增区间为（0，12），递减区间为（12，1）； （2）x ∈[0，1]，若a ≥0时，f （x ）＝x ²+ax ，对称轴为x =−a 2≤0， 则f （x ）在[0，1]上递增，则M （a ）＝1+a ；若a ＜0，则f （x ）在[0，−a 2]递增，在（−a 2，﹣a ）递减，在（﹣a ，+∞）递增， 若1≤−a 2，即a ≤﹣2，时，f （x ）在[0，1]递增，可得M （a ）＝﹣a ﹣1； 由a ＜0可得f （x ）在（0，−a 2）递增，在（−a 2，﹣a ）递减，即有f （x ）在x =−a 2时取最大值a 24， 当x ＞﹣a 时，由x ²+ax =a 24，解得x =−1+√22a ，若−a 2＜1≤−1+√22a ，即﹣2＜a ≤2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）=a 24； 若1＞−1+√22a ，即a ＞2﹣2√2，可得f （x ）的最大值为M （a ）＝1+a ， 则M （a ）={ 1+a ，a ＞2−2√2−a −1，a ≤−2a 24，−2＜a ≤2−2√2， 当a ＞2﹣2√2时，M （a ）＞3﹣2√2；当a ≤﹣2时，M （a ）≥1；当﹣2＜a ≤2﹣2√2时，M （a ）≥14（2﹣2√2）²＝3﹣2√2；综上M （a ）的最小值为3﹣2√2．。
安徽省2021-2022学年度高一上学期数学期中考试试卷(I)卷
安徽省2021-2022学年度高一上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高三上·德州期中) 已知集合，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·张掖期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·蒙山月考) 幂函数的图象经过点，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高三上·江西月考) 函数在上的值域为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·扬州期中) 已知 ,则 =（）A . 33B . 13C . 25D . 226. （2分） (2016高一上·饶阳期中) 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是（）A . [2，+∞）B . [2，4]C . [0，4]D . （2，4]7. （2分） (2020高二下·沧县开学考) 若实数，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·吉林期末) 设函数f（x）= ，则f（f（e））=（）A . 0B . 1C . 2D . ln（e2+1）9. （2分） (2020高三上·三明月考) 函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·浙江期中) 已知函数，当时，恒有成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）化简（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）的结果是________．12. （1分） (2020高一上·青铜峡期中) 已知函数，则 ________.13. （1分） (2020高一上·南昌月考) 如果为二次函数, ，并且的两根为和1，则 ________．14. （1分） (2019高二上·开福月考) 已知，则的最小值为________．15. （1分） (2019高一上·兴仁月考) 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表(部分):个人所得税税率(工资、薪金所得适用)级数全月应纳所得额税率(%)1不超过元的部分2超过元至元的部分3超过元至元的部分4超过元至元的部分5超过元至元的部分上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去元后的余额.如果某人月工资、薪金收入为元,那么他应纳的个人所得税为________元.16. （1分） (2019高二上·上海月考) 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N* ，则n=________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·吉林期中) 设集合， .（1）若，求；（2）当时，求实数的取值范围.18. （10分） (2020高一上·胶州期中) 已知函数的定义域为，当时，函数 .（1）若，利用定义研究在区间上的单调性；（2）若是偶函数，求的解析式.19. （10分）(2020·广东模拟) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若“ ，”为假命题，求的取值范围.20. （10分） (2020高一上·福建期末) 已知函数 .（1）求的定义域；（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a 的取值范围.21. （10分） (2017高一上·中山月考) 某种商品在天内每克的销售价格 (元)与时间的函数图象是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在 30 天内日销售量 (克)与时间 (天)之间的函数关系如下表所示:第天5152030销售量克35252010（注：日销售金额=每克的销售价格×日销售量）（1）根据提供的图象，写出该商品每克销售的价格 (元)与时间的函数关系式；（2）根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；（3）在（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.22. （10分） (2015高一下·忻州期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（1）求b的值；（2）用定义法证明函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试+数学+PDF版含答案
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