河北省石家庄市2018年4月高考一模考试数学试题(理)含答案
河北省石家庄市20xx年4月高考一模考试数学试题(文)含答案.doc

河北省石家庄市2018 年 4 月高考一模考试数学试题(文)含答案石家庄市 2018 届高中毕业班模拟考试(一)文科数学( A 卷)一、选择题:本大题共12 个小题,每小题 5 分,共60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U {1,2,3,4,5,6,7},A { x | x 3, x N },则C U A()A. {1,2} B. {3,4,5,6,7} C. {1,3,4,7} D. {1,4,7}1 2i2.复数1i ()1 3i 3 3iA .iB.iC. 2 D . 23.已知四个命题:①如果向量a与b共线,则ab 或 a b ;② x 3 是x 3的必要不充分条件;③命题p:x0 (0,2) ,x0 2 2x0 3的否定p :x (0, 2) ,x2 2x 3 0 ;1 x 1 x④ “指数函数y ax是增函数,而y (2 )是指数函数,所以y ( 2 )是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为()A .0B . 1 C. 2 D. 3a n 1 1 a n{ a n } a1 2 1 a n a20184.若数列满足,,则的值为()1 1A .2B .-3 C. 2 D .35.函数f ( x)2x ( x0),其值域为 D ,在区间( 1,2)上随机取一个数x ,则xD的概率是()1 1 1 2A .2B .3C.4D .36. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为s 25,则判断框中可填写的关于i的条件是()A. i 4? B. i 4? C. i 5? D. i 5?7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,S 1 [ c2a2( c2 a2 b2)2]c),并举例“问沙田一为从隅,开方得积. ”(即: 4 2 , a b一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为()A .84 平方里B.108 平方里C.126 平方里 D .254 平方里8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()2 4 8A .3B.3C.2D.39.设 f ( x) 是定义在 [ 2b,3 b]上的偶函数,且在[ 2b,0] 上为增函数,则 f (x 1) f (3) 的解集为()A.[ 3,3] B. [ 2,4] C. [ 1,5] D. [0,6]y 1 x 210.抛物线C:4的焦点为F ,其准线 l 与 y轴交于点 A ,点 M 在抛物线 C 上,当MA 2MF时, AMF 的面积为()A .1B . 2C .2 2D . 4C11.在 ABC中, AB2 ,6,则AC3BC的最大值为()A .7 B .2 7C .3 7D .4 712.已知F 1 ,F 2分别为双曲线x 2 y 2 1(a 0, b0)的左焦点和右焦点, 过F 2的直线 l与双a2 b 2曲线的右支交于 A , B 两点,AF 1F2 的内切圆半径为r1 ,BF 1F2 的内切圆半径为r2 ,若r 12r2,则直线 l 的斜率为()A .1B .2C . 2D .2 2二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.13.设向量a (1,2 m),b(m1,1),若 a b ,则 m.y xx y 114. x , y满足约束条件:y1,则 z2 xy的最大值为.15.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小 .据此推断班长是 .16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 .三、解答题:共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题,考生根据要求作答 .(一)必考题:共 60 分17.已知{ a n }是公差不为零的等差数列,满足a 37,且a2 、a4 、a9 成等比数列.(Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式;1(Ⅱ)设数列 {b n }满足bna n a n 1 ,求数列b n 的前 n 项和S n.18.四棱锥S ABCD 的 底 面ABCDAB / /CD, ABBC,为直角梯形,AB 2BC 2CD 2 ,SAD为正三角形 .(Ⅰ)点 M 为棱 AB 上一点,若BC / /平面SDM,AM AB,求实数的值;(Ⅱ)若BC SD,求点B到平面SAD的距离 .19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案 .甲方案:底薪 100 元,每派送一单奖励 1 元;乙方案:底薪 140 元,每日前 55 单没有奖励,超过 55 单的部分每单奖励12 元.y(单位:元)与送货单数(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪n 的函数关系式;(Ⅱ)根据该公司所有派送员100 天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格:日均派送单数52 54 56 58 60频数(天)20 30 20 20 10回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出这100 天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据: 0.62 0.36 , 1.42 1.96 , 2.62 6.76 , 3.42 11.56 , 3.62 12.96 ,4.62 21.16 , 15.62 243.36 , 20.4 2 416.16 , 44.42 1971.36 )x2 y21(a b 0)F1,F2,且离心率为220.已知椭圆C:a2 b2 2 ,M的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点,当F1MF2 90 时,F1MF2 的面积为 1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知点 A 是椭圆C上异于椭圆顶点的一点,延长直线 AF1, AF2 分别与椭圆交于点 B ,D ,设直线 BD 的斜率为k1,直线OA的斜率为k2,求证:k1k2为定值.21.已知函数f ( x) (x b)x (e a (b 0),在( 1 f, ( 1 ),处的切线方程为(e 1 )x e y e 1 .(Ⅰ)求 a ,b;(Ⅱ)若 m 0 ,证明:f ( x) mx2 x .(二)选考题:共 10 分,请考生在 22、 23 题中任选一题作答,并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程x 3 r cos在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为y 1 r sin (r 0,为参数),以坐标原点O为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin( ) 13,若直线l与曲线C相切;(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;MON(Ⅱ)在曲线C上取两点M,N与原点O构成MON,且满足6,求面积MON的最大值 .23.选修 4-5:不等式选讲已知函数f ( x)2 x3 x m的定义域为 R ;(Ⅰ)求实数m的取值范围;(Ⅱ)设实数 t 为 m 的最大值,若实数 a ,b, c 满足a2 b2 c2 t ,2 求1 1 1a2 1 b2 2 c2 3的最小值 .石家庄市2017-2018文科数学答案一、选择题学年高中毕业班第一次模拟考试试题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、 12: DD 二、填空题113. 3 14. 3 15. 乙16. 23三、解答题a42 a2a9 17. 解:( 1)设数列a n 的公差为 d ,且 d 0 由题意得a3 7 ,(7 d )2 (7 d )(7 6d)即a1 2d 7 ,解得d3,a1 1 ,所以数列a n 的通项公式an 3n 2 .( 2)由( 1)得bn a nan 1 (3n 2)(3 n 1)1 1 ( 1 1 )b n 3 3n 2 3n 1 ,S n 1 1 ...... 1 1(1 1 1 1 1 1 )b1 b2 b n 3 4 4 7 3n 2 3n 1 1(1 1 ) n3 3n 1 3n 1 .18.( 1)因为BC //平面 SDM ,BC平面 ABCD ,平面 SDM平面ABCD=DM,所以 BC//DM ,因为 AB // DC ,所以四边形BCDM 为平行四边形,又AB 2CD,所以 M 为 AB 的中点 .因为AMAB ,12.( 2)因为BC SD, BC CD ,所以BC平面SCD,又因为BC平面 ABCD ,所以平面 SCD 平面 ABCD ,平面 SCD 平面 ABCD CD ,在平面 SCD 内过点 S 作 SE 直线CD于点E,则SE 平面 ABCD ,在 Rt SEA 和 Rt SED 中,因为SASD ,所以AE SA2 SE2 SD2 SE2 DE ,又由题知EDA 45 ,所以AEED ,由已知求得AD2 ,所以 AE ED SE 1,V三棱锥 S ABD 1 1 1 1连接 BD ,则 3 3 ,3又求得SAD 的面积为 2 ,所以由V三棱锥 B ASD V三棱锥S2 3ABD点 B 到平面SAD的距离为 3 .19.解:( 1 )甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为:y 100 n,n N ,乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:140, (n 55, n N)y55, n N),k.KS5U12n 520, (n(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 154 元的有 30 天,日薪为 156元的有 20 天,日薪为 158 元的有 20 天,日薪为 160 元的有 10 天,则1 ()x甲= 100 152 20+154 30+156 20+158 20+160 10 =155.4 ,S甲2 = 1 [20 152 155.4 2 154 155.4 2 156 155.4 2 158 155.4 2+30 +20 +20 +10010 160 155.4 2]=6.44,乙方案中,日薪为140 元的有50 天,日薪为152 元的有 20 天,日薪为176 元的有 20 天,日薪为 200 元的有10 天,则1 ()x乙 = 100 140 50+152 20+176 20+200 10 =155.6 ,S乙2 = 1 [50 140 155.6 2 152 155.6 2 176 155.6 2 200 155.6 2+20 +20 +10 ] 100=404.64,②、答案一:由以上的计算可知,虽然x甲x乙,但两者相差不大,且S甲 2 S乙2,即甲方案日薪收入远小于波动相对较小,所以小明应选择甲方案. 答案二:由以上的计算结果可以看出,x甲x乙,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以小明应选择乙方案 .20 解:e c 2 a 2r1 r2 2a r12 r22 4c2(1)设MF1r1, MF2r2,由题1r1 r2 12 ,解得a2, c 1 ,则b2 1,x2 y2 1椭圆C的方程为 2 .(2)设 A(x0 , y0 )( x0 y0 0) , B(x1, y1 ), C (x2 , y2 ) ,当直线AF 1的斜率不存在时,设 A( 1, 2 )B( 1,2 )2,则2 ,直线AF 2的方程为y2( x 1) x 2 y 217 0 ,4代入2,可得 5 x22 x x 2 7y 22D(7,2)5 ,10 ,则 5 10 ,2 ( 2 )2k 110 2276k 2( 1)直线 BD 的斜率为5,直线 OA 的斜率为 2 ,k 1 k 222 1() 6 ,6 2k 1 k 216 .当直线 AF 2的斜率不存在时,同理可得当直线AF 1、AF2的斜率存在时,x 01,yy 0 (x 1)x 01yy 0( x 1)x 2 y 2 1设直线AF 1的方程为x 0 1,则由 2消去 x 可得:[( x 0 1)2 2y 02 ] x 2 4 y 02 x 2 y 02 2( x 0 1)20 ,x 02y 02 12 2又 2,则2 y2 x 0,代入上述方程可得(3 2x 0 ) x 2 2(2 x 02 )x 3x 02 4x 0 0 ,x 1 x 03x 024x,x 13x 0 4y 1y0 (3x41)y 03 2x 03 2x0 ,则x 0 1 3 2x 03 2x 0B( 3x 04 y 0),2x 0 32x 0 3 ,yy 0( x 1)D(3x 04 , y 0 )设直线AF 2的方程为x 0 1,同理可得2x 0 3 2x 03 ,y 0y 0k 12x 0 3 2x 0 3 4x 0 y 0 x 0 y 03x 0 4 3x 0 4 12 x 02 24 3x 02 6直线 BD 的斜率为2x 0 3 2x 03,k 2y 0直线 OA 的斜率为x 0,2 x 02x 0 y 0y 0121k 1k 2y 03x 026 3x 026 .3x 026 x 0 61k 1 k 21所以,直线 BD 与 OA的斜率之积为定值6 .6,即21.f ( 1)1 1 a 0b解:(Ⅰ)由题意f1,所以e,a ,所以f (b1又 f ( x)x b 1 e x1) e a1 e ,a1e ,则 b2 e 0 ,与 b 0矛盾,故a1 , b 1.若(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f ( x)x1 e x 1 , f (0)0, f ( 1)0 ,由m 0,可得xmx 2 x ,g(x)x 1 e x 1 x,令g ( x)x 2 e x 2 ,当 x 2 时,g ( x)x 2 e x2 2 0 ,当x2时,设 h(x) g (x)x 2 e x 2 ,h ( x) x 3e x 0 ,故函数g ( x)在2,上单调递增,又g (0) 0 ,所以当x,0 时, g (x)0 ,当x0,时, g ( x)0 ,所以函数g( x) 在区间,0 上单调递减,在区间0, 上单调递增,g(x) g (0) 0 x 1 e x 1 x mx2 x故故 f ( x) mx2 x .法二:(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f (x) x 1 e x 1, f (0) 0, f ( 1) 0 ,由m 0,可得xmx2 x ,g(x) x 1 e x 1 x令,g ( x) x 2 e x 2 ,令当时,,单调递减,且;当时,,单调递增;且,所以在上当单调递减,在上单调递增,且,故 g(x) g (0) 0 x 1 e x 1 x mx2 x ,故 f ( x) mx2 x .选作题22( 1)由题意可知直线l的直角坐标方程为y 3x 2 ,3 3 1 2r22曲线C是圆心为( 3,1),半径为 r 的圆,直线l与曲线C相切,可得:;可知曲线 C 的方程为( x3) 2 ( y 1)2 4 ,20 ,所以曲线 C 的极坐标方程为 2 3 cos 2 sin 4sin( )即 3 .(2)由( 1)不妨设 M (1,N( 2, )0 ),),6,(10,2SMON 1OM ON sin6 2 ,,当12 时,SMON23 ,所以△ MON 面积的最大值为23 .23.【解析】( 1)由题意可知2x3 x m 恒成立,令 g( x) 2 x 3 x ,x 6,( x 3)g( x) 2 x 3 x6 3x,(0 x 3)去绝对值可得:6 x,( x 0),画图可知g( x)的最小值为 -3,所以实数m的取值范围为m3 ;( 2)由( 1)可知a2 b2 c2 9 ,所以 a 2 1 b2 2 c23 15 ,1 1 1 (a211b 212 c213) (a2 1 b2 2 c2 3)a 2 1 b2 2 c2 3 15b2 2 a2 1 c2 3 a2 1 c2 3 b2 2 31 b2 2 a2 1 c23 b2 2 c2 3 9 3a215 15 5 ,当且仅当 a2 1 b 2 2 c2 3 5 ,即a2 4,b2 3,c2 2等号成立,1 1 1 3所以 a2 1 b2 2 c2 3 的最小值为5 .2017-2018A1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DDB1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD113. 3 14. 3 15. 16.23(a42 a2a917. 1 a n dd 0a3 7 2(7 d )2 (7 d )(7 6d)a1 2d 7 d3,a114a n a n 3n 2 , 621bna n a n 1 (3n 2)(3 n 1)1 1 ( 1 1 )b n 3 3n 2 3n18S n1 1......1 1 1 1 1 1 1) b1 b2 b n(14 4 7 3n 2 3n 13101(1 1 ) n3 3n 1 3n 1 . 12 .181BC //SDM,BCABCD,SDM ABCD=DM,BC // DM2AB//DC , BCDMAB 2CD,M AB 4AM AB126BC SDBC CDBC SCDBC ABCDSCDABCDSCD ABCD CDSCDS SE CDESE ABCD7Rt SEA Rt SEDSASD AE SA2 SE2 SD2 SE2 DEEDA 45AEEDAD2AE ED SE 19V三棱锥 S ABD 1 1 1 1 BD 3 3103SAD2V三棱锥B ASD V三棱锥S 2 3ABD B SAD 3 12 19.1y ny 100 n,n N 3y n140, (n 55, n N)y55, n N)612n 520, (n( 2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 154 元的有 30 天,日薪为 156元的有 20 天,日薪为 158 元的有 20 天,日薪为 160 元的有 10 天,则1 ()x 甲= 100 152 20+154 30+156 20+158 20+160 10 =155.4 ,S 甲 2 = 1 [20 152 155.4 2154 155.4 2156 155.4 2158 155.4 2+30 +20 +20 +10010160 155.4 2]=6.44------------8 分乙方案中,日薪为 140 元的有 50 天,日薪为 152 元的有 20 天,日薪为 176 元的有 20 天,日 薪为 200 元的有 10 天,则1 ()x 乙 = 100 140 50+152 20+176 20+200 10 =155.6 ,S 乙 2 = 1 [50 140 155.6 2 152 155.6 2 176 155.6 2 200 155.6 2+20 +20 +10 ]100 =404.64-------------10 分②、答案一:由以上的计算可知,虽然x 甲 x 乙,但两者相差不大,且S甲 2远小于S 乙2 ,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案。
2018年河北省石家庄市高考一模考试数学(文)试题(A)及答案

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(一)文科数学(A卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 复数()A. B. C. D.【答案】C【解析】 .故选C.3. 已知四个命题:①如果向量与共线,则或;②是的必要不充分条件;③命题:,的否定:,;④“指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】①错,如果向量与共线,则;②是的必要不充分条件;正确,由可以得到,但由不能得到,如;③命题:,的否定:,;正确④“指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.,正确.故选D.4. 若数列满足,,则的值为()A. 2B. -3C.D.【答案】B【解析】,,所以故数列是以4 为周期的周期数列,故故选B.5. 函数,其值域为,在区间上随机取一个数,则的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为,即,则在区间上随机取一个数的概率.故选B.6. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为,则判断框中可填写的关于的条件是()A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行,第二次运行,第三次运行,第四次运行,第五次运行,此时,输出25,故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:,),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为()A. 84平方里B. 108平方里C. 126平方里D. 254平方里【答案】A【解析】根据题意,,代入计算可得故选A.8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体为一个半圆柱中间挖去了一个半球,半圆柱的高为4,底面半径为1,半球的半径为1 ,故其体积为故选B.9. 设是定义在上的偶函数,且在上为增函数,则的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题,是定义在上的偶函数,则由函数为增函数,在上为减函数,故故选B.10. 抛物线:的焦点为,其准线与轴交于点,点在抛物线上,当时,的面积为()A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】过作垂足为,则∴∴的高等于,设则的面积又由,三角形为等腰直角三角形,所以,∴的面积2故选B.11. 在中,,,则的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得,故当时,的最大值为.故选D.12. 已知,分别为双曲线的左焦点和右焦点,过的直线与双曲线的右支交于,两点,的内切圆半径为,的内切圆半径为,若,则直线的斜率为()A. 1B.C. 2D.【答案】D故选D.二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13. 设向量,,若,则__________.【答案】【解析】即答案为.14. ,满足约束条件:,则的最大值为__________.【答案】3【解析】画出可行域如图所示,由图可知当目标函数经过点取到最大值。
石家庄市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题含解析

石家庄市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且60A =︒,3b =,AD 为BC 边上的中线,若72AD =,则ABC 的面积为( ) A .253B .153C .154D .3532.函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是( )A .B .C .D .3.复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数,则z =( )A .iB .﹣2iC .2iD .﹣i4.已知0a b >>,椭圆1C 的方程22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 和2C 的离心率之积为32,则2C 的渐近线方程为( ) A .20x y =B 20x y ±=C .20x y ±=D .20x y ±=5.已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()1,0M m m >,则斜率k 的取值范围是( ) A .(,1)-∞B .(,1]-∞C .(1,)+∞D .[1,)+∞6.已知椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ,B 两点,焦点F(0,-c),其中c 为半焦距,若△ABF是直角三角形,则该椭圆的离心率为( ) A .5-12B .3-12C .314D .5147.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为( ) A .24πB .86πC .33πD .12π8.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.设a ,b ,c 分别是ABC ∆中A ∠,B ,C ∠所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是( )A .平行B .重合C .垂直D .相交但不垂直10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1512,90a S ==,则等差数列{}n a 公差d =( ) A .2B .32C .3D .411.由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则“a 1>0”是“S 9>S 8”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件12.已知函数f (x )=sin 2x+sin 2(x 3π+),则f (x )的最小值为( )A .12B .14C D 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018届河北省石家庄市高三下学期一模考试理科数学试题及答案 精品

2018年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试高三数学(理科答案) 一、 选择题(A 卷)1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题(B 卷)1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA 二、 填空题14 815 []1,2- 16 2a π三、 解答题(阅卷时发现的正确解答,请教师参阅此评分标准酌情给分) 17解:(1)解法1∵11(),n n a S n N λ*+=+∈ ∴11n n a S λ-=+(2)n ≥∴1n n n a a a λ+-=,即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠, 又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}n a 为以1为首项,公比为1λ+的等比数列,…………………………………2分 ∴23(1)a λ=+, ∴24(1)1(1)3λλ+=+++,整理得2210λλ-+=,得1λ= (4)分∴12n n a -=,13(1)32n b n n =+-=- (6)分解法2:∵111,1(),n n a a S n N λ*+==+∈∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++ ∴24(1)1213λλλ+=++++,整理得2210λλ-+=,得1λ= (2)分∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥∴1n n n a a a +-=,即12n n a a +=(2)n ≥, 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项,公比为2的等比数列,………………………………………4分 ∴12n n a -=,13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 (2)1(32)2n n n a b n -=-g ∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L L L ………………………① ∴12312124272(35)2(32)2n nn T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L12(12)13(32)212n nn -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分整理得:(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分18解:(Ⅰ)三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ,则112(),(),()223p A p B p C ===.依题意,集成电路E 需要维修有两种情形: ①3个元件都不能正常工作,概率为11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=; …………2分②3个元件中的2个不能正常工作,概率为2()()()()p p ABC ABC ABC p ABC p ABC p ABC =++=++11111111241223223223123=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯== ……………5分所以,集成电路E 需要维修的概率为1211512312p p +=+=. ……………6分(Ⅱ)设ξ为维修集成电路的个数,则5(2,)12B ξ:,而100X ξ=,2257(100)()()(),0,1,2.1212k k kP X k P k C k ξ-=====…………9分X 的分布列为:………………10分4935252500100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=或52501001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分 19解:(1)证明一连接AC BD ,交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E ,因为PC ⊄平面BDE ,EF ⊂平面BDE PC ∥平面BDE ,---------------2AD 因为∥,BC 1,3AF AD FCBC ==所以因为EF ∥PC ,1=.3AE AF EP FC =所以-------------4证明二在棱PA 上取点E ,使得13AE EP=,------------2连接AC BD ,交于点F ,AD 因为∥,BCC1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以,EF ∥PC因为PC ⊄平面BDE ,EF ⊂平面BDE所以PC ∥平面BDE -------------4(2)取BC 上一点G使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG .0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=,所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形,因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7(或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ,连接PO ,0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=,00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形,因此又因为所以得到,同理得,所以平面-----------7),,OG OB OP 因为两两垂直,以O 坐标原点,分别以,,OG OB OP u u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.000001100010010100O P A B D G --则(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)(,,)设棱BC 的长为t ,则 ,1,0)C ,(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)22PA PB PC PD =--=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r --------------9,111(,,),00,001,(1,1,1)PAB x y z PA x z y z PB x PAB =⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m-----------10222(,,),0(1)0,001,(1,1,1)PCD x y z PC y z PD y z y PCD t =⎧=+-=⎪⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--u u u r g u u u r g 设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n-----------110,=g m n 解得t=BC 即棱的长为20解:(1)由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线12x =-的距离,由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程:22y x = (4)分(2)设00(,)P x y ,(0,),(0,)B b C c , 直线PB 的方程为:000()0y b x x y x b --+=, 又圆心(1,0)到PB 的距离为1,1=,整理得:2000(2)20x b y b x -+-=, (6)分同理可得:2000(2)20x c y c x -+-=,所以,可知,b c是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根,所以:00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0bc <,即02x >,则22200020448()(2)x y x b c x +--=-,因为2002y x =,所以:0022x b c x -=-,………………10分所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-, 当04x =时上式取得等号,所以PBC∆面积最小值为8.………………………12分 解二:(2)设00(,)P x y ,直线PB :00()y y k x x -=-与圆D 相切,则1=,整理得:22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=,……………………6分20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x--+=-=--,………………………8分依题意02x > 那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-,由韦达定理得:12022k k x -=-,则022B Cx y y x -=-,…………………10分所以00014()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-当04x =时上式取得等号,所以PBC∆面积最小值为8.…………………12分 21. 解:(1)由()22ln f x x a x x=++,得()'222af x x x x =-+.因为()f x 在区间[]2,3上单调递增,则()'2220af x x x x=-+≥在[]2,3上恒成立,………………2分即222a x x≥-在[]2,3上恒成立,设22()2g x x x =-,则22()40g x x x '=--<,所以()g x 在[]2,3上单调递减,故max ()(2)7g x g ==-,所以7a ≥-. (4)分(2) 解法一:12121212()()11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>⇔>⇔->--而()()12f x f x ''-=122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-故欲证()()''1212f x f x x x ->- ,只需证()12221212221x x ax x x x ++->…………………6分即证()1212122x x a x x x x +<+成立∵()121212122x x x x x x x x ++>…………………8分设t =,()()240u t t t t=+>,则()242u t t t'=- 令()0u t '=得t =,列表如下:()4u t a ≥=>≥ (10)分 ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴()()''1212f x f x x x ->-, 即1212()()1f x f x x x ''->-∴当4a ≤时,1k >…………………12分解法二:对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x=12x x3≥=3 4.5a >> …………………8分∴ ()12221212221x x a x x x x ++-> 而()'222a f x x x x =-+∴()()12f x f x ''-=122211222222a a x x x x x x⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+-12x x >-…………………10分故:()()''1212f x f x x x ->- , 即1212()()1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时,1k >………12分22. 证明:(1)连结AB ,AC , ∵AD 为M e 的直径,∴090ABD ∠=,∴AC为Oe 的直径,∴0=90CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠,∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点,∴DAG GDF ∠=∠, ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆,……………3分 ∴CE AG EFGD=,∴GD CE EF AG ⋅=⋅。
【新】河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题文

河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题 文一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =,{|3,}A x x x N =≥∈,则U C A =( ) A .{1,2} B .{3,4,5,6,7} C .{1,3,4,7} D .{1,4,7}2.复数121ii-=+( ) A .i B .i - C .132i -- D .332i- 3.已知四个命题:①如果向量a 与b 共线,则a b = 或a b =-;②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件;③命题p :0(0,2)x ∃∈,200230x x --<的否定p ⌝:(0,2)x ∀∈,2230x x --≥;④“指数函数xy a =是增函数,而1()2xy =是指数函数,所以1()2xy =是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为( )A .0B .1C .2D .3 4.若数列{}n a 满足12a =,111nn na a a ++=-,则2018a 的值为( ) A .2 B .-3 C .12-D .135.函数()2(0)xf x x =<,其值域为D ,在区间(1,2)-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是( ) A .12 B .13 C .14 D .236. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为25s =,则判断框中可填写的关于i 的条件是( )A .4?i ≤B .4?i ≥C .5?i ≤D .5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S =a b c >>),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A .84平方里B .108平方里C .126平方里D .254平方里 8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .23π B .43π C .2π D .83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数,且在[2,0]b -上为增函数,则(1)(3)f x f -≥的解集为( )A .[3,3]-B .[2,4]-C .[1,5]-D .[0,6] 10.抛物线C :214y x =的焦点为F ,其准线l 与y 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,当MA MF=AMF ∆的面积为( )A .1B .2 C..4 11.在ABC ∆中,2AB =,6C π=,则AC +的最大值为( )A...12.已知1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点,过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ,B 两点,12AF F ∆的内切圆半径为1r ,12BF F ∆的内切圆半径为2r ,若122r r =,则直线l 的斜率为( )A .1 B.2 D.二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.设向量(1,2)a m = ,(1,1)b m =+,若a b ⊥ ,则m = .14.x ,y 满足约束条件:11y x x y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为 .15.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是 . 16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,满足37a =,且2a 、4a 、9a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,AB BC ⊥,222AB BC CD ===,SAD ∆为正三角形.(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点,若//BC 平面SDM ,AM AB λ=,求实数λ的值;(Ⅱ)若BC SD ⊥,求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位:元)与送货单数n 的函数关系式; (Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格:回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X (单位:元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:20.60.36=,21.4 1.96=,22.6 6.76=,23.411.56=,23.612.96=,24.621.16=,215.6243.36=,220.4416.16=,244.41971.36=)20.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,且离心率为2,M 为椭圆上任意一点,当1290F MF ∠=时,12F MF ∆的面积为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线1AF ,2AF 分别与椭圆交于点B ,D ,设直线BD 的斜率为1k ,直线OA 的斜率为2k ,求证:12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()x f x x b e a =+-,(0)b >,在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.(Ⅰ)求a ,b ;(Ⅱ)若0m ≤,证明:2()f x mx x ≥+.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(0r >,ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=,若直线l 与曲线C 相切;(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ,N 与原点O 构成MON ∆,且满足6MON π∠=,求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()f x =R ;(Ⅰ)求实数m 的取值范围;(Ⅱ)设实数t 为m 的最大值,若实数a ,b ,c 满足2222a b c t ++=,求222111123a b c +++++的最小值.答案一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12:DD 二、填空题 13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题17. 解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩,解得13,1d a ==,所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-. (2)由(1)得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+, 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+11(1)33131n n n =-=++. 18.(1)因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD=DM , 所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为λ=,12λ∴=.(2)因为BC ⊥SD , BC ⊥CD , 所以BC ⊥平面SCD , 又因为BC ⊂平面ABCD , 所以平面SCD ⊥平面ABCD , 平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD , 在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ===,又由题知45EDA ∠=, 所以AE ED ⊥,由已知求得AD =,所以1AE ED SE ===,连接BD ,则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥,又求得SAD 的面积为2,所以由B ASD S ABD V V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD 19.解:(1)甲方案中派送员日薪y (单位:元)与送货单数n 的函数关系式为:N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为:⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ,(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲()=155.4, ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲,乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙()=155.6, ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙,②、答案一:由以上的计算可知,虽然x x <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案. 答案二:由以上的计算结果可以看出,x x <乙甲,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以小明应选择乙方案. 20解:(1)设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =,∴椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF的斜率不存在时,设(A -,则(1,B -, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --=,275x ∴=,210y =-7(,)510D -,∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-,121(626k k ∴⋅=-=-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x ,设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得:22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=, 又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++,设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x ---,∴直线BD 的斜率为00000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21.解:(Ⅰ)由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭,又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11xf x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=,由0m ≤,可得2x mx x ≥+,令()()()11xg x x e x =+--,()()22x g x x e '=+-,当2x ≤-时,()()2220x g x x e '=+-<-<, 当2x >-时,设()()()22x h x g x x e '==+-, ()()30x h x x e '=+>,故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0g '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0g x '<,当()0,x ∈+∞时,()0g x '>,所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+.法二:(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11xf x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=,由0m ≤,可得2x mx x ≥+, 令()()()11xg x x e x =+--,()()22x g x x e '=+-,令当时,,单调递减,且; 当时,,单调递增;且,所以在上当单调递减,在上单调递增,且,故()()2()(0)011xg x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+,故2()f x mx x ≥+. 选作题22(1)由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y +,曲线C 是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得:2r ==;可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=,即4sin()3ρθπ=+.(2)由(1)不妨设M (1,ρθ),)6,(2πθρ+N ,(120,0ρρ>>),6πS MON =∆,,当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为223. 【解析】(1)由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-,去绝对值可得:36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-; (2)由(1)可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=, 222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=, 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.答案一、选择题 (A 卷答案)1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD (B 卷答案)1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13. 13-14. 3 15. 乙16. 三、解答题(解答题仅提供一种解答,其他解答请参照此评分标准酌情给分)17. 解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩,……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩,解得13,1d a ==,……………4分 所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分 (2)由(1)得1(32)(31)n n n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+,…………………………8分 12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+…………………10分11(1)33131n n n =-=++.………………………12分. 18.(1)因为//BC 平面SDM, BC ⊂平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。
河北省石家庄市2018年4月高考一模考试数学试题(文)有答案AlUwwU

石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(一) 文科数学(A 卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =,{|3,}A x x x N =≥∈,则U C A =( )A .{1,2}B .{3,4,5,6,7}C .{1,3,4,7}D .{1,4,7}2.复数121ii -=+( )A .iB .i -C .132i --D .332i-3.已知四个命题:①如果向量a r 与b r 共线,则a b =r r 或a b =-r r;②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件;③命题p :0(0,2)x ∃∈,200230x x --<的否定p ⌝:(0,2)x ∀∈,2230x x --≥;④“指数函数xy a =是增函数,而1()2x y =是指数函数,所以1()2xy =是增函数” 此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为( )A .0B .1C .2D .34.若数列{}n a 满足12a =,111nn n a a a ++=-,则2018a 的值为( )A .2B .-3C .12-D .135.函数()2(0)xf x x =<,其值域为D ,在区间(1,2)-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是( ) A .12 B .13 C .14 D .236. 程序框图如图所示,该程序运行的结果为25s =,则判断框中可填写的关于i 的条件是( )A .4?i ≤B .4?i ≥C .5?i ≤D .5?i ≥ 7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:2222221[()]42c a b S c a +-=-a b c >>),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A .84平方里B .108平方里C .126平方里D .254平方里8. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .23πB .43πC .2πD .83π9.设()f x 是定义在[2,3]b b -+上的偶函数,且在[2,0]b -上为增函数,则(1)(3)f x f -≥的解集为( )A .[3,3]-B .[2,4]-C .[1,5]-D .[0,6]10.抛物线C :214y x=的焦点为F ,其准线l 与y 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,当2MA MF =时,AMF ∆的面积为( )A .1B .2C .22D .411.在ABC ∆中,2AB =,6C π=,则3AC BC +的最大值为( )A 7B .27C .37D .712.已知1F ,2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点和右焦点,过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ,B两点,12AF F ∆的内切圆半径为1r ,12BF F ∆的内切圆半径为2r ,若122r r =,则直线l 的斜率为( )A .1B 2C .2D .2二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.设向量(1,2)a m =r ,(1,1)b m =+r ,若a b ⊥r r ,则m = .14.x ,y 满足约束条件:11y xx y y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为 .15.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是 .16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分 17.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,满足37a =,且2a 、4a 、9a 成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 满足1n n n b a a +=⋅,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S.18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,AB BC ⊥,222AB BC CD ===,SAD∆为正三角形.(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点,若//BC 平面SDM ,AM AB λ=u u u u r u u u r,求实数λ的值; (Ⅱ)若BC SD ⊥,求点B 到平面SAD 的距离.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位:元)与送货单数n 的函数关系式;日均派送单数 52 54 56 58 60 频数(天) 20 30 20 20 10 ①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X (单位:元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X 平均数及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:20.60.36=,21.4 1.96=,22.6 6.76=,23.411.56=,23.612.96=,24.621.16=,215.6243.36=,220.4416.16=,244.41971.36=)20.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,且离心率为2,M 为椭圆上任意一点,当1290F MF ∠=o时,12F MF ∆的面积为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线1AF ,2AF 分别与椭圆交于点B ,D ,设直线BD 的斜率为1k ,直线OA 的斜率为2k ,求证:12k k ⋅为定值. 21.已知函数()()()xf x x b e a =+-,(0)b >,在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. (Ⅰ)求a ,b ;(Ⅱ)若0m ≤,证明:2()f x mx x ≥+. (二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(0r >,ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=,若直线l 与曲线C 相切;(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ,N 与原点O 构成MON ∆,且满足6MON π∠=,求面积MON ∆的最大值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()f x =R ;(Ⅰ)求实数m 的取值范围;(Ⅱ)设实数t 为m 的最大值,若实数a ,b ,c 满足2222a b c t ++=,求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案 一、选择题1-5: ACDBB 6-10: CABBB 11、12:DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题17. 解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩,解得13,1d a ==,所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-.(2)由(1)得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+,12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L 11(1)33131n n n =-=++. 18.(1)因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM I 平面ABCD=DM , 所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点.因为AB AM λ=,12λ∴=.(2)因为BC ⊥SD , BC ⊥CD , 所以BC ⊥平面SCD , 又因为BC ⊂平面ABCD , 所以平面SCD ⊥平面ABCD , 平面SCD I 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA V和Rt SED V 中, 因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=o, 所以AE ED ⊥,由已知求得AD =1AE ED SE ===,连接BD ,则111133S ABD V -=⨯⨯=三棱锥, 又求得SAD V的面积为, 所以由B ASD S ABDV V --=三棱锥三棱锥点B 到平面SAD的距离为3. 19.解:(1)甲方案中派送员日薪y (单位:元)与送货单数n 的函数关系式为: N ,100∈+=n n y , 乙方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为:⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ,k.KS5U(2)①、由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,则1=15220+15430+15620+15820+16010100x ⨯⨯⨯⨯⨯甲()=155.4, ()()()()()2222221=[20152155.4+30154155.4+20156155.4+20158155.4+10010160155.4]=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲,乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,则1=14050+15220+17620+20010100x ⨯⨯⨯⨯乙()=155.6, ()()()()222221=[50140155.6+20152155.6+20176155.6+10200155.6]100=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙, ②、答案一:由以上的计算可知,虽然x x <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案. 答案二:由以上的计算结果可以看出,x x <乙甲,即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数,所以小明应选择乙方案. 20解:(1)设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x yC x y ,当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,)2A -,则(1,)2B --,直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --=,275x ∴=,210y =-,则7(,510D -,∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--,直线OA的斜率为2k =,121()626k k ∴⋅=⋅-=-,当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x ,设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得:22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++,设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x ---,∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+,Q 直线OA 的斜率为20y k x =,∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21.解:(Ⅰ)由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭,又()()1xf x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e '-=-=-+, 若1a e =,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=,由0m ≤,可得2x mx x ≥+,令()()()11x g x x e x=+--,()()22x g x x e '=+-,当2x ≤-时,()()2220x g x x e '=+-<-<,当2x >-时, 设()()()22x h x g x x e '==+-,()()30x h x x e '=+>,故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0g '=, 所以当(),0x ∈-∞时,()0g x '<,当()0,x ∈+∞时,()0g x '>,所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增,故()()2()(0)011x g x g x e x mx x ≥=⇒+-≥≥+故2()f x mx x ≥+. 法二:(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=,由0m ≤,可得2x mx x ≥+,令()()()11x g x x e x=+--,()()22x g x x e '=+-,令当时,,单调递减,且;当时,,单调递增;且,所以在上当单调递减,在上单调递增,且,故()()2()(0)011x g x g x e x mx x≥=⇒+-≥≥+,故2()f x mx x ≥+. 选作题22(1)由题意可知直线l 的直角坐标方程为32y x =+,曲线C 是圆心为(3,1),半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得:33122r ⋅-+==;可知曲线C的方程为22(3)(1)4x y -+-=, 所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=,即4sin()3ρθπ=+. (2)由(1)不妨设M (1,ρθ),)6,(2πθρ+N ,(120,0ρρ>>),6sin21πON OM S MON =∆,,当12πθ=时, 32+≤∆MON S ,所以△MON 面积的最大值为23.23. 【解析】 (1)由题意可知32x x m--≥恒成立,令3()2x g x x-=-,去绝对值可得:36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-;(2)由(1)可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=,当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立,所以222111123a b c +++++的最小值为35.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 文科数学答案选择题(A 卷答案)1-5 ACDBB 6-10CABBB 11-12 DD (B 卷答案)1-5 BCDAA 6-10CBAAA 11-12 DD 二、填空题13.13-14. 3 15. 乙 16. 23三、解答题(解答题仅提供一种解答,其他解答请参照此评分标准酌情给分)17. 解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,且0d ≠由题意得242937a a a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩,……………2分即21(7)(7)(76)27d d d a d ⎧+=-+⎨+=⎩,解得13,1d a ==,……………4分所以数列{}n a 的通项公式32n a n =-,………………………………6分(2)由(1)得1(32)(31)nn n b a a n n +=⋅=-+1111()33231n b n n ∴=--+,…………………………8分12111111111......(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+L…………………10分11(1)33131n n n =-=++ (12)分.18.(1)因为//BC 平面SDM,BC ⊂平面ABCD,平面SDM I 平面ABCD=DM,所以DM BC //……………………2分因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又, CD AB 2=,所以M 为AB 的中点。
2018-2019年石家庄一模:河北省石家庄市2018届高三年级第一次模拟考试(理科)数学-附答案精
河北省石家庄市2018届高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. ()A. B.C. D.2. 设集合,,则()A. B. C. D.3. 已知,且,则()A. B. C. D.4. 两个单位向量,的夹角为,则()A. B. C. D.5. 用两个,一个,一个,可组成不同四位数的个数是()A. B. C. D.6. 已知,,,则()A. B. C. D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图,该程序所能实现的功能是()A. 求B. 求C. 求D. 求8. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象()A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A. B. C. D.10. 已知为双曲线:的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点.若,则的离心率是()A. B. C. D.11. 已知函数,则下列关于的表述正确的是()A. 的图象关于轴对称B. ,的最小值为C. 有个零点D. 有无数个极值点12. 已知,,,是半径为的球面上的点,,,点在上的射影为,则三棱锥体积的最大值是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设,满足约束条件,则的最小值是__________.14. 的展开式中,二项式系数最大的项的系数是__________.(用数字作答)15. 已知为抛物线上异于原点的点,轴,垂足为,过的中点作轴的平行线交抛物线于点,直线交轴于点,则__________.16. 在中,角,,的对边分别为,,,边上的高为,若,则的取值范围是__________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17. 已知数列为单调递增数列,为其前项和,.(1)求的通项公式;(2)若,为数列的前项和,证明:.18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤元,成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失元.根据以往的销售情况,按,,,,进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤,而另一天日销售量低于公斤的概率;(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值.(i)求日需求量的分布列;(ii)该经销商计划每日进货公斤或公斤,以每日利润的数学期望值为决策依据,他应该选择每日进货公斤还是公斤?19. 如图,在三棱柱中,平面平面,.(1)证明:;(2)若是正三角形,,求二面角的大小.20. 已知椭圆:的左焦点为,上顶点为,长轴长为,为直线:上的动点,,.当时,与重合.(1)若椭圆的方程;(2)若直线交椭圆于,两点,若,求的值.21. 已知函数,.(1)设,求的最小值;(2)证明:当时,总存在两条直线与曲线与都相切.(二)选考题:共10分.请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,圆:,圆:.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求,的极坐标方程;(2)设曲线:(为参数且),与圆,分别交于,,求的最大值.23. 选修4-5:不等式选讲设函数的最大值为.(1)求的值;(2)若正实数,满足,求的最小值.。
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题(A)含答案
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题(A )含答案石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(一)理科数学(A 卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =,{|3,}A x x x N =≥∈,则U C A =( ) A .{1,2} B .{3,4,5,6,7} C .{1,3,4,7} D .{1,4,7}2.已知i 为虚数单位,(1)2i x yi +=+,其中,x y R ∈,则x yi +=( )A .B C .2 D .43.函数()2(0)xf x x =<,其值域为D ,在区间(1,2)-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是( ) A .12 B .13 C .14 D .234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点,其中2AB =,则AC AB ⋅=( ) A .1 B .2 C .3 D .45. x ,y 满足约束条件:11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为( )A .-3B .32C .3D .4 6.程序框图如图所示,该程序运行的结果为25s =,则判断框中可填写的关于i 的条件是( )A .4?i ≤B .4?i ≥C .5?i ≤ D.5?i ≥7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S =a b c >>),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A .82平方里B .83平方里C .84平方里D .85平方里8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A .83π+B .84π+C .85π+D .86π+9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数,且在[2,0]b -上为增函数,则(1)(2)f x f x -≤的解集为( ) A .2[1,]3- B .1[1,]3- C .[1,1]- D .1[,1]310.在ABC ∆中,2AB =,6C π=,则3AC BC +的最大值为( )A B ...11.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在直线1y =-上,若ABC ∆为正三角形,则其边长为( )A .11B .12C .13D .1412.设xOy ,''x Oy 为两个平面直角坐标系,它们具有相同的原点,Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ,那么对于任意的点M ,在xOy 下的坐标为(,)x y ,那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为:'cos sin x x y θθ=+,'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为( )A .3.4.3 D .4二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.命题p :01x ∃≥,200230x x --<的否定为 .14.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是 .15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 .16.已知函数31()1x x f x x -+=-,ln ()xg x x =,若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ,2x ,3x (其中123x x x <<),则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122()n n S m m R +=+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形,//AB CD ,AB BC ⊥,222AB BC CD ===,SAD ∆为正三角形.(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点,若//BC 平面SDM ,AM AB λ=,求实数λ的值; (Ⅱ)若BC SD ⊥,求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元. (Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位:元)与送货单数n 的函数关系式;(Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时,日平均派送量为502n +单.若将频率视为概率,回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X (单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列,数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由. (参考数据:20.60.36=,21.4 1.96=,22.6 6.76=,23.411.56=,23.612.96=,24.621.16=,215.6243.36=,220.4416.16=,244.41971.36=)20.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 为椭圆上任意一点,当1290F MF ∠=时,12F MF ∆的面积为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线1AF ,2AF 分别与椭圆交于点B ,D ,设直线BD 的斜率为1k ,直线OA 的斜率为2k ,求证:12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-,(0)b >,在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. (Ⅰ)求a ,b ;(Ⅱ)若方程()f x m =有两个实数根1x ,2x ,且12x x <,证明:21(12)11m e x x e--≤+-.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(0r >,ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=,若直线l 与曲线C 相切;(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ,N 与原点O 构成MON ∆,且满足6MON π∠=,求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数()f x =R ;(Ⅰ)求实数m 的取值范围;(Ⅱ)设实数t 为m 的最大值,若实数a ,b ,c 满足2222a b c t ++=,求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12:BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙 15. 22,0e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭三、解答题 17解:(1) 法一:由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122ma S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=. 法二:由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=. (2)由(1)可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+,12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.(1)因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD=DM , 所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形, 又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为λ=,12λ∴=.(2)因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD , 又因为BC ⊂平面ABCD , 所以平面SCD ⊥平面ABCD , 平面SCD平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E , 则SE ⊥平面ABCD , 在Rt SEA 和Rt SED 中, 因为SA SD =,所以AE DE ===,又由题知45EDA ∠=, 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===, 以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则110n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩,令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量,12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角, 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解:(1)甲方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为: N ,100∈+=n n y , 乙方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为:⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y , (2)①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:所以X 甲的分布列为:所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲,()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲,所以X 乙的分布列为:所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙,()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙,②答案一:由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解:(1)设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =,∴椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设2(1,)2A -,则2(1,)2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-,则7(,510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(626k k ∴⋅=-=-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得:22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=, 又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++,设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x ---, ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21.解:(Ⅰ)由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h , 易得,()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =- 即()()()1()1111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2x F x x e e '=+-, 当2x ≤-时,()11()20x F x x e e e '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2x G x F x x e e'==+-, ()()30x G x x e '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>, 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则111me x e'=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =,令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--,()()22x T x x e '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<,当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥, 又11x x '≤,2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22(1)由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+,曲线C 是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得:2r ==;可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+. (2)由(1)不妨设M (1,ρθ),)6,(2πθρ+N ,(120,0ρρ>>)6πS MON =∆. 当12πθ=时, 32+≤∆MON S ,所以△MON 面积的最大值为2.23. 【解析】(1)由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得:36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-;(2)由(1)可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=, 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
高三数学河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试试题(A卷)理科数学及参考答案及参考答案
河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题(理)(A卷)【参考答案】1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 16. 22,0e -e ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解:(1)法一:由122()n n S m m R +=+∈得122()n n S m m -=+∈R ,当当2n ≥时,12222n n n n a S S -=-=,即12(2)n n a n -=≥, 又1122m a S ==+,当2m =-时符合上式,所以通项公式为12n n a -=, 法二: 由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩ ,从而有2213322,4a S S a S S =-==-=, 所以等比数列公比322a q a ==,首项11a =,因此通项公式为12n n a -=, (2)由(1)可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-,1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+, 12111111(1)2335212121n n n T b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.解:(1)因为//BC 平面SDM ,BC ⊂平面ABCD ,平面SDM 平面ABCD =DM ,所以DM BC //,因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形,又,CD AB 2=,所以M 为AB 的中点,因为AB AM λ=,12λ∴=; (2)因为BC ⊥SD , BC ⊥CD ,所以BC ⊥平面SCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ,所以平面SCD ⊥平面ABCD ,平面SCD 平面ABCD CD =,在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ,则SE ⊥平面ABCD ,在Rt SEA 和Rt SED 中,因为SA SD =,所以AE DE ==,又由题知45EDA ∠=,所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===,以下建系求解.以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系,则(0,0,0)E ,(0,0,1)S ,(1,0,0)A ,(1,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,0,1)SA =-,(0,2,0)AB =,(0,2,1)SC =-,(1,0,0)CB =,设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =,则1100n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以020x z y -=⎧⎨=⎩, 令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量,同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量, 12121210cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅,因为二面角A SB C --为钝角,所以二面角A SB C --余弦值为5-. 19.解:(1)甲方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为: N ,100∈+=n n y ,乙方案中派送员日薪y (单位:元)与送单数n 的函数关系式为:⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y . ①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:所以X 甲的分布列为:所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲, ()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44.S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲所以X 乙的分布列为: 所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙.()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64.S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙②答案一: 由以上的计算可知,虽然()()E X E X <乙甲,但两者相差不大,且2S 甲远小于2S 乙,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,()()E X E X <乙甲,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案. 20解:(1)设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r a r r cr r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩,解得1a c ==,则21b =, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠,1122(,),(,)B x y C x y , 当直线1AF 的斜率不存在时,设(1,2A -,则(1,2B --, 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=,可得25270x x --= 275x ∴=,210y =-则7(,510D - ∴直线BD的斜率为1(1027(1)5k -==--,直线OA的斜率为22k =-121(6k k ∴⋅==-, 当直线2AF 的斜率不存在时,同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时,10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++,则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得: 22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=,又220012x y +=,则220022y x =-,代入上述方程可得 2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=,2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++,则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++ 设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--,同理可得000034(,)2323x y D x x --- , ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+, 直线OA 的斜率为020y k x =, ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以,直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-,即1216k k ⋅=-. 21.解:(Ⅰ)由题意()10f -=,所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭, 又()()1x f x x b e a '=++-,所以1(1)1b f a e e'-=-=-+, 若1a e=,则20b e =-<,与0b >矛盾,故1a =,1b =; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()()()11x f x x e =+-, (0)0,(1)0f f =-=, 设)(x f 在(-1,0)处的切线方程为)(x h ,易得,()1()11e h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令()()()F x f x h x =-即()()()1()1e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭,()1()2e ex F x x '=+-, 当2x ≤-时,()11()2e 0e ex F x x '=+-<-< 当2x >-时,设()1()()2e ex G x F x x '==+-, ()()3e 0x G x x '=+>, 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增,又(1)0F '-=,所以当(),1x ∈-∞-时,()0F x '<,当()1,x ∈-+∞时,()0F x '>,所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间()1,-+∞上单调递增, 故0)1()(=-≥F x F ,11()()f x h x ≥,设()h x m =的根为1x ',则1e 11em x '=-+-, 又函数()h x 单调递减,故111()()()h x f x h x '=≥,故11x x '≤,设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =,易得()t x x =令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--,()()2e 2xT x x '=+-, 当2x ≤-时,()()2220x T x x e '=+-<-<当2x >-时,故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增,又(0)0T '=,所以当(),0x ∈-∞时,()0T x '<,当()0,x ∈+∞时,()0T x '>,所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减,在区间()0,+∞上单调递增, 0)0()(=≥T x T ,22()()f x t x ≥ ,设()t x m =的根为2x ',则2x m '=,又函数()t x 单调递增,故222()()()t x f x t x '=≥,故22x x '≥,又11x x '≤,2121e (12e)111e 1e m m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22.解:(1)由题意可知直线l的直角坐标方程为2y =+, 曲线C是圆心为,半径为r 的圆,直线l 与曲线C 相切,可得:2r =;可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=,所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=, 即4sin()3ρθπ=+ ; (2)由(1)不妨设M (1,ρθ),)6,(2πθρ+N ,(120,0ρρ>>)6πS MON =∆ ,, 当12πθ=时, 32+≤∆MO N S , 所以△MON面积的最大值为2+.23. 解:(1)由题意可知32x x m --≥恒成立,令3()2x g x x -=-, 去绝对值可得:36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩,画图可知()g x 的最小值为-3,所以实数m 的取值范围为3m ≤-;(2)由(1)可知2229a b c ++=,所以22212315a b c +++++=,222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++22222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥= 当且仅当2221235a b c +=+=+=,即2224,3,2a b c ===等号成立, 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
高三数学下学期4月一模考试试题文40
(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪
y (单位:元)与送货单数 n 的函数关系式;
(Ⅱ) 根据该公司所有派送员 100 天的派送记录, 发现派送员的日平均派送单数与天数满足
以下表格:
日均派送单数
52
54
56
Hale Waihona Puke 5860频数(天)
20
30
20
20
10
回答下列问题:
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为 X (单位:元) ,试分别求出这 100 天中甲、乙两 种方案的日薪 X 平均数及方差;
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
A. i 4?
B. i 4?
C. i 5?
D . i 5?
7. 南宋数学家秦九韶早在 《数书九章》 中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式: “以
小斜幂并大斜幂, 减中斜幂, 余半之, 自乘于上, 以小斜幂乘大斜幂减之, 以四约之, 为实,
1 x乙 = (140
100 S乙 2= 1 [50
100 =404.64
50+152 20+176 20+200 10)=155.6,
2
2
140 155.6 +20 152 155.6 +20 176
2
155.6 +10
.
3
19.解 :( 1 ) 甲方 案中 派送 员 日薪 y ( 单 位 :元 )与 送 货单 数 n 的 函 数关 系式 为 :
y 100 n, n N ,
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
乙方案中派送员日薪 y (单位:元)与送单数 n 的函数关系式为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(一)理科数学(A卷)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合_,_,则_()A._ B._ C._ D._2.已知_为虚数单位,_,其中_,则_()A._ B._ C.2 D.43.函数_,其值域为_,在区间_上随机取一个数_,则_的概率是()A._ B._ C._ D._4.点_是以线段_为直径的圆上的一点,其中_,则_()A.1 B.2 C.3 D.45. _,_满足约束条件:_,则_的最大值为()A.-3 B._ C.3 D.46.程序框图如图所示,该程序运行的结果为_,则判断框中可填写的关于_的条件是()_A._ B._ C._ D._7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:_,_),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为()A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()_A._ B._ C._ D._9.已知_是定义在_上的偶函数,且在_上为增函数,则_的解集为()A._ B._ C._ D._10.在_中,_,_,则_的最大值为()A._ B._ C._ D._11.过抛物线_焦点_的直线交抛物线于_,_两点,点_在直线_上,若_为正三角形,则其边长为()A.11 B.12 C.13 D.1412.设_,_为两个平面直角坐标系,它们具有相同的原点,_正方向到_正方向的角度为_,那么对于任意的点_,在_下的坐标为_,那么它在_坐标系下的坐标_可以表示为:_,_.根据以上知识求得椭圆_的离心率为()A._ B._ C._ D._二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.13.命题_:_,_的否定为.14.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是.15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为.16.已知函数_,_,若函数_有三个不同的零点_,_,_(其中_),则_的取值范围为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.已知等比数列_的前_项和为_,且满足_.(Ⅰ)求数列_的通项公式;(Ⅱ)若数列_满足_,求数列_的前_项和_.18.四棱锥_的底面_为直角梯形,_,_,_,_为正三角形._(Ⅰ)点_为棱_上一点,若_平面_,_,求实数_的值;(Ⅱ)若_,求二面角_的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪_(单位:元)与送货单数_的函数关系式;(Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在__时,日平均派送量为_单.若将频率视为概率,回答下列问题:_①根据以上数据,设每名派送员的日薪为_(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪_的分布列,数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由. (参考数据:_,_,_,_,_,_,_,_,_)20.已知椭圆_:_的左、右焦点分别为_,_,且离心率为_,_为椭圆上任意一点,当_时,_的面积为1. (Ⅰ)求椭圆_的方程;(Ⅱ)已知点_是椭圆_上异于椭圆顶点的一点,延长直线_,_分别与椭圆交于点_,_,设直线_的斜率为_,直线_的斜率为_,求证:_为定值.21.已知函数_,_,在_处的切线方程为_.(Ⅰ)求_,_;(Ⅱ)若方程_有两个实数根_,_,且_,证明:_.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系_中,曲线_的参数方程为_(_,_为参数),以坐标原点_为极点,_轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线_的极坐标方程为_,若直线_与曲线_相切;(Ⅰ)求曲线_的极坐标方程;(Ⅱ)在曲线_上取两点_,_与原点_构成_,且满足_,求面积_的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲]已知函数_的定义域为_;(Ⅰ)求实数_的取值范围;(Ⅱ)设实数_为_的最大值,若实数_,_,_满足_,求_的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12:BA二、填空题13. _ 14. 乙15. _ 16. _三、解答题17解:(1)法一:由_得_,当当_时,_,即_,又_,当_时符合上式,所以通项公式为_.法二:由_得_,从而有_,所以等比数列公比_,首项_,因此通项公式为_.(2)由(1)可得_,_,_.18.(1)因为_平面SDM,__平面ABCD,平面SDM _平面ABCD=DM,所以_,因为_,所以四边形BCDM为平行四边形,又_,所以M为AB的中点.因为_,_._(2)因为__,__,所以_平面_,又因为_平面_,所以平面_平面_,平面_平面_,在平面_内过点_作_直线_于点_,则_平面_,在_和_中,因为_,所以_,又由题知_,所以_所以_,以下建系求解.以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,则_,_,_,_,_,_,_,_,_,设平面_的法向量_,则_,所以_,令_得_为平面_的一个法向量,同理得_为平面_的一个法向量,_,因为二面角_为钝角,所以二面角_余弦值为_._19.解:(1)甲方案中派送员日薪_(单位:元)与送单数_的函数关系式为:_,乙方案中派送员日薪_(单位:元)与送单数_的函数关系式为:_,①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:所以_,_,所以_的分布列为:所以_,_,②答案一:由以上的计算可知,虽然_,但两者相差不大,且_远小于_,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,_,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.20解:(1)设_由题_,解得_,则_,_椭圆_的方程为_.(2)设_,_,当直线_的斜率不存在时,设_,则_,直线_的方程为_代入_,可得__,_,则__直线_的斜率为_,直线_的斜率为_,_,当直线_的斜率不存在时,同理可得_.当直线_、_的斜率存在时,_设直线_的方程为_,则由_消去_可得:_,又_,则_,代入上述方程可得_,_,则__,设直线_的方程为_,同理可得_,_直线_的斜率为_,_直线_的斜率为_,__.所以,直线_与_的斜率之积为定值_,即_.21.解:(Ⅰ)由题意_,所以_,又_,所以_,若_,则_,与_矛盾,故_,_.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知_,_,设_在(-1,0)处的切线方程为_,易得,_,令_即_,_,当_时,_当_时,设_,_,故函数_在_上单调递增,又_,所以当_时,_,当_时,_,所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,故_,_,设_的根为_,则_,又函数_单调递减,故_,故_,设_在(0,0)处的切线方程为_,易得_,令_,_,当_时,_,当_时,_故函数_在_上单调递增,又_,所以当_时,_,当_时,_,所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,_,_ ,设_的根为_,则_,又函数_单调递增,故_,故_,又_,_.选作题22(1)由题意可知直线_的直角坐标方程为_,曲线_是圆心为_,半径为_的圆,直线_与曲线_相切,可得:_;可知曲线C的方程为_,所以曲线C的极坐标方程为_,即_.(2)由(1)不妨设M(_),_,(_)___.当__时, _,所以△MON面积的最大值为_.23. 【解析】(1)由题意可知_恒成立,令_,去绝对值可得:_,画图可知_的最小值为-3,所以实数_的取值范围为_;(2)由(1)可知_,所以_,__,当且仅当_,即_等号成立,所以_的最小值为_.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题 理科数学答案 选择题(A 卷答案)1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA (B 卷答案)1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB 填空题13. _ 14. 乙 15. _ 16. _三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答,其他解答请参照此评分标准酌情给分) 17解:(1) 法一:由_得_………………2分当当_时,_,即_………………4分又_,当_时符合上式,所以通项公式为_………………6分 法二:由_得_ ………………2分从而有_ ………………4分所以等比数列公比_,首项_,因此通项公式为_………………6分 (2)由(1)可得_…………………8分 _………………………10分 _……………12分18(1)因为_平面SDM, __平面ABCD,平面SDM _平面ABCD=DM, 所以_……………………2分因为_,所以四边形BCDM 为平行四边形,又, _,所以M 为AB 的中点。
…………………4分 因为__………………5分(2)因为__, __,所以_平面_, 又因为_平面_, 所以平面_平面_, 平面_平面_,在平面_内过点_作_直线_于点_, 则_平面_,………………6分 在_和_中, 因为_,所以_, 又由题知_, 所以_所以_, …………………………7分以下建系求解。
以点E 为坐标原点,EA 方向为X 轴,EC 方向为Y 轴,ES 方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,则_,_,_,_,_, (8)分_,_,_,_,设平面_的法向量_,则_,所以_,令_得_为平面_的一个法向量,…………………………………………9分同理得_为平面_的一个法向量,……………10分_,因为二面角_为钝角所以二面角_余弦值为_…………………………………………12分19.解:(1)甲方案中派送员日薪_(单位:元)与送单数_的函数关系式为:_ …………………………2分乙方案中派送员日薪_(单位:元)与送单数_的函数关系式为:_………………………4分-----------5分所以_----6分_-------7分所以_的分布列为:-----------8分所以_-----------9分_-------10分②答案一:由以上的计算可知,虽然_,但两者相差不大,且_远小于_,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案。