2017石家庄市一模理科数学试题及答案
石家庄市一模理科数学试题及答案
届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =I ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A ．2 B ．2C ．1D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程$0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量$y 平均增加个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a r ，b r ，c r 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=r r ，则||a b c +-r r r的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ） A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =u u u r u u u r，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D =I ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则2,3)SB =-u u r，3)SA =-u u r，(2,3)SC =-u u u r，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =u r，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--u r ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =u u r，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅u r u u r u r u u r19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得D x =，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x +=，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。
河北省石家庄市2017届高三(上)9月摸底数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省石家庄市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若集合P={x|1≤log2x＜2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{1}C．{2，3}D．{1，2，3}2．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设a∈R，则“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x|C．y=|lnx|D．y=2﹣x5．执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（）A．z=x﹣y B．z=﹣3x+y C．z=x+y D．z=3x﹣y8．若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞）C．[，+∞）D．[2，+∞）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．11．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，）B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．在（x+）8的展开式中x4的系数是．14．设向量=（4，m），=（1，﹣2），且⊥，则|+2|=．15．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=64a，则+的最小值为．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=，c=1，求△ABC的面积．18．已知等差数列{a n}满足：a5=3，前3项和S3为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计样本的众数；（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE折起，使得∠DEC=120°．（Ⅰ）求证：平面DCF⊥平面DCE；（Ⅱ）求点B到平面DCF的距离．21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，﹣2）（m≠0）的直线MA，MB 与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标．22．已知函数f（x）=ax2﹣alnx+x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，设g（x）=f（x）﹣x，h（x）=﹣2xlnx+2x，若对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2），|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若集合P={x|1≤log2x＜2}，Q={1，2，3}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{1}C．{2，3}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出P中不等式的解集，确定P，找出两集合的交集即可．【解答】解：P={x|1≤log2x＜2}=[2，4），Q={1，2，3}，则P∩Q={2，3}，故选：C．2．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：z===在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．3．设a∈R，则“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过讨论a，结合直线平行的条件求出直线平行的充要条件，通过比较其和a=4的关系，判断即可．【解答】解：当a=4时，两直线分别为4x+8y﹣3=0和2x+4y﹣4=0，满足两直线平行．当a=0时，两直线分别8y﹣3=0和2x=0，不满足两直线平行．∴a≠0，若两直线平行，则﹣=﹣，解得a2=16，则a=±4，即“a=4是“直线l1：ax+8y﹣3=0与直线l2：2x+ay﹣a=0平行”充分不必要条件，故选：A．4．下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．y=x2+2|x|C．y=|lnx|D．y=2﹣x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A.是偶函数，当x＞0时，=（）x是减函数，不满足条件．B．y=x2+2|x|是偶函数，当x＞0时，y=x2+2|x|=x2+2x是增函数，满足条件．C．y=|lnx|的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，且函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．5．执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次计算运行的P、Q的值，直到条件P≤Q不满足，判断此时的n值，可得答案．【解答】解：由程序框图得：程序第一次运行P=0+30=1，Q=2×1+1=3，n=1；第二次运行P=1+31=4，Q=2×3+1=7．n=2；第三次运行P=4+32=13，Q=2×7+1=15，n=3；第四次运行P=13+33=40，Q=2×15+1=31，n=4，不满足P≤Q，程序运行终止，输出n=4．故选：C．6．将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：将函数y=4sin（4x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=4sin（2x+）的图象，再向右平移个单位，所得函数y=4sin[2（x﹣）+]═4sin（2x﹣）图象，令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，故所得图象的一个对称中心为（，0），故选：D．7．已知x，y满足约束条件，则下列目标函数中，在点（4，1）处取得最大值的是（）A．z=x﹣y B．z=﹣3x+y C．z=x+y D．z=3x﹣y【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，A．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过C时直线的截距最小，此时最大，此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件．B．由z=﹣3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象知当直线y=3x+z经过A时直线的截距最小，此时z最小，不满足条件．C．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象知当直线y=﹣x+z经过C时直线的截距最小，此时z最小，此时在A（4，1）处不是最大值，不满足条件．D．由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，由图象知当直线y=3x﹣z经过A时直线的截距最小，此时z最大，满足条件．，故选：D8．若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞）C．[，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2﹣ax+1≤0在（，3）恒成立，即a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a≥故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．根据数据即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．∴该几何体的表面积=++π×12+2π×1×2+=+1．故选：C．10．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==（﹣）=．所以P（A）=．故选：A．11．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=5x，结合|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，得到△ABF2为直角三角形，结合勾股定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=5x，则|BF2|=12x，|AF2|=13x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即13x﹣t=（5x+t）﹣12x=2a，解得t=10x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，∴得△ABF2是以B为直角的Rt△，则|BF1|=t+5x=10x+5x=15x=15×a=10a，|BF2|=12x=12×a=8a，则|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2，即100a2+64a2=4c2，即164a2=4c2，则41a2=c2，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：B．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则的范围为（）A．（，）B．（，）C．（e，2e）D．（e，e3）【考点】导数的运算．【分析】根据题给定条件，设构造函数g（x）=与h（x）=，再利用导数判断在（1，2）上函数的单调性．【解答】解：设g（x）=，则g'（x）=＞0∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即＜⇒＜；令h（x）=，则h'（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即＞⇒＞综上，＜且＞．故选：B二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分）13．在（x+）8的展开式中x4的系数是7．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中x4的系数．=••，令8﹣=4，【解答】解：∵（x+）8的展开式的通项公式为T r+1可得r=3，故展开式中x4的系数为•=7，故答案为：7．14．设向量=（4，m），=（1，﹣2），且⊥，则|+2|=2．【考点】向量的模．【分析】由⊥，可得•=0，解得m．再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=4﹣2m=0，解得m=2．∴=（4，2）+2（1，﹣2）=（6，﹣2）．∴|+2|==2．故答案为：2．15．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=64a，则+的最小值为2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出公比为2，利用等比数列{a n}中存在两项a m，a n，使得a m a n=64a12，可得2m+n ﹣2=26，化为m+n=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴q2﹣q﹣2=0，∴公比为q=2，∵等比数列{a n}中存在两项a m，a n，使得a m a n=64a12，a1≠0，∴2m+n﹣2=26，∴m+n=8．∴+=（m+n）（+）=（10++）≥（10+6）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．∴+的最小值为2．故答案为：2．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AC=5，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（3﹣3）π．【考点】球的体积和表面积．【分析】棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．【解答】解：设棱柱的内切球的半径为r，则Rt△ABC的内切圆为球的大圆，设AB=a，BC=b，则a2+b2=25，由等面积可得，∴r=．设a=5cosα，b=5sinα，则r=，设t=cosα+sinα，（|t|≤），r=（t﹣1），∴r max=（﹣1），∴直三棱柱内切球的表面积的最大值为25（3﹣3）π．故答案为：25（3﹣3）π．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sin2=sinC+1．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=，c=1，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosC=sinC，结合范围C∈（0，π），即可求得C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinA=1，进而可得A=，B=C=，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵2sin2=sinC+1，在△ABC中，A+B+C=π，∴2cos2=sinC+1，可得：cosC=sinC，…∵C∈（0，π），∴C=．…（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理：=，∴sinA=1，A=，B=C=，…=bc=．…∴S△ABC18．已知等差数列{a n}满足：a5=3，前3项和S3为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）令==2（），利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中设首项为a1，公差为d，∵a5=3，前3项和S3为，∴，解得，∴a n=．（2）令==2（），∴数列{}的前n项和：T n=2（）=2（）=．19．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出，某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计样本的众数；（2）该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民月用水量不超过ω吨的按2元/吨收费，超过ω吨不超过2ω吨的部分按4元/吨收费，超过2ω吨的部分按照10元/吨收费．①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，ω至少定为多少？②假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ω=2时，估计该市居民该月的人均水费．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，求出a的值，根据众数的定义得出众数的值；（2）①根据题意得出月用水量在[0，2.5]内的频率为0.75，从而得出ω的值；②ω=2时，计算居民月用水量对应的该月人均水费即可．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率是：[0，0.5]：0.04；（0.5，1]：0.08；（1，1.5]：0.15；（1.5，2]：0.22；（2，2.5]：0.26；（2.5，3]：0.5a；（3，3.5]：0.06；（3.5，4]：0.04；（4.4.5]：0.02；则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.26，…众数为[2，2.5]的中点值2.25；…（2）①由（1）可知月用水量在[0，2.5]内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，∴ω的值至少为1.25；…②若ω=2，当居民月用水量在[0，2]时，居民该月的人均水费为：（0.04×0.5+0.08×1+0.15×1.5+0.22×2）×2=1.53；…当居民月用水量在（2，2.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+0.5×4）×0.26=1.56，当居民月用水量在（2.5，3]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1×4）×0.13=1.04，当居民月用水量在（3，3.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+1.5×4）×0.06=0.6，当居民月用水量在（3.5，4]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4）×0.04=0.48；…当居民月用水量在（4，4.5]时，居民该月的人均水费为：（2×2+2×4+0.5×10）×0.02=0.34；…∴居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0.6+0.48+0.34=5.55元．…20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE折起，使得∠DEC=120°．（Ⅰ）求证：平面DCF⊥平面DCE；（Ⅱ）求点B到平面DCF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由AE⊥DE，AE⊥CE，知AE⊥面DCE，从而CF⊥面DCE，由此能证明平面DCF⊥平面DCE．（2）过点E作z轴⊥面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面DCF的距离．【解答】证明：（Ⅰ）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE=E，∴AE⊥面DCE，…又AE∥CF，∴CF⊥面DCE，又CF⊂面DCF，∴平面DCF⊥平面DCE．…解：（2）∵AE⊥DE，AE⊥CE，∠DEC=120°，过点E作z轴⊥面ABCE，如图，建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣），B（，2，0），F（，1，0），…=（，，﹣），=（0，，﹣），=（，，﹣），设平面DCE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），…∴点B到平面DCF的距离d===．…21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=，过点F且垂直于x轴的直线被圆截得的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M（m，﹣2）（m≠0）的直线MA，MB 与椭圆C分别交于点P，Q，求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率e=，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出．（2）点M（m，﹣2），A（0，1），B（0，﹣1）．直线MA方程为：y=﹣x+1，直线MB方程为：y=﹣x﹣1．分别与椭圆=1联立方程组，可得：=0，=0，解得x P，x Q，可得y P，y Q．P，Q坐标．可得直线PQ方程，即可证明．【解答】（1）解：由离心率e=，可得a2=4b2，∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，解得b=1，a=4，∴椭圆C方程为=1．（2）证明：点M（m，﹣2），A（0，1），B（0，﹣1）．直线MA方程为：y=﹣x+1，直线MB方程为：y=﹣x﹣1．分别与椭圆=1联立方程组，可得： =0， =0，解得x P =，x Q =，可得：y P =﹣x P +1=，同理可得y Q =．∴P ，Q ．直线PQ 的斜率k=，则直线PQ 方程为：y ﹣=．化简可得直线PQ 的方程为：y ═x ﹣．∴直线PQ 恒过定点．22．已知函数f （x ）=ax 2﹣alnx +x ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＜0，设g （x ）=f （x ）﹣x ，h （x ）=﹣2xlnx +2x ，若对任意x 1，x 2∈[1，+∞）（x 1≠x 2），|g （x 2）﹣g （x 1）|≥|h （x 2）﹣h （x 1）|恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，令F （x ）=g （x ）﹣h （x ）=ax 2﹣alnx +2xlnx ﹣2x ，求出函数的导数，令G （x ）=ax ﹣+2lnx ，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答】解：（1）f ′（x ）=ax ﹣+1=，令t （x ）=ax 2+x ﹣a ，当a ＞0时，令g （x ）=0，解得：x 1=＞0，x 2=＜0，所以f （x ）在（0，x 1）上单调递减，在（x 1，+∞）上单调递增．（2）g ′（x ）=ax ﹣=，因为a＜0，当x≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[1，+∞）单调减；h′（x）=﹣2lnx，当x≥1时，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）单调减．因为对任意x1，x2∈[1，+∞），|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|，不防设x1＜x2，则由两函数的单调性可得：g（x1）﹣g（x2）≥h（x1）﹣h（x2），所以：g（x1）﹣h（x1）≥g（x2）﹣h（x2）对任意x1＜x2∈[1，+∞）恒成立；令F（x）=g（x）﹣h（x）=ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x，则F（x1）≥F（x2）对任意x1＜x2∈[1，+∞）恒成立；即：y=F（x）在x∈[1，+∞）上单调减，即：F′（x）=ax﹣+2lnx≤0在x∈[1，+∞）上恒成立，令G（x）=ax﹣+2lnx，G′（x）=，当a≤﹣1时，ax2+2x+a≤0在x∈[1，+∞）恒成立，所以G′（x）≤0，G（x）在[1，+∞）单调减，所以G（x）≤G（1）=0，满足题意，当﹣1＜a＜0时，G（x）有两个极值点x1，x2且x1=＞1，x2=＜1，所以在（1，x1）上，G（x）单调增，即：G（x）＞G（1）=0对任意x∈（1，x1）上恒成立，不满足题意，舍！综上所述：当a≤﹣1时，不等式|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|在x1，x2∈[1，+∞）恒成立．2017年1月3日。
2017年石家庄一模理科数学试卷含答案
2016-2017学年度石家庄市第一次模拟考试数学理科答案一、选择题（A 卷）1-5 CCDCB, 6-10ACBCB, 11-12 AB选择题（B 卷）1-5 DDCDB, 6-10ADBDB, 11-12 AB二、填空题13 0200,2n n n ∃∈≥N 14 1024 15 31 16 7a >- 三、解答题 17.（1）sin sin sin C a b A B a c +=--由正弦定理可得c a b a b a c +=-- ()()()c a c a b a b ∴-=-+ 即222a c b ac +-= ………………………2分又 2222cos a c b ac B +-=1cos 2B ∴= ……………………………4分 ()0,3B B ππ∈∴= ……………………………6分2)法一：在ABD ∆中由余弦定理知：()2202222cos603c a a c +-⋅⋅⋅= ………………8分()222932222a c a ca c a c ∴+-=⋅⋅+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭………………………………………………10分 ()()2232924a c a c ∴+-≤+ ()2236a c +≤即当且仅当2a c = 即3,32a c ==时 2a c + 的最大值为6……………………………………12分法二：由正弦定理知23sin sin sin 60oa c BAD ADB ===∠∠2,,a BAD c ADB ∴=∠=∠2a c BAD ADB ∴+=∠+∠…………………………8分))0sin sin sin sin(120)3sin 2216sin cos 226sin()6BAD ADB BAD BAD BAD BAD BAD BAD BAD π=∠+∠=∠+-∠⎫=∠+∠⎪⎪⎭⎛⎫=∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭=∠+ ……………………………………10分 250,,3666BAD BAD ππππ⎛⎫⎛⎫∠∈∴∠+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当且仅当62BAD ππ∠+=即3BAD π∠= 时2a c + 的最大值为6……………………………………12分18.（Ⅰ）在三角形ABD 中， sin sin AB AD ADB DBA=∠∠,由已知 60=∠DBA，AD =4BA =，解得， sin 1ADB ∠=,所以90ADB ∠= ，…………………2分即AD BD ⊥， 可求得2=BD在三角形SBD 中， 32=SD ，4=BS ，2=BD222BS SD DB =+∴，BD SD ⊥∴……………………………4分AD BD S 面⊄ ，D AD SD =⋂AD BD S 面⊥∴…………………………5分（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为Z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可知，平ABCD SAD ⊥面平面，∴S 在面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作AD SE ⊥于E ，则3,3==SE DE ，则）（3,0,3-S ，…………………………7分 易求）（0,0,32A ，）（0,2,0B ,）（0,2,32C - 则）（3,2,3-=SB ,）（3,0,33-=SA ，）（3,2,3--=SC ……………………………8分设平面SBC 的法向量）（z y x n ,,1=，230230y z y z +-=+-=⎪⎩， 解得）（2,3,01--=n …………………………10分同理可求平面SBA 的法向量）（3,3,12=n91273571335cos -=⋅-==∴θ…………………………12分 19（1 ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4.4641015P 0==210C C X =（），134641080P 1==210C C C X ⋅=（），224641090P 2==210C C C X ⋅=（）， 314641024P 3==210C C C X ⋅=（），444101P 4==210C C X =（） X 的分布列为：………………………………………………………………………………………4分（说明：上述5个数据错一个扣1分，错两个扣2分，错3个及以上扣4分）158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------- 6分 ( 2 ) 序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种， ----------------------------- 8分当=0Y 时，1234=1,=2,=3,=4.a a a a ------------------------------------------ 9分 当12341234=2Y a a a a=-+-+-+-时，1234,,,a a a a 的取值为123412341234=1,=2,=4,=3=1,=3,=2,=4=2,=1,=3,=4.a a a a a a a a a a a a ；；.故41P 2==246Y ≤（）.------------------------------------------ 12分 20．（1）法一：设(0,)M m ， (0,)N n ， ∵MF ⊥NF ， 可得1m n =-∵12MFN S MF FN ∆=2分==1≥= 当且仅当||1,|| 1.m n =⎧⎨=⎩时等号成立. ∴三角形MFN 的面积的最小值为1…………………………………4分 法二：∴(0,)M m ， (0,)N n ，∵MF ⊥NF ， 可得1m n =- ， 1122AMFN S AF MN MN ==，…………………2分 222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⨯ ，当且仅当||||MF NF =时等号成立. min ||2MN ∴= ∴min 1=12MFN S MN =（） ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1………………………4分（2）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为：y x m =+由2222y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：2222(1)2(1)0m x x m +++-=由222(1)1E m x m-=+，得221)1E m x m -=+，①……………………………6分同理可得：221)1D n x n -=+…………………………7分222211)1111D m m m n x m m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭-⎥⎣⎦=-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，②故由①②可知：E D x x =-，…………………………………9分 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF ⊥NF ，故,N M 分别在x 轴两侧，E D y y =-…………………………11分 ∴E D E Dy y x x =，所以,,E O D 三点共线.…………………………12分21.(Ⅰ) 法一：函数()f x 的定义域为(),1- . 由题意222()2,111a x x a f x x x x x-+-¢=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-……………………………………………2分①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立 则()f x 在(),1- 上为单调减函数，…………………………………3分 ②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两个根为121122x x -+==，当()1,x x ∈-∞时/()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时/()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意。
石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学理)(含答案)word版
试卷类型：A2017年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学(理科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn p k (1-p) k n - (k=0，l ，2，…，n)球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，周期为π的是A ．y=sin2x B ．y=sin2x C ．y=cos 4x D ．y=tan2x 2．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则S 6的值为A ．30 8．35 C ．36 D ．243．已知函数f(x)的反函数f 1-(x)的图象经过4(1，O)点，则函数y= f(x-1)的图象必过点A ．(1，1)B ．(0，1)C ．(一1，2)D ．(一l ，1)4．动点P 到A(0，2)点的距离比它到直线l ：y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为A ．y 2=4xB ．y 2=8xC ．x 2=4yD ．x 2=8y5．设(1-2x)10=a 0 + a 1x+ a 2x 2+…+ a 10x 10，则a 1+22a +232a +…+9102a 则的值为 A ．2 8．-2 C ．2043 D ．20466．若定义在[-1，1]上的两个函数f(x)、g(x)分别是偶函数和奇函数，且它们在[0， 1]上的图象如图所示，则不等式)()(x g x f <0的解集为A ．(-31,0)∪(31,1) B ．(-31,31) C ．（-1，-31)∪(31,1) D ．(-31，0) 7．过直线y=x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为 A ．22 B. 223 C ．210 D.2 8．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则A 1E 与BD 所成角的余弦值为A ．53 B. 1030 C ．43 D ．77 9．等腰直角三角形ABC 中，A=2π，AB=AC=2，M 是BC 的中点，P 点在∆ABC 内部或其 边界上运动，则即BP ·AM 的取值范围是 A ．[-l ，0] B ．[1，2] C ．[-2，-1] D ．[-2，0]10．函数f(x)=sinx+2x f '(3π) ，f '(x)为f(x)的导函数，令a=-21，b=log 32,则下列关系正确的是A ．f(a) > f(b)B ．f(a) ＜ f(b)C ．f(a) = f(b)D ．f(|a|) ＜ f(b)11．如图，棋盘式街道中，某人从A 地出发到达B 地．若限制行进的方向只能向右或向上，那么不经过E 地的概率为A ．21B ．73C ．53 D. 5212．椭圆22a x +22by =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．[22,1 ) B ．[22,36] C ．[36，1) D ．[22,23] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分． 13.复数ii ++13的虚部为 14．已知集合A={x ︱︱x-a ︱≤l}，B={x ︱0652≥--x x }，若A ∩B=φ，则实数a 的取值范围是15．奇函数f(x)的图象按向量a 平移得到函数y=cos(2x 一3π)+1的图象,当满足条件的 ∣a ∣最小时，a=16．三棱锥A —BCD 内接于球0，BC=AD=32，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=2π，顶点 A 在面BCD 上的射影恰在BC 上，。
【河北省石家庄市】2017届高三冲刺模考理科数学试卷-答案
河北省石家庄市2017届高三冲刺模考理科数学试卷答 案一、选择题1~5．BADDC ． 6~10．DBACC ． 11~12．DD ．二、填空题13． 14． 15． 16．．三、解答题17．解析：（Ⅰ）由()cos2cos22sin sin A sin B A C C -=-g ，可得222sin sin sin sin sin A B C A C +-=g ． 根据正弦定理得222a c b ac +-= ， 由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-== ， 0,.3B B <<∴=ππQ ．（Ⅰ）由（Ⅰ）得：22sin b B==R ，其中，πsin cos 03ϕϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 220,,33A A ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ， ∴ 当π=2A ϕ+当2π3A ϕϕ+=+当A ϕ=ϕ+所以()].A ϕ+∈18．（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，． 取的中点为，连结，．4521038F AC G FG AC ⊥AC O OB GB在中，，所以． 在 中，，所以． 所以，，即．∵∴ 面．又面，所以面面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且 所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，，， 设平面，的法向量分别为，则 ，则， ，则 Rt FGC∆FG=2CF =32CG =Rt GBO ∆OB=12OG=2BG =222BGGF FB +=FG BG ⊥,,FG AC FG GB AC BG G⊥⊥=I FG ⊥ABCFG ⊆FGB FGB⊥ABC OB FG ⊥OBAC ⊥AC FG G =I OB ⊥AFC FG ⊥ABC OB x OC y O ABC z 1(0,1,0),(0,2A B F --32E -(1,0)BA =-u u u r51((42BE BF =-=-u u u r u u u r ABE ABF ,m n u r r00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r (1,1)m =-u r 00n BA n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，所以二面角19．解析：根据列联表中的数据，可得所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”． （Ⅱ）由表可知在8 的可能取值为：0，1，2，3，∴ 的分布列为：∴ 20．解析：（Ⅰ）依题意有，， 且，1(1,)2n =r cos m n m nθ⋅==u r r u r r E AB F --22⨯0.025X X 4EA QE EQ PE +=+=4QA <所以点（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，代入椭圆方程得： 且：①，② ∵直线：，直线： 由题知，的交点的横坐标为4，得：，即即：，整理得：③将①②代入③得： 化简可得：当变化时，上式恒成立，故可得：所以直线恒过一定点．21．解析：（Ⅰ）． ①当0a ≤ 时，则()0f x '> ，则函数在是单调增函数． ②当0a > 时，令()0f x '= ，则， 若ln x a < ，()0f x '<，所以()f x 在上是单调减函数； 若ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在上是单调增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，函数其图像与轴交于两点，则有E CD x my n =+2244x y +=222(4)2(4)0m y mny n +++-=12224mn y y m +=-+212244n y y m -=+TM 11(2)2y y x x =++TN 22(2)2y y x x =--TM TN T 1212322y y x x =+-12213(2)(2)y x y x -=+12213(2)(2)y my n y my n +-=++12212(2)3(2)my y n y n y =+--211222(4)2(2)()3(2)44m n mn n y n y m m --=+---++21(1)[(2)(4)]0n m n y m -+++=1,m y 1n =CD (1,0)()e x f x a '=-()f x (,)-∞+∞ln x a =(ln )a -∞，(ln )a +∞，0a >()y f x =xe 0i x i ax a -+= ，则()()1e 01i 1,2i x i i a x x -=>⇒>= ． 于是122e x x += ，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以，即 ()00=0y f x < ，由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即()12+12212e +022x x x x a x x a --++= ， 所以， 即． 因为，则，，所以， 即，则所以． 22．解析：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为π=4cos 6ρθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以21=4+sin 2ρρθθ⎫⎪⎪⎝⎭所以圆的普通方程（Ⅰ）由圆的方程 所以圆的圆心是，半径是2，将11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又直线，圆的半径是2，所以22t -≤≤ ， 的取值范围是．12012()2x x x x x +=∈，2102x x y -=-21002x x y -+=2112()022x x a x x a -+++=2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=110x -≠()2211111110212x x x a x ----++=-t 221(1)(1)022a at t t -++-=211a t =+-(1)(1) 2.a t --=()1at a t -+=C C C C 4u t =-l C [2,6]23．解析：（Ⅰ）因为()+1+x 5156f x x x x =-≥+-+= ， 所以．（Ⅰ）∵ 2222222,2,2a b ab a c ac c b cb +≥+≥+≥ ∴ ()()2222+2a b c ab ac bc +≥++ ．∴ ()()22222223222+a b c a b c ab ac bc a b c ++≥+++++=+ ， 又，所以，∴ 22212a b c ++≥ ．6m =6m =6a b c ++=。
河北省石家庄市高三第一次模拟考试——数学理数学(理)
河北省石家庄市 2017届高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,{}*|12B x N x =∈-≤,则 ( ) A ． B ．C ．D ．2.若是复数, ,则 ( ) A ． B ．C ．1D ．3.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 4.函数 (为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数 (,)的最小正周期为,其图象关于直线对称,则的最小值为( ) A ． B ．C ．D ．6.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A．48 B．54 C．64 D．608.已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为( )A． B．C．D．9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①②B．①③C．②④D．①④10.已知，满足约束条件20,220,220,x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若恒成立,则直线被圆22(1)(2)25x y-+-=截得的弦长的最大值为( )A． B．C．D．11.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )A． B．C．D．12.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．或 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题:，，则为 ．14.程序框图如图所示,若输入, , ,则输出的为 ．15.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，为的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则 （注：、、分别为、、的面积）．16.已知数列中, , ,若为递增数列,则实数的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角，，的对边分别是，，，且. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值. 18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25（分贝），并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，（其中，，，为1,2,3,4的一个排列）．若为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求的概率．20.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点．（Ⅰ）求的面积的最小值； （Ⅱ）证明：，，三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-． （Ⅰ）当时，的最小值为1，求实数的值； （Ⅱ）当时，求的取值范围．参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题13.， 14.1024 15. 16. 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴， ∵，∴．（Ⅱ）在中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴， ∵ ，∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为6． 18.（Ⅰ）证明：在中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知，，， 解得，所以，即，可求得． 在中， ∵, , , ∴,∴,∵平面, ,∴平面．（Ⅱ）过作直线垂直于，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面平面，∴在平面上的投影一定在上，过作于，则，，则， 易求，，， 则，，，设平面的法向量，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得．同理可求得平面的法向量，∴1212cos ||||13n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， 的分布列为：0 1 2 3 4158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号，，，的排列总数为种， 当时，，，，．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，，，，的取值为，，，；，，，；，，，． 故．20.解：（Ⅰ）设，，∵，可得，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当时等号成立． ∴，∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形的面积的最小值为1． （Ⅱ）∵，，∴直线的方程为，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=， 由，得，① 同理可得，∵，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+②故由①②可知：， 代入椭圆方程可得 ∵，故，分别在轴两侧，， ∴，∴，，三点共线．21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意222'()2,111a x x af x x x x x-+-=-=<--，224(2)()48a a ∆=---=-．①若，即，则恒成立， 则在上为单调减函数；②若，即，方程的两根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意． 综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为． （Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根， 即在有两个不等的实根，，于是，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足，， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，．[]22'()2ln (1)1xg x x x x x=--++-，， ∵，∴，又时，，∴，则在上单调递增， 所以，即，得证． 22.解：（Ⅰ），（为参数）． （Ⅱ）设四边形的周长为，设点，))θθθϕ=+=+， 且，，所以，当（）时，取最大值， 此时，所以，2cos 2sin θϕ==，此时，，的普通方程为．23.解：（Ⅰ）当时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当时，的最小值为，解得．（Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当时，成立， 所以，当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是．。
河北省石家庄市2017届高三9月摸底考试理数试题 Word版含解析
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，考试时间为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若集合{}2log 12＜x x P ≤=,{}3,2,1=Q ，则＝Q P ⋂A.{}2,1B.{}1C.{}3,2D.{}3,2,1 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}21log 2|24P x x x x =≤=≤<＜,所以{}2,3P Q = ，故选C. 考点：1.对数函数的性质；2.集合的运算. 2.复数iiz +-=12在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.3.设R a ∈,则“4=a 是“直线038:1=-+y ax l 与直线02:2=-+a ay x l 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A考点：1.两条直线的位置关系；2.充分条件与必要条件. 4.下列函数中为偶函数又在),0(+∞上是增函数的是A.xy )21(= B.2y x = C.x y ln = D.x y -=2【答案】B 【解析】试题分析：由函数的奇偶性定义可知，选项C,D 为非奇非偶函数，排除C 、D ，选项A 中，1()2xy =在区间(0,)+∞上是减函数，故选B. 考点：函数的奇偶性与单调性.5.执行右图的程序框图，如果输入3=a ，那么输出的n 的值为A.4B.3C.2D.1 【答案】A 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3a =，0,1,0p n θ===，p θ≤，是；0031,2113,011p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 1134,2317,112p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 24313,27115,213p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，是； 313340,215131,314p n θ=+==⨯+==+=，p θ≤，否，输出4n =； 故选A.考点：程序框图. 6.将函数)64sin(3π+=x y 的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得函数图像的一个对称中心为 A.)0,487(π B.)0,3(π C.)0,85(π D.)0,127(π 【答案】D考点：1.函数的伸缩变换与平移变换；2.三角函数的图象与性质.7.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≤+03045y x y x y x ，则下列目标函数中，在点)1,4(处取得最大值的是A.y x z -=51 B.y x z +-=3 C.15z x y =-- D.y x z -=3 【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数15z x y =-与3z x y =-+均是在点(5,1)A --处取得最大值，目标函数15z x y =--在点(1,4)C 处取得最大值，目标函数y x z -=3在点(4,1)B 处取得最大值，故选D.考点：线性规划.8.若函数123)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),310[+∞ D.),2[+∞ 【答案】C考点：导数与函数的单调性.9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.12)2210(++π B.12)211(++π C.12)2211(++πD.613π 【答案】B考点：1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.10.如图所示，在一个边长为1的正方形A0BC 内，曲线)0(3＞x x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A.125 B.61 C.41 D.31【答案】A 【解析】考点：1.积分的运算与几何意义；2.几何概型.【名师点晴】本题主要考查的是积分的运算与几何意义、几何概型，属于中档题．解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若z a bi =+（a 、R b ∈），则z =，几何概型的概率公式()P A =()()A 构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积．11. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:2222＞＞b a by a x C =-的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于B A ,两点，若13:12:5::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为A.13B.41C.15D.3 【答案】B 【解析】试题分析：因为22::5:12:13AB BF AF =，所以可设225,12,13,(0)AB t BF t AF t t ===>，由22222AB BF AF +=可知2AB BF ⊥，由双曲线定义有，122BF BF a -=，212AF AF a -=，两式相加得12214BF BF AF AF a -+-=，即224AB AF BF a +-=.所以46a t =，32a t =，所以12213310AF AF a t t t =-=-=，所以1115BF AB AF t =+=，由勾股定理得22222222124(1215)9(45)941c BF BF t t t t =+=+=⨯+=⨯，所以c =，所以双曲线的离心率22c e a t ===，故选B.考点：1.双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系；属中档题；双曲线的定义在解题中有重要的作用，如本题中就利用定义列出两个等式，由这两个等式解方程组得到相应的比例关系，就可求双曲线的离心率.12.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f ，满足0)()1(＞x f ；)(2)()()2(x f x f x f ＜＜'(其中)(x f '是)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)2()1(f f 的范围为 A.)1,21(2e e B.)1,1(2ee C.)2,(e e D.),(3e e 【答案】B考点：1.导数与函数的单调性；2.构造法的应用.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性以及构造法，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了．第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4各小题，每小题5分，共20分） 13.在83)21(xx +的展开式中4x 的系数是_______.【答案】7考点：二项式定理.14.设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=+b a 2________.【答案】 【解析】试题分析：因为a b ⊥ ，所以420a b m ⋅=-= ，即2m =，所以2(6,2)a b +=-，2a b +==.考点：1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.15.正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2164·a a a n m =，则nm 91+的最小值为______. 【答案】2 【解析】试题分析：2321111222a a a a q a q a q =+⇔=+⇔=或1q =-，又0n a >，所以2q =，2222111·642648m n m n a a a a a m n +-=⇔⨯=⇔+=，所以1919191(10)(106)2888m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n m m n =，即2,6m n ==时等号成立，所以nm 91+的最小值为2. 考点：1.等比数列的定义与性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.16.在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，5=AC ，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为___.【答案】25(3-考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积；3.基本不等式.【名曰点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式以及不等式等知识，属中档题；与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题，或者通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题进行求解.三、解答题（本大题共6小题，满分70分。
【全国市级联考】河北省石家庄市2017届高三第一次复习教学质量检测理数(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}{}|130,|24A x x x B x x =+-<=<<，则AB =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|14x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 【答案】D 【解析】试题分析：因为{|(1)(3)0}{|13}A x x x x x =+-<=-<<，所以{|23}A B x x =<<,故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.若复数z 满足23zi i =-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．32i -- B ．32i -+ C ．23i + D ．32i - 【答案】B 【解析】考点：复数的概念及运算．3. 下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C ．命题“()*1,322nn n N n -∀∈>+”的否定是“()*1,322nn n N n -∀∈≥+”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b <，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点()f x ”的逆命题为假命题【答案】D 【解析】试题分析：A 中，因为函数ln (0)y x x =>是增函数，所以0a b >>，则ln ln a b >，故A 错；B 中，若a b ⊥，则(21)0m m m +-=，解得0m =，故B 错；C 中，命题“n N +∀∈，13(2)2n n ->+⋅”的否定是“1,3(2)2n n N n +-∃∈≤+⋅”，故C 错；D 中，命题的逆命题是“若区间(,)a b 内至少有一个零点，则()()0f a f b ⋅<”是假命题，如函数2()23f x x x =--在区间(2,4)-上的图象连续不断，且在区间(2,4)-内有两个零点，但(2)(4)0f f -⋅>，故D 不正确，故选D ．考点：1、命题真假的判定；2、向量垂直的充要条件；3、全称命题的否定．4.已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =（ ） A ．80 B ．85 C. 90 D ．95 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得2111(5)(45)a a a +=+⨯，解得152a =，所以65656522S ⨯=⨯+⨯＝90，故选C ． 考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等比数列的性质．5.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-，则输出的S 的值为 （ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．9 【答案】C 【解析】考点：程序框图．6.某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面1(12)232S =+⨯=，高为2，所以该几何体的体积1132223V Sh ==⨯⨯=，故选A ． 考点：空间几何的三视图及体积．7.若函数()()()()2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ） A ．-1 B．12- D．【答案】B 【解析】考点：1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的图象与性质．【知识点睛】正弦、余弦函数的图象的对称中心就是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高（低）点且平等于y 轴（或与y 轴重合）的直线．应熟记这两类函数图象的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．8.若,x y 满足103220x y mx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩且3z x y =-的最大值为2，则实数m 的值为（ ）A ．13 B ． 23C. 1 D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，令2z =，联立323220y x x y =-⎧⎨-+=⎩，得(2,4)A ，直线0mx y -=经过点A ，即240m -=，解得2m =，故选D ．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤：(1)在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线；(2)将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求区域的公共部分．9.若,a b 是正数，直线220ax by +-=被圆224x y +=截得的弦长为t =取得最大值时a 的值为 （ ）A ．12 B D ．34【答案】D 【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式．【技巧点睛】在解直线与圆相交的弦长问题时，经常采用几何法．当直线与圆相交时，半径长、半弦长、弦心距离所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意所它和点到直线的距离公式结合起来使用．10.已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为（ ）A ．()1ln 2,-+∞B ．(),1ln 2-∞- C. ()1ln 2,1- D ．()1,1ln 2+ 【答案】B【解析】试题分析：因为当1x ≥时，3()2f x x x =+≥；当1x <时，1()22x f x e-=<，所以(())2f f x <，等价于()1f x <，即121x e -<，解得1ln 2x <-，所以(())2f f x <的解集为(,1ln 2)-∞-，故选B ． 考点：1、分段函数；2、函数的单调性；3、不等式的解法．11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,BD CD AB BD CD ⊥==，点P 在棱AC 上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．【答案】A 【解析】考点：函数的图象．12.若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(),0-∞ B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,0,2e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】考点：1、方程的根；2、利用导数研究函数的单调性．【规律点睛】根据导数与函数单调性的关系可知，在(),a b 内可导的函数()f x ，若此函数在指定区间上单调递增(减)，则函数在这个区间上的导数()0f x '≥（0≤），且不在(),a b 的任意子区间内恒等于0．求解后注意进行验证.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开工的二项式系数之和为64，则含3x 项的系数为 ．【答案】20 【解析】试题分析：由题意，得264n =，所以6n =，所以22611()()n x x x x+=+展开式的通项公式为261231661()()r r r r r r T C x C x x--+==．令1233r -=，得3r =，所以展开式中含3x 项的系数为3620C =． 考点：二项式定理．14.已知AB 与AC 的夹角为90°，()2,1,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且0AM BC =，则λμ的值为 ． 【答案】14【解析】考点：向量的坐标运算．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 为1121231234121,,,,2334445555n n nn-,,,,,,,,,,,，若14k S =，则k a = ．【答案】78【解析】 试题分析：因为121121122n n n n nn n -+++-+++==-，12111nn n n ++++++＝1212n n n +++=+，所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，…，12111n n n n ++++++是首项为12公差为12的等差数列，所以数列的前n 和21312224n n n n S +=++++=．令24k k kS +=＝14，解得7k =，所以78k a =． 考点：等差数列的前n 和公式．【规律点睛】一般地，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，除非公差为0；公差不为0的等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数且常数项为0，若某数列的前n 项和公式是关于n 的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．16.已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．【解析】考点：双曲线的定义及几何性质．【技巧点睛】离心率e 的求解中可以不求出,a c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到,a c 的齐次方程；②同时除以2a ，化简齐次方程，得到关于e 的一元二次方程；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围取舍．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()2234a cb ac -=-. （1）求cos B 的值；（2）若b =，且sin sin sin A B C 、、成等差数列，求ABC ∆的面积.【答案】（1）58；（2．【解析】试题分析：（1）根据已知条件结合余弦定理即可求得cos B 的值；（2）首先利用余弦定理得到,a c 的一个关系式，然后根据等差数列的性质与正弦定理得到,a c 的另个关系式，从而利用三角形面积公式求解即可． 试题解析：（1）由，可得……………2分∴ ，……………4分即．………………6分考点：1、余弦定理与正弦定理；2、等差数列的性质；3、三角形面积公式．【方法点睛】在解三角形时使用三角恒等变换，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦定理、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD⊥====为AD的中点，N为PC上一点，且//,,2,3,4,AD BC CD BC AD AB BC PA M=.3PC PNMN平面PAB；（1）求证：//--的余弦值.（2）求二面角P AN M【答案】（1）见解析；（2．【解析】试题分析：（1）在平面PBC内作NH BC交PB于点H, 连接AH，易证明得AMNH为平行四边形，从而利用平行四边形的性质使问题得证；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面AMN与平面PAN的法向量，进而利用空间夹角公式求解．试题解析：（1）证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H, 连接AH,在△PBC中,NH∥BC,且,又,∴NH∥AM且NH=AM,∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，……………2分，MN平面PAB，∴MN∥平面PAB.…………………4分设平面PAN 的法向量，……………10分则二面角……………12分考点：1、线面平行的判定定理；2、二面角．19.（本小题满分12分）为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成的一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图.根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常.（1）依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出二维列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？（2）以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【解析】试题分析：（1）首先根据茎叶图列出二维列联表，然后根据公式计算出2K，从而与临界表对比作出结论；（2）首先求得X的所有取值，然后分别求得相应概率，由此列出分布列，求出数列期望．====所以X 的分布列为所以EX==2.8此项血液指标为正常的人数X 的数学期望为2.8……………12分考点：1、茎叶图；2、独立性检验思想；3、离散型随机变量的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比. 【答案】（1）24y x =；（2）14． 【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义求解；（2）首先根据条件设出直线1l 的方程，然后联立抛物线方程，求得点,A B 的坐标，再利用点到直线的距离公式结合基本不等式求得距离的最小值，从而求得两个三角形面积的比．解法二：由，当时，，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理………………6分令则，令则，………………7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、点到直线的距离公式；4、基本不等式．【方法点睛】设而不求就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的关系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．此法在圆锥曲线问题解答中常与韦达定理联用． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()221ln ,1,,x f x x a bx g x bx e x a a b R e b=+-=-++∈为自然对数的底数，且()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1ln 22y x =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若0x ≥，求证：()()f x g x ≤. 【答案】（1）11,2a b ==；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先求得()f x '，然后利用导数的几何意义建立关于,a b 的方程组求解即可；（2）首先根据函数的单调性证得1ln(1)2x x x +-≤，由此将问题转化为证明21(1)102x x e x -++≥，从而令()h x ＝21(1)12x x e x -++，然后通过求导研究函数()h x 的单调性，并求得其最值，进而使问题得证．试题解析：（1），，且，以点为切点的切线方程为即：…………………2分由②得，代入①得：又为单调递增函数……………………4分所以可得；……………………………5分.思路：易知：，证明如下：，显然，当，，即又，（当时取等号）. ……………………7分要证：，即：只需证：，即证：考点：导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明【思路点睛】研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，证明不等式时，可构造一个新函数，将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题，即利用求导方法求单调区间，比较函数值与0的关系．请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 2sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 恒过的定点A 的坐标； （2）在（1）的条件下，若6AP AQ =，求直线l 的普通方程.【答案】（1）C ：22212x y +=，(2,0)A ；（2）2)y x =-或2)y x =-． 【解析】试题分析：（1）根据cos ,sin x y ρθρθ==可求得曲线C 的普通方程，根据参数方程的意义可求得点A 的坐标；（2）根据参数的几何意义求得sin α的值，由此求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的普通方程． 试题解析：（1）……..2分恒过的定点为…….4分因此，直线直线的方程或分.考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()3f x x x m x R =-++∈. （1）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求参数m 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x x ≤-≥或；（2）{|82}m m -≤≤． 【解析】试题分析：（1）首先利用零点分段法将不等式分类三段，然后分别求出解集，最后取它们的交集即可；（2）分3m -≤、3m ->化函数解析式为分段函数形式，然后根据不等式的解集不是空集求出m 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：分分解得：分法2.分分考点：绝对值不等式的解法、三角绝对值不等式的性质。
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2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位 4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF的面积为则准线l 的方程为( ) A．x =B．x =-C ．2x =- D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p :n N ∀∈，22nn <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）． 16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--，∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a cb ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,∵BD ⊄平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E ，则DE =，3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(C -，则3)SB =-，3)SA =-，(3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =-- ．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =同理可得D x =∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-， 代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为112x =，212x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ=+=+，且cos ϕ=，sin ϕ= 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==，sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。