2017石家庄市一模理科数学试题及答案

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷

数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B = ( ) A ．{}|13x x ≤≤ B ．{}|03x x ≤≤ C ．{}0,1,2,3

D ．{}1,2,3

2.若z 是复数,121i

z i

-=

+,则z z ?=( )

A B C ．1 D ．

52

3.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x y

B ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1

C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2

K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小 D ．在回归直线方程 0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量 y 平均增加0.2个单位 4.函数()31x

f x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )

5.函数()sin()f x A x ω?=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3

x π

=对称,则||?的最小值为

( )

A ．

12π B ．

6

π C ．

56π D ．512

π

6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ?= ，则||a b c +-

的取值范围是（ ）

A ．1??

B ．??

C ．

D ．1,1??

7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）

A ．48

B ．54

C ．64

D ．60

8.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( ) A ．200-

B ．100-

C ．0

D ．50-

9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．①④

10.已知x ，y 满足约束条件20,

220,220,x y x y x y +-≤??

--≤??-+≥?

若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆

22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )

A ．10

B

．C

．D

．11.已知过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =

,抛物线的准线l 与x 轴交

于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AACF

的面积为则准线l 的方程为( ) A

．x =B

．x =-C ．2x =- D ．1x =-

12.已知函数()ln f x ax e x =+与2

()ln x g x x e x

=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的

取值范围为( ) A ．a e <-

B ．1a >

C ．a e >

D ．3a <-或1a >

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知命题p :n N ?∈，22n

n <，则p ?为 ．

14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．

15.已知1F 、2F 分别为双曲线22

221x y a b

-=（

0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ?的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ???=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ?、2MPF S ?、12MF F S ?分别为1MPF ?、2MPF ?、12MF F ?的面积）

． 16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a b

A B a c

+=--.

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）点D 满足2BD BC =

，且线段3AD =，求2a c +的最大值.

18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=?，30SAD ∠=?，AD SD ==，

4BA BS ==.

（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．

19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：

（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，

1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．

20.已知椭圆C ：2

212

x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．

（Ⅰ）求MFN ?的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.

21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．

（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：

1221

()()

f x f x x x >

． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1

2

，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=． （Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；

（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形

ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|24|||f x x x a =++-．

（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案

一、选择题

1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题

13.0n N ?∈，0202n

n ≥ 14.1024 15.1

3

16.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵

sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a b

a b a c

+=--，

∴()()()c a c a b a b -=+-， 即2

2

2

a c

b a

c +-=，

又∵2

2

2

2cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2

B =

， ∵(0,)B π∈，∴3

B π

=

．

（Ⅱ）在ABC ?中由余弦定理知：2

2

2

(2)22cos603c a a c +-????=， ∴2

(2)932a c ac +-=?，

∵ 2

22(

)2

a c ac +≤， ∴22

3(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32

a =，3c =时取等号，

所以2a c +的最大值为6．

18.（Ⅰ）证明：在ABD ?中，

sin sin AB AD

ADB DBA

=∠∠，由已知60DBA ∠=?，AD =4BA =，

解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=?，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ?中，

∵SD =4BS =,2BD =, ∴2

2

2

DB SD BS +=,∴SD BD ⊥,

∵BD ?平面SAD ,SD AD D = ,∴BD ⊥平面SAD ．

（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系． ∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E ，则

DE =，3SE =，则(S ，

易求A ，(0,2,0)B

，(C -，

则3)SB =-

，3)SA =-

，(3)SC =-

，

设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z =

，230,

230,y z y z +-=+-=??解得1(0,3,2)n =-- ．

同理可求得平面SAB

的法向量2(1n =

，

∴1212cos ||||n n n n θ?===?

19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．

4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090

(2)210C C P X C ===，31

464

1024(3)210C C P X C ===， 444101

(4)210

C P X C ===

， X 的分布列为：

X 0

1

2

3

4

P

15210 80210 90210 24

210

1

210

158090241

()01234 1.621021**********

E X =?+?+?+?+?=．

（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4

424A =种，

当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．

当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为

11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．

故41(2)246

P Y ≤=

=． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，

11

||||||22

AMFN S AF MN MN =

=， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥?，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1

()||12

MFN S MN =

=， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．

（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM

的方程为y x m =

+，

由22,22,y x m x y ?=+???+=?

得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，

由222(1)1E m x m -=+

，得E x =

同理可得D x =

∵1m n ?=-

，∵221()11()1D m x m

?-?

??=

+=② 故由①②可知：E D x x =-， 代入椭圆方程可得22E D y y =

∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴

E D

E D

y y x x =

，∴E ，O ，D 三点共线．

21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，

由题意222'()2,111a x x a f x x x x x

-+-=-=<--， 224(2)()48a a ?=---=-．

①若480a ?=-≤，即12

a ≥

，则2

220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；

②若480a ?=->，即12a <

，方程2

220x x a -+-=

的两根为112x =

，212

x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11

(,)2

x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2

+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2

220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，

于是102a <<，12121,,2

x x a x x +=???=??且满足11(0,)2x ∈，2

1

(,1)2

x ∈， 211111*********

()1ln(1)(1)(1)2ln(1)

(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得

22221

()

(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221

()()

2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1

(,1)2

x ∈．

[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--+

+-，1(,1)2

x ∈， ∵1

(1)4x x -<

，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+

>-，∴'()0g x >，则()g x 在1

(,1)2

x ∈上单调递增， 所以1

()()02

g x g >=，即

1221

()()

0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2

214x y +=，2cos sin x y θθ

=??=?（θ为参数）．

（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，

8cos 4sin l θθ=

+))θθθ?=+=+，

且cos ?=

，sin ?= 所以，当22

k π

θ?π+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，

此时22

k π

θπ?=+

-，

所以，2cos 2sin θ?==

，sin cos θ?==

此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．

23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,

()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-

=++-=---≤≤-??-+>-?

可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；

当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．