存在性问题-中考数学综合专题训练试题

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第四节存在性问题
这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合
理的结果，就作出“存在”的判断，导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三
角形、三角形的面积相等、等腰( 直角) 三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，
基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．
, 中考重难点突破)
1 23
【例 1】 ( 汇川中考模拟 ) 抛物线 y＝4x －2x＋ 2 与 x 轴交于 A， B 两点 (OA<OB)，与 y 轴交于点 C.
(1)求点 A， B，C 的坐标；
(2) 点 P 从点 O出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 E 也从点 O出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，设点 P 的运动时间为 t s(0<t<2)．
①过点 E 作 x 轴的平行线，与
11
BC 相交于点 D(如图所示 ) ，当 t 为何值时，＋的值最小，求出这个最小值
OP ED
并写出此时点 E， P 的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△ EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1) 在抛物线的解析式中，令y＝ 0，令 x＝ 0，解方程即可得到结果；(2) ①由题意得： OP＝ 2t ， OE＝
CE ED2－ t
＝DE11
y
t ，通过△ CDE∽△ CBO 得到＝，即，求得＋有最小值 1，即可求得结果；②存在，求得抛物线
CO OB24OP ED
123
＝4x －2x＋ 2 的对称轴为直线 x＝ 3，设 F(3 ，m)，当△ EFP 为直角三角形时，①当∠ EPF＝ 90°时，②当∠ EFP＝90°时，③当∠ PEF＝ 90°时，根据勾股定律列方程即可求得结果．
【答案】解： (1) 在抛物线的解析式中，令y＝ 0，
2
3
得4x －2x＋ 2＝ 0，解得 x1＝ 2， x2＝ 4.
1
∵OA<OB，∴ A(2 ，0) ， B(4 ， 0) ，
在抛物线的解析式中，令 x＝ 0，得 y＝ 2，∴ C(0 ， 2) ；
(2)①由题意，得 OP＝ 2t ， OE＝ t.
∵DE∥OB，∴△ CDE∽△ CBO，
CE ED2－t
＝DE
∴ ＝，即
24，
CO OB
∴DE＝4－ 2t ，
1111
＝11
2，
∴ ＋＝
2t ＋2＝
1－（ t － 1）
OP ED4－2t－ t ＋2t
∵0 <t<2 ， 1－ (t －1) 2始终为正数，且
t ＝1 时， 1－(t － 1) 2有最大值 1，
1
∴ t ＝ 1 时，1－（t－1）2有最小值1，
1 1
即 t ＝1 时，＋有最小值 1，
OP ED
此时 OP＝ 2， OE＝ 1，
∴E(0，1) ，P(2，0) ；
②存在． F 的坐标为 (3 ，2) 或 (3 ， 7) ．
【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解
出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合
条件的解来肯定“存在与否”的问题．
◆模拟题区
1． ( 汇川升学二模 ) 在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2＋ (k －1)x － k 与直线 y＝ kx＋ 1 交于 A， B 两点，点 A 在点
B 的左侧．
(1)如图①，当 k＝ 1 时，写出 A， B两点的坐标；
(2) 在 (1) 的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；
(3)如图②，抛物线 y＝ x2＋ (k －1)x － k(k>0) 与 x 轴交于点上是否存在唯一一点 Q，使得∠ OQC＝ 90°？若存在，请求出此时C， D 两点 ( 点 C 在点 D 的左侧 ) ，在直线y＝ kx ＋ 1 k的值；若不存在，请说明理由．
解： (1) 当 k＝ 1 时，抛物线的解析式为y＝ x2－1，
直线的解析式为y＝ x＋ 1. 联立两个解析式，
得 x2－ 1＝ x＋ 1，解得 x＝－ 1 或 x＝2，
当 x＝－ 1 时， y＝ x＋ 1＝0；
当 x＝2 时， y＝x＋ 1＝ 3，
∴A(－1，0) ，B(2，3) ；
(2)设 P(x ， x2－ 1) ．如图①所示，
过点 P 作 PF∥y轴，交直线AB 于点 F，则 F(x ， x＋1) ．
∴PF＝(x ＋ 1) －(x 2－ 1) ＝－ x2＋ x＋ 2.
S＝S＋S＝1－ x ) ＋113
2PF(x2PF(x － x ) ＝2PF(x － x ) ＝2PF，△ ABP△ PFA△PFB F A BF BA
∴S△ABP＝3
( － x2＋ x＋ 2) ＝－
3
x－
1 2
＋
27
，
2822
2
3
当 x＝2时， y P＝ x －1＝－4.
1
27
∴△ ABP面积最大值为8 ，
1 3
此时点 P 坐标为2，－4；
(3)存在，理由如下：设直线 AB： y＝ kx ＋ 1 与 x 轴， y 轴分别交于点 E，F ，
11
则 E －k， 0 ，F(0 ， 1) ，OE＝k，OF＝ 1.
在 Rt△EOF中，由勾股定理得：
EF＝1
2
1＋ k2 k
＋ 1＝.
k
令 y＝x2＋ (k － 1)x － k＝ 0，即 (x ＋ k)(x － 1) ＝0，解得 x＝－ k 或 x＝ 1，
∴ C(－k， 0) ， OC＝ k.
设以 OC为直径的圆与直线AB 相切于点 Q，
根据圆周角定理，此时∠OQC＝90° .
设点 N为 OC中点，连接NQ，如图②所示，
k
则 NQ⊥EF， NQ＝ CN＝ ON＝2，
1k
∴EN＝ OE－ ON＝k－2.
∵∠ NEQ＝∠ FEO，∠ EQN＝∠ EOF＝ 90°，
∴△ EQN∽△ EOF，
NQ EN
∴＝，
OF EF
k1－ k
2 5
2k 2
即＝，∴ k＝±.
11＋k25
∵k>0，
25
∴ k＝，
5
25
∴当 k＝时，存在唯一一点Q，
5
使得∠ OQC＝ 90° .
◆中考真题区
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1 2
2． ( 黔东南中考 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y＝－6x＋bx＋ c 过点 A(0， 4) 和 C(8 ， 0) ， P(t ，0) 是 x 轴正半轴上的一个动点， M是线段 AP 的中点，将线段 MP绕点 P 顺时针旋转90°得线段 PB. 过点 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D.
(1)求 b， c 的值；
(2)当 t 为何值时，点D落在抛物线上；
(3)是否存在 t ，使得以 A， B， D 为顶点的三角形与△ AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．
解： (1) ∵A(0， 4) ， C(8， 0) 在抛物线上，
c＝4，5
∴1
b＝6，2解得
0＝－6×8＋ 8b＋ c，c＝ 4；
(2)∵∠ AOP＝∠ PEB＝ 90°，∠
OAP＝ 90°－∠ APO＝∠ EPB，
AO AP
∴△ AOP∽△ PEB，∴＝，
PE PB
∵AO＝4， AP＝ 2MP＝ 2PB，
∴PE＝2， OE＝ OP＋ PE＝ t ＋ 2，
又∵ DE＝ OA＝ 4，
∴点 D的坐标为 (t ＋ 2， 4) ，
当点 D落在抛物线上时，
1有－ 6(t
5
＋ 2) 2＋ 6(t＋2) ＋ 4＝4，
解得 t ＝ 3 或 t ＝－ 2，
∵t ＞ 0，
∴ t ＝ 3，故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上；
(3)存在 t ，能够使得以 A， B， D 为顶点的三角形与△ AOP相似．理由如下：①当 0＜ t ＜ 8 时，若△ POA∽△ ADB，
PO AO t
＝42
＋16＝ 0，
则＝，即整理，得 t AD BD t ＋21
4－2t
∴ t 无解；
若△ POA∽△ BDA，
同理，解得 t ＝－ 2±2 5( 负值舍去 ) ；
②当 t ＞ 8 时，若△ POA∽△ ADB，则PO AO
＝，AD BD
t4
，
即＝
t ＋ 21
4－2
t
解得 t ＝8±4 5( 负值舍去 ) ；
若△ POA∽△ BDA，同理，解得t 无解．
综上所述，当t ＝－ 2＋ 2 5或 8＋4 5时，
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