专项训练五 梯形的存在性问题
梯形教学反思
梯形教学反思引言概述：梯形教学是一种教学方法，通过分层次的教学内容和不同难度的学习任务，帮助学生逐步掌握知识和技能。
然而，梯形教学也存在一些问题和不足，需要进行反思和改进。
一、教学目标设定不清晰1.1 学习目标过于宽泛在梯形教学中，有时候教师设定的学习目标过于宽泛，导致学生无法准确理解任务要求。
1.2 学习目标缺乏具体性有些学习目标缺乏具体性，学生难以根据目标进行学习计划和实施。
1.3 学习目标与评估不匹配有时候学习目标与评估方式不匹配，导致学生无法有效评估自己的学习成果。
二、教学内容设计不合理2.1 缺乏深度和广度的平衡在梯形教学中，有时候教学内容缺乏深度和广度的平衡，导致学生无法真正掌握知识。
2.2 学习内容过于简单有些教学内容过于简单，无法激发学生的学习兴趣和动力。
2.3 学习内容与学生实际需求不符有时候教学内容与学生的实际需求和兴趣不符，导致学生学习动力不足。
三、教学方法选择不当3.1 教学方法单一在梯形教学中，有时候教师使用的教学方法过于单一，无法满足不同学生的学习需求。
3.2 缺乏互动性和趣味性有些教学方法缺乏互动性和趣味性，导致学生学习效果不佳。
3.3 忽视学生自主学习能力有时候教师忽视了学生的自主学习能力，过度依赖教师指导，影响学生的学习效果。
四、学生参与度不高4.1 学生 passivity在梯形教学中，有时候学生的参与度不高，缺乏主动性和积极性。
4.2 学生缺乏合作精神有些学生缺乏合作精神，无法与同学有效合作，影响学习效果。
4.3 学生缺乏自主学习能力有时候学生缺乏自主学习能力，无法独立完成学习任务，依赖教师指导。
五、评估方式单一5.1 缺乏多样性评估在梯形教学中，有时候评估方式过于单一，无法全面评价学生的学习成果。
5.2 评估方式不公平有些评估方式不公平，给予某些学生不公平的评价，影响学生的学习积极性。
5.3 评估方式与学习目标不匹配有时候评估方式与学习目标不匹配，导致学生无法准确评价自己的学习成果。
等腰梯形知识教学中常见的错误及纠正方法有哪些？
等腰梯形是初中数学中比较基础的一道几何题目，是一种非常常见的图形。
在教学中，对于等腰梯形的知识教学，许多老师都存在着一些错误和误区。
本文将介绍等腰梯形知识教学中常见的错误及纠正方法。
一、错误一：只注重记忆公式，缺乏实际运用在教学中，有些老师会只注重让学生记忆等腰梯形的公式，而忽略了实际运用。
这种教学方式只会让学生对等腰梯形的形状和性质有一定的了解，却无法灵活地运用到实际问题中，极大地限制了学生的数学素养。
纠正方法：应该通过一些实际例题来帮助学生理解等腰梯形的形状和性质，并引导学生从实际问题出发来理解等腰梯形的应用。
同时，可以让学生自己尝试解决一些实际问题，这样可以激发他们的思考能力和创造力。
二、错误二：不注重几何证明，忽视了综合思辨能力有些老师在教学中只注重等腰梯形的计算问题，而忽视了几何证明的重要性。
这种做法会让学生缺乏综合思辨能力，只能在具体问题中遵循简单的计算公式，而不能深刻理解等腰梯形的性质和特点。
纠正方法：在教学中应该重视等腰梯形的几何证明，培养学生综合思辨能力，让学生通过证明的方法来深刻理解等腰梯形的特点和性质。
这样学生不仅可以从运用中学会等腰梯形，也可以从证明中领悟等腰梯形的内在含义。
三、错误三：忽视学生的实际探究和创新能力有些老师在等腰梯形的教学中，会过于注重“填空式”的学习方式，忽视了学生的实际探究和创新能力。
这种教学方式会让学生缺乏主动性和创新性，只能机械地做题，不能从中获得充分的学习和收获。
纠正方法：在教学中应该引导学生进行实际探究和创新，让学生自己发现和解决问题，从而培养学生的自学和创新能力。
例如，可以让学生自己设计一些等腰梯形的例题，从中发现和总结等腰梯形的规律和特点。
四、错误四：缺乏针对性的教学有些老师在教学中缺乏针对性，不能分别给出一些针对性的指导。
这种教育方式会让学生在学习中缺乏方向感和目的性，容易对学习效果造成负面影响。
纠正方法：教学中应该分别给出一些针对性的指导，让学生能够有一个清晰的学习目标和方向，从而更加高效地学习等腰梯形知识。
梯形教学反思
梯形教学反思引言概述：梯形教学是一种教学方法，通过分层次、分难易程度的教学，帮助学生逐步掌握知识和技能。
然而，梯形教学也存在一些问题和挑战，需要进行反思和改进。
一、梯形教学的优点1.1 个性化学习：梯形教学可以根据学生的不同水平和需求，进行个性化的教学，帮助每个学生更好地掌握知识。
1.2 逐步深入：梯形教学可以逐步深入，让学生从简单到复杂、从表面到深层次地掌握知识，有利于知识的牢固掌握。
1.3 提高学习效率：梯形教学可以让学生在适当的时间内逐步提高学习难度，有效提高学习效率，避免学生出现学习困难。
二、梯形教学的不足之处2.1 缺乏灵活性：梯形教学可能会限制学生的学习速度和学习方式，导致学生学习不够主动，缺乏灵活性。
2.2 忽视学生个体差异：梯形教学可能会忽视学生的个体差异，导致一些学生被忽略或者被边缘化，影响教学效果。
2.3 学习压力过大：梯形教学可能会给学生带来过大的学习压力，导致学生焦虑和厌学，影响学习积极性。
三、改进梯形教学的方法3.1 引入个性化学习：在梯形教学中引入个性化学习的元素，根据学生的不同需求和水平，进行差异化教学，提高教学效果。
3.2 增加互动性：增加学生与教师之间的互动，让学生更加主动参与学习过程，提高学习的积极性和效果。
3.3 结合实践：在梯形教学中增加实践环节，让学生通过实际操作来巩固所学知识，提高学习的实效性。
四、梯形教学的应用领域4.1 在学校教育中的应用：梯形教学可以在学校教育中广泛应用，帮助学生更好地掌握知识和技能，提高学习效率。
4.2 在培训机构中的应用：梯形教学可以在培训机构中应用，帮助学员逐步提高技能水平，达到培训的预期效果。
4.3 在企业内部培训中的应用：梯形教学可以在企业内部培训中应用，帮助员工逐步提高工作能力，提高企业绩效。
五、结语梯形教学是一种有效的教学方法，但也需要不断反思和改进，以适应不断变化的教育环境和学生需求。
通过引入个性化学习、增加互动性、结合实践等方法，可以提高梯形教学的效果，更好地服务于学生的学习和发展。
新北师大版五年级数学上册梯形的面积易错题
新北师大版五年级数学上册梯形的面积易错题梯形是一个常见的几何形状，在计算其面积时容易出错。
本文将介绍一些新北师大版五年级数学上册中关于梯形面积的易错题，并提供解决方法。
以下是一些常见易错题及其解答：1. 题目：已知梯形的上底长为10厘米，下底长为6厘米，高为8厘米，求其面积。
解答：梯形的面积可以通过使用公式A = [(上底长 + 下底长) / 2] * 高来计算。
代入题目中给定的数值，可以得到 A = [(10 + 6) / 2] * 8 = 64 平方厘米。
2. 题目：已知梯形的上底长为12厘米，面积为120平方厘米，求其高。
解答：将已知的上底长和面积代入梯形面积的计算公式，可以得到 120 = [(12 + 下底长) / 2] * 高。
整理公式可得 240 = (12 + 下底长) * 高。
根据题目中给定的上底长为12厘米，可知下底长为12厘米，因此将下底长代入公式得到 240 = (12 + 12) * 高。
解方程可得高为 10 厘米。
3. 题目：已知梯形的面积为60平方厘米，高为6厘米，下底长为10厘米，求其上底长。
解答：将已知的面积，高和下底长代入梯形面积的计算公式，可以得到 60 = [(上底长 + 10) / 2] * 6。
整理公式可得 120 = 上底长 + 10。
解方程可得上底长为 110 厘米。
通过这些题目的解答，我们可以发现在计算梯形面积时，一定要正确使用梯形的公式，并根据已知条件进行求解。
同时，注意单位的转换，保持一致性。
希望这些解答能帮助你更好地理解和解决梯形面积的问题。
如果还有任何疑问，请随时向我提问。
梯形存在性问题
梯形存在性问题解析（二）（1）定方向：梯形；直角梯形；等腰梯形； （2）定分类：过确定的三点构造梯形，即过每个顶点做对边的平行线；直角梯形要围绕直角做平行线,等腰梯形在平行线的基础上要利用圆规截取两腰相等。
（2）定解法：代数法求解联立两个解析式求交点，几何法寻找代求点的横纵坐标之间的关系。
（4）定结果：将结果汇总。
【典型例题】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OA 、OC 分别与x 轴、y 轴重合，OC AB //,,21245,90==∠=∠BC BCO AOC 点C 的坐标为()018-，. （1）求点B 的坐标；（2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D,交y 轴于点E ,且.2,4BD OD OE ==求直线DE 的解析式；（3）若点P 是（2）中直线DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q ,使以Q P E O 、、、为顶点的四边形是菱形?若存在请写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由。
解：(1)过点B 作x BF ⊥轴交于点F. 12,212,45==∴==∠︒BF CF BC BCOC 的坐标为()0,18-，B ∴的坐标为()12,6-.(2) .560,6).12,6(),12,0(22=+==∴-AB OA B AB B A .5432,2==∴=OB OD BD OD OB 的解析式为∴-=.2x y 设D 的坐标为()x x 2,-.即可求出点D 的坐标为)8,4(-D .所以直线DE 的解析式为4+-=x y 。
(3) 结论：存在．设直线y=﹣x+4分别与x 轴、y 轴交于点E 、点F ，则E （0，4），F （4，0），OE=OF=4，EF=4．如答图2所示，有四个菱形满足题意．①菱形OEP1Q1，此时OE 为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF ﹣P1E= 4﹣4．易知△P1NF 为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=P1F=4﹣2；设P1Q1交x 轴于点N ，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF ﹣NF= 2， ∴Q1（2，﹣2）； ②菱形OEP2Q2，此时OE 为菱形一边．此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；③菱形OEQ3P3，此时OE 为菱形一边．此时P3与点F 重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；④菱形OP4EQ4，此时OE 为菱形对角线．由菱形性质可知，P4Q4为OE 的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4，得P4横坐标为2，则P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于OE 或x 轴对称，∴Q4（﹣2，2）．综上所述，存在点Q ，使以O 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；点Q 的坐标为：Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）． 【例2】如图1-1，四边形ABCD 是直角梯形，.28cm 24AD ,90,cm BC B BC AD ===∠︒，∥点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点后，另一个点也随之停止运动。
二次函数中的梯形、菱形存在性问题 学生版
二次函数中的梯形、菱形存在性问题学生版二次函数在数学中起着重要的作用。
学生在研究二次函数时，常常会遇到与梯形和菱形相关的问题。
本文将讨论二次函数中梯形和菱形的存在性问题。
梯形的存在性问题一个梯形是由两个平行线段和连接它们的两个非平行线段组成的四边形。
在二次函数中，存在一个梯形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个梯形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足梯形的定义。
在解决梯形的存在性问题时，我们可以利用二次函数的性质。
首先，如果一个函数的二次项系数为正，则函数图像是开口向上的抛物线。
这意味着我们可以通过选择x坐标值，使得对应的y坐标值形成一个梯形。
然而，如果二次项系数为负，则函数图像是开口向下的抛物线。
在这种情况下，我们无法找到一组值构成一个梯形。
菱形的存在性问题一个菱形是一个具有四个相等边长且相邻两边互相垂直的四边形。
在二次函数中，存在一个菱形的问题是问是否有一组值可以满足二次函数图像上的四个点构成一个菱形。
具体而言，我们需要找到一组x坐标值，使得对应的y坐标值满足菱形的定义。
解决菱形的存在性问题与解决梯形的问题类似。
如果二次函数图像是对称的，即以y轴或x轴为对称轴，则可以找到一组值构成一个菱形。
这是因为对称性保证了相邻两边互相垂直，并且相等边长可以通过选择x或y坐标值来实现。
总的来说，在二次函数中，梯形和菱形的存在性问题取决于函数的性质。
通过了解二次函数的开口方向和对称性，我们可以判断是否存在满足梯形和菱形定义的点集。
2020年中考专题练习---梯形的存在性问题
A B C M 1 M 2梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。
所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。
综合利用各个条件，才能求出最后的结果．1、 知识内容：梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。
有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC ，另一点M 在某固定直线上，形成的四边形ABCM 为梯形，则会有两种情况：①AM //BC ；②CM //AB ，如图所示。
梯形的存在性问题内容分析知识结构模块一：一般梯形的存在性问题 知识精讲2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；（2） 分情况进行讨论；（3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；（4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；（5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A （1-，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2-）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形， 求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P （t ，0），且t > 3，如果BDP ∆和CDP ∆的面积相 等，求t 的值．【答案】见解析．【解析】（1）将A 、C 代入抛物线解析式，解得抛物线解析式为：224233y x x =--． 对称轴为：直线1x =．（2）E 点为（1，0），分情况讨论： ①AC // EF 例题解析。
等腰梯形的性质专项练习30题(有答案)ok
等腰梯形的性质专项练习30题（有答案）1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长．2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数．3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长．4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数．5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长．6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长．7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠A的度数．（2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°．AE⊥BC于E；EF⊥CD于F，点F是CD的中点．求证：AD=BE．9．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，AE⊥BC于E，∠B=60°，∠DAC=45°，，求梯形ABCD的周长？10．如图示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，中位线长为5cm，高为2cm，求梯形底边BC的长及梯形的面积．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=6cm，BD⊥CD于D，∠C=60°．（1）求∠DBC的度数；（2）求AD的长．12．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，已知AD=5cm，BC=9cm，求等腰梯形ABCD的周长．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E在BC的延长线上，DE=DB．求证：AD=CE．15．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，DE∥AB．（1）求∠BCD的度数；（2）若AB=4，求等腰梯形ABCD的面积．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠D=120°，AC平分∠BCD，梯形的中位线长为6，求AC的长及梯形的面积？17．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，求证：DE=CE．18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E、F是AB上的两点且AE=BF，DF与CE相交于点O．问OE与OF相等吗？为什么？19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=2∠B，BC=3，AB=2．求AD的长．20．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，∠A=2∠C，BC=8cm，求腰DC的长．21．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，∠ACB=42°，∠ACD=27°．（1）∠BAC=_________°；（2）如果BC=10cm，连接BD，求BD的长度．22．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC吗？为什么？23．如图，在梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC=BC，求∠B的度数．24．如图，E是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，DE和CE相等吗，为什么？25．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC⊥BD，AE⊥BC．（1）求证：AE=（AD+BC）；（2）若AC=10cm，求等腰梯形ABCD的面积．26．如图，已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD=BC，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD=∠ABE．27．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，上底AD=3cm．（1）求∠ABC的度数；（2）求梯形ABCD的周长．28．已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，BD⊥CD，若梯形的周长为25cm，求梯形各边的长．29．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，对角线AC⊥BD，延长BC至E点，使CE=AD，连接DE．（1）求∠ACE的度数；（2）若AD+BC=10cm，求△BDE的面积．30．如图所示：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，∠ADC=120°．（1）试探讨线段AC与BC的位置关系；（2）若AD=4，求梯形ABCD的面积．参考答案：1．过点D作DE∥AB，则可得DE=AB=CD，又∵∠B=∠DEC=60°，∴△DEC为等边三角形，∴CE=AB=6cm，故可得BC=BE+EC=AD+EC=8cm．2．在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠BCD．（1分）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．（1分）又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD．（1分）∴∠ACB=∠ACD．（1分）∵AC⊥AB，∴∠B+∠ACB=90°．（1分）∴∠B+∠B=90°．∴∠B=60°．3．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴∠BAD=∠B=60°，AD=BC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，∴∠ACB=90°，又∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∴∠ACD=∠DAC，∴DC=AD=3，∴BC=AD=3，在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=6，∴所求中位线的长是（AB+DC）=（6+3）=4.54．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠ACD=∠ACB=∠DCB，∵AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠ACB，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∴∠ABC=60°，∵AB=BF，∴∠BAF=∠F，∵∠ABC=∠BAF+∠F，∴∠BAF=30°，∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90°+30°=120°．5．分别过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∴AD=EF=4，BE=CF=（8﹣4）=2，∵∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CD=4，∵AB=CD，∴AB=4．6．如图，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，∴∠EBD=∠CMD=90°，∵AB∥CD，∴四边形ACEB是平行四边形，∴AC=BE，CE=AB，∵AB=2，CD=4，∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6，∵梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∴AC=BD，∴BD=BE，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BD2+BE2=DE2，即BD2+BD2=62，解得BD=3．故答案为：3．7．1）解：∵AD=BC=DC，∴∠CDB=∠CBD，∵DC∥BA，∴∠CDB=∠DBA，∴∠CBA=2∠DBA，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC=2∠DBA，∵DB⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠A=×90°=60°，答：∠A=60°．（2）解：作DE⊥AB于E，∵∠A=60°，∠DEA=90°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=1cm，由勾股定理得：DE=cm，同理AB=2AC=4cm，∴梯形ABCD 的面积是（CD+AB）×DE=×（2cm+4cm）×cm=3cm2，答：梯形ABCD 的面积是cm28．连接ED．∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵EF⊥CD，F是CD中点，∴ED=EC（3分）∴∠DEC=∠C=60°∴△ECD是等边三角形，（4分）∴∠B=∠DEC∴AB∥DE（5分）∴四边形ABED是平行四边形（6分）∴AD=BE（7分）9．∵AD∥BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=45°∵AE⊥BC ，，∴，∵∠B=60°，∴BE=1，AB=2，∴DC=2，作DF⊥BC于点F，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE=FC=1，∴，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴，∴梯形ABCD的周长为：AD+DC+BC+AB=﹣1+2+2+2+﹣1=4+2．答：梯形ABCD的周长是4+2．10．取两腰AB，CD的中点分别为E和F，连接EF，根据梯形中位线定理得：EF=（AD+BC），∵EF=5cm，∴AD+BC=10cm，过A，D作出梯形的两条高AM和DN，∵梯形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°，∴四边形AMND为矩形，∴AD=MN，又Rt△ABM和Rt△DCN中，AM=DN，AB=AC，∴Rt△ABM≌Rt△DCN，∴BM=CN，由∠AMB=90°，∠B=45°，得△ABM为等腰直角三角形，∴MB=AM=2cm，同理CN=DN=2cm，设AD=MN=xcm，则AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10，解得：x=3，∴BC=2+x+2=7；∴梯形的面积S===10cm2．答：BC=7cm，梯形的面积10cm2．11．（1）∵BD⊥CD于D，∴∠BDC=90°，∵∠C=60°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°；（2）如图，过D作DE∥AB交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，∵AB=DC，∴DC=DE，∵∠C=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DC=6cm，在Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，DC=6cm，∴BC=2DC=2×6=12cm，∴BE=BC﹣CE=12﹣6=6cm，∴AD的长为6cm．12．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∴AD=BC，∠DBA=∠CDB，又BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，又AB=2AD，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40，5AD=40，AD=8，∴CD=8，AB=16，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16 13．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=AB=5cm，∴等腰梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm，答：等腰梯形ABCD的周长是24cm．14．法一：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），∠A+∠ABC=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°，∴∠A=∠DCE，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∵∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠E，在△ABD和△CDE 中，，∴△ABD≌△CDE（AAS），∴AD=CE；证法二：连接AC，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=AC，∴AC=BD（等腰梯形的对角线相等），∠ABC=∠DCB（等腰梯形同一底上的内角相等），在△ABC和△DCB 中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∵DB=BE，∴∠DBC=∠E，∴∠ACB=∠E，∴AC∥DE，又∵DE=BD，∴DE=AC，∴四边形ACED是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），∴AD=CE．（平行四边形的对边相等）．15．（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=CD=DE，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∵点E是BC边的中点，∴BE=DE=CE，∴DE=DE=CE，即△CDE是等边三角形，∴∠BCD=60°；（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵△CDE是等边三角形，AB=CD=4，∴DF=CD•sin60°=4×=2，∵AB=BE=CE=4，∴BC=2AB=8，∴S梯形ABCD =（AD6BC）•DF=×（4+8）×2=1216．∵四边形ABCD是等腰梯形，∠D=120°，∴∠B=∠BCD=60°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠ACD=30°，则∠BAC=90°，又∠CAD=∠BCA，∴∠CAD=∠ACD，则AD=CD=AB ，在Rt △ABC 中，∵∠BCA=30°， ∴BC=2AB=2AD ， ∵中位线长为6， ∴AD+BC=3AD=12， ∴AD=4，BC=2AD=8，在Rt △ABC中，由勾股定理，得，作AE ⊥BC 于E ， 则，∴梯形的面积为，答：AC 的长是4，梯形的面积是12．17．∵等腰梯形ABCD ， ∴BC=AD ，∠CBE=∠DAE ． ∵E 是AB 上的中点， ∴BE=AE ．∴△CBE ≌△DAE （SAS ）． ∴DE=CE ． 18．OE=OF ． 理由：∵AE=BF ，∴AE+EF=BF+EF ，即AF=BE ． ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AD=CB ，∠A=∠B ． ∴△ADF ≌△BCE ． ∴∠DFE=∠CEF ． ∴OE=OF19．过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形AEFD 是矩形， 所以AD=EF ，BE=FC因为∠A=2∠B ，又∠BAD+∠B=180°，所以∠B=60° 在Rt △AEB 中，因为∠BAE=90°﹣60°=30°，AB=2， 所以BE=AB=所以AD=BC ﹣2BE=3﹣1×2=1．20．因为四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ， 所以∠A=∠ADC ，∠ADC+∠C=180°（2分）又∠A=2∠C ，则2∠C+∠C=180°，故∠C=60°（4分） 因为BD ⊥CD ，BC=8cm ，所以，∠DBC=180°﹣90°﹣60°=30°（6分）则DC=BC=4cm ，即为所求． 21．（1）∵∠ACB=42°，∠ACD=27°， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=69°；（2）∵∠ABC=∠BAC=69°， ∴AC=BC=10cm ，又∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC=10cm ．22．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AB=DC ，∠A=∠D ． ∵M 是AD 的中点， ∴AM=DM ．在△ABM 和△DCM 中，，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）． ∴MB=MC23．∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠B=∠BCD ． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ， ∵AD=CD ，∴∠ACD=∠DAC ， ∴∠ACB=∠DCA ，设∠ACD=x ，则得到∠DAC=∠ACB=x ，∠B=∠BAC=2x ，∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°，即x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠B=72°24．DE=CE ．理由是：∵等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ， ∴∠A=∠B ，∵E 为AB 的中点， ∴AE=BE ，在△CBE 和△DAE 中，∴△CBE ≌△DAE （SAS ）， ∴DE=CE ．25．1）证明：过点D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， ∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形， ∴CF=AD ，DF=AC ， ∵AC ⊥BD ，AE ⊥BC ， ∴DH=AE ，DF ⊥BD ， ∵AB=CD ， ∴AC=BD ， ∴BD=DF ，∴△BDF 是等腰直角三角形， ∴BH=FH ，∴DH=BF=（BC+CF）=（AD+BC），∴AE=（AD+BC）；（2）解：∵AC=10cm，∴BD=DF=10cm，在Rt△BDF中，BF==10（cm），∴AD+BC=BF=10cm，∴AE=BF=5（cm），∴S梯形ABCD =（AD+BC）•AE=×10×5=50（cm2）．26．∵四边形AEBC是平行四边形，AD=BC，∴AD=BC=AE，BD=AC=BE，在△AEB和△ADB中，，∴△AEB≌△ADB，∴∠ABD=∠ABE．27．（1）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠C=∠ABC，∵BD平分∠ABC，∴∠C=∠ABC=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∴3∠DBC=90°，∴∠DBC=30°，∴∠ABC=∠C=2∠DBC=60°；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=DC，∵AD=3cm，∴AB=DC=3cm，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DBC=30°，DC=3cm，∴BC=2DC=6cm，∴梯形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．28．∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABC=∠C，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=∠C，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠C=2∠DBC，∵BD⊥CD，∴∠DBC=30°，∴BC=2CD，∵梯形的周长=AD+AB+BC+CD=5AB=30cm，∴AB=AD=CD=6cm，BC=12cm29．（1）∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED为平行四边形∴DE∥AC，DE=AC∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴BD=DE，∴∠E=∠DBE，∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠E=45°∵DE∥AC，∴∠E+∠ACE=180°，∴∠ACE=135°（2）∵AD=CE，∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm，∴Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2+DE2=BE2，又∵BD=DE，∴BD2=50，∴S△BDE =cm2．30．（1）线段AC与BC的位置关系是：AC⊥BC，理由是：∵等腰梯形ABCD，∠ADC=120°，∴∠DAB=∠CBA=60°，又由AD=DC，∠ADC=120°，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．（2）过C作CE∥AD交AB于E，∵DC∥AB，CE∥AD，AD=DC，∴四边形ADCE是菱形，∴AD=CE=4，又∠CBA=60°，△CBE为等边三角形，作CF⊥AB于F，∴，则梯形ABCD 的面积为cm2，答：梯形ABCD的面积是12cm2．等腰梯形的性质--- 11。
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专项训练五 梯形的存在性问题
解梯形的存在性问题一般分三个步奏：
第一步分类，第二步画图，第三步计算.
一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻梯形的顶点. 灵活运用相似比例方程，可以使得解题简便.
1.如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD//BC ，∠B=90o
，AD=24cm ，BC=28cm.点P 从点A 出发，沿AD 以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？
2.如图，已知A 、B 是双曲线2y x
=上的两个点，A 、B 的横坐标分别为2和-1，BC ⊥x 轴，垂足为C.在双曲线上是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由.
3.如图，在Rt ABC 中，90o
C ∠=，AC=3，AB=5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动.当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止，伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，DE 交BC 于点E.设P 、Q 运动的时间是t 秒（t>0），在运动的过程中，四边形QBE
D 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由.
4.如图，抛物线22833
y x x =-与x 轴正半轴交于点A ，矩形OABC 的顶点C 的坐标为（0，-2），抛物线与BC 边右侧的一个交点为D.在这个抛物线上是否存在点M ，使以O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
5.如图，在Rt ABC 中，90,30o o ACB ABC ∠=∠=，点D 是直线BC 上的一个动点，连结AD ，并以AD 为边在AD 的右侧作等边三角形ADE.
（1）如图1，当点E 恰好在线段BC 上时，请判断线段DE 和BE 的数量关系，并结合图1证明你的结论；
（2）当点E 不在线段BE 上时，连结BE ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2 给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC=3，点D 在直线BC 上移动的过程中，是否存在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD 的长度；如果不存在，请说明理由.
6.在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223
y x bx c =++与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，-2）.
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；
（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P （t ，0），且t>3，如果BDP CDP 和的面积相等，求t 的值.
7.已知AB 是 O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在 O 上运动（不与点B 重合），连结CD ，且CD=OA.
（1）当OC=，求证：CD 是 O 的切线；
（2）当OC >CD 所在直线与 O 相交，设另一交点为E ，连结AE.
①当D 为CE 中点时，求ACE 的周长；
②连结OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ·ED 的值；若不存在，请说明理由.
8.如图，已知抛物线233384
y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C.
（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD+MC 的值最小，并求出点M 的坐标；
（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过A （-1，0）、B （3，0）、C （2，3）三点，与y 轴交于点D.
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别连结AD 、DC 、CB ，直线4y x m =+与线段DC 交于点E ，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m 的值；
（3）设点F 为该抛物线对称轴上一点，当以A 、B 、C 、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标.
10.如图，把两个全等的Rt AOB Rt COD 和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上.已知点A （1,2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F.抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.设PE=y.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.。